MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet reducerer: (x + h) 2 h(h + 2x) = x 2 + h 2 + 2xh h 2 2xh = x 2 så har man en genvej til ovenstående udregning, da 2 = 9 Opgave 2 Da f er eksponentielt voksende er regneforskriften for f på formen f(x) = b a x, hvor a = x 2 x 1 y2 y 1 og b = y 1 a x 1 Her er a = 5 800 200 = 4 = 2 og b = 200 2 = 25 Opgave f(x) = x x 2 + 4 f (x) = x 2 6x For at bestemme monotoniforholdene finder jeg nulpunkterne for f : x 2 6x = 0 x(x 6) = 0 x = 0 eller x = 2 Da f (x) er et andengradspolynomium med positiv ledende koefficient, så er f (x) positiv for x ±. Mellem nulpunkterne er fortegnet det modsatte, her negativt. Altså er f voksende for x ], 0], aftagende for x [0, 2] og igen voksende for x [2, [ 1

Opgave 4 Da trekanterne er ensvinklede og siden BC hhv. AC ligger overfor vinklen af samme størrelse som vinklen overfor EF hhv. DF, så er DF AC = EF BC BC = EF AC DF Med tallene indsat, fås BC = 18 16 24 = 12 Opgave 5 Da f er positiv i intervallet ] 5, 2[, så er 2 f(x) dx arealet under grafen, 5 dvs. arealet af M 1, altså 12. Tilsvarende er 4 f(x) dx summen af arealerne 5 for M 1, M 2 og M, og denne er 12 + 12 + 7 = 1 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 a) Da D er en spids vinkel i en retvinklet trekant, er: sin(d) = 5 D = ( ) 6 sin 1 5 6 D = 56, 44 b) BD er hypotenuse i den retvinklede trekant ABD, så i følge Pythagoras er BD = AB 2 + AD 2 = 25 + 49 = 74 For at finde AC bruges en cosinusrelation p trekant ACD Med tallene indsat: AC 2 = AD 2 + CD 2 2 AD CD cos(d) AC 2 = 49 + 6 2 7 6 cos(56, 44 ) = 8, 57 Så AC = 8, 57 = 6, 210 2

Alternativ: Lad E være skæringspunktet mellem linjestykket AD og linjen gennem C parallel med AB. Trekant CED er retvinklet, og DE = CD 2 CE 2 = CD 2 AB 2 = 6 25 = 11 Da AE = AD DE og AE = BC kan AC nu beregnes: AC = AB 2 + BC 2 = AB 2 + ( AD DE ) 2 = 25 + (7 11) 2 = 6, 210 lidt større end CD som forventeligt, da BC > 1 2 AD Opgave 7 a) Sammenhængen mellem L og t er angivet at være lineær, så a og b bestemmes med CAS vha. lineær regression på længden som funktion af alderen: a = 7, 47 og b = 27, 6 b) a er den årlige tilvækst i spækhuggerens længde i cm, og b er længden ved fødslen. Alderen for en 700 cm lang spækhugger bestemmes ved at isolere t: L(t) = at + b t = L(t) b a Med tallene indsat: 700 27, 6 t = = 11, 8 7, 47 Altså er alderen 11 år i følge modellen. (Men kan man forvente fortsat lineær vækst?) Opgave 8 Bevillingerne skal tredobles på 15 år, så den 15-årlige fremskrivningsfaktor er : F 15-årlig = Den årlige fremskrivningsfaktor Fårlig opfylder: F 15 årlig = F årlig = 15 = 1, 07599 svarende til en årlig stigning på 7, 599%

Opgave 9 Arealet af M er det bestemte integral 2 2 (f(x) g(x)) dx = Opgave 10 = 16 16 2 2 (8 x 2 x 2 ) dx = ( 16 + 16 ) 2 2 = 2 2 (8 2x 2 ) dx = [ 8x 2 x] 2 2 = 96 2 = 64 Lad P være vindmøllens effekt, v vindens hastighed og k en konstant. Så er P = k v Opgave 11 f(x) = x x 2 + 2x f (x) = x 2 6x + 2 Når tangenten har hældningskoefficienten 11, så er f (x) = 11 x 2 6x + 2 = 11 x 2 6x 9 = 0 en andengradsligning med diskriminant d = 6 4 ( 9) = 4 6 = 144 Løsningerne er de søgte førstekoordinater til tangenternes røringspunkter: x = 6 ± 144 2 = 6 ± 12 6 = { 2 Opgave 12 a) w = 9670 4 1,49 = 1226. Dvs. vægten af tørstoffet af den overjordiske del er 1226 g b) Først findes antallet af planter d, når højden er 100 cm: 100 = 970d 0,44 d = 0,44 100 970 = 168, 84 Denne (nye) værdi for d bruges i en beregning som i a): w = 9670 168, 84 1,49 = 4, 640 4

Dvs. vægten er 4, 640 g En genvej vha. CAS: Kommandoen solve(w = 9670 d 1,49 and 100 = 970d 0,44, {w, d}) finder d og w på en gang. Kun tallet for w skal bruges. Opgave 1 Længde 0-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 Procentdel 0 9 11 0 1 25 19 5 Kumuleret frekvens 0 9 20 20 51 76 95 100 Sumkurve opgave 1 100 Kumuleret frekvens 90 80 70 60 50 40 0 20 10 0 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 Havkatlængder Figur 1: Kvartilsættet aflæses på førsteaksen a) Kvartilsættet er: 81, 7; 89, 7 og 99, 8, aflæst på den elektroniske udgave af sumkurven vha. trace ; se markeringerne på figur 1. b) Boksplottene på figur 2 viser, at de mindste fisk ikke findes i de små dybder. På de store dybder er spredningen større; her kan alle størrelser findes (Havkatten holder til nær bunden, men de store vover sig også længere op). 5

Boksplot opgave 1 0 10 20 0 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Figur 2: Øverst for dybder mellem 5-40m; nederst 40-80m Opgave 14 Nulpunkter for f : f(x) = x + 16 x f (x) = 1 16 x 2 f (x) = 0 1 16 x 2 = 0 x2 16 = 0 x 2 = 16 x = 4 idet x > 0 er forudsat. f (2) = 1 4 < 0 og f (5) = 1 16 25 > 0 Dermed er fortegnet for f er negativt for x < 4 og positivt for x > 4, så f har et lokalt minimum i 4. Da dette er det eneste nulpunkt for f, har f her et globalt minimum. 6

Opgave 15a Da og 7 er rødder, er 5 2 + b + c = 0 og 5 7 2 + b 7 + c = 0 c = 45 b og 5 49 + 7b + 45 b = 0 c = 45 b og b = 5 49 45 = 50 4 c = 45 50 og b = 50 c = 105 og b = 50 Genvej: Indsæt første række i ovenstående i en CAS ligningsløser solve( 5 2 + b + c = 0 AND 5 7 2 + b 7 + c = 0, {b, c}) Opgave 15b Lad O være omkredsen af løbebanen, og lad A være arelaet af ABCD. Så er O = 2x + 2πr og A = 2rx For O = 800 er sammenhængen mellem x og r: 800 = 2x + 2πr 800 2x 2π Arealet er derfor et andengradspolynomium i x: = r A = 2 800 2x 2π Genvej: På CAS kan følgende bruges x = 800x 2x2 π solve(800 = 2x + 2πr and A = 2rx, {A, r}) 7