SAN DSYN LIG H EDSREG N I NG

SAN DSYN LIG H EDSREG N I NG S 1. TILFELDIGT EKSPERIMENT. SANDSYNLIGHEDSFELT Sandsynlighedsregnirg som matematisk disciplin er oprindeligt opstäet som en teori for hasardspil. De matematiske metoder, som blev udviklet, viste sig at kunne bruges mange andre steder; for eksempel bygger stikprovekontrol, vurdering af opinionsundersogelser og undersogelser af lregemidlers virkning pä disse metoder. När man skal bestemme sandsynligheden for, at en eller anden begivenhed indtrrffer, vil man i praksis ofte vrere henvist til at gore dette udfra et eller andet statistisk materiale. Et forsikringsselskab, der skal fastsrette stsrrelsen af en livsforsikringsprremie, er for eksempel interesseret i at bestemme sandsynligheden for at en person stadigvrek er i live efter en vis ärrrekke. Dette kan i princippet gores ved hjrelp af en tabel over dsdeligheden i forskellige aldersgrupper. 1.1. Ovelse I 1950 var der i Danmark ca.250.000 personer i aldersgruppen 50-54 är; i 1970 var der ca. 170.000 personer i aldersgruppen 70-74 är. Benyt disse tal til at vurdere sandsynligheden for at en tilfaldigt udvalgt 52-ärig dansker stadigvek er i live efter 20 ärs torlab. Päpeg nogle fejlmomenter ved beregningen. Vi vil i det folgende ofte benytte hasardspil (terningkast, msntkast o.s.v.) som eksempler. Begrundelsen for dette er, at sädanne spil er velkendte for de fleste og simple at beskrive. Lad os starte med at betragte et kast med en almindelig terning. Der er seks forskellige muligheder for, hvad terningen kan vise; vi sig er, at der er seks forskellige udfald. De seks udfald er lige sandsynlige, d.v.s. sandsynligheden for hvert af udfaldene er 1l6.Dette svarer til, at hvis man kaster mange gange med en terning, forventer man f.eks. en tre'er i ca. Il6 af kastene. Kast med en terning er et eksempel pä et tilfreldigt eksperimenl. Herved forstäs et eksperiment, hvor resultatet ikke er givet pä forhänd, men hvor de forskellige udfald indtrreffer med visse sandsynligheder. Tilfreldige eksperimenter med endeligt mange udfald kan beskrives pä folgende mäde:

1.2. Mrengden af mulige udfald ved et tilfreldigt eksperiment kaldes udfaldsrummet for eksperimentet, og betegnes med [/. Til hvert udfald u e U er knyttet et bestemt tal P (r), sandsynligheden for u. Sandsynlighederne opfylder: a)foralle ue U: 0=P(u) b) Summen af sandsynlighederne P (") er I, dvs. z P@)_ r alle u P kan äbenbart opfattes som en funktion med definitionsmnngde U. En funktion P, der opfylder a) og b) kaldes en s andsy nlighedsfunktion. Et udfaldsrumu med en tilhsrende sandsynlighedsfunktion P kaldes et sandsynlighedsfelt. Det sandsynlighedsfelt (U,P), der beskriver kast med en almindelig terning, har udfaldsrum u - { tr,2,3,,4,5,6} og sandsynlighedsfunktionen P er givet ved P (") Dette sandsynlighedsfelt er af en s&rlig simpel type, der kaldes symmetriske sandsynlighedsfelter : 1.3. Et sandsynlighedsfelt kaldes symmetrisk, hvis alle udfald har samme sandsynlighed. 1.4. Ovelse Man kaster med en mont, og observerer, om det blev plat eller krone. Beskriv udfaldsrum og sandsynlighedsfunktion. Er det et symmetrisk sandsynlighedsfelt? 10

1.5. Ovelse Man kaster to gange med en mont, og observerer, hvor mange gange det blev plat (0,1 eller 2 gange). Beskriv udfaldsrum og sandsynlighedsfunktion. Er det et symmetrisk sandsynlig hedsfelt? 1.6. En delmrengd e H af et udfaldsrum kaldes "n h,orctetse. Sandsynligheden P(H) for at fä et udfald, der tilhgrer H, er P(H) :ur" 7, np(") P (H) kaldes sandsynligheden fo, hrendelsen H. Om hrendelserne Q og U grelder äbenbart P(Q)-0 os P((I)_I Ved kast med en terning kan man vredde offi, at den hsjstviser 4. Man vredder da offi, at udfaldet tllhsrer hrendelsen Sandsynligheden for dette er da H - {I,2,3,4} P(H) - P(l)+P (2)+P(3)+P(4) - ++ ++ ++ J- I \ / 6 6 6 6 6 1.7. Ovelse Vi betragter et almindeligt spil kort med 52 blade. Der trakkes et tilfaldigt kort. Find sandsynligheden for falgende hendelser a) Kortet er spar 7 b) Kortet er en spar c) Kortet er ikke en klar d) Kortet er et billedkort (altsä knagt, dame eller konge) Af ovelse I.7 fremgär, at man i et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan bestemme sandsynligheden for en hrendelse 11 som forholdet mellem 11

