Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse, eller blot om den reelle akse.) Vi vælger således to forskellige punkter O og E på den rette linje, og retningen fra O til E kalder vi den positive retning. Hermed er den rette linje blevet en orienteret ret linje med en positiv og en negativ gennemløbsretning. (Den negative gennemløbsretning er den modsatte af den positive gennemløbsretning.) Punktet O kaldes nulpunktet eller origo, og det identificeres med tallet 0. Tilsvarende kaldes punktet E for enhedspunktet, og det identificeres med tallet 1. Det er nu let nok (i hvert fald i princippet) at identificere et givet punkt P på den orienterede rette linje med et reelt tal x 1. Denne rette linje omtales derfor også som en tallinje eller en abscisseakse. Vi ser også, at ethvert reelt tal x 1 0 kan identificeres med det orienterede rette linjestykke OP x1 fra punktet O til det punkt P x1 på tallinjen, som svarer til tallet x 1. Det orienterede rette linjestykke OP x1 repræsenterer størrelsen x = (x 1 ), og linjestykket OP x1 kaldes så en repræsentant for vektoren x = (x 1 ). Hvis x 1 = 0, indfører vi den såkaldte nulvektor 0 = (0), som blot svarer til punktet O. Nulvektoren kaldes også den uegentlige vektor, mens alle andre vektorer siges at være egentlige. Vi indfører nu mængden R 1 af alle vektorer på den orenterede rette linje, og vi ser, at R 1 = {x = (x 1 ) x 1 R}. Mængden R 1 kaldes et vektorrum, eller mere præcist det 1-dimensionale talvektorrum. Tallet x 1 kaldes koordinaten for vektoren x = (x 1 ). REGNING MED VEKTORER Lad os betragte to vektorer x = (x 1 ) og y = (y 1 ) fra vektorrummet R 1, og lad os endvidere betragte en vilkårlig skalar λ R. Vi bemærker nu, at vektoren

(x 1 + y 1 ) svarer til tallet x 1 + y 1, og at vektoren (λx 1 ) svarer til tallet λx 1. Hermed har vi defineret summen x+y = (x 1 +y 1 ) af vektorerne x = (x 1 ) og y = (y 1 ) som vektoren x + y = (x 1 ) + (y 1 ) = (x 1 + y 1 ) og produktet λx af tallet λ og vektoren x = (x 1 ) som vektoren λx = λ(x 1 ) = (λx 1 ). Vi har således, at (3) + (8) = (11), og at 7( 11) = ( 77). Vi ser også, at enhver vektor x = (x 1 ) kan tillægges en længde, som netop er længden af det orienterede linjestykke OP x1, hvis x 1 0. Nulvektoren x = 0 tillægges længden 0. Længden af en vektor x = (x 1 ) kaldes også normen af x og betegnes med x, og vi ser, at x = x 1. Vi bemærker, at 0 = 0, og at x > 0, hvis x 0. Fx er (12) = ( 12) = 12. Vi har således, at x 0 = 0, for enhver vektor x R 1, og at (5) (7) = 35, og ( 1 ) ( 16) = 8. 2 SKALARPRODUKTET Lad nu x = (x 1 ) og y = (y 1 ) være to vilkårlige vektorer fra vektorrummet R 1. Ved skalarproduktet (eller prikproduktet) x y af x og y forstås tallet Vi bemærker, at x x = x 2 1 = x 2. x y = (x 1 ) (y 1 ) = x 1 y 1. Lad os antage, at de to vektorer x = (x 1 ) og y = (y 1 ) er egentlige, og lad os betragte de to til vektorerne x og y hørende rette linjestykker OP x1 og OP y1. Hvis x 1 og y 1 har samme fortegn, har disse to linjestykker samme retning, og hvis x 1 og y 1 har forskellige fortegn, er de to tilhørende rette linjestykker modsat rettede. Hvis θ betegner vinklen mellem de orienterede linjestykker OP x1 og OP y1, ser vi, at θ = 0 o, hvis x 1 og y 1 har samme fortegn, og at θ = 180 o, hvis x 1 og y 1 har forskellige fortegn.

