3.3 Andre spørgsmål... 12

e k s ame nso p g av e r

Contents Første spørgsmål. Opgave 4.3........................................ E-feltet udenfor et dielektrikum......................... E-feltet indeni et dielektrikum....................... 3..3 Springet i det elektriske felt stemmer med grænsebetingelserne for E- og D-felterne................................. 4. Andre spørgsmål................................... 4.. Elektrisk dipolmoment............................ 4.. Polarisation.................................. 4..3 Polarisationsladninger............................ 4..4 Sammenhængen mellem E- og D-feltet................... 4 Andet spørgsmål 5. Opgave 6....................................... 5.. Gauss område 3............................... 6.. Gauss område............................... 6..3 Gauss område............................... 7..4 Energi forskellen............................... 7 3 Tredje spørgsmål 9 3. Opgave 7.0...................................... 9 3. Opgave 7.7...................................... 3.3 Andre spørgsmål................................... 3.3. Elektrisk kredsløb.............................. 3.3. Konstante strømme............................. 3.3.3 Kirchoff s lov................................. 3.3.4 Ohm s lov................................... 4 Fjerde spørgsmål 3 4. Opgave 3.5...................................... 3 4.. Beregn Z.................................. 4 4.. Find den approximerede værdi for Z når: høj ω, lav ω og resonans af systemet. Hvor R altid er høj........................ 5 4..3 Skitser en graf for Z som funktion af ω.................. 6 4. Sammenhængen mellem komplekse og reelle strømme og spændinger...... 7 3

4 CONTENTS 5 Femte spørgsmål 9 5. Opgave 8.7...................................... 9 5.. Hvad er det magnetiske dipolmoment for opgave 8.7........... 0 6 Sjette spørgsmål 6. Opgave 8.3...................................... 6.. Vis gennem direkte differention af eq. (8-6) at A = 0........ 6.. Vis at A + ψ også er et vektor potentiale for det samme B-felt som for A...................................... 6..3 Vis ved at vælge en passende ψ at vektorpotentialets divergens kan antage alle værdier.............................. 3 7 Syvende spørgsmål 5 7. Opgave 9....................................... 5 7.. Find magnetitionens strømtæthederne J m og j m............. 5 7.. Sammenlign strømfordelingen med det for en spole............ 6 7. Opgave 9.7...................................... 6 7.. Bestem det magnetiske skalarpotentiale φ på koordinatsystemets z- akse, både indenfor og udenfor magneten................. 6 7.. Brug resultatet fra forrige underopgave til at bestemme B-feltet på z-aksen 8 7.3 Andre spørgsmål................................... 8 7.3. Magnetisk skalarpotentiale......................... 8 7.3. Magnetiskestrømme............................. 8 8 Ottende spørgsmål 9 8. Opgave 9....................................... 9 8.. Beregn den magnetiske induktion (B) inden i cylinderen......... 9 8.. Skitser induktions linjerne gennem cylinderen............... 33 9 Niende spørgsmål 35 9. Opgave....................................... 35 9. Opgave.3..................................... 36 9.3 Definitionen af det elektriske felt i det tidsafhængige tilfælde.......... 37 0 Tiende spørgsmål 39 0. Opgave 6.3..................................... 39 0.. Maxwell................................... 39 0.. Maxwell................................... 40 0..3 Maxwell 3................................... 40 0..4 Maxwell 4................................... 40 0. Forskydningsstrøm.................................. 4 Ellevte spørgsmål 43. Opgave 6.7...................................... 43.. Hvad er det magnetiske felt, B....................... 43.. Bestem Poynting-vektoren......................... 44. Andre spørgsmål................................... 45

CONTENTS 5.. Vis at felterne er løsningen til bølgeligningen............... 45.. Hvad er frekvensen og bølgelængden for den plane bølge i opgaven... 45 Tolvte spørgsmål 47. Opgave 4.8...................................... 47.. E-feltet i kaviteten.............................. 50.. Udvidelse af løsningsmetoden........................ 50 3 Definitioner og andre nice ting 5 3. F........................................... 5 3. ρ............................................ 5 3.3 σ............................................ 5 3.4 E............................................ 5 3.5 φ............................................ 5 3.6 Gauss law....................................... 5

Chapter Første spørgsmål I denne opgave tales der om polarisation, hvilket beskrives genem en opgave. Desuden skal der forklares elektrisk dipolmoment, polarisation, polarisationsladninger og sammenhængen mellem E- og D-feltet.. Opgave 4.3 En dielektriske stang, der er udformet som en solid cylinder med længden L og radius R, har en polarisering i retningen af stangens længde (z-aksen). Hvis polerationen, P, er uniform gennem hele stangen beregn da det elektriske felt ved aksen. Figure.: En solid stang med længde L eller L, radius R og polarisering P = P ẑ langs z-aksen. Origo for koordinat systemet er ved stangens halve længde... E-feltet udenfor et dielektrikum Endefladerne er det eneste der bliver polariseret da polarisationen er uniformt gennem hele stangen langs dens center akse. De to flader bliver beskrevet S og S, og disse er givet ved: S er beskrevet ved r = zẑ for retningen og r = Lẑ + r ˆr, som beskriver fladen. r ˆr er en radial vektor som er beskrevet mellem 0 og R.

CHAPTER. FØRSTE SPØRGSMÅL S er beskrevet ved r = zẑ for retningen og r = Lẑ + r ˆr, som beskriver fladen.r ˆr er en radial vektor som er beskrevet mellem 0 og R. Potentialet, φ, for et polariseret materiale er givet ved formel (4-7) på side 00 i EM bogen. φ diel = P (r )(r r ) 4πɛ 0 r r 3 dv = ( 4πɛ 0 S Hvor følgende gælder for σ P og ρ P : σ P = P ˆn, ρ P = P Benytter man dette med det man kender får man: σ P r r 3 da + V φ diel = P (r )(r r ) 4πɛ 0 r r 3 dv φ diel = ( P ˆn 4πɛ 0 S r r da + V ) ρ P r r 3 dv P (r ) ) r r dv Hvor P ˆn er overflade-polarisations-ladningstætheden og P er volumen-polarisationsladningstætheden. Side 00 til 0i EM bogen forklare omskrivningen der er gjort. Da P er konstant i z-aksens retning gælder det at P = 0, dette medfører at volumenintegralet og φ diel bliver til: φ diel = ( P ˆn(r r ) ) 4πɛ 0 S r r 3 da Hvis man tager minus gradient mærke til φ får man E-feltet. E = φ diel = ( P ˆn (r r ) 4πɛ 0 S r r 3 da P ˆn (r r ) ) + S r r 3 da Hvor normalvektor n peger i negatig z-retning. Fortegns knudret kommer af: r r = (r r ) r r 3 Det betyder man blot skal finde hvad P ˆn og r r er for hhv. S og S. For endeflade S gælder: r r = zẑ L ( ẑ + r ˆr = z L ) ẑ r ˆr For endeflade S gælder: P ˆn = P r r = zẑ + L ẑ + r ˆr = ( z + L ) ẑ r ˆr P ˆn = P

.. OPGAVE 4.3 3 Indsætter man nu det man kender i ligningen for E-feltet. får man: E = 4πɛ 0 π R θ=0 r =0 ) ẑ r ˆr ) P (( z L ( (z 3 ) L r ) π R r dr P (( z + L ) ẑ r ˆr ) dθ + ( θ=0 r =0 (z 3 r ) + L r ) dr dθ Da r ˆr integreret for θ fra 0 til π er lig 0, udgår disse led i integralet. P ẑ kan sættes udenfor begge integraler. Integralet for θ er uafhægigt og giver i beggetilfælde π som kan sættes udenfor sammen med P ẑ og da ( z ± L ) er uafhængigt for det er integreres over kan de sættes uden for de respektive integraler. Dette giver: E = P ẑπ 4πɛ 0 ( z L ) R r =0 Regnes disse led ud får man: E(r) = P ẑ ɛ 0 ( z L ( (z L 3 ) r ) ) [ (z L) + r ] R 0 ( r dr + z + L ) R r =0 ( (z + L 3 ) r ) ( + z + L ) [ ] R (z + L) + r 0 ( ) E(r) = P ẑ z + L ɛ 0 (z L) + 4R + z L z L + z + L (z + L) + 4R z + L z + L Dette kan også skrives som: ( E(r) = P ẑ ɛ 0 z + L (z L) + 4R + ) z + L + P ẑ ( ) (z + L) + 4R ɛ 0 r dr ( E ude (r) = P ẑ ɛ 0 z + L (z L) + 4R + ) z + L (z + L) + 4R (.).. E-feltet indeni et dielektrikum ( ) E(r) = P ẑ z + L ɛ 0 (z L) + 4R + z + L + P ẑ ( ) (z + L) + 4R ɛ 0 Dette giver omskrevet: ( E inde = P ẑ ɛ 0 z + L (z L) + 4R + z + L (z + L) + 4R ) P ẑ ɛ 0 (.)

4 CHAPTER. FØRSTE SPØRGSMÅL..3 Springet i det elektriske felt stemmer med grænsebetingelserne for E- og D-felterne Rent matematisk gælder følgende for E-feltet udenfor og indenfor et dielektrisk materiale: D ude = ɛ 0 E ude og D inde = ɛ 0 E inde + P Man ved at en generel grænsebetingelse er at: D n,u D n,i = σ Det antages at σ = 0 fordi materialet er et dielektrika og ikke en leder. Springet i det elektriske felt stemmer med grænsebetingelserne for D n,u = D n,i. Dette kan matematisk vises: = z + L (z L) + 4R + z + L (z + L) + 4R D n,u = ɛ 0P ( ) = P ( ) 4πɛ 0 4π (.3) D n,i = ɛ 0P ( ) ɛ 0P + P = P 4πɛ 0 ɛ 0 4π ( ) P + P = P ( ) 4π (.4) Da D n,u = D n,i er det vist at grænsebetingelserne stemmer overens med springet i E-feltet og dermed D-feltet hen over grænsefladen.. Andre spørgsmål.. Elektrisk dipolmoment Et dipolmoment for to punkter af modsat ladning og palceret l fra hinanden er givet ved: p = ql, se figur -, side 43 i EM bogen. Og formel -35, side 44 i EM bogen... Polarisation Generelt kan polarisation beskrives som dipolmoment per volumen. Anskuelig gjort ved figur 4-, side 99 i EM bogen, og matematisk udtrykt som: P = lim formel 4-, side 98 i EM bogen...3 Polarisationsladninger v 0 Polarisationsladninger kan forklares som den ladning et materiale får når alle ladninger vender den samme vej i materialet, så den ene ende blive positiv og den anden negativ. Se figur 4-, side 99 i EM bogen...4 Sammenhængen mellem E- og D-feltet D-feltet beskrives som et nyt makroskopisk felt vektor D, som hedder den elektriske forskydnings vektor. Denne er givet ved en funktion som afhænger af den elektriske felt vektor E, og ser således ud: D = ɛ 0 E + P. Se formel 4-7, side 07 i EM bogen. p v

Chapter Andet spørgsmål I denne opgave tales der om elektrostatisk energi, hvilket er beskrevet gennem opgave 6... Opgave 6. En kugle som beskrevet i figur. og en punktladning, q, er placeret uendeligt langt fra hinanden. Hvis punktladningen nu flyttes til centrum af kuglen, hvad er da ændringen i energi for systemet. Figure.: Kugle af et dielektriske materiale med inderradius, a, og ydreradius, b. Hvor der er tre Gauss områder, () inden i kuglens kavitet, () i selve det dielektriske materiale og (3) uden for kuglen. I det elektrostatiske tilfælde hvor E = 0 gælder det at φ = 0 derfor kan potentialet φ benyttes, som skal bruges til at finde den elektrostatiske energi U. Man kan ikke som man plejer antage at E-feltet inden i kuglen er 0 da det er et dielektrisk materiale og ikke en leder. 5

6 CHAPTER. ANDET SPØRGSMÅL En måde hvorpå man kan finde ændringen er ved at finde det elektriske potential i alle tre tilfælde og benytte sig af ligningen (6-9) på side 5 i EM bogen: U = q φ (.) For at finde φ benytter man sig af Gauss lov: E ˆndA = Q in (.) ɛ 0.. Gauss område 3 S I det tredje Gauss område er punktladningen q så langt væk at de to kan betragtes seperat, og bidraget fra kuglen kan antages at være neutralt, dette betyder at man får: Q in,3 = q (.3) Dette resultat kan man nu bruges til at først finde E og derefter φ 3. E 3 ˆn = E 3 E 3 da = q E 3 4πr = q q E 3 = S ɛ 0 ɛ 0 4πr ɛ 0 Da E-feltet går i den radiale retning følger den ˆr. Ved at benytte dette samt grænserne gående fra til b kan man bestemme integralet for φ... Gauss område φ 3 = b E 3 dr = b q φ 3 = 4πr ˆr dr = ɛ 0 q 4πɛ 0 b b E 3ˆr dr r dr = q 4πɛ 0 b I kuglen, dvs. inden i den dielektriske skal gælder der at Q in = Q P + q. q er kendt så det er Q P der skal findes først: Q P = P ˆndA S Man ved fra side 07 og 09 i EM bogen at følgende gælder: P = x e E, x E = ɛ 0 (K ). Dette kan nu indsættes og finde Q P. Q P = ɛ 0 (K )E da = ɛ 0 (K )E4πr Dette kan nu bruges til at finde Q in for det andet Gauss område. E-feltet for inde i kuglen kan nu findes. S Q in = ɛ 0 (K )E4πr + q E ˆn = E

.. OPGAVE 6. 7 S E 0 ˆndA = q ɛ 0(K )E4πr E da = q da (K )E4πr E 0 = ɛ 0 S ɛ 0 Dette kan nu indsættes for at finde φ. Her er grænserne mellem a og b. φ = a q φ = b K4πr dr = ɛ 0..3 Gauss område q a b K4πɛ 0 E dr a b r dr = q K4πɛ 0 ( a ) b q K4πr ɛ 0 Inden i kuglen, det antages at ladningen q er fordelt jævnt ud over en Gauss kugle med radius r. Det kan igen antages at Q in = q, denne gang antages det da vi nu befinder os indeni kuglen. Man gør det samme som man gjorde ved den første Gauss område, dog her er grænserne r til a...4 Energi forskellen a φ = r q 4πr ɛ 0 ˆr dr = q 4πɛ 0 ( ) r a Nu kan energi forskellen findes, for når punktladningen er placeret inden i kuglen. Første findes det samlede potentiale: φ tot = φ + φ + φ 3 = q ( 4πɛ 0 r a + Ka Kb + ) b For at φ kan findes skal φ findes først. Dette potentiale regnes over den samme Gauss flade som den sidste Gauss udregning blev lavet over. Nu kan φ findes: φ = q 4πɛ 0 φ = r ( r a + Ka Kb + b q 4πr ɛ 0 ˆr dr = ) q = 4πɛ 0 r q 4πɛ 0 r q 4πɛ 0 Nu kan man sætte ind i formel. og finde energi forskellen. U = q φ = q q ( 4πɛ 0 a + Ka Kb + ) = q b 8πɛ 0 ( a + Ka Kb + ) b (( K ) ( b )) a

8 CHAPTER. ANDET SPØRGSMÅL

Chapter 3 Tredje spørgsmål I denne opgave tales der om elektriske kredsløb, konstante strømme, Kirchhoff s lov og Ohm s lov. Disse emner bliver berørt gennem to opgaver. 3. Opgave 7.0 Opgaven er givet som: En gruppe celler med hvilespænding V 0 og den indre modstand r i er brugt til at forsyne en modstand R. Find strømstykren, hvis de n celler er forbundet med hinanden i serie og parallel og i serie med R. Først skitseres kredsløbene for at danne sig et overblik af hvad der sker, se figur 3. Figure 3.: I det venstre tilfælde sidder alle cellerne i serie. I det højre tilfælde sidder cellerne i parallel. I begge tilfælde er cellerne som enhed forbundet til en modstand R. Om kredsløbene er følgende kendt: Der findes i begge tilfælde n gange en spændingsforskel på V 0. tilfælde kun betragtes som en V 0. Dog skal den højre Der findes i begge tilfælde n gange en indre modstand r i. Der findes i begge tilfælde en modstand, R, der sidder i serie med cellerne som enhed. 9

0 CHAPTER 3. TREDJE SPØRGSMÅL Celler i serie Hvis cellerne er forbundet i serie kan man finde den samlede strøm gennem kredsen ved at benytte sig af Ohm s lov og den samlede resistans for seriekoblede transistore. U = RI R R,R,R 3,...,R n = R + R + R 3 +... + R n Dette kan nu benyttes for at finde R tot og I. nv 0 = (R + r i )I (3.) I = nv 0 (R + r i ) Celler i parallel Hvis cellerne er forbundet i parallel kan man finde den samlede strøm gennem kredsen ved at benytte sig af Ohm s lov og den samlede resistans for parallelkoblede transistore. U = RI R R,R,R 3,...,R n = R + R + R 3 +... + R n Dette kan nu benyttes for at finde R tot som en givet ved en modstand i serie med n modstande i parallel og I. Man skal huske at man kun har en V 0 da når cellerne sidder i serie kan de betragtes som en stor med samme V 0. V 0 = ( R + n r i ) I (3.) I = V 0 ( ) R + r i n

3.. OPGAVE 7.7 3. Opgave 7.7 Opgaven er givet som: To cylindriske skaller af metal med radius r og r er arrangeret om den samme akse. De er holdt fra hinanden med en potentiale forskel på φ. Igen starter man med at skitserer problemet for at anskueliggøre hvad det er man har at gøre med, se figur 3.. Figure 3.: To cylindre inde i hinanden, med radius r og r, hvor man har lagt en Gauss cylindre med radius R mellem de to andre radier. a) Området mellem skallerne er fyldt med et medie med ledningsevnen g. Brug Ohm s lov (J = ge) til at beregne den elektriske strøm mellem to enhedslængder af skallen. Cylindrene antages at være lange, dog ikke uendelig da man har brug for længden l for at kunne beskrive overfladen af cylindrene. Der gælder at: E(r) = E(r)ˆr. Dette kan bruges i sammen hæng med strømmen for at finde E-feltet. I = J ˆndS = ge ˆndS Dette kan nu omskrives for at finde E(r): S S I = ge(r)πrl E(r) = I gπrl Da E = φ kan man nu finde strømmen som funktion af φ, og ligningen kan derfor omskrives til: r I φ = r gπrl dr = I ( ) gπl ln r r Dette kan nu omskrives for at finde I. Når man går udfra enhedslængden l = og man benytter sig af regnereglen ln ( ) ( a b = ln b ) a I l = π φ ( ) I = ln r r π φg ( ) ln r r

CHAPTER 3. TREDJE SPØRGSMÅL b) Hvis området mellem de to skaller nu er fyldt med et isolerende medie med permittiviteten ɛ kan kapasitansen af systemet blive beregnet som C = Q φ. Vis for denne specifikke geometri at produktet af modstanden per enhedslængde og kapacitans per enhedslængde er lig ɛ g. På side 73 i EM bogen er det givet at: I = φ R = g E ˆndS φ Rg = E ˆndS Og man ved at Gauss lov siger at: S Q ɛ = S E ˆndS = C φ ɛ Disse to formeler kan sammen sættes. Da begge indeholder det sammen på den ene side af lighedstegnet. φ Rg = C φ ɛ Rg = C ɛ RC = ɛ g Herved er spørgsmål b) vist. Da cylinderen ER lang, da består E-feltet kun af en radialkomposant, da der ikke optræder randeffekter. 3.3 Andre spørgsmål 3.3. Elektrisk kredsløb Et elektrisk kredsløb er et ledende loop der påføres en spændingsforskel, i loopet sidder der komponenter, som opfører sig forskelligt alt efter hvad det er. En modstand bliver varm, en kapacitor lagre energi og en spole lagre strøm. 3.3. Konstante strømme En konstant strøm er en konstant opretholdelse af spændingsforskellen i systemet. Det som man også kalder for jævnstrøm. Ladningsbæreren er begrænset til at følge en lavresistent vej i systemet, dette kaldes et kredsløb. Se side 75 i EM bogen. 3.3.3 Kirchoff s lov Kirchoff s lov består af to love! Den første lov siger: summen af strømme der går til en forgrening er lig 0, hvilket medfører at den negative summen af strømme der går fra en forgrening også er lig 0. Den anden lov siger: summen af spændingsfald i et loop er lig 0. 3.3.4 Ohm s lov Ohm s lov siger helt generelt: J = ge, dette kan omskrives til den normale betragtning: U = RI. φ = El E = φ l indsætter man dette i Ohm s lov får man J = g φ l = I A hvis man bakker lidt tilbage får man I A = g φ l I = ga l φ = R U. S

Chapter 4 Fjerde spørgsmål 4. Opgave 3.5 Først skitseres problemt som er givet i opgaven, se figur 4.. Figure 4.: En ren kapasitor (C), har en paralel modstand (R) og disse er forbundet i serie med en ideal spole (L). Ud fra dette diagramskitsering af systemet kan man udlede følgende: Ren kapasitor, C, vil sige at der ingen ohm sk (Ω) modstand er i den. R er en ren ohm sk modstand. Ideal eller ren spole, L, vil sige at der ingen ohm sk modstand er i den, den er desuden forbundet i serie med kapasitoren og modstanden. Strøm kilden har mulighed for at variere frekvenzen, så man kan få en forskellig ω. 3

4 CHAPTER 4. FJERDE SPØRGSMÅL 4.. Beregn Z Man ved at følgende gælder for en modstand, spole og kapasitor når der er for sig selv og ikke er sat sammen endnu. Z R = R, Z L = iωl, Z C = iωc Dette kan sammensættes i formelen for hhv. serie - og paralelle systemer, for at finde den samlede impedans af hele systemet, Z. ( ) Z = Z L + Z = iωl + R + iωc Z R + Z C ( ) ( = iωl + R + iωc = iωl + Z = iωl + R + iωcr R + iωrc R ) = iωl + ( +iωrc R ) (4.) Dette resultat, formel 4., kan senere bruges til at vise hvad der sker med systemet for hhv. høj og lav ω. For at finde Z skal man dog adskille den imaginære og den reelle del for at kunne Z = RZ + IZ. Først forlænges det første led for at kunne få bege led på samme brøk. Z = ( + iωrc)iωl + R + iωrc Tælleren og nævneren kan behandles hver for sig for at finde det ønskede resultat. Dette ved man ud fra: Z = A B = A eiα A = B eiβ B ei(α β) = A B Z tæller = ( + RiωC)iωL + R = R(R ω RCL) + I(iωL) Z tæller = (R ω RCL) + (ωl) Z nævner = R() + I(iωRC) Z nævner = () + (ωrc) Sættes disse to delresultater sammen får man: R Z = ( ω CL) + (ωl) + (ωcr) (4.)

4.. OPGAVE 3.5 5 4.. Find den approximerede værdi for Z når: høj ω, lav ω og resonans af systemet. Hvor R altid er høj. Hvis R konstant er høj kan man se følgende ud fra formel 4.. Lav ω (ω 0) Ved lav ω går det første led og det andet led i tælleren af det andet led i formel 4. imod 0. Dette sker pga.: C virker som en afbrydelse ved lav frekvenz, hvilket får hele ledet til at forsvinde. L virker som en ledning, da den kortsluttes. Man får altså følgende ved at sætte dette ind i formelen: R Z = ( 0 CL) + (0L) + (0CR) = R (4.3) Høj ω (ω ) Ved høj ω bliver det første led større og større, men det andet led opfører sig på den måde at R er stor og når ω bliver større kommer brøken til at hedder stor over stor gange stor, hvilket går hurtigt imod nul. Man ved desuden følgende om C og L: C virker som en kortslutning. L virker som en meget stor modstand. Man får altså følgende ved at sætte dette ind i formelen: R Z = ( stor CL) + (storl) + (storcr) = ωl (4.4) Resonans (ω = LC ) I og med at R antages at være stor går denne ind hjælper kapacitoren, da denne er matematisk ideal og derfor ingen modstand har, men det har den i virkeligheden, derfor kan man anvende den generelle værdi for resonans. For resonans kan der siges noget om hhv. kapasitoren og spolen da dise opfører sig på en bestemt måde. C henfalder som funktion af ω, vist på figur 4., den blå graf. L stiger som funktion af ω, vist på figur 4., den grønne graf. Punktet hvori de to grafer skær hinanden kaldes for resonansen og er givet ved: Man får altså følgende ved at sætte dette ind i formelen: ( ) ) ( ) R ( LC CL + LC L Z = ( ) = L + RC LC CR (4.5)

6 CHAPTER 4. FJERDE SPØRGSMÅL 4..3 Skitser en graf for Z som funktion af ω Man kan bruge resultaterne fra den forrige delopgave til at skitsere grafen, man ved nemlig at følgende er gældende for systemet: Ved lav ω starter man ved R. Dernæst falder Z indtil resonans er opnået. Sidst vil Z stige i takt med, hvad der blev fundet for høj ω. Figure 4.: Z følger den røde kurve. Man starter ved R, hvorefter den falder pga. resonans for til sidst at stige i takt med spolen.

4.. SAMMENHÆNGEN MELLEM KOMPLEKSE OG REELLE STRØMME OG SPÆNDINGER7 4. Sammenhængen mellem komplekse og reelle strømme og spændinger I virkeligheden findes der ikke komplekse strømme, der findes kun reelle strømme. Kompleksiteten er til for at gøre det lettere at regne på kredsløb der indeholder komponenter, som har brug for kompleksiteten. Man kan regne sig frem til de reelle strømme for en kreds, figur 4.3, ved brug af de komplekse strømme: Figure 4.3: Kreds bestående af en strøm forsyning, en modstand, en kapacitor og en spole. I det reelle tilfælde er de fire komponenter af kredsen bestemt ved: Strømforsyning - V = V 0 cos(ωt) = R{V 0 e iωt }; Modstand - RI; Kapacitor - τ di C 0 I(t)dt; Spole - L dt. Man ved for komplekse strømme og spændinge for en kreds er følgende givet: V c = V 0 e iωt, I c = I 0 e iωt Man ved at spædingsfaldet hen over alle tre komponenter er givet ved følgende, ud fra Kirchoff s anden lov. V = RI + C τ 0 I(t)dt + L di dt dv dt = RdI dt + C I + I Ld dt Hvis man nu indsætter det man kender for hhv. I c og V c får man: iωv 0 e iωt = iωri 0 e iωt + C I 0e iωt + (iω) LI 0 e iωt Forkortes e iωt væk og divideres der igennem med iω får man: V 0 = RI 0 + iωc I 0 + iωli 0 = I 0 ( R + iωc + iωl Det der står i ( ) er de komplekse modstande for kredsen. Hvis man nu antager man enten kender den komplekse spænding eller strøm kan den reelle strøm findes. Dette gøres på følgende måde: I(t) = R{I 0 e iωt } = R { V 0 R + iωc + iωleiωt } )

8 CHAPTER 4. FJERDE SPØRGSMÅL

Chapter 5 Femte spørgsmål I denne opgave tales der om Biot-Savarts lov. dipolmoment for kredsen i opgaven. Desuden skal der tales om det magnetiske 5. Opgave 8.7 Betragt en strøm kreds med formed som en regulær hexagon med sidelængden a. Hvis kredsen har strømmen I gennem sig, find da den magnetiske induktion i centrum af kredsen. Figure 5.: En strøm kreds formet som et hexagon med sidelængde a (a). Hexagonet opdelt i lige store stykker (c). 6 af hexagonet, viser opdelingen i. Hvis man nøjes med kun at betragte af hexagonet og til sidst gange med bliver problemet betragteligt lettere. Den magnetiske induktion er givet ved Biot- Savarts lov: B(r ) = µ 0 4π I dl (r r ) C r r 3 (5.) Man skal altså finde dl, r og r. Men da r er givet ved højden af trekanten, figur 5.b, skal denne først findes. ( a ) 3a a = h + h = 9

0 CHAPTER 5. FEMTE SPØRGSMÅL Nu kan dl, r og r bestemmes: r = xî, r ligger på x-aksen og varierer i længden mellem 0 og π, derfor benævnes længden x. r = hĵ = 3a ĵ, r ligger fast på y-aksen og varierer ikke i længden, derfor kan denne bestemmes. dl = dxî Man ved fra formelen 5. at man skal bruge r r, r r og dl (r r ). ( ) r r = 3a x + î ĵ ˆk dl (r r ) = dx 0 0 3a = x 3a dxˆk 0 Nu kan man benytte formel 5., man skal bare huske at gange med for at få alle bidrag med i regenstykket. B(r ) = µ a 0 3a 4π I ˆk ( x=0 ( 3a ) ) 3 dx x + Dette integrale kan regnes ved at benytte sig af følgende regneregl: dx x = (x + ζ ) 3 ζ x + ζ Dette kan nu bruges til at regne B-feltet med: B(r ) = µ 0 3a 4π I ˆk x ( ) 3a x + ( 3a ) B(r ) = µ 0 3a 4π I ˆk a ( 3a ) a 4 + ( 3a ) = a µ 0 3a 4π I ˆk 5.. Hvad er det magnetiske dipolmoment for opgave 8.7 Det magnetiske dipolmoment er givet ved funktionen: m = I r dl C x=0 a 3a 4 = µ 0I 3 πa ˆk Hvis man ser bort fra I beskriver integralet normal vektorerne for kurven s projektion ind på xy-, yz- og xz-planerne, hvor arealet af disse projektioner lagt sammen giver komposanternes størrelser( af det magnetiske dipol moment. I vores tilfælde er det magnetiske dipol ) moment m = I 3 3 a ẑ.

Chapter 6 Sjette spørgsmål Regn en dejlig masse matematik for at vise hvad der magnetiske vektor potentiale er. 6. Opgave 8.3 6.. Vis gennem direkte differention af eq. (8-6) at A = 0 Formel (8-6) står på side 07 i EM bogen og er givet ved: A(r ) = µ 0 J(r ) dv (6.) 4π r r Man kan starte med at tage divergensen til begge sider af formel 6.. Dette giver os: A(r ) = µ ( ) 0 J(r )dv 4π r r V V Dernæst benytter man sig af vektoridentiteten: (φf ) = φ F + φ( F ). Dette giver: A(r ) = µ ( ( ) ( ) ) 0 J(r )dv + J(r )dv 4π r r r r V Her udgår det sidste led og bliver 0 da J(r ) = 0. Det man har tilbage kan man nu bruge, hvor man laver, man får derved: A(r ) = µ ( ) 0 J(r )dv = µ ( ) 0 J(r )dv 4π r r 4π r r V Udledes for vektoridentiteten, som der er blevet flyttet lidt om på: (φf ) φ( F ) = φ F, dette giver: A(r ) = µ ( ) 0 J(r ) dv µ ( ) 0 J(r )dv 4π V r r 4π V r r Igen bortfalder det sidste led at J = 0. Dette betyder at der nu kun står følgende tilbage: A(r ) = µ ( ) 0 J(r ) dv 4π V r r V V

CHAPTER 6. SJETTE SPØRGSMÅL Dette volumen integrale kan omskrives til et overflade integrale via divergenssætningen, som giver: A(r ) = µ ( ) 0 J(r ) ˆn ds = 0 (6.) 4π S r r Dette giver nul da overfladen man integrere over kan gøres så stor så alle ladninger omsluttes af denne og der løber ingen strøm igennem fladen. 6.. Vis at A + ψ også er et vektor potentiale for det samme B-felt som for A Hvis A + ψ skal være stamfunktion til A må det gælde at: B = A = (A + ψ) Det man gør er at man først regner A og dernæst (A + ψ) og sætte disse lig hinanden og se om alle led går ud i den sidste ende. Først findes A: A = î ĵ ˆk x y z A x A y A z ( Az A = î y A ) ( y Ax + ĵ z z A ) ( z + x ˆk Ay x A ) x y Nu kan man regne for (A + ψ): (A + ψ) = î ĵ ˆk x A x + ψ x y A y + ψ y z A z + ψ z ( Ay (A + ψ) =î + ˆk z A z y + ψ y z ψ y z ( Ay x A x y + ψ y x ψ y x ) ( Ax + ĵ z A z x + ψ x z ψ x z ( Az (A + ψ) = î y A ) ( y Ax + ĵ z z A ) ( z + x ˆk Ay x A ) x y Dette kan nu sættes sammen for at finde ud af at det hele går ud og man får at: ) ) A = (A + ψ)

6.. OPGAVE 8.3 3 6..3 Vis ved at vælge en passende ψ at vektorpotentialets divergens kan antage alle værdier Det der skal vises er at følgende ligning skal være opfyldt. Hvis ψ vælges til at være en funktion på formen: (A + ψ) = A + ψ (6.3) ψ(x, y, z) = c x + c y + c 3 z Hvis man tager Laplace til denne funktion får man nemlig følgende resultat: ψ = (c + c + c 3 ) Da c, c og c 3 kan vælges frit kan (A + ψ) antage alle tænkelige værdier da A er uafhængig af ψ. Dette er besivet på at formel 6.3 er opfyldt. Betingelsen for at det her virker er at funktionen man vælger skal være to gange differentiabel og den anden aflede skal være forskellig for 0.

4 CHAPTER 6. SJETTE SPØRGSMÅL

Chapter 7 Syvende spørgsmål I denne opgave tales der om magnetisk skalarpotentiale og magnetiskestrømme. Disse emner bliver berørt gennem to opgaver. 7. Opgave 9. En permanent magnet er formet som en cylinder med længden L og magnetitionen M, som er konstant i magnetens retning Figure 7.: En cylinderformet permanent magnet med længden L og magnetiotion M. 7.. Find magnetitionens strømtæthederne J m og j m Strømtæthederne er givet ved: J m = M (7.) j m = M ˆn (7.) Og man ved at M-feltet er i z-aksens retning, som gør at M = Mẑ. Med disse informationer kan man bestemme strømtæthederne. Først finder man inden i cylinderen: î ĵ ˆk J m = M = x y z 0 0 M = 0 5

6 CHAPTER 7. SYVENDE SPØRGSMÅL Det er 0 da M er konstant. Som det næste finder man for endefladerne af cylinderen. î ĵ ˆk j m,ender = M ˆn = 0 0 M 0 0 ± = 0 Som det sidste finder man for siden af cylinderen. î ĵ ˆk j m,side = M ˆn = 0 0 M = îm sin(θ) + ĵm cos(θ) = M ˆθ cos(θ) sin(θ) 0 Det givet ˆθ da man bruger højre-hånds-reglen. (ẑ = ĵ og ˆr = î dette bliver til dreje = ˆθ) 7.. Sammenlign strømfordelingen med det for en spole 7. Opgave 9.7 En permanent magnet er formet som en cylinder med længden L og radius R. Magneten er orienteret omkring z-aksen af et koordinatsystem, hvor origo er midt i magneten, ved L. Magnetiseringen, M, er rettet langs z-aksen og har størrelsen M. Figure 7.: Cylinderformet magnet med længden L og radius R. Magneten er orienteret omkring z-aksen af et koordinatsystem, hvor origo er midt i magneten, ved L. 7.. Bestem det magnetiske skalarpotentiale φ på koordinatsystemets z- akse, både indenfor og udenfor magneten Det magnetiske skalarpotentiale er bestemt ud fra formel (9-5) på side 6 i EM bogen, og ser sådan ud: φ (r) = ρ M 4π r r dv + σ M 4π r r da (7.3) V Man skal altså finde følgende ting for at kunne udregne skalapotentialet: ρ M = M, σ M = M ˆn S

7.. OPGAVE 9.7 7 For endeflade S gælder følgende betingelser: ρ M = 0, σ M = M, r = zẑ, r = L ẑ + r r, r r = For endeflade S gælder følgende betingelser: ρ M = 0, σ M = M, r = zẑ, r = L ẑ + r r, r r = ( z L ) + r ( z + L ) + r Med de kendte betingelser for σ og ρ kan man bestemme følgende for φ udenfor cylinderen: φ (r) = 0 4π r r dv + M 4π r r da + 0 4π r r dv + M 4π r r da V S Ledene hvor man integrere over 0 udgår da det også er 0, så man har kun overflade integralerne tilbage. Hvis man nu indsætter resten af hvad man kender for de to endeflader får man: φ (r) = M 4π π R θ=0 r =0 (z L π R ) r dr dθ + + r θ=0 r =0 V (z + L S ) r dr dθ + r Da integralerne for θ er uafhængige giver disse i begge tilfælde π, som kan ganges udenfor den store parantes. ( φ = M z L ) R ( + r + z + L ) R + r φ = M ( z L ) + R φ = M 0 ( z L ) ( z L ) + R ( + z + L ) + R + ( z + L 0 ( z + L ) ) + R z L + z + L (7.4) Dette er den generelle formel for det magnetiske skalapotentialet, α kommer fra når man har sat 0 ind. Hvis man nu betragter indenfor og udenfor cylinderen får man: ( φ ude = M z L ) ( + R z + L ) + R ± L (7.5) Fordi uanset hvilken værdi man indsætter for z, bare den er større en L, vil man få at det giver L. L når man er mindre en L og +L når man er større en L. I tilfældet indeni cylinderen har man følgende da den går fra L til +L med den hældning på. ( φ inde = M z L ) ( + R z + L ) + R + z (7.6)

8 CHAPTER 7. SYVENDE SPØRGSMÅL 7.. Brug resultatet fra forrige underopgave til at bestemme B-feltet på z-aksen Igen skal feltet bestemmes indenfor og udenfor magnetens udstrækning. Først anvendes resultatet udenfor magneten formel 7.4. Man ved nemlig at følgende gælder for B-felts bestemmelse: B = µ 0 H, H = φ B = µ 0 φ Da positionen for formel 7.4 er z-afhængigt findes gradienten ved at differentiere med hensyn til z. Når dette tages i betragtning kan B-feltet findes: B ude = µ 0 φ ude = µ 0M z + L z + L (z ) + L (z ) ẑ (7.7) + R + L + R Hvis man er inden i cylinderen gælder der noget andet for H-feltet, H = µ 0 B M, dette kan nu bruges til at finde skalapotentialet indeni cylinderen. H inde = φ inde = M z + L z + L (z ) + L (z ) + R + L + R H inde = φ inde = M z + L z + L (z ) + L (z ) M + R + L + R B inde = µ 0 φ inde = µ 0(H + M) = µ 0M z + L z + L (z ) + L (z ) + R + L + R (7.8) Ved at både B inde og B ude er ens glæder grænse betingelserne og derved er det rigtigt. 7.3 Andre spørgsmål 7.3. Magnetisk skalarpotentiale Magnetisk skalarpotentiale er et matematisk kunstgreb for at gøre det lettere at regne. Hvis det gælder at H = 0, da findes der et potential således at H = φ, dette gælder da φ = 0, som det også gælder for E-feltet. 7.3. Magnetiskestrømme De magnetiskestrømme, j m og J m, er tætheden af den magnetiserede strøm på overfladen eller i volumenet af et materiale som bliver skabt af magnetiseringen M. Se figur 9., side 9 i EM bogen.

Chapter 8 Ottende spørgsmål I denne opgave tales der om magnetisk susceptibilitet og permittivitet samt grænsebetingersel, hvor opgave 9. bruges til at beskrive dette. 8. Opgave 9. En lang cylinder med radius a og permabiliteten µ er placeret i et uniformt magnetisk felt B 0, der er vinkelret på cylinderaksen, som ligger langs z-aksen i et koordinatsystem. Figure 8.: Lang cylinder med radius a og center-aksen langs z-aksen af et koordinatsystem. 8.. Beregn den magnetiske induktion (B) inden i cylinderen I det magnetostatiske tilfælde generes der IKKE strøm, det er kun ved ændring i det magnetiske felt. For at kunne regne den magnetiske induktion skal de følgende fire grænse betingelser være opfyldt:. B B 0 for r. Hvilket vil sige at hvis man går uendeligt langt væk fra cylinderen ser det ud som om den ikke er der. 9

30 CHAPTER 8. OTTENDE SPØRGSMÅL. B endeligt for r 0. Ellers opstår singularitetsproblemer. 3. B n = B n, hvilket også betyder: B = µh og B = 0 4. H t H t = j fri ˆn, dette er kun gældende i randområdet lige omkring cylinderens kant. Desuden gælder der at j fri = 0, som gør at H t = H t. Først Bevises sammenhængen mellem H- og B-feltet, dette gøres matematisk således: H = µ 0 B M, M = x m H Med disse betingelser får man: B = µ 0 ( + x m )H, µ = µ 0 ( + x m ) B = µh Inden man kan udregne den magnetiske induktion skal man først udregne H som er en funktion af det magnetiske skalar potentiale φ. Vi ved at : H(r) = 4π V J(r) (r r ) r r 3 dv φ (r) Men da der ingen direkte strøm er bortfalder det første og efterlader kun det sidste. Man får altså: H = φ, vi ved desuden fra Maxwell at: H = 0, da der ingen strøm er. Ud fra de sidste to statments ved man at følgende må gælde: ( φ ) = 0 Man ved desuden at følgende gælder for H-feltet: H = 0, da magnitiseringen er uniform. Med dette kan følgende blive sagt: ( φ ) = 0 φ = 0 Man kan genkende Laplace s lov, hvilket man kan se er opfyldt. Løsningen for φ der opfylder Laplace er, hvilket er beskrevet på side 65 i EM bogen. Første grænsebetingelse r Langt væk fra cylinderen skal B ligne B 0, alså B = B 0. φ (r, θ) = A r cos(θ) + C cos(θ) (8.) r φ (r, θ) = A r cos(θ) + C cos(θ) (8.) r A = B 0 µ 0 Forklaring: H 0 = ˆxH 0 = (ˆx x )xh 0 = ( x)h 0 = ( H 0 r cos(θ)) = φ 0

8.. OPGAVE 9. 3 Dette kan vi gøre da vi ser på H 0 uendeligt langt væk fra B = B 0ˆx og B 0 = µ 0 H 0. Altså gælder: φ = A r cos(θ) = φ 0 = H 0 r cos(θ) A = H 0 = B 0 µ 0 Dette kan bruges til: φ = B 0 r cos(θ) + C cos(θ) (8.3) µ 0 r Anden grænsebetingelse r 0 Da området er afgrænset og φ og B ikke må blive uendelig store når r 0, så sættes C = 0. Dette medføre: φ = A r cos(θ) (8.4) Herfra gælder at r = a da vi nu befinder os på randen af cylinderen. Og man begynder nu at bruge de nye resultater man har fundet for φ og φ, formel 8.6 og formel 8.4. Tredje grænsebetingelse H t = H t For (H = φ ) t gælder følgende, hvor man skal huske vi her kun ser på ˆθ da dette er tangentialkomposanten. ( H t = ˆr0 + ˆθ a θ ) ( B ) 0 a cos(θ) + C µ 0 a cos(θ) H t = B 0 µ 0 sin(θ) + C a sin(θ) For (H = φ ) t gælder følgende, hvor man skal huske vi her kun ser på ˆθ da dette er tangentialkomposanten. ( H t = ˆr0 + ˆθ ) (A a cos(θ)) a θ Når H t = H t får man: H t = A sin(θ) B 0 µ 0 sin(θ) + C a sin(θ) = A sin(θ) B 0 µ 0 + C a = A (8.5)

3 CHAPTER 8. OTTENDE SPØRGSMÅL Fjerde grænsebetingelse B n = B n For B n = µ 0 H n gælderfølgende, når man husker kun at se på normalkomposanten, ˆr. Man husker også fra tidligere at (H = φ ) n gælder. ( H n = ˆr ) ( a + ˆθ0 B ) 0 a cos(θ) + C µ 0 a cos(θ) H n = B 0 µ 0 cos(θ) C a cos(θ) Bruges dette sammen med B n = µ 0 H n får man: B n = B 0 cos(θ) µ 0 C a cos(θ) For B n = µh n gælderfølgende, når man husker kun at se på normalkomposanten, ˆr. Man husker også fra tidligere at (H = φ ) n gælder. ( H n = ˆr ) a + ˆθ0 (A a cos(θ)) H n = A cos(θ) Bruges dette sammen med B n = µh n får man: Når B n = B n får man: B n = µa cos(θ) B 0 cos(θ) µ 0 C a cos(θ) = µa cos(θ) Ud fra dette kan A og C isoleres: A = B 0 µ 0 + C a C = µa a + B 0 a µ 0 Hvis det man har fundet C til at være indsættes i det for A kan man finde et simplre udtryk for A. A = B 0 + µa a + B 0 a µ 0 µ 0 a = B 0 A µ B 0 µ 0 µ 0 µ 0 A = B 0 (µ 0 + µ) Man kan nu finde B, som var det det hele gik ud på. Man ved fra tidligere at følgende to ting gælder: B = µh, H = φ og φ = A r cos(θ) = A x ( H = φ = ˆx x + ŷ ) ( ) B0 y (µ 0 + µ) x = B 0 (µ 0 + µ) ˆx B = µh = µb 0 ˆx (8.6) (µ 0 + µ)

8.. OPGAVE 9. 33 8.. Skitser induktions linjerne gennem cylinderen Figure 8.: Induktions linjerne bliver tiltrukket af cylinderen.

34 CHAPTER 8. OTTENDE SPØRGSMÅL

Chapter 9 Niende spørgsmål I denne opgave tales der om induktion. Til dette bruges der to opgaver til at forklare induktion. Desuden skal definitionen af det elektriske felt i det tidsafhængige tilfælde forklares. 9. Opgave. En metalstang med længde [m] roterer omkring en akse gennem den ene ende og vinkelret på stangen. Stangen roterer med en vinkelhastighed, ω = [ s ]. Stagens plane rotation er vinkelret på et uniformt magnetfelt på 0,3 [T]. Bestem bevægelses emf, V = smukke V, mellem enderne af metalstangen. Figure 9.: Metalstang(rød) der er fastgjort i den ene ende og roterer om denne akse. Rotationen er vinkelret på et magnet felt B. V er givet på side 75 i EM bogen, ligning (-), til at være: V = B (l v) Da det er en vinkelhastighed der er opgivet for stanegn vælges integraleformen af ovenstående udtryk, da vinkelhastigheden er afhængig af afstanden fra omdrejningspunktet. Dette giver: V = B (dl v) C 35

36 CHAPTER 9. NIENDE SPØRGSMÅL Man ved at følgende gælder for systemet: B = Bẑ dl = dlˆr v = ωlˆθ Dette kan nu bruges til at finde V. V = 0 Bẑ (dlˆr ωlˆθ) = 0 Bẑ ωldlẑ = Indsætter man det man kender kan man finde V. 9. Opgave.3 V = 0, 3[T ] [ s ] ([m]) =, 8 T m s 0 =, 8 [ Bωl Bωldl = V s m m s ] 0 =, 8[V ] (9.) To cirkulære loops af wire med radius a og b ligger i samme plan og med afstand r mellem de to centre af loopsne. Det antages at afstanden r er tilstrækkelig stor så dipol approksimationen kan benyttes. Bestem den fælles induktans, M, for de to loops. Figure 9.: centrene. To wire loops, med radius a of b, er placeret i samme plan med afstand r mellem Fælles induktansen er givet ved formel (-4) på side 79 i EM bogen: M ij = dφ ij di j, i j Dette betyder man skal finde Φ som er givet ved en funktion for B. Φ = B ˆndA S Funktion for B-feltet kan skrives som følger da dipolaproxmiation anvendes, og man derved kan antage at de to loops opfører sig som to punkdipoler. B = µ ( 0 m ) 3(m r)r + 4π r3 r 5

9.3. DEFINITIONEN AF DET ELEKTRISKE FELT I DET TIDSAFHÆNGIGE TILFÆLDE37 Man kender r, så man skal finde m som er givet ved: m = IAˆn Hvor I er strømmen i kredsen, A er arealet omsluttet af den plane lukkede kurve (loop) og ˆn er normalvektoren til det plan, som kurven befinder sig i. Ud fra det der er kendt kan man opstille en ligning for B-feltet fra loop, med radius a, til, med radius b: B = µ ( 0 I a πˆn 4π r 3 + 3(I a ) πˆn r)r r 5 Da ˆn og r er vinkelrette på hinanden udgår hele det sidste led, da disse prikket med hinanden giver 0. Dette gør at B-feltet kommer til at hedde: B = µ 0I a π 4πr 3 ˆn Da det er en lukket kreds kan Φ findes ved at prikke B og areale af kreds, A. Φ = B ˆndA = B A = µ 0I a π 4πr 3 b π = µ 0I a b π 4r 3 S Nu kan M bestemmes: M = dφ dl = µ 0a b π 4r 3 (9.) Dette resultat stemmer godt over ens med Lenz s lov. Lenz s lov siger: i tilfældet af en ændring i et magnetisk system, da forsøger systemet at modvirke denne ændring. Dvs. hvis strømmen gennem loopsne holdes konstant og afstanden r varieres da vil systemet forsøge at komme tilbage til hvor de startede fra. 9.3 Definitionen af det elektriske felt i det tidsafhængige tilfælde I det statiske tilfælde gælder der at det sidste led i Lorentz kraften udgår da dette er lig 0, man har altså: F = q(e + V B) F = qe Omskrevet for finde E-feltet gælder der at: F E lim q 0 q q er testladningen og F er den kraft q påvirkes af fra en ladningsdistribution. Det elektriske felt mellem disse to objekter er givet ved formelen ovenfor. I det ikke statiske tilfælde udgår det sidste led fra Lorentz kraften IKKE. Da V afhænger af tiden. Dette betyder at omskrevet for at finde E-feltet får man: E lim q 0 F q V B

38 CHAPTER 9. NIENDE SPØRGSMÅL

Chapter 0 Tiende spørgsmål I denne opgave tales der om Maxwell s ligninger, hvortil opgave 6.3 bruges. Desuden skal begrebet forskydningsstrøm forklares. 0. Opgave 6.3 Betragt et medie i hvilket volumenladningstætheden, ρ = 0, strømtætheden, J = 0 og permittiviteten er lig vakumpermittiviteten, ɛ = ɛ 0, men magnetiseringen er givet ved en funktion M. Vis at Maxwell s ligninger er korrekt opnået hvis man anvender en funktion Y givet ved: Y Y c t = µ 0M M = ( Y ) Y µ 0 c t Og hvor følgende også er opfyldt: Ud fra regneregl (--4) på side 0 kan man omskrive B til: B = Y (0.) B = ( Y ) Y E = Y t Når man kender dette kan man nu finde Maxwell s fire ligninger. (0.) 0.. Maxwell Maxwell s første ligning er givet ved: H = J + D t. Og man ved fra de betingelser man fik opgivet at J = 0 som gør at det første led udgår. Man ved desuden at følgende gælder for H-feltet, se side 7 i EM bogen. H = µ 0 B M Hvis man indsætter det man ved om B og M får man: 39

40 CHAPTER 0. TIENDE SPØRGSMÅL H = ( ( ) Y Y ) ( Y + ) ( Y µ 0 µ 0 c t = µ0 ( Y ) ) Y c t Hvis man nu curler på begge sider fremkommer venstre siden af Maxwell og højre siden giver et resultat man kan bevise er lig højre siden. H = ( ( Y ) ) ( Y µ 0 c t = ) Y c µ 0 t Dette gælder da curl-grad er lig 0 ( ϕ). Man ved desuden af følgende gælder, hvori man kan indsætte hvad man ved om E-feltet. ( ) ( D t = ɛ E 0 t = ɛ Y t = ) Y c µ 0 t Hermed har man effektivt bevist at Maxwell er opfyldt. 0.. Maxwell Maxwell s anden ligning er givet ved: E = B t. Ved at gøre brug af det man ved fra formel 0. og formel 0., kan følgende siges: B = Y B Y = t t Hvis man nu curler på begge sider af lighedstegnet af formel 0. får man: 0..3 Maxwell 3 E = Y t = B t Maxwell s tredje ligning er givet ved: D = ρ. Dette kan forklares ved at man ved at D = ɛ 0 E. Dette sammen med hvad man ved om E fra formel 0., og ρ = 0 giver: ɛ 0 Y t = ρ = 0 Da man ved at divergensen til curl en af en vektor er 0 ( A = 0) 0..4 Maxwell 4 Maxwell s fjerde ligning er givet ved: B = 0. Dette kan forklares ved at indsætte, hvad man ved om B fra formel 0.. ( Y ) = 0 Da man ved at divergensen til curl en af en vektor er 0 ( A = 0)

0.. FORSKYDNINGSSTRØM 4 0. Forskydningsstrøm Forskydningsstrøm er en fukntion der skal tilføjes til Ampers lov for at Maxwell s anden lov er opfyldt. Der er brug for den ekstra funktion da Ohm s lov kun gælder for jævnstrøm, så for at udvide til det generelle tilfælde hvor der udvides til vekselstrøm skal denne ekstra funktion tilføjes. Problemet kan anskueliggøres ved figur 0.. Figure 0.: En kapacitor med en Stoke s flade lagt ind. Hvis man lægger en lukket flade, S, omkring en leder vil man få et E-flet gående igennem denne, men tager man nu og ligger en tilsvarende kurve, S, ind får man ikke det samme, da da her ikke løber nogen strøm. Man er derfor nød til at have et ekstra funktions led som kan beskrive de frie magnetiske bølger. Man kan se dette matematisk ved at gøre følgende: Har man en lukket kurve S kan man finde strømmen gennem den ved at sige: H = J (0.3) Hvis man nu udvider fladen så den bliver til fladen S er J = 0 da fladen ikke skær en del af ledningen. Dette betyder at: H = 0 Men da der stadig løber en strøm er man nød til at udvide udtrykket så man får lagt et led til for ellers giver udtrykket ikke mening. Tager man divergensen til dette udtryk får man at det hele skal være lig 0 da divergensen til enhver rotation skal være 0. Ud fra kontinuitets lignigen ved man at følgende gælder: J + ρ t = 0 Man ved fra dette at der skal tilføjes det ekstra led på højresiden af formel 0.3. Man indsætter D = ρ på ρ s plads i kontinuitetsligningen, hvor man må sætte divergensen ud for en parantes, hvis og kun hvis det er pæne kontinuerte funktioner i rum og tid. ( J + D ) = 0 t Dette kan sættes ind i formel 0.3, hvor man finder at det giver Maxwell s første ligning. H = J + D t

4 CHAPTER 0. TIENDE SPØRGSMÅL

Chapter Ellevte spørgsmål I denne opgave tales der om bølgeligninger og plane bølger, hvortil opgave 6.7 bruges. Desuden skal frekvenzen og bølgelængden for den plane bølge i opgaven findes.. Opgave 6.7 Ved at betragte den plane elektromagnetiske bølge E skal man finde det tilhørende magnetiske felt B (a) og Poynting-vektoren S (b). E = E 0 cos(ω ɛµz ωt)î + E 0 sin(ω ɛµz ωt)ĵ (.).. Hvad er det magnetiske felt, B Dette kan gøres ved at benytte Maxwell s første ligning, E = B B t = E = t. î ĵ ˆk x y E 0 cos(ω ɛµz ωt) E 0 sin(ω ɛµz ωt) 0 z B t = E = E 0ω ɛµ cos(ω ɛµz ωt)î E 0 ω ɛµ sin(ω ɛµz ωt)ĵ Man kan nu finde B-feltet ved at tage tids-integralet til E: ( ) B = Edt ( B = î E 0 ω ɛµ cos(ω ɛµz ωt)dt + ĵ E 0 ω ɛµ sin(ω ) ɛµz ωt)dt B = E 0 ɛµ sin(ω ɛµz ωt)î + E0 ɛµ cos(ω ɛµz ωt)ĵ (.) Det er en monokromatisk bølge, det vil sige den kun antage en frekvens og dermed kun en bølge. 43

44 CHAPTER. ELLEVTE SPØRGSMÅL Plotter man B-feltet hvor t = 0 og alt andet end z er lig. Figure.: En kurve der svinger mellem ±y og kun i +x... Bestem Poynting-vektoren Poynting-vektoren som er givet ved S = E H. Man ved fra side 38 i EM bogen at B-feltet er givet ved: B = µh H = B µ Da man kender B-feltet, kan dette nu bruges til at skrive H-feltet. Dette gøres ved at dividerer B-feltet med µ. E B î ĵ ˆk µ = E 0 cos(ω ɛµz ωt) E 0 sin(ω ɛµz ωt) 0 E ɛ 0 µ sin(ω ɛµz ωt) E ɛ 0 µ cos(ω ɛµz ωt) 0 ( ɛ S = 0î + 0ĵ + E0 µ cos (ω ɛ ɛµz ωt) + E0 µ sin (ω ) ɛµz ωt) ˆk Ved hjælp af dumme formelen kan man forkorte dette udtryk betragteligt (cos + sin = ): ɛ S = E0 µ ˆk (.3)

.. ANDRE SPØRGSMÅL 45. Andre spørgsmål.. Vis at felterne er løsningen til bølgeligningen Man skal vise at E-feltet er løsningen for bølgeligningen, men samtidig kan det også vises at B-feltet er løsningen til bølgeligningen. Da E-feltet er fundet i opgaven kan denne indsættes i den generelle bølgeligning: E ɛµ E t E µg t = 0 Man ved at g = 0 da systemet er tabsfrit, hvilket vil sige at der ikke løber nogen strøm i vores medie. E-feltet er nemlig givet ved at der ikke er noget tabs led. Man får altså: E = ɛµ E t Opstiller man nu for det man ved får man: E = z E = E 0ω ɛµ (cos(ω ɛµz ωt)î + sin(ω ɛµz ωt)ĵ) Man ved det kun er z-afhængigt da Laplace ikke er tids afhængig. For det andet led gælder: ɛµ E t = ɛµ( E 0ω ) (cos(ω ɛµz ωt)î + sin(ω ɛµz ωt)ĵ) Nu kan man sætte de to udtryk lig hinanden og forkorte ud: ɛµ( E 0 ω ) (cos(ω ɛµz ωt)î + sin(ω ɛµz ωt)ĵ) = E 0 ω ɛµ (cos(ω ɛµz ωt)î + sin(ω ɛµz ωt)ĵ) Man ser det er det samme udtryk på begge sider af lighedstegnet, derved er det bevist at bølgeligningen er opfyldt. Man kan gøre det samme for B-feltet... Hvad er frekvensen og bølgelængden for den plane bølge i opgaven I begge tilfælde tager man udgangspunkt i det der står under cos i formel.: Frekvensen ω ɛµz ωt (.4) Hvis man betragter en kurve for en tilfældig svingning, hvor z holdes konstant og tiden for en svingning er t, se figur.. Ved at z holdes konstant udgår det første led i formel.4. Man ved at vinkelfrekvensen, ω, er givet ved følgende, og dette kan omskrives til at give en funktion for tiden for en svingning. ω t = π ω = π t og t = π ω Dette kan man nu bruge til at finde frekvensen: f = t = π ω = ω π (.5)

46 CHAPTER. ELLEVTE SPØRGSMÅL Figure.: En tilfælding svingning hvor z holdes konstant og tiden for en svingning er givet ved t. Bølgelængden Hvis man betragter en kurve for en tilfældig svingning, hvor t holdes konstant og længden for en svingning er z, se figur.3. Ved at z holdes konstant udgår det andet led i formel.4. ω ɛµz = π z = Dette kan man nu bruge til at finde bølgelængden: π ω ɛµ λ = z = π ω ɛµ (.6) Figure.3: En tilfælding svingning hvor t holdes konstant og længden for en svingning er givet ved z.

Chapter Tolvte spørgsmål I denne opgave tales der om nanopartikler. Hvor opgave 4.8 skal tage udgangspunkt i den udleverede artikel.. Opgave 4.8 Man har et uniformt elektriske felt der bevæger sig i et medium med en dielektrisitets konstant K. Vis at feltet inden i et kugle formet hul i mediet er givet ved: E = 3KE 0 K + Man starter med at skitsere problemet så man har et overblik af hvad der sker, se figur (.) Figure.: Et medie () med dielektrisitets konstant K har et kugle formet hul (), som betragtes som vakum. Gennem mediet løber et E-felt, som løber langs z-aksen. Radius af kuglen er a Det man ved og definerer ud fra opgaven er følgende: E = Eẑ, E-feltet følge z-aksen. Rumfangsladningstætheden, ρ, er lig 0 inde i kuglen () da det er et vakum, og 0 udenfor () da det er et dielektrisk materiale. Ud fra det forrige statment ved man at Laplace er opflydt, φ = ρ ɛ 0 = 0. 47

48 CHAPTER. TOLVTE SPØRGSMÅL D-felterne indenfor og udenfor er givet ved: D = Kɛ 0 E = ɛ 0 E, fordi K= i vakum, og D = Kɛ 0 E Zonal harmonics, på side 63 i EM bogen, dikterer følgende for potentialet inden i og uden for kuglen i mediet: φ = A r cos(θ) + B r cos(θ), hvor B sættes til at være 0, for at undgå sigularitet, dette gør φ = A cos(θ) φ = A r cos(θ) + B r cos(θ) Med disse informationer kan man nu opstille fire betingelser, som man kan undesøge omkring.. for r, dette gør at E E 0. Dette agument bruges til at finde A.. for r 0, dette gør at E et endeligt felt, hvilket betyder E-feltet inden i kuglen ikke må gå imod. Det er dette agument der dikterer at B = 0. Dette agument bruges til at finde B. 3. D normal = D normal, ud fra formel (4-4a) side 3 i EM bogen og man ved at σ = 0 da der ingen frie ladninger er i systemet (vakum og dielektrika). Dette agument bruges til at finde A som funktion for B. 4. E tangential = E tangential, ud fra formel (4-4b), side 4 i EM bogen. Dette agument bruges til at finde A som funktion for B. Som en lille indskudt bemærkning: Tager man gradienten til en funktion i sfæriske koordinater får man: f = r ˆr + r θ ˆθ + r sin(θ) φ ˆφ Argument et bruges til: (hvor E og E 0 er størrelser og ikke vektorer!), man husker at 0, som gør at hele det andet led bliver til 0. ( ) E = E 0 = φ = A r cos(θ) + B r cos(θ) = A cos(θ)ˆr 0ˆr + A sin(θ)ˆθ + 0ˆθ E 0 = A (cos(θ)ˆr sin(θ)ˆθ) = A ẑ Rent arbitrært kan man se at dette giver mening ud fra figur., man kan se der kun er en z-komposant (x på tegningen).

.. OPGAVE 4.8 49 Figure.: Hvis man har en r og en θ komposant kan deres fælles x/z-komposant findes ud fra cos(θ)ˆr sin(θ)ˆθ, hvilket blev fundet for E 0. Argument to dikterer at B skal være lig 0 da r medføre sigularitets problemer. for r 0 er gående imod hvilket vil Argument tre bruges til: E = φ = A cos(θ)ˆr + A sin(θ)ˆθ (.) E = φ = E 0 cos(θ)ˆr + B a 3 cos(θ)ˆr E 0 sin(θ)ˆθ + B a 3 sin(θ)ˆθ (.3) Man ved at et D-felt er givet ved ɛ 0 KE, dette kan bruges når man betragter normalkomposanterne fra formel. og formel. og ganger igennem med ɛ 0 KE for at få D- og ikke E-feltet. K i vakum er lig og forsvinder derfor fra ligningen. ɛ 0 A cos(θ)ˆr = ɛ 0 KE 0 cos(θ)ˆr + ɛ 0 KB a 3 cos(θ)ˆr Man dividerer igennem med cos, ɛ 0 og ˆr og får: A = KE 0 KB a 3 A = KE 0 + KB a 3 Argument fire bruges til: Hvis man nu kun betragter tangentialkonposanterne fra formel. og formel., og bruger det man har fra argument fire får man: A sin(θ)ˆθ = E 0 sin(θ)ˆθ + B a 3 sin(θ)ˆθ Man dividerer igennem med sin og ˆθ og får: A = E 0 B a 3

50 CHAPTER. TOLVTE SPØRGSMÅL A og B For at finde A og B kan man sætte de to resultater, man har fra argument tre og fire, lig hinanden: Nu kan A bestemmes: KE 0 + KB a 3 = E 0 B a 3 B = E 0( k)a 3 k + A = E 0 B a 3 = E 0 E 0 ( k)a 3 k+ a 3 = E 0 3K K + = A.. E-feltet i kaviteten Da man har A hvilket var det eneste ubekendte, kan den sættes ind i formel.. 3K E = E 0 K + cos(θ)ˆr + E 3K 0 K + sin(θ)ˆθ 3K = E 0 K + ẑ = E 3K 0 K + (.4) Man ser at resultatet, formel.4 er lig det man skulle have formel.... Udvidelse af løsningsmetoden Flere skaller giver flere ligninger med flere grænsebetingelser. Hvis en af skalerne er en leder skal det generelle udtryk for D-feltets normalkomposanter anvendes, hvor ikke længere er 0, men har en værdi.

Chapter 3 Definitioner og andre nice ting 3. F Coulomb kræften, den kræft en ladning påvirker en anden med. Den generelle form for n kræft der udøves på den n de partikel. F i = q i N j i q j 4πɛ 0 r ij r 3 ij, r ij = r i r j Coulomb kræften på en kontinuert ting er givet ved: F q = q ( r r 4πɛ 0 V r r 3 ρ(r )dv r r ) + S r r 3 σ(r )da 3. ρ ρ er ladningstætheden per volumen, ρ er givet ved: 3.3 σ ρ = lim V 0 q V σ er ladningstætheden per overflade areal, σ er givet ved: 3.4 E q ρ = lim S 0 S Det elektriske felt er givet ved: Kræften på en testladning, fra en ladnings distribution. E- feltet er matematisk givet som: F q E = lim q 0 q 5

5 CHAPTER 3. DEFINITIONER OG ANDRE NICE TING E-feltet er givet ved en længere formel hvis kræften kommer fra noget diskret og noget kontinuert: ( E(r) = N r r i q i 4πɛ 0 r r i 3 + r r ) r r 3 ρ(r )dv r r + S r r 3 σ(r )da i= V E-feltet er også givet ved formen E(r) = φ(r), hvis og kun hvis man er i det elektrostatiske tilfælde. 3.5 φ Det elektrostatiske potential er givet ved: ( φ(r) = N q i 4πɛ 0 r r i= i 3 + V 3.6 Gauss law r r 3 ρ(r )dv + S ) r r 3 σ(r )da Når noget er meget symetrisk (cirkler, kugler, uendeligt lange cylindre, ez.) kan Gauss lov anvendes for at simplificerer et udtryk for E-feltet eller potentialet. Gauss lov siger: E ˆnda = ρdv, E = ρ ɛ 0 ɛ 0 S V