Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstrktioner, 5 (Jernbetonplader) Virkemåde / dformninger / nderstøtninger Enkeltspændte plader Dobbeltspændte plader Deformationsberegninger 1 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Plade / skivevirkning Enkeltspændt plade kan regnes Som en bred bjælke Kan regnes som en bred søjle 1
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Udformning af betonplader 3 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Ofte laves plader som forspændte hldæk 4
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Forskellige nderstøtningsforhold 5 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Typer af nderstøtninger Fri rand Simpel nderstøtning Indspænding 6 3
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Enkelt/dobbeltspændte plader 7 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Armeringsnet i plader 8 4
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Enkeltspændte plader En enkeltspændt plade kan regnes som en 1 m bred bjælke! 9 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Hovedarmering/fordelingsarmering: 10 5
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Snitkraftforløb vha. nedreværdisætningen 11 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Eksempel 1, jernbetondæk 1 6
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Belastning (karakteristisk): Permanent last (Egenlast) : g k 6,0 kn/m Variabel last (Nyttelast) : q k 3,0 kn/m Belastning (regningsmæssig): Maksimallast : p d,max 6,0 1,0 + 3,0 1,3 9,9 kn/m Minimallast : p d,min 6,0 1,0 6,0 kn/m Der betragtes en 1 m bred og 0, m høj bjælke, hvor: f 5 /1,65 15, MPa f cd yd 410 /1,30 315 MPa 13 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Statisk system og maksimal belastning pr. breddeenhed af pladen: 9,9 kn/m Elastisk momentfordeling med et tværsnit på 0. m 1.0 m: 30,9 knm/m 17,3 knm/m 17,3 knm/m 14 7
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Vha. nedreværdisætningen vælges indspændingsmomentet mellem: 1 3 m el m m i el Da m el 30,9 knm/m vælges m i til 0 knm/m Der indlægges Charniers ved mellemnderstøtningen og indspændingsmomentet påføres som ydre last (metoden fra gang 3) 15 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Tilfældet med maksimal last i venstre fag og minimal last i højre fag, giver største nmeriske momenter og størst afstand med negativt moment. 9,9 kn/m 0 knm/m 6,0 kn/m 0 knm/m Momentfordeling: 0 knm/m 1,9 knm/m 10,0 knm/m 16 8
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Valg af armering: Områder med oversidearmering: 17 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Brdmoment af tværsnit (positivt moment): 18 9
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Armeringsareal pr. 1 m plade: A s π 10 / 0,180 436 mm /m 4 Trækkraft i armeringen (normaltarmeret tværsnit antages): T d As f yd 436 315 137,5 kn/m Trykkraft i betonen: Cd 0,8b x fcd 0,8 1000 x 15, 1160 x Vandret ligevægt: C d T d x 11 mm Kontrol af antagelse om normaltarmeret tværsnit: ε ε s c d x 180 11 f yd 315 0,0035 0,054 > ε 0,001 5 11 1,54 10 y x E sd ok! 19 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Brdmoment (positivt moment): m T ( d 0,4 x) 137.500 (180 0,4 11) 4,1 knm/m Rd d Da det maksimale positive moment i bjælken er 1,9 knm/m kan dette optages! Brdmomentet for et negativt moment fås ved en tilsvarende beregning til: 1,8 knm/m m Rd Dette moment kan optages da momentet fra belastningen er 0 knm/m! 0 10
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Dobbeltspændte plader 1 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Først betragtes en enkeltspændt plade 11
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Kinematisk mlig mekanisme (øvreværdisætning) 3 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Arbejdsligningen Indre arbejde: W int 4 m θ m θ ' m m L / L Ydre arbejde: L Wext p p L Indre arbejde ydre arbejde: W W m int ext 1 p L 8 Dette er den eksakte momentfordeling for den statisk bestemte konstrktion, generelt er løsningen dog på den 4 sikre side! 1
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Dobbeltspændt plade Der skønnes en brdfigr, hvorefter W int W ext giver m 5 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Det indre arbejde kan findes ved at smmere bidrag fra de enkelte pladedele, idet kn momentvektorer parallelt med pladens drejningsakse bidrager: W int ' m m θ ds 4θ l ' 4θ m l 4 m l 8m l / ydre arbejde: 1 Wext p, i i 4 ( p l )( ) 4 3 1 3 p l Indre arbejde ydre arbejde: W W m int ext 1 p l 4 6 13
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Eksempel p 0 kn/m m 1 4 0 5 0,8 knm/m Armeringen vælges, sådan at m kan optages: 7 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Armeringsareal pr. 1 m plade: A s Trækkraft i armeringen (normaltarmeret tværsnit antages): T π 10 / 0, 393 mm /m 4 d As f yd 393 385 151,3 kn/m Trykkraft i betonen: Cd 0,8b x fcd 0,8 1000 x 18, 14560 x Vandret ligevægt: C d T x 10 mm d Kontrol af antagelse om normaltarmeret tværsnit: d x 155 10 f yd 385 ε 0,0035 0,051 > 0,005 5 10 1,54 10 s ε c ε y x E Brdmoment: m Rd T ( d 0,4 x) 151.300 (155 0,4 10),8 knm/m d sd 8 ok! 14
15 9 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Eksempel 3 30 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Pladedel 1 Indre arbejde: Ydre arbejde: m l l m s m W int 3 3 / ' 1, θ l p p l p l W ext,1 4 5 3 1 +
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Pladedel 3 Indre arbejde: ' Wint, 3 m θ s m l m l / Ydre arbejde: 1 l Wext,3 l p 3 1 1 p l 31 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Samlet indre arbejde: Wint Wint, 1 + Wint, 3 (3m + m ) 10m Samlet ydre arbejde: 5 1 Wext Wext,1 + Wext,3 p l + p l 4 1 7 1 p l Indre arbejde ydre arbejde: W W m int ext 7 10 p l 3 16
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Isotropt / anisotropt armerede plader a m m, x, y Pladen regnes som ens armeret (isotrop) vha. at mltiplicere længden i x-retningen med a 33 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Indspændte plader Der dannes flydelinjer langs de indspændte rande, og disse medregnes i det indre arbejde 34 17
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Deformationsberegninger af plader Pladen regnes på den sikre side fldt revnet Elasticitetsteorien anvendes til bestemmelse af nedbøjninger, idet det revnede transformerede tværsnit anvendes Det revnede tværsnit skal bestemmes både for positive og negative momenter Beregningerne forløber parallelt som for bjælker 35 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Eksempel, fortsat Transformeret, revnet tværsnit Transformeret areal: A r tr, 1000 x + 8 393 1000 x + 3144 mm Statisk moment om z 1 (overkant): 1 3 S r, tr 1000 x + 8 393 155 500 x + 48730 mm 36 18
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Tyngdepnkt, x η G, ved ren bøjning: x η G 500 x + 3144 x 48730 0 x 8, mm 500 x + 48730 1000 x + 3144 Inertimoment: 1 3 7 4 I zr, tr 1 1000 8, + 1000 8, (0,5 8,) + 8 393 (155 8,) 5,80 10 mm Ækvivalent pladetykkelse I zr 7 1 3, tr 5,80 10 1000 teq teq 89 mm 1 37 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Elastisk beregning vha. FEM program med karakteristisk last q 15 kn/m Maksimal dbøjning fås til 3 mm 38 19
Christian Frier Aalborg Universitet 006 De vigtigste pointer! Skiver og plader er todimensionelle konstrktioner En skive optager last i skivens plan, en plade optager last på tværs af pladens plan Enkeltspændte plader kan regnes som bjælker Dobbeltspændte plader kan regnes vha. brdlinjeteori Deformationsberegninger kan på den sikre side foretages vha. revnet tværsnit 39 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Opgave 7 3.5 m 5 m 5 m Vi vil betragte følgende kontorbygning 40 0
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Spørgsmål Dækelementerne dføres som simpelt nderstøttede 0, m tykke enkeltspændte plader. Find det nødvendige armeringsareal, idet den regningsmæssige last på dækket er på g + 1.3q, hvor: g 0, m 447 kg/m 3 9,8 m/s 4,8 kn/m q 3 kn/m Fastsæt en armeringsføring af hovedarmeringen, idet der regnes med f cd 18, MPa, f yd 385 MPa og E sd 1,54 10 5 MPa Bestem pladens nedbøjning i anvendelsestilstanden, hvor den karakteristiske last er g + q, idet der anvendes α 8 og E sk 10 5 MPa Alternativt tænkes der også indbygget bjælker på langs af bygningens gavle, således at pladerne bliver dobbeltspændte på 5 x 5 m. Bestem i dette tilfælde den nødvendige armeringsføring. Lasterne er ændrede. Vrder forskellen på de to pladetyper. 41 1