Vinklen θ vil vi også kalde vinklen mellem vektorerne x = (x 1 ) og y = y 1, og da cos(0 o ) = 1, og cos(180 o ) = 1, får vi straks, at x y = (x 1 ) (y 1 ) = x y cos(θ). Hvis x = 0, eller y = 0, eller x = y = 0, er skalarproduktet x y = 0, og da vinklen θ mellem nulvektoren 0 og en hvilken som helst vektor kan sættes til hvad som helst, ser vi, at formlen x y = (x 1 ) (y 1 ) = x y cos(θ) åbenbart passer for alle vektorer x, y R 1. Vektorer i planen Lad os nu betragte mængden af alle punkter i planen, og lad os i planen vælge et sædvanligt retvinklet koordinatsystem. Ethvert punkt P i planen kan identificeres med punktets entydigt bestemte koordinatsæt (x 1, x 2 ), og det orienterede linjestykke OP fra O (nulpunktet eller origo) til P kalder vi en repræsentant for vektoren x = (x 1, x 2 ). Tallene x 1 og x 2 kaldes henholdsvis første og anden koordinat for vektoren x = (x 1, x 2 ). Man siger også, at vektoren x = (x 1, x 2 ) er en stedvektor for punktet P = (x 1, x 2 ). Vi ser nu, at mængden af alle sådanne vektorer i planen kan identificeres med mængden R 2 af alle reelle talpar, altså R 2 = R R = {x = (x 1, x 2 ) x 1, x 2 R}, idet talsættet 0 = (0, 0) også regnes for at være en vektor (den uegentlige vektor eller nulvektoren). Punketet O regnes for en repræsentant for nulvektoren. Alle andre vektorer x R 2, hvor altså x 0, kaldes egentlige vektorer. Mængden R 2 kaldes det 2-dimensionale talvektorrum. REGNING MED VEKTORER I PLANEN Lad x = (x 1, x 2 ) og y = (y 1, y 2 ) være to vilkårlige vektorer og lad λ R være en vilkårlig skalar. Vi definerer nu summen x + y af vektorerne x og y og produktet λx af tallet λ og vektoren x ved x+y = (x 1, x 2 )+(y 1, y 2 ) = (x 1 +y 1, x 2 +y 2 ) og λx = λ(x 1, x 2 ) = (λx 1, λx 2 ).

Vi har således, at x + 0 = x, for enhver vektor x R 2, og at (2, 3) + (7, 5) = (9, 2) og 11(7, 4) = (77, 44). Vi kan også udregne differensen x y, idet vi selvfølgelig har, at x y = (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = (x 1 y 1, x 2 y 2 ), så (7, 9) (5, 13) = (7 5, 9 ( 13)) = (2, 22). Lad nu P = (x 1, x 2 ) og Q = (y 1, y 2 ) være to vilkårlige punkter i planen. Idet (y 1, y 2 ) = (y 1 x 1, y 2 x 2 ) + (x 1, x 2 ), er vektoren y x = (y 1 x 1, y 2 x 2 ) den vektor, der har en repræsentant, som er det orienterede linjestykke fra P til Q. Vi siger, at P er begyndelsespunktet, og at Q er slutpunktet (eller endepunktet) for vektoren v = y x. Hvis fx P = (2, 8) og Q = (10, 23), finder vi, at vektoren v = y x, der har P som begyndelsespunkt og Q som slutpunkt, er givet ved v = (10, 23) (2, 8) = (8, 15). Enhver vektor x R 2 har en norm x (eller længde), som netop er længden af det orienterede linjestykke OP, hvor P = (x 1, x 2 ). Altså gælder det, at x = (x 1, x 2 ) = x 2 1 + x 2 2, jvf. Pythagoras læresætning. (Dette er længdeformlen). Man har således, at (5, 12) = 25 + 144 = 169 = 13. Vi ser straks, at (1.) x R 2 : x 0 ( x = 0 x = 0 ). (2.) λ R x R 2 : λx = λ x. (3.) x, y R 2 : x ± y x y. Den sidste regel kaldes trekantsuligheden. