Elektron- og lysdiffraktion Fysik 8: Kvantemekanik II Joachim Mortensen, Michael Olsen, Edin Ikanović, Nadja Frydenlund 19. marts 2009
1 Elektron-diffraktion 1.1 Indledning og kort teori Formålet med denne del af øvelsen er at have eftervist, hvordan elektroner fremstår som bølgefænomener, når man sender en strøm af dem gennem et diffraktions-gitter. Ud fra denne konstatering er det også meningen, at vi beregner gitterafstandene for det valgte medium, elektronerne sendes igennem. Figur 1: Illustration af strukturen af grafit. de Broglies formel for bølgelængden af en fysisk størrelse med impulsen p: = h p, (1) 1.1.1 Begrundelse for at ignorere relativistiske effekter på impulsen Vores begrundelse for at kunne ignorere relativistiske effekter på elektronernes energi ligger i en nummerisk beregning af en elektrons kinetiske energi. Ud fra den totale relativistiske energi E for elektronen: hvor E k er elektronens kinetiske energi, kan impulsen isoleres til: E = m 2 ec 4 + p 2 c 2 = E k + m e c 2, (2) Den ikke-relativistiske impuls er givet ved: pc = (E k m e c 2 ) 2 m 2 ec 4 (3) = (Ue m e c 2 ) 2 m 2 ec 4 (4) hvilket kan omarrangeres til: E k = Ue = p2 2m e, (5) pc = 2m e Uec 2. (6) Ved indsættelse af talværdier og med konkrete målinger fra øvelsen bliver den relative afvigelse mellem de to beregnede impulser kun 0,2 %, hvilket ligger så langt under vores (forventede) usikkerheder, at relativistiske effekter bliver uskelnelige fra disse fejl og derfor sagtens kan ignoreres. Elektron- og lysdiffraktion *1
1.1.2 Braggs lov Braggs lov er generelt: n = 2d sin θ (7) hvor 2θ er vinklen mellem ind- og udgangsstrålen, d er gitter-afstanden, er bølgelængden og n er diffraktions-ordnen, som vi i denne øvelse antager kun er n = 1 for begge gitterafstande. Den uafhængige beregning asf vinklen θ finder vi nedenfor: 1.1.3 Beregning af diffraktions-vinklen Fra geometriske betragtninger er følgende givet ud fra figur 2 til: hvor D cirklens diameter og L = 127 ± 3 mm er kolbediameteren. 2θ = arcsin(d/2l) (8) Figur 2: Illustration af apparaturet for elektron-diffraktion. Vinklen mellem pilene er defineret som 2θ. 1.2 Databehandling Vi observerede elektronernes bølgenatur som ringe af negativ og konstruktiv interferens på kolbens inderside. De målte diametre blev sammen med den kendte længde L brugt til at beregne θ i (i = 1: lille cirkels diameter; i = 2: stor cirkels diameter). Vi plottede sin θ i versus udregnet ud fra sammenhørende spændingsfald og fik hældninger a og c (og to skæringer b og d, vi ikke kunne få gennem Origo), der gav os de to afstande mellem atomerne i grafitten. Gnuplots fit-output for den lille cirkels diameter (lille cd) initial set of free parameter values a = 2e-010 b = 1e-005 After 6 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : 7.95494e-024 rel. change during last iteration : -1.2427e-011 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = 3.65257e-010 +/- 3.192e-011 (8.74%) b = 6.33512e-013 +/- 1.607e-012 (253.6%) Elektron- og lysdiffraktion *2
