1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at lægge kræfterne i og træde i pedalerne. Kører man i stedet i bil, har man ikke selv umiddelbart fornemmelsen af, at man skal bruge kræfter. I stedet leveres de nødvendige kræfter af bilens motor. Skal man slå et søm i en væg, må man påvirke sømmet med en vis kraft for at få det ind i væggen. Det gøres nemmest ved hjælp af en hammer og nogle armkræfter. Vi ved også af erfaring, at hvis man kaster en bold op i luften, stiger den kun til en vis højde, hvorefter den falder ned igen. Vi siger at det skyldes tyngdekraftens træk i bolden. Tyngdekraftens virkning på alle legemer på Jordens overflade er blot et enkelt eksempel på den type af kræfter, der findes mange andre steder, og som kaldes massetiltræknings-kræfter eller gravitationskræfter. Der findes også andre typer af kræfter. For eksempel virker der mellem elektriske ladninger kræfter, som er enten tiltrækkende eller frastødende alt efter hvilke fortegn de elektriske ladninger har. Og mellem magnetiske poler virker der kræfter, som også er enten tiltrækkende eller frastødende afhængigt af magnetpolernes type. Hvis man lægger en sten på et bord bøjer bordpladen sig lidt nedad, så der kommer en kraft fra bordpladen opad på stenen netop så stor, at tyngdekraften nedad på stenen ophæves, og stenen derfor ligger stille. Sådan en kraft kaldes en kontakt-kraft eller normalkraft, fordi den altid er normal dvs. vinkelret på overfladen (bordpladen). Vi møder også friktionskræfter eller gnidningskræfter, som modvirker bevægelse eller forsøg på bevægelse. 2. Gravitationskræfter I dette kapitel vil vi specielt se på massetiltrækningskræfter eller gravitationskræfter, som de også kaldes, og vi vil med udgangspunkt i denne type af kræfter nå frem til nogle generelle resultater, som også gælder for andre typer af kræfter. En af de ting i fysikken, som stadigt står som noget helt uforklarligt og gådefuldt, er det fænomen, at alle ting, der har en masse, dvs. vejer noget, påvirker hinanden med tiltrækkende kræfter. Ved at udføre forsøg og foretage observationer og målinger kan man finde ud af, hvilke regler der gælder for f.eks. størrelsen af disse kræfter, men man har ikke i dag nogen egentlig forklaring på, hvorfor de overhovedet eksisterer. Det har muligvis noget at gøre med udveksling af eksotiske partikler, såkaldte gravitoner, men foreløbigt er disse ikke blevet påvist.
2 Vi kender fra dagligdagen udmærket til eksistensen af disse kræfter. Det er dem, der sørger for, at Jorden holdes i den næsten cirkulære bane omkring Solen, som den gennemløber i løbet af et år. Og det er sådanne kræfter, der sørger for, at Månen holdes i sin bane omkring Jorden, som den gennemløber i løbet af 28 dage. Det er også sådanne kræfter, der forårsager, at man falder ned på gulvet igen, hvis man hopper op i vejret, og at man falder ned i svømmebassinet, hvis man springer ud fra timeter-vippen. Vi har indtil videre ikke nogen helt klar definition på, hvad en kraft egentlig er, men vi kan se virkningen, nemlig at en genstand ændrer sin fart eller retning eller form. Kraften måles i det følgende i en enhed, der kaldes Newton og betegnes med N. I klasseværelset måler vi ofte kræfter med dynamometre, også kaldet newtonmetre. På figur 2.1 er der to legemer a og b med masserne henholdsvis m a og m b, der er anbragt i afstanden r fra hinanden. figur 2.1 Det viser sig, at sådanne to legemer påvirker hinanden med kræfter, der er lige store og modsat rettede. På fig. 2.1 er F den kraft, som legemet b påvirker legemet a med, og F a er den kraft, b som legemet a påvirker legemet b med. Disse to kræfter er indtegnet på figuren som to pile, hvis længde angiver kraftens størrelse, og hvis retning angiver kraftens retning. Det ses af figuren, at de to kræfter er lige store og modsat rettede. Dette sidste er iøvrigt et resultat, der gælder helt generelt for kræfter i fysikken, og som er fundet af Newton. Reglen kaldes Newtons 3. lov, og kan formuleres således: (2.1) Newtons 3. lov To legemer påvirker altid hinanden med lige store og modsat rettede kræfter. Det viser sig at de to lige store kræfter, som vi i det følgende blot vil kalde F kan udtrykkes ved formlen: (2.2) hvor G er den såkaldte gravitationskonstant.
3 Størrelsen af G kan bestemmes ved et forsøg, hvor man anbringer to legemer med kendte masser i en kendt afstand og så måler den kraft, de to legemer påvirker hinanden med. Hvis masserne måles i kg (kilogram) og afstanden i m (meter) finder man, at (2.3) G = 0,000000000066720 eller i det der hedder eksponentiel notation (scientific notation). For legemer, der befinder sig på Jordens overflade, gælder, at den altdominerende massetiltrækningskraft på dem, er den, der kommer fra Jorden (jordkloden).
4 Øvelse 2.1 Udregn størrelsen af den massetiltrækningskraft F 1, der virker mellem to legemer, der hver vejer 100 kg, og som befinder sig i en indbyrdes afstand af 2 m. Opskriv det udtryk, der skal benyttes til beregningen med tallene indsat samt resultatet her: Øvelse 2.2 F 1 = F 1 = N Udregn størrelsen af den massetiltrækningskraft F 2, der virker mellem en kugle på 100 kg og Jorden. Kuglen ligger på Jordens overflade. De to legemers afstand er afstanden mellem deres centre. Jordens radius er 6365 km og dens masse er 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg = 6*10 24 kg. Opskriv det udtryk, der skal benyttes til beregningen med tallene indsat samt resultatet her: F 2 = F 2 = N Angiv, hvor mange gange F 2 er større end F 1 her: F 2 = *F 1 Vi vil nu se på, hvilken rolle kræfter spiller for den måde, et legeme bevæger sig på. Vi vil i høj grad her støtte os til almindelig sund fornuft og gennemføre en del ræsonnementer ved hjælp af tankeeksperimenter. figur 2.2
5 På figur 2.2 ligger et legeme L på et bord. Da legemet ligger stille, er det rimeligt at sige, at det ikke er påvirket af kræfter, da det ellers ville bevæge sig. Det er dog mere rigtigt at sige, at det godt nok er påvirket af nogle kræfter, men at de netop ophæver hinanden, derfor bliver legemet liggende. Legemet er selvfølgelig påvirket at tyngdekraften F t (massetiltrækningen fra Jorden). Hvis bordet ikke var der, ville legemet falde nedad. Men når nu legemet bliver liggende på bordet, skyldes det, at bordet påvirker legemet med en opadrettet kraft F b, der netop er lige så stor som tyngdekraften, men altså modsatrettet. De to kræfter er indtegnet på fig 2.2. De to kræfter ophæver netop hinanden, så den samlede kraft på legemet er lig med 0. Derfor ligger det stille. Ifølge Newtons 3. lov i ligning (2.1) må legemet iøvrigt påvirke bordet med en kraft F l, der er rettet nedad og er lige så stor som F b. Denne kraftpåvirkning på bordet laver en lille fordybning i bordet, hvorved der opstår elastiske spændinger, der skaber kraften F b. En forudsætning for, at legemet ikke falder ned, er altså, at bordet kan skabe denne elastiske spænding. Kan det ikke det, bliver der hul i bordet og legemet falder på gulvet. Det samme er tilfældet, når en person står på en fortovsflise. Personen påvirker flisen med en nedadrettet kraft, de elastiske spændinger i flisen etablerer en lige så stor og modsatrettet kraft opad. Derfor kan man gå og stå på en fortovsflise. Men en vandoverflade kan ikke klare dette, derfor kan man ikke gå på vandet. Af det foregående konkluderer vi: (2.4) Den samlede kraft på et legeme, der ligger stille, er lig med 0. På figur 2.3 betragter vi nu et legeme, der bevæger sig mod højre med en fart på 5 m/sek henad en uendelig glat isflade. Når isfladen er glat, virker den ikke bremsende på legemet, og det lyder vel også rimeligt at antage, at isen ikke øger legemets fart. Det vil derfor fortsætte med den konstante fart hele tiden figur 2.3 Legemet er i denne situation ikke påvirket af kræfter, der kan øge eller mindske farten. Men det er selvfølgeligt påvirket af tyngdekraften, der ophæves af en opadrettet kraft fra isens overflade (ellers falder legemet gennem isen). Den samlede kraft på legemet er altså 0, og legemet bevæger sig med konstant fart. Dette resultat kan udtrykkes i en almengyldig fysisk lov, der første gang er formuleret af Newton. Den kaldes Newtons 1. lov.
6 (2.5) Newtons 1. lov Et legeme, der ikke er påvirket af kræfter, eller hvor den samlede kraft er 0, vil bevæge sig retlinet med konstant fart. (Farten kan evt. være 0, så legemet ligger stille) 3. Tyngdekraften Vi kalder den gravitationskraft som virker på alle genstande her på jordoverfladen for tyngdekraften. Eksperiment:
7 Grafen skulle gerne vise sig at blive en ret linie igennem (0,0), og så siger vi, at vi har en proportionalitet. I en matematiktime ville vi sige, at y var proportional med x, og vi ville skrive y = a * x men her har vi m i stedet for x og vi har F t i stedet for y, så vi skriver F t = g * m Hvor vi kalder hældningen (stigningstallet) for g. Dette er den såkaldte tyngdeacceleration, som her omkring er 9,82 N/kg, men vi plejer at bruge den tilnærmede værdi: g = 10 N/kg. (2,6) Tyngdekraften F t = m * g hvor g ~ 10 N/kg 4. Gnidningskræfter (ekstra) Man kan synes det er irriterende med luftmodstand og anden gnidningsmodstand når man er ude at cykle, men gnidningskræfter eller friktionskræfter kan aldrig helt undgås i praksis. Faktisk ville en lang række af vore daglige gøremål være umulige uden gnidning. Tænk bare på hvor galt det kan gå den første vinterdag med is på veje og fortov. Hvor stor en gnidningskraft er, kan vi måle med et dynamometer hvormed vi forsøger at trække genstande hen over en vandret flade. Vi taler om to slags gnidning: Når vi trækker i genstanden, og den netop ikke bevæger sig, kalder vi det statisk gnidning og når vi trækker i genstanden, og den bevæger sig med konstant hastighed, kalder vi det dynamisk gnidning.
8 Gnidningskræfter afhænger i høj grad af hvilke materialer, der er i kontakt med hinanden, men sjovt nok næsten ikke af hvor store kontaktfladerne er og hvilken form de har. Derimod viser det sig, at gnidningskraften F g stort set er proportional med den kraft, som de to kontaktflader presses mod hinanden med F n : Jo større kontakt-kraft (normal-kraft), jo større friktionskraft. Når vi har med statisk gnidning at gøre altså når genstanden står fast på underlaget uden at flytte sig selv om vi trækker i den med en kraft, så er den statiske gnidningskraft lige så stor som den kraft som vi trækker med. Det er netop fordi de ophæver hinanden, at genstanden ikke bevæger sig. Og det er sådan, vi kan måle den. Den statiske gnidningskraft er større eller mindre i takt med at vi trækker i genstanden (uden den bevæger sig) med en større eller mindre kraft. Den statiske gnidningskraft har sin største værdi når vi trækker med en stadig større kraft lige inden genstanden smutter og giver sig til at flytte sig. Denne maximale gnidningskraft kalder vi F g,max og det er den vi afsætter som F g i en (F n,f g )-graf. Proportionalitetskonstanten, altså stigningstallet, hvis man laver en (F n,f g )-graf kaldes gnidningskoefficienten: µ for den dynamiske gnidningskoefficient, og µ s for den statiske. Vi har altså: (2,7) Gnidning mellem to flader: Dynamisk gnidning: Statisk gnidning: F g = µ * F n F g,max = µ s * F n Hvor F n er kontakt-kraften (normalkraften), F g er gnidningskraften og µ og µ s hhv. den dynamiske og den statiske gnidningskoefficient. Eksperiment: Find en række dynamiske og statiske gnidningskoefficienter.
9 5. Kræfternes parallelogram (ekstra) Man kan lave forsøgsopstillinger i lighed med denne, hvis man vil undersøge hvordan kræfter der ikke er parallele skal lægges sammen: Sådan lægges kræfter sammen. I nogle situationer kan det være en ide at gå den anden vej, dvs. at opløse en kraft i to komponenter, hvis sum er lig med den oprindelige kraft. Skal man opløse en kraft efter to givne retninger, kan man lave denne konstruktion: Punktet i midten bevæger sig ikke, så derfor må summen af alle kræfterne (den resulterende kraft) være lig nul. Det er altså ikke nok at se på hvor store kræfterne er, man skal også tage deres retninger med i betragtning. Det er derfor vi har talt om kraftpile, men det korrekte matematiske udtryk er, at kræfter er vektorer (og ikke bare tal, som kaldes skalarer). Vektorer og altså kræfter lægges sammen v.hj.a. et parallelogram: Man finder den resulterende kraft (summen af vektorerne) som diagonalen i det parallelogram, der udspændes af de to kræfter (vektorer). Hvis der er flere kræfter, kan man finde den resulterende kraft ved først at finde summen af to tilfældige kræfter og så lægge den næste til denne sum osv. Rækkefølgen er altså ligegyldig.
10 OPGAVEARK Konstruer i hvert tilfælde den resulterende kraft og find dens størrelse, idet en tern svarer til 5 N Nedenfor ser du nogle fysiske situationer. I hvert tilfælde kender man en kraft. Find to retninger, som du mener har særlig betydning i den enkelte situation, og opløs kraften efter disse retninger: