Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Indledning I dette projekt, vil man kunne se beviser af hhv. cosinus- og sinusrelationerne i forhold til trigonometri. Efterfølgende vil man kunne se en række eksempler på, hvordan man gør brug af hhv. cosinus- og sinusrelationerne, men også hvordan man kan beregne længderne ved hjælp af formlerne. Endelig vil man kunne læse om hvordan man kan bruge trigonometrien i den virkelige verden. Bevis af cosinusrelationerne cos A = b + c a bc cos B = c + a b cos A = a + b c ab Ved omskrivning kan sidelængderne findes ved følgende formler: a = b + c b c cos(a) b = a + c a c cos(b) c = a + b a b cos(c) Til at lave et bevis af cosinusrelationerne skal der bruges Pythagoras læresætning: c = a + b Samt cosinus til en vinkel for en retvinklet trekant: cos V = hosliggende katete hypotenusen For at lave beviset bruger man en vilkårlig trekant, som opdeles i to trekanter, så vi har de rette vinkler at arbejde med. Linjen fra A til siden a danner højden (h) Og så kan der laves et bevis af sætningen: b = a + c a c cos(b) Bevis: Ved brug af Pythagoras læresætning får man af den gr/hvide trekant (a x) + h = b b (a x) Og tilsvarende får man af den anden trekant: Side af 11
h + x = c h = c x Da h er isoleret i begge ovenstående ligninger, kan de derfor sættes lig med hinanden: b (a x) = c x Det næste man gør er at isolere b og man får således: b = c x + (a x) Parenteserne i ligningen udregnes og man får følgende: b = c x + a ax + x Dette bliver reduceret til: b = c + a ax B i den hvide/grå retvinklede trekant kan udregnes af: cos B = x c Ved at isolere x denne ligning får man: x = cos(b) c Da x = cos(b) c kan man i ligningen b = c + a ax erstatte x med cos(b) c Dvs. at b = c + a ax b = c + a a c cos (B) Nu er beviset færdigt og de andre varianter af cosinusrelationen bevises på tilsvarende måde. Side 3 af 11
For at føre et bevis af cosinusrelationer der bestemmer cosinus til en vinkel i en vilkårlig trekant, tages der udgangspunkt i formlen cos (B) = c +a b. Formlen kan bevises ved hjælp følgende formel: b = c + a a c cos (B) Bevis: Fremgangsmetoden er at isolere cosinus til vinkel B. Det første trin er at addere cos (B) til begge sider af lighedstegnet, da man vil isolere cos (B): b = c + a cos (B) b + cos (B) = c + a cos (B) + cos (B) Da man har adderet med cos (B) på begge sider af lighedstegnet, ser formlen således ud: b + cos (B) = c + a Næste trin er at subtraktere med b på begge sider af lighedstegnet: b b + cos (B) = c + a b Da man har subtrakteret med b på begge sider af lighedstegnet, ser formlen således ud: cos (B) = c + a b I det sidste trin for at isolere cos(b), skal man dividere med på begge sider af lighedstegnet: cos (B) = c +a b Da man har divideret med på begge sider af lighedstegnet, ser formlen således ud: cos (B) = c +a b Dvs. at cosinus til vinkel B i en vilkårlig trekant, kan findes ved formlen: cos (B) = c +a b Nu er beviset færdigt og de andre varianter af cosinusrelationen der bestemmer en vinkel i en vilkårlig trekant, bevises på tilsvarende måde. Side 4 af 11
Bevis af sinusrelationerne Sin(A) = Sin(B) = Sin(C) a b c Ved omskrivning af sinusrelationerne, kan man finde en ubekendt længde. a Sin(A) = b Sin(B) = c Sin(C) Til at lave et bevis af sinusrelationerne skal der bruges en vilkårlig trekant. Man tager sinus til en given vinkel: sin V = modstående katete hypotenusen For at lave beviset deler man den vilkårlige trekant i to retvinklede trekanter. SinB = h SinB c = h c Da h er den modstående katete til vinkel B, og længden c er hypotenusen i trekanten ABD. Derfor tager man areal formlen T = 1 h g. Man sætter formlen ind i den foregående ligning. T = 1 a h = 1 a c sinb Her løser man en ligning og får følgende for sina, sinb og sinc T = 1 b c sina T = 1 a c sinb T = 1 a b sinc Da sætter man alle ligningerne sammen og får følgende 1 b c sina = 1 a c sinb = 1 a b sinc Da 1 skal fjernes, ganger man med på hver side af lighedstegnet. Side 5 af 11
Endelig får man ligningen til at være: ( 1 b c sina) = (1 a c sinb) = (1 a b sinc) b c sina = a c sinb = a b sinc Efterfølgende dividerer man med abc for efter at få tre forskellige ligninger. Altså b c sina abc = a c sinb abc = a b sinc abc Længderne går ud med hinanden og man får følgende produkter Sin(A) a = Sin(B) b = Sin(C) c Man kan lave det samme bevis, dog med længderne og her vil man få Nu er beviset færdigt. a Sin(A) = b Sin(B) = c Sin(C) Side 6 af 11
Beregning 1. Man kan finde vinklerne ved hjælp af cosinusrelationerne. Her er kravet om at kende alle længderne. Eksempel: a = 4 b = 5 c = 6 Nu kan man beregne vinklerne. A = Cos 1 ( b + c a ) = Cos 1 ( 5 + 6 4 ) = 41,4 o bc 5 6 B = Cos 1 ( a + c b ) = Cos 1 ( 4 + 6 5 ) = 55,77 o 4 6 Nu kan man finde den sidste vinkel på to metoder. Man kan vælge cosinusrelationerne eller vinkelsummen. C = 180 A C = 180 41,4 55,77 = 8,83 Trekanten vil se sådan ud. De blå tal er resultater. Endelig er opgaven løst. Side 7 af 11
. Man kan finde vinklerne og længden ved hjælp af cosinusrelationerne. Her er kravet om at man kender en vinkel og længder. Eksempel: a = 8 b = 10 C = 54 o Nu har man oplysninger nok til at beregne resten af trekanten. c = a + b a b cosc c = 8 + 10 8 10 cos (54) = 8,36 Nu kender man alle længder. Endelig kan man finde resten af vinklerne. B = Cos 1 ( a + c b ) = Cos 1 ( 8 + 8,36 10 ) = 75,3 o 8 8,36 Nu kan man finde vinkel A. A = 180 C B = 180 54 75,3 = 50,68 Trekanten vil se sådan ud. De blå tal er resultater. Nu er opgaven løst. Side 8 af 11
3. Man kan finde vinklerne og længden ved hjælp af sinusrelationerne. Her er kravet om at man kender en vinkel og to længder eller omvendt. Når man taler om sinusrelationer, så findes der to løsninger, afhængig om trekanten er stump eller spids. Eksempel: a = 0 c = 13 A = 117 o Nu har man oplysninger nok til at beregne resten af trekanten. Derfor laver man en ligning. SinA = SinC C a Sin(117) = SinC 13 0 SinC 0 = Sin(117) 13 SinC 0 Sin(117) 13 = 0 0 C = Sin 1 Sin(117) 13 ( ) 0 C = 35,39 o Nu kan man finde vinkel B ved at tage summen af trekanten. B = 180 A C = 180 117 35,39 = 7,61 o Endelig kan man finde den sidste side ved hjælp af cosinusrelationerne. b = a + c a c cosb b = 0 + 13 0 13 cos (7,61) = 10,4 Nu er opgaven løst. Side 9 af 11
4. Man kan finde vinklen og længderne ved hjælp af sinusrelationerne og vinkelsummen. Her er kravet om at man kender to vinkeler og en længde. Eksempel: a = 4 A = 67 o B = 36 o For at finde den sidste vinkel kan man tage vinkelsummen som er 180 grader. C = 180 A B = 180 67 36 = 77 o Resten af trekantens længder kan beregnes ved hjælp af sinusrelationerne. a SinA = b SinB = c SinC 4 Sin(67) = b Sin(36) b Sin(67) = 4 Sin(36) b Sin(67) 4 Sin(36) = Sin(67) Sin(67) b = Sin 1 4 Sin(36) ( ) Sin(67) b = 15,3 4 Sin(67) = c Sin(77) c Sin(67) = 4 Sin(77) c Sin(67) 4 Sin(77) = Sin(67) Sin(67) c = Sin 1 4 Sin(77) ( ) Sin(67) c = 5,40 Nu er opgaven løst. Side 10 af 11
5. I den her opgave kender man alle vinklerne i en trekant. Man kan derfor ikke regne siderne, da man skal have følgende for at kunne udregne dem: To vinkler og en side. En vinkel og to sider. Alle sider. Hvordan bruger man trigonometri? Trigonometri er en gren af matematikken hvor man kan regne diverse trekanter ved hjælp af beregning med formler, som er bevist til at kunne bruges i denne sammenhæng. Tidligere i projektet kunne man se en række eksempler på, hvordan man regner længder og vinkler ud i en trekant, ved hjælp af cosinusrelationerne og sinusrelationerne. Hvor er det smart at bruge trigonometri og hvor er det i virkeligheden? Trigonometri er trekanter, hvor man kan beregne længder og vinkler. Trigonometri er karakteriseret på den måde, at man kan bruge det til at konstruere bygninger, hvor man kan beregne længder og vinkler. Her kan man tage udgangspunkt i, om det er en bygning, hvor det er vigtigt at kende længden samt den præcise vinkel, så bygningen kan stå fast. Man kan også bruge det i forbindelse med en fodboldbane, hvor man skal beregne de punkter f.eks. et mål eller kegle skal stå. Litteraturliste Carstensen, Jens; Frandsen, Jesper; Studsgaard, Jens - MAT B HF - Systime - 1. udgave. oplag 007 Side 11 af 11