Figur 3: Elektronernes bølgelængde som funktion af sin θ i samt deres fittede funktioner. Gitterafstanden bliver for d 1 : d 1 = 1 2 (a ± σ a) = (1, 83 ± 0, 16) Å (9) Gnuplots fit-output for den store cirkels diameter (stor cd) initial set of free parameter values c = 2e-010 d = 1e-005 After 6 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : 3.1649e-024 rel. change during last iteration : -8.55417e-014 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== c = 1.92813e-010 +/- 1.026e-011 (5.32%) d = 2.1826e-012 +/- 8.965e-013 (41.07%) Og her får vi gitterafstanden d 2 til: d 2 = 1 2 (c ± σ c) = (0, 964 ± 0, 050) Å (10) 1.3 Vurdering af gitterafstandene Med de usikkerheder, vi har estimeret ligger de to gitterafstande ikke inden for de opgivne værdier. Hvis det skyldes systematiske fejl, skulle vi gerne få samme forhold mellem de to værdier som dem, vi har gået Elektron- og lysdiffraktion *3
opgivet for grafit. Deres forhold er 3 = 1, 73...: Q d 1 d 2 = 1, 90 (11) svarende til en afvigelse på 9,6 % for meget i forhold til det opgivne forhold. 2 Lysdiffraktion 2.1 Indledning og kort teori Formålet med denne del af øvelsen er at have lavet diffraktions-ringe med monokromatisk lys af kendt bølgelængde og ud fra målinger af diffraktions-ringenes størrelser beregne størrelsen af dét støv, lyset vekselvirkede med. 2.2 Databehandling Støvet antages at være kugleformet med en gennemsnitsradius på 30 ± 1 µm. Med denne antagelse er givet følgende resultater for ringe af konstruktiv (φ i ) og destruktiv (φ i) interferens: sin φ 1 = 0, 819 sin φ 1 = 0, 610, sin φ 2 = 1, 346, sin φ 2 = 1, 116 (12) (13) Ved samme geometriske betragninger af opstillingen som ovenfor, finder vi uafhængigt heraf de mærkede og umærkede vinkler som ovenfor (blot definerer vi vinklen som φ i stedet for 2θ): sin φ = D/2L (14) hvor D cirklens diameter og L = 77±1 cm er diameteren af diffraktionscirklen, vi observerede på væggen. Gnuplots fit-output for alle data initial set of free parameter values e = 0.05 f = 0.7 After 5 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : 0.176288 rel. change during last iteration : -1.93809e-008 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== e = 0.0360453 +/- 0.009775 (27.12%) f = 0.0285255 +/- 0.3218 (1128%) Hældingen er /, så radius på kuglerne er givet ved: = (e ± σ e ) = (0, 02442351 ± 0, 00654925) µm (15) Tilsyneladende er der noget galt. Vi er ikke engang inden for samme størrelsesorden. Spørgsmålet er, om ikke det skyldes, at vi groft sagt fitter en ret linie til to punkt(mængd)er? Ved at regne efter på ét datasæt får vi et bedre resultat (sætter konstanten foran / i (12) og (13) til 1): Elektron- og lysdiffraktion *4
Figur 4: 1/ sin φ i (både konstruktiv og destruktiv) versus 1/k i samt den fittede funktion. 2L D 2 1 m 6, 70 10 11 = 4 10 2 = 33, 5 µm (16) m Dette estimat viser, at vi ikke burde være så langt ved siden af, som gnuplot foreslår. Årsagen er tilsyneladende blot dén, at usikkerheden på et fit til to punktmængder bliver for stor. 3 Konklusion Vi efterviste den veletablerede påstand om, at elektroner kan opfattes som partikler og bølger afhængigt af, hvordan vi måler på dem, og vi bestemte med betydelige fejl de to målbare gitterafstande for grafit i denne opstillling. Forholdet mellem gitterafstandene lå dog inden for 10 % af, hvad forholdet mellem de to opgivne afstande skulle give. I øvelsesdelen med lysdiffraktion viste vi kun ved et groft estimat, at de observerede størrelser giver en radius på støv-kuglerne, der ligger tæt på den opgivne værdi. Med gnuplot ligger vi flere størrelsesklasser under, hvilket vi begrunder med, at vi kun har målt på diffraktionscirkler. Elektron- og lysdiffraktion *5