antal udfald i H ogdet samlede antal udfal d i U. Hvis U har n elementer, grelder jo at P("): Iln for alle u iu ;og hvis H har m elementer er P(H) :I+1+1+ n n n När man skal bestemme sandsynligheden for en hrendelse /1, kalder man udfaldene i H for gunstige udfald. Vi kan da kort skrive 1.8. I et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan sandsynligheden for en hrendelse F1 beregnes ved 1 t l t - n ry n P (r{) _ antal udfald i H antal udfald i U _ antal gunstige udfald antal mulige udfald Det fremgär af (1.S), vt man i et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan bestemme sandsynligheden for en hrendelse ved attrelle udfald. I $ 2 skal vi gennemgä nogle metoder, der gar det lettere at foretage sädanne optrellinger. Vi vil slutte dette afsnit med at vise nogle regneregler for sandsynligheder. Lad A ogb vnrehrendelser i et udfaldsrum (1. A ogb er delmrengdet af (J, sä vi kan pä sredvanlig mäde tale om foreningsmrengden AUB og frellesmrengdena-tb. Pä fig. Il er vist en situation, hvor A)B - Q ; i dette tilfrelde er P(AUB) lig med summen af P(A) og P(B), d.v.s. der grelder 1.9 HvisAaB-0er P(AUB) -P(A)+P(B) OG Pä figur 1.2 er AaB + Q. I dette tilfrelde grelder (1.9) ikke, for när man beregner P(A) + P(B), bliver udfaldene i A)B talt med to gange. Der grelder derfor 12

1.10 Hvis A ogb er to vilkärlige hrendelser, er P(AuB) - P(A)+P(B) -P(A.B) Vi ser, ät 1.10 indeholder I.9 som et specialtilfrelde. ffi 1.11. Avelse. Man trakker et kort fra et sadvanligt spil kort. A og B er handelserne A: det blev et es B: det blev en klar Bestem sandsynlighederne P(A), P(B), P(AnB) og P(AUB) I mrengdelreren defineres komple' mentrermrengden til en mrengde H som mrengden bestäende af de elementer, der ikke er med i H, jf. fig. 1.3. I sandsynlighedsregningen betegner man ksmplement&rmrengden tll H med H og man kalder H for den komplementrere hrendelse til H. Da H U H - U og H n n - Q, fär vi af 1.9 P(u)-P(H)+P(fr) og her af folger 1.12. P(tr)-1-P(H) 1.13. Eksempel. Lad os betragte det tilfreldige eksperiment, der bestär i kast med to terninger, en rad og en hvid. Udfaldsrummet kan illustreres som vist pä fig. I.4. Pä figuren er med krydser markeret udfaldene i hrendelsen H: summen af ojnene er 4 HVID 6 5 4 a-) 2 I 1 2 3, + 5 6 R A D Fig. 1.4. 13

Antallet af gunstige udfald for H er 3, og da antallet af mulige udfald er 6' 6-36, ser vi, at 3 1 P(H)- %: D 1.14. Qlvelse. Tegn selv en figur som fig. 1.4. Indtegn handelserne A: terningerne viser ens B: summen af ajnene er 7 C: den rode terning viser mere end den hvide D: summen ai alnen er mindst 10 Bestem sandsynlighederne P(A), P(B), P(C), P(D), P(BOC) og p(buc) 1.15. Ovelse. När en tipskamp mä aflyses f.eks. som falge af därligt vejr, foretager tipstjenesten pä grundlag af 20 avisers tips om kampen en säkaldtendenslodtrekning. Udfaldet af denne tendenslodtrekning bestemmer da hvilket tegn, der skal stä pä ugens tipskupon ud for den pägeldende kamp. Tendenslodtrakningen foretages ved, at man ien krukke anbringer 32 kugler af forskellig farve (gul, rad og gran). Farverne har folgende betydning: gul betyder 1 rod belyder x gran betyder 2 Fordelingen af gule, rade og g ranne kugler i krukken bestemmes ved, at man for hver af de 20 aviser anbringer en kugle svarende til bladets tips. Endvidere anbringes der 4 gule, 4 rade og 4 grsnne kugler i krukken. Tendenslodtrekningen udfores ved, at man pä tilfeldig mäde udtager en kugle af krukken. Farven pä den udtagne kugle an jiver da, hvilket tegn der skal stä pä ugens tipskupon ud for den aflyste kamp. Skemaet nedenfor viser, hvorledes de 20 aviser bedsmte udfaldet af en tipskamp. Tips: x 1 x 2 1 x 1 x 1 1 x 2 1 1 2 x x 1 1 1 Pä grundlag af disse tips, skal der laves en tendenslodtrakning a) Hvor mange gule, rade og granne kugler skal der anbringes i krukken I4

b) Angiv sandsynligheden for, at der ved tendenslodtrekningen kommer et 1-tal ud for den pägaldende kamp. c) Samme sporgsmäl som b) blot med x hhv. 2. d) Hvorfor nojes man ikke med at lade de 20 avisers tips vare afgarende for udfaldet af ten d en slodtrekn ingen? s 2. KOMBTNATORTK En spilleautomat (enarmet tyveknregt) indeholder tre hjul, hver forsynet med 20 symboler. Fordelingen af symboler pä de tre hjul kan f.eks. vrere som vist i tabellen nedenfor. E--l ttü{l i_el L.,l Fig. 2.1. SYMBOL ANTAL hjul I hjul II hjul III Appelsin Blomme Citron Kirsebrer Klokke Streg Ialt 3 5 3 7 I I 20 5 I I 7 3 3 20 6 5 4 I 3 T 20 Lad os undersoge, hvor mange forskellige stillinger hjulene kan standse i, hvis visningen i ruderne skal vrere som pä fig. 2.I dvs. kirsebrer, klokke og blomme. Af tabellen ser vi, at hjul I i 7 stillinger vil vise kirsebrer, hjul II viser klokke i 3 stillinger, og hjul III viser blomme i 5 stillinger. For hver af de 7 stillinger, hvori hjul I viser kirsebrcr er der 3 stillinger, hvori hjul II viser klokke. Der er säledes 7 '3-21 stillin ger hvori hjulene I og II viser kombinationen kirsebrer-klokke. For hver af disse er der 5 muligheder for at hjul III viser blomffi, säledes at der ialt er (7 ' 3) ' 5-105 stillinger af hjulene, der giver visningen pä fig. 2.I i ruderne. 15

Pä samme mäde ser vi, at de 3 hjul ialt kan standsei20'20'20: 8000 forskellige stillinger. Situationen ovenfor illustrerer anvendelsen af multiplikationsprincippet: 2.1. När en valgsituation kan opdeles i to valg med henholdsvis n og m valgmuligheder, er det totale antal valgmuligheder lig med n'm Multiplikationsprincippet er her formuleret for en valgsituation, der kan opdeles i to delvalg. Som vi allerede har set kan det udvides til at omf atte valgsituationer bestäende af flere delvalg. Hvert enkelt spil pä en enarmet tyveknregt kan opfattes som et tilfreldigt eksperiment. De 8000 mulige stop af hjulene er eksperimentets udfald, og hvert har sandsynligheden P(u)-+ 8000 Sandsynlighedsfeltet knyttet til den enarmede tyvekn egtpä denne mäde er altsä et symmetrisk sandsynlighedsfelt. En bestemt visning i ruderne kan fremkomme ved flere forskellige stillinger af hjulene, og mä derfor opfattes som en hrendelse i det symmetriske sandsynlighedsfelt. For eksempel er 2.2. H- {ulu: (kirsebrer,klokke,blomme)} en hrendelse, der indeholder 105 forskellige udfald, og derfor er 2.g. P(H): ]l: 8000 jf. ( 1.B). 2.4. Avelse. Beregn sandsynlighederne for handelserne Ht _ {u I u - (blomme, kirseber, citron)} H2: {u lu - (streg, streg, sfreg)} I6

Vi vil gennemgä endnu et par eksempler, hvor multiplikationsprincippet anvendes. Et fodboldhold bestär af.11 spillere. Vi vil prove at beregne antallet af forskellige holdopstillinger, en trrener kan lave med IL spillere. Starter vi ved venstre wing (ttt. II), er der her 11 muligheder for at placere en spiller. När denne plads er blevet besat, er der 10 spillere at vrelge imellem til plads nr. 10, d.v.s. plads LI og 10 kan ifolge multiplikationsprincipp et besrettes pä II'10 mäder. @@@@o Fig.2.2. Fortsretter vi r&sonnementet, ser vi, dannes at der af de li spillere ialt kan 2.5. 'l.l'10' 9' 8'7' 6' 5' 4' 3' 2' 1. - 39916,800 holdopstillinger! Et produkt af de hele talfran og ned til 1,, d.v.s. n' (n- 1) ' ("-2)' ' 4'3 '2' 1 skrives kort n! - lres: >>n-fakultet<< eller >>n-udräbstegn(. Vi definerer altsä 2.6. n! - n'("-l)'(n-z)'... '4'3'2'I Med denne sprogbrug kan vi sige, ät der med 1-1 spillere kan laves 11! forskellige holdopstillinger. Generelt grelder, atn elementer kan anbringes i rrekk efolge pä n! forskellige mäder. 17

Tallen e n! vokser meget hurtigt, när ru vokser. Dette fremgär af nedenstäende tabel. n! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I 2 6 24 L20 720 5040 40320 362880 3628800 2.7. Ovelse. Et händboldhold bestär af 7 spillere. Hvor mange forskellige holdopstillinger kan man lave af et hold? Hvor mange holdopstillinger kan man lave, hvis man kan velge de 7 spillere f rit blandt 10. En fodboldtr&ner har som regel flere end 11 spillere at vrelge imellem, när han skal lave holdopstilling. Vi vil prove at beregne hvor mange forskellige holdopstillinger, der kan laves, när man har L7 spillere til rädighed. Betragter vi igen fig. 2.2 ser vi, at plads rlr. LL da kan besrttes pä 17 mäder, plads nr. 10 kan dernrest besrettes pä 16 mäder, osv. Antallet H af. forskellige holdopstillinger bliver derfor H - 17.16. L5. L4.....9.9.7 Tallet minder en del om tallet '1-.7!, jt. (2.6). Sammenhrengen mellem FI og L7I kommer tydeligere frem ved en omskrivnitrg 18

2.9. H - L7.16.15. 14.....9.9.7 _ T7T 6! I stedet for antallet af holdopstillinger kan man vrere interesseret i blot at bestemme antallet afforskellige hold (gr.rpper pä 11 personer), der kan udtages af de 17 spillere, der er til rädighed. Dette antal kan vi bestemme udfra (2.8). Lad os benytte betegnelsen K for antallet af forskellige hold. Hver gang vi har et hold, kan de 11 spillere opstilles pä 11! forsketlige mäder, jf. (2.5). Vi kan derfor beregne det samlede antal holdopstillinger pä en anden mäde, end vi gjorde i (2.8), nemlig som H - K.11! Ved sammenligning med (2.8) finder vi da, at 2.g. Da 6-17 K--U- 6!.ILT II ser vi, at (2.9) ogsä kan skrives pä formen 2.10. K_ T7T (r7-rr)!. 11! Indfsrer vi betegnelsen en n-mengde for en mengde me d n-elementer kan vi sige, at (2.10) angiver hvor mange forskellige 1l-detmrengder der er i en L 7 -mnngde. Tallet K i (2.10) betegnes normalt med K17,1r, da det udtrykker antallet af. 1l-delmrengder af en 17-mnngde, dvs. Kn Jr 17T (r7-rr)!. 11! Ovenstäende lader sig let generalisere til: 2.11. Antallet af forskellige q-delmrengder af. enn-mrengde er Kr,n Sretter man q - 0 eller q - n i 2* (2.1I) fär man symbolet 0! i brokens t9

nrevner. Tillregger man 0! vrrdien 1, bliv er (2.1 1) ogsä korrekt for e : 0 og for q - n. I det folgende vil tallene Kn,n blive omtalt som binomialkoefficienter. Der findes tabeller over Kn,q.Af pladshensyn angiver man ikke altid Kr,n for alle vrerdier af q.yed brug af tabellen kan man da benytte, at der grelder 2.12. Kn,n : Kn,n-q (2.I2) indses ved direkte udregning: Kn,n-n n! ("-q)i' ("-("-q))i : Kn,q 2.13. Ovelse. Find enten ved beregning eller opslag ien tabel tallene Kts.e og Kts,z Multiplikationsprincippet og formlen for Kr,n kan anvendes til beregning af antallet af valgmuligheder i mere komplicerede tilfrelde. En krukke indeholder 10 kugler, hvoraf 4 er sorte og 6 er hvide. Et eksperiment gär ud pä at tage en händfuld med 3 kugler op af krukken, og se pä farvesammensretningen. Hvis kuglerne bortset fra farve isvrigt er ens, kan vi gä ud fra, zt enhver kombination af 3 kugler har Fig. 2.3. samme sandsynlighed for at blive udtaget. Vi kan med andre ord betragte sandsynlighedsfeltet knyttet til eksperimentet som et symmetrisk sandsynlighedsfelt. Et udfald er en delmrengde pä 3 kugler, säledes at udfaldsrummet kan karakteriseres som 3-delmrengderne af en 1O-mrengde. Antallet af mulige udfald er da ifolge (2.11) Krc3- L20 20

Sandsynligheden for et udfald z bliver P (") L :- 120 Lad os betragte hrendelserne H3: {ulu bestär af.3 sortekugler} Hz: {u I u bestär af 2 sorte og I hvid} Vi vil beregne sandsynlighederne P(H) og P(H). Hertil har vi brug for at kende antallet af udfald i hver af de to hrendelser (antal gunstige udfald). Et udfald tilhsrer hrendelsen H.,hvis alle kuglerne er sorte. Da der ialt er 4 sorte kugler i krukken kan vi udta ge3 af dem PäK+,t - 4 mäder. Der er säledes 4 gunstige udfald for hrendelsen H z, d.v.s. P(Hz) - {-o't :L Kro3 I20 Et udfald tl\hsrer Hzsäfremt2kugler er sorte og 1 er hvid. Da vi af de 4 sorte kugler i krukken kan udtage 2 pä K4,zmäder, og af de 6 hvide kan udtage 1 pä K6,1 mäder, folger det af multiplikationsprincippet, at 2 sorte og t hvid i.an udtages pä ialt K+,2'K6,1 : 36 mäder. Heraf folger da, at P(H) W-36 2.14. Avelse. En krukke indeholder 10 kugler, hvoraf 3 er rade, resten blä. Ved et eksperiment udtages en händfuld pä tre kugler. Beregn sandsynligheden for hver af nedenstäende handelser: Ho: {u Ht: {u H2: {u Hs: {u u indeholder 0 rode) u indeholder 1 radj u indeholder 2 rade\ u indeholder 3 rade\ lllustr6r de fundne sandsynligheder med et stolpediagram: 2T

r i r f i i l, l i i l r, r i ' : t : ' ' : l 1 ] t r ' ; _ l r ' i r,, l i :. -.., f + : - +. t. - r 1 L r. t r,, l l i f I r l l,, i l]l Il::! t f 1 1 l '! i it I illl.l,li tl ; : l : r 1 J + 't-+i ii i i t: i ;J i l i. r i. ' + i i l r i + i : l : i l i i i l i l l i i r l ' i i i r. t ;! t t, t l llril iiillrill?t+ r}-i r'* i t r : t t i i : : l : i, l ' : : '! t r l i i i ffi l : 1 l l ' i : t+:-ilr;lt ' 1 1 ' i f i i r T ' 1 t,, l ' l r i r t r r l t i : i r : r l r t i i t l. ' i ::llt:r'1 r'j;' ii tisi ill:j., : 1 "! i -# I ' l t t ii:i 't:fü iiiiijn f t I l 1 iirlt :--4.1- t i. t, { '. :. i L ; : ; + _. 1 I f 1, i I, i, + : l i I 'l I : : I I ;,:1 : ' I I : ll. i, t.. - t r r,. l r. : ilf:il,l:1r : 1;:[1:rl illii,.;' :lflilrr$n'sfliir : l r ' 1 : ' l iliitrl', 7'.l* lf ii [Tl11.'fii,t : : i ' f ' : r : i 1 : i ' l :, i ' 1 t i : r 1 'ri-lt-+i :,i:li:r: ;;iili+-- i : i t ' r '. :iiliii,: i riilii j r ;: i{:ll: iiirl'fl. --!n;+-+'.i " " - l r : 1 r.ii,iir:l :-:.l l i ;.1.:.- ir.i;;iii t : ", ' t J ',::Jl;,1 alif-r,jii,i;i :.;f'# iril'.ir r.1...ii-_lt:;.- I, I :i:l;t: J, ii'il:,1:jti.i- ;.:.;.J l+-.:-r I;i,;, i:i,-l::!1..:l:i: j,:l:..;t ;"1 r: 1,, 't-: :1, i:-j;:l i. lri,.i',,lll 1 " 1 a*\atrq rl Fig. 2.4. 2.15. Ovelse. En granthandler modtager appelsiner i kasser med 30 stk. Far han stiller kassen ind i butikken plejer han at pakke 4 appelsiner ud af papiret og se efter om de er i orden. Hvis han finder en eller flere därlige appelsiner blandt disse 4 gär han hele kassen igennem og smider de därlige vek fsr kassen kommer ind i butikken. Hvad er sandsynligheden for, at en kasse med 5 därlige appelsiner islipper gennem gronthandlerens kontrol? Samme sporgsmäl for en kasse, der kun indeholder 2 därlige appelsiner. s 3. BTNOMTALFORDELTNG I starten af $2 betragtede vi en spilleautomat. Vi kan opfatte spillet pä denne som tre tllfnldige eksperimenter, der udfore s uffiengigt af hinanden: 1. eksperiment: hjul I srettes i gang og stopper 2. eksperiment: hjul II srettes i gang og stopper 3. eksperiment: hjul III srettes i gang og stopper Lad os betragte folgende hrendelser, horende til hver sit af disse tre eksperimenter: 22 H i hjul I viser kirsebrer Hz: hjul II viser klokke H z: hjul III vis er blomme

Sandsynligheden for disse hrendelser er fif. tabellen side 15): P(Ht):* P(Hz):* P(Hz)-5 20 Den hrendelse FI, vi betragtede i (2.2) kan karakteriseresom hrendel' sesforlgbet H- (H rflzliz) Vi fandt i (2.3), at sandsynligheden for H var 3.1, P\H) - 105 8ffi- For at finde denne sandsynlighed benyttede vi multiplikationsprincippet. Antallet af" mulige udfald er 20'20'20-8000, og antallet af gunstige udfald er 7'3'5-105. Skriver vi i (3.1) hvordan broken faktisk er fremkommet, finder vi P(H) 7.3.5 :-7 3 5 20.20.20 20 20 n - P(H).P(H).P(Hz) Sandsynligheden for H kan altsä bestemmes ved at multiplicere sandsynlighederne for H 1, Hz oeh z. Dette er noget, der grelder generelt, när. man udforer flere tilfreldige eksperimenter uaftrrengigt af hinanden: 3.2. När en rrekke tilfreldige eksperimenter udfores uafhrengigt af hinanden, kan sandsynligheden for et bestemt hrendelsesforlsb findes ved at multiplicere sandsynlighederne for de enkelte hrendelser. 3.3. Ovelse. I et spil kastes forst en terning, dernest en mont. Hvad er sandsynligheden for, at terningen viser 5 eller 6 og monten viser krone? Ovenfor har vi betragtet situationer, hvor forskellige eksperimenter udfores efter hinanden. (3.2) kan naturligvis ogsä benyttes, när eksperimenterne er ens. I resten af. denne paragraf. skal vi udelukkende benytte (3.2) i situationer, hvor samme tilfrldige eksperiment udfores gentagne gange. 23

3.4. Eksempel. Lad os betragte kast med en terning. Lad H i terningen viser 6 Hz: terningen viser ulige. Der grelder äbenbart PQI) - Ll6 og PQI) - Il2. Vi kaster 2 gange med terningen. Sandsynligheden for hrendelsesforlsbet H- (Ht,Hz) er da P(H) : ä 1_ 1 2 1 2 Med andre ord, sandsynligheden for at terningen viser 6 i forste kast og et ulige antal ojne i andet kast er "l.llz. 3.5. Ovelse. I starten af et spil LUDO skal man slä en sekser (eller globus) for at fä lov at flytte en brik ud. Til at begynde med har man tre slag ihver runde, indtil man har fäet sin forste brik ud. Hvad er sandsynligheden for at en bestemt spiller ikke fär nogen brik ud ispillets fsrste ru nde? Hvad er sandsynligheden for at spilleren ikke fär nogen brik ud de fo forste runder? I den situatior, vi betragtede i ovelse 3.5 er det naturligt at omtale det at slä en sekser som held, og det, dt slä L,2,3,4 eller 5 som uheld. Vi skal i det folgende beskreftige os mere med tilsvarende situationer, hvor udfaldsrummet er opdelt i to hrendelser H og H, kaldet held og uheld. Indfsrer vi betegnelsenp for P (H) fär vi, da H og H er komplementrere hrendelser, at 3.6. p - P(H) os I-p-P(H) Baggrunden for det folgende er altsä et eller andet tilfreldigt eksperiment, hvor vi specielt er interesseret i en bestemt hrendelse H - held og dennes komplementnrehrendelse 11 - uheld. Vi skal beskreftige os med gentagne udforelser af dette eksperiment, og det vi stiler mod er atblive i stand til at besvare sporgsmäl som f.eks. hvad sandsynligheden er for at vrere heldig mindst 5 gange, hvis eksperimentet udfores L0 gange efter hinanden. 24

/J 3.7. Avelse. Ved spil pä en rouletter udfaldsrummettalmangden U - {0,1,2,g,...,35,36}. En spiller satser 10 gange i trak pä tallet 19. a) Hvad er sandsynligheden for at han er uheldig hver gang? b) Hvad er sandsynligheden for at han er heldig iforste spil og uheldig ide 9 andre. c) Hvad er sandsynligheden for at han er heldig netop en gang ud af de 'l 0. Som eksempel pä gentagne udforelser af et tilfreldigt eksperiment vil vi se pä udfyldning af en tipskupon. Vi ant ager at udfyldningen sker pä tilfreldig mäde, altsä uden kendskab til hvor gode de enkelte hold er. Sandsynligheden for at en bestemt kamp tippes rigtigt er da I13. Tipning af en rrekke (13 kampe) sker ved 13 udforelser af samme tilfreldige eksperiment tipning af en enkelt kamp. Hrendelserne held og uheld er H: H: kampen tippes rigtigt kampen tippes forkert og sandsynligheden for disse hrendelser er P(H) _ 1 3 P(H) ') :.t J Det interessante set ud fra tipperens synspunkt er antallet af rigtige kampe i en rrekke, d.v.s. antal gange hrendelsen H forekommer. Som en kort betegnelse for dette antal vil vi benytte bogstavetx. Skriver vi f.eks. X - 7, mener vi at antallet af rigtigt tippede kampe (antal held) er 7. Begrundelsen for at indfore denne notation er bl.a., zt vi sä fär en kortfattet skrivemäde for sandsynligheder: 3.9. P(X-0) - P(X-1) - P(X - 13) - sandsynligheden for 0 rigtige kampe sandsynligheden for I rigtig kamp sandsynligheden for 13 rigtige kampe Vi vil prove at bestemme disse sandsynligheder, og starter med sandsynligheden P(X _ 0). Hvis X - 0 er alle kampe tippet forkert, d.v.s. hrendelsen H forekommer 13 gange. Da P(tr) :? fär vi iflg. (3.2), zt P(X:O)_ z.z.z.z.z.2.z.z.z.z.z.z.z-(z\r3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 \ 3 / 25

Vi forsretter me d X - I. Der er 13 forskellige hrendelsesforlsb med netop I rigtigt tippet kamp (1 gange H og 12 gange 0, (H, (H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, n, U, n1 H, H, H, H, H, H, rt, n, n7 (H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, n) Sandsynligheden for hvert af disse hrendelsesforlsb er + (?)" sä alt i alt fär vi P(x -r) - 13'+(?)" De resterende 12 sandsynligheder kan i princippet findes pä samme mäde som vi fandtp(x-l). Det er imidlertid etmojsommeligt arbejde at opskrive alle de mulige hrendelsesforlsb; lad os se, om vi ikke kan slippe lidt nemmere om ved det. 3.9. (H fl,n,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h) QI,H,H,H,H,H,H,H II,H,H,H,N1 (H,H,n fl,u,h,h,h,h,h fl,h,h) I (3.9) er vist tre forskellige hrendelsesforlsb svarende til X - 2.DaH forekommer 2 gange og H II gange, er sandsynligheden for hvert af disse lig med (+)' (?)" For at bestemme den samlede sandsynlighed P (X : 2) Skal vi regne ud, hvor mange forskellige hrendelsesforlob, der svarer tll X - 2. Et sädant hrendelsesforlsb fremkommer ved, at vi i et skema som (3.9) udvrelg er 2 pladser af de 13 og skriver H her. Pä de resterende 11 pladser skrives F1. Af (2.1L) tolger, at dette valg kan foretages pä Kn,2 forskellige mäder. Der findes altsä Kr3,z forskellige hrendelsesforlsb svarende tll X - 2, og vi fär derfor 26 P(x : z) : Kr3,2. (+)'. (?)'1-78- (+)'. (?)"

Ved at argumentere pä tilsvarende mäde kan man finde de ovrige sandsynligheder. Det samlede resultat bliver P(X - 0) : Kr3,o (+)' '(?)" P(X- 1) : Kr3,r (+)t (?)" P(X - 2) : K"!.3,2 ' (+)' '(?)" P(X : 3) : Kr3,3 (+)' (?)to P(X - 4) : Kr3,4 (+)- '(?)n P(x - s) : Kr3,s (+)t (3)t P(X : 6) : Kr3,6 (+)t (?)' P(X : 7) : Kr3,7 (+)t (?)' P(x : s) : Kr3,8 (+)t (3)t P(X : 9) : Kr3,s (+)t (?)^ P(X _ 10) : KL3,1'' (+)to'(?)t P(X - 11) : Kr3,jr' (+)tt'(?)' P(X - LZ) : Kr3,1.z' (+)t''(?)t P(X : 13) : Kr3,r3' (+)t''(?)' Generelt kan vi skrive sandsynligheden fo, j rigtige: 3.10. P(X - j) : K13,i -( +)' (?)"' Tallene kan beregnes ved hjrelp af regnemaskine og en tabel over binomialkoefticienterne Ktt,j. Resultatet af beregningen er vist med stolpediagrammet pä fig. 3.L. 27

Sandsynlighedsfeltet knyttet til udfyldningen af tipskuponen som beskrevet i (3.10) er et eksempel pä en säkaldt binomialfordeling. Binomialfordelingen angiver sandsynlighederne for forekomsten af en bestemt hrendelse - primrerhrendelsen - ved et antal udfsrelser af det pägreldende eksperiment. Definitionen pä en binomialfordeling er 3.11. Ved en binomialfordeling af- lrengde n og med primßrsandsynlighed p forstäs et sandsynlighedsfelt (U,Pr), hvor og hvor Un - {0,1,2,3)..., n} P"(X - i) - Kn,j'pi '(1 -p)"-i, j - 0,1,,2,..., n Tallet P r(x - j) angiver sandsynligheden for, at primrerhrendelsen vil forekomme j gange ved n gentagne udfsrelser af eksperimentet. 3.12. Eksempel. Vi betragter 10 kast med en ternirg, og vil finde sandsynligheden for, at hrendelsen H: at slä en sekser forekommer 4 gange. 28

Sandsynlighederne for forekomsten af seksere er binomialfordelt med lnngde n _ 10 og primrersandsynlighed p - I I 6. Sandsynligheden for 4 seksere er derfor iflg. (3.11) prc(x - 4) : Kr0,4 (ä)' (ä)u : zr0 (ä)- (;)u: 0,0s42 3.13. Ovelse.. ' t 1 Beregn sandsynligheden for ved 10 kast med en mont at fä 4 krone. Som vi har set kan sandsynlighederne i en binomialfordeling beregnes udfra lrengden n og primrersandsynligheden p. Der er imidlertid ogsä udarbejdet tabeller over binomialfordelingerne. Heri er normalt ikke angivet Pr(X - j), men derimod de kumulerede sandsynligheder P"(X =i), dvs. sandsynlighederne for, at primrerhrendelserne forekomm er hojst j gange ved n udfsrelser af eksperimentet. Eksempelvis er säledes P,(X=4): P,(X:0) + P,(X:l) + P,(X-z) * P,Q{-3) + P,6:4) For n - 7 og p - 0,5 finder man i en tabel, at Heraf kan P t6-4) findes, idet P7(X=4)-0,7734 Pr6 S 3) - 0,5000 PilX-4) : Pt6=4) - P76=3)- 0,7734 0,5000-0,2734 3.14. @velse. Find ved brug af en tabel over binomialfordelingen fl : 8 og p : 1/3 sandsynlighederne PaV = 4), pa(x = 3), pa(x = 1), pa(x - 4), Pa(1 <X = 4) * * * * * 29

Pt(X = i) Pt(x - j) 0 1 2 3 4 5 6 7 0,0078 0,0625 0,2266 0,5000 0,7734 0,9375 0,9922 1,0000 0,0078 0,0547 O,T64I 0,2734 0,2734 O,T64I 0,0547 0,0078 Tabellen ovenfor angiver binomialfordelingen svarende til n - 7 og P - 0,5' Vi har tidligere illustreret sandsynlighedsfordelinger ved at tegne et stolpediagram. Tilsvarende kan de kumulerede sandsynligheder illustreres ved at man tegner et trappediagram. Tabellen ovenfor er illustreret pä fig. 3.2. Fig. 3.2. 3.15. Ovelse. En symmetrisk terning kastes 5 gange. Find sandsynlighederne for 0 seksere, 1 sekser, 2 seksere,., 5 seksere. lllustrer de fundne sandsynligheder med et stolpediagram. lllustrer de kumulerede sandsynligheder med et trappediagram. 30

Vi vil afslutte denne paragraf med at indfsre en storrelse, der kaldes middelvrerdien for en binomialfordeling. 3.16 Eksempel. Ved kast med en symmetrisk mont betragtes hrendelsen H: msnten viser krone Sä er P(H) - 1lz, ogvi kan beregne sandsynlighederne for, at krone forekommer 0,I,2 eller 3 gange i en serie pä 3 kast ved hjrelp af (3.11) med p - 7lz og n - 5. Lader vi X betegne antal krone fär vi P(X-0)- _ 1 (+)' 8 P(X-1)-3-3 (+)' 8 P(X-2)-3-3 (+)' 8 P(X-3)- - 1 (+)' 8 t), 5'r Lad os trenke os, at vi foretager 100 udforelser af eksperimentet >3 kast med en msnt<<. Resultaterne kan trenkes opskrevet i et skema: eksperiment nr. udfald antal krone 1 2 3 4 100 kr pl pl kr kr pl pl pl pl pl kr kr pl pl kr I 2 0 2 Observationssrettet bestäende af tallene i hojre kolonne kan vi behandle som vi tidligere har set (Matematik I, kap I), og f.eks. bestemme hyppighed og frekvens. Lad os forestille os, at fordelingen blev: 3r

observation x hyppighed frekvens "f (antal krone) 0 I 2 3 n 0,11 37 0,37 40 0,40 12 0,r2 i tt, Vi kan nu beregne observationssrettets middeltal (det gennemsnitlige antal krone). Middeltallet bliver, jf Matematik I side 14: Z*'f - 0'0,11 + I'0,37 + 2'0,40 + 3'0,12-1,53 De frekvenser, der indgär i udtrykket her, mä v&re omtrent lig med de sandsynligheder, vi har beregnet i eksempel 3.16. F.eks. er sandsynligheden for hrendelsen >>2 kroneu lig med den forventede frekvens af >2 krone<< ved et stort antal udforelser af eksperimentet. Vi kan säledes, inden vi overhovedet giver os til at udfore eksperimentet >3 kast med en mont<<, pä forhänd beregne det gennemsnitlige antal krone vi vil forvente. Benytter vi tallene i eksempel 3.16 finder vi dette tal til 0.Pz(X:O) + l.pe(x:i) + 2'Pz(X:2) + 3'Pz(X:3) :oä*1;.2;.3 *:#:r,so Vi bemrerker, at dette forventede middeltal kan beregnes alene udfra kendskab til hvilken binomialfordeling, man har med at gorc i den aktuelle situation. Pä baggrund af dette vil vi indfore et tal, der kaldes middelvrerdien af en binomialfordeling : 3.17. Ved middelvrerdien for en binomialfordeling af lrengde n, forstäs tallet p givet ved s LL: ^a j'p"(x -/) i:0-0 'P,Qf -0)+ I'P,(X:1)+...*n'Pn(X -n) 32 Her er talle ne P n6 -j) de sandsynligheder, der hsrer til den pägreldende binomialfordeling, jf. definition 3.LI.