Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det enkelte fænomen men også for at kunne komme med et kvalificeret bud på udviklingen i en nærmere eller fjernere fremtid. Hvordan bliver vejret? For eksempel beskæftiger meteorologer sig med vejrfænomener og undersøger hvordan lufttryk, temperatur, vindhastighed mm. afhænger af hinanden og påvirker hinanden. Disse sammenhænge kan ofte beskrives med matematiske modeller. Og disse modeller kan så bruges til at lave vejrprognoser: hvordan bliver vejret i morgen? får vi hvid jul i år? Hvor meget betaler jeg i skat? Et andet eksempel som også har almen interesse, er fænomenet skat. Hvilken sammenhæng er der mellem min løn og hvor meget jeg betaler i skat? Kan det betale sig for mig at indbetale mere til min pensionsordning? Hvilken indflydelse får det på min skattebetaling hvis jeg bliver gift/skilt/arbejdsløs eller min løn stiger med 6000 kr pr. år? Reglerne i skatteloven kan godt bruges til at beregne min skat nøjagtigt i dag og i den nærmeste fremtid men forudsigelserne om, hvilke konsekvenser en øget pensionsindbetaling får for min pension 20-30 år ud i fremtiden, er noget mere usikre. Det afhænger bl.a. af hvilke love og regler der gælder til den tid. Både i eksemplet med vejret og i skatteeksemplet er de indre sammenhænge nogenlunde velkendte. Meteorologerne kender godt de naturlove der styrer vejret og skattereglerne er beskrevet i skatteloven. Ofte er vi dog i den situation at vi ikke kender reglerne, måske ved vi ikke engang om der i det hele taget eksisterer regler 1. Hvis der findes måledata for fænomenet, kan man undersøge om de passer nogenlunde med nogle kendte simple modeller. Hvis f.eks. måledataene kan plottes i et koordinatsystem, kan vi konstatere om de næsten ligger på en ret linie - og altså med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær model. Antal SMS er Vi vil nu undersøge om antallet af sendte sms er i Danmark kan beskrives med en simpel matematisk model (lineær-, eksponentiel- eller potens-funktion). Vi vil vise hvordan Excel kan bruges som værktøj til at tegne punkterne ind i et passende koordinatsystem og tegne den bedste rette linje gennem alle punkterne. På de næste 6 sider præsenteres følgende arbejdsgang: 1. Indtaste nogle måledata i Excel (side 2) 2. Tegne et xy diagram over sammenhængen (side 2) 3. Tilføje en tendenslinje (bedste rette linje) (side 4) 4. Få Excel til at bestemme den regneforskrift der passer til tendenslinjen (side 6) 5. Lave en prognose (side 7) 1 Mange har forgæves søgt at finde regler der kan forudsige aktiekursernes udvikling Caja Schmidt - 1 -
Vi vil bruge nedenstående data som eksempel (Kilde: Teleårbogen udgivet af It- og Telestyrelsen). Tabellen viser udviklingen i antal sendte sms-beskeder i Danmark År 2000 2001 2002 2003 2004 Antal sendte SMS er (mio) 753 1334 2019 3989 6555 (Kilde: www.si.dk) 1) Indtast data i Excel regneark Der er to variable i dette eksempel: Årstallet og antal sendte sms er. Overvej at det er mest hensigtsmæssigt at lade årstallet være den uafhængige variabel og antal sms er den afhængige variabel. Da det er upraktisk at regne med årstal, lader vi x betegne antal år efter år 2000. Variablen y skal da betegne antallet af sms er regnet i millioner. Opbyg et regneark med passende overskrifter, variabelforklaringer mm. som vist nedenfor. 2) Tegn et XY diagram over sammenhængen Nu skal du plotte punkterne ind i et koordinatsystem. I Excel svarer det til at lave et xy diagram. a. Start med at markere hele tabellen inkl. kolonneoverskrifterne. I eksemplet ovenfor betyder det at cellerne A6 til og med B11 markeres. b. Tryk så på diagram-ikonet (eller vælg Indsæt Diagram ) Caja Schmidt - 2 -
c. Nu fremkommer en dialogboks, her skal du vælge diagramtypen XY-punkt og første undertype. Klik så på knappen Næste. (1) Vælg Diagramtype XY-punkt (2) Og denne undertype (3) Klik på Næste d. I næste dialogboks skal du ikke indstille noget. Klik på knappen Næste. e. Så fremkommer en dialogboks med et antal faneblade. Vælg fanebladet Titler. Her skal du skrive titel på diagrammet og på hver af akserne. Klik så på fanebladet Forklaring. (1) Vælg fanebladet Titler (3) Vælg fanebladet Forklaring (2) Skriv den overordnede titel til diagrammet i først felt Skriv titler på akserne i de næste to felter Caja Schmidt - 3 -
f. Her skal du fjerne markeringen i Vis forklaring og dernæst klikke på Udfør. (1) Fjern hakket i Vis forklaring. (2) Klik på Udfør Nu bliver diagrammet indsat i regnearket. 3) Tilføj tendenslinje, dvs tegn den bedste rette linje. Nu skal vi forsøge at finde en matematisk model, der passer nogenlunde på data. En af de simpleste modeller er de lineære funktioner. Men vores data ser ikke ud til at passe med en lineær sammenhæng (hvorfor ikke?) Så kan vi overveje en eksponentiel model. Hvis vi kikker på diagrammet, så kunne det godt ligne eksponentiel vækst. Det er imidlertid svært at genkende eksponentiel vækst i et almindeligt koordinatsystem i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem er det meget lettere. Grafen for en eksponentiel funktion er altid en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. a. Vi starter med at formatere y-aksen, så den bliver logaritmisk (koordinatsystemet bliver på den måde enkeltlogaritmisk) Klik på y-aksen for at markere den og klik så på højre museknap. Vælg Formater akse (1) Højreklik på y-aksen og vælg Formater akse Caja Schmidt - 4 -
Der fremkommer en dialogboks med flere faneblade til redigering af y-aksen. Vælg fanebladet Skala. Sæt flueben i Logaritmisk skala og klik OK. Nu er datapunkterne tegnet ind i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Det ser ud til at de næsten ligger på en ret linje, dvs. data kan beskrives med en eksponentiel model. Næste skridt bliver at tegne den bedste rette linje gennem punkterne. b. I Excel kaldes den bedste rette linje for tendenslinje. Højreklik på et af datapunkterne, så fremkommer en menu, hvor du skal vælge Tilføj tendenslinje (1) Vælg fanebladet Type (2) Vælg typen Eksponentiel (i andre eksempler kunne det være Lineær eller Potens) (3) Klik på OK Caja Schmidt - 5 -
c. Så er der tegnet en tendenslinje gennem datapunkterne. Linjen er beregnet i Excel så det er den linje, som ligger tættest på alle datapunkter. 4) Bestem regneforskriften for tendenslinjen Excel kan give os regneforskriften for den funktion, der svarer til tendenslinjen. a. Højreklik på tendenslinjen og vælg Formater tendenslinje b. I den dialogboks, der dukker op skal du vælge fanebladet Indstillinger. (Senere kan du undersøge de to andre faneblade, her kan du skifte til andre matematiske modeller som fx lineær eller potens funktion) (1) Vælg fanebladet Indstillinger. (2) Prognose: Forlæng tendenslinjen fremad og bagud. Fx 2 enheder. (3) Sæt flueben i Vis ligning i diagram for at få vist forskriften. (4) Klik OK Caja Schmidt - 6 -
Nu ser diagrammet ca. sådan ud: c. Regneforskriften kan trækkes rundt med musen, så den kan placeres mest hensigtsmæssigt. x Læg mærke til at regneforskriften ikke skrives på formen y= b a men som: y 0,5423x = 747,91 e, det skyldes at Excel bruger en repræsentation med den naturlige eksponentialfunktion 2. Bogstavet e står for et ganske bestemt tal (ligesom л) nemlig e = 2,71828. Tallet e er indbygget i de fleste lommeregnere. Hvad er konstanterne a og b? Ved hjælp af potensregnereglerne kan regneforskriften skrives om: 0,5423 x x ( e ) = 747,91 1, 0,5423x y= 747,91 e = 747,91 720 Begyndelsesværdien b aflæses umiddelbart: b = 747,91 Fremskrivningsfaktoren a beregnes af: 0,5423 a =e = 1, 720 (brug lommeregnerfunktionen e x ) DVS: Regneforskriften er y= 747,91 1, 720 5) Prognose Når vi har regneforskriften, så kan vi lave en prognose. Dvs. et kvalificeret gæt på hvordan antallet af sms er udvikler sig fremover. Fx kan vi give et bud på hvor mange sms er der vil blive sendt i 2005: Sæt x = 5 og beregn y: y = 747,91 1,720 5 = 11259 Hvis udviklingen fortsætter på samme måde, så vil der blive sendt 11 259 mio. sms er i 2005. Altså over 11 milliarder! Det svarer til at hver dansker i gennemsnit sender over 6 sms er hver dag. Har du et bud på det samlede antal sms er i 2006? og i 2012? x 2 Den naturlige eksponentialfunktion: y = e x behandles på matematik B-niveau. Caja Schmidt - 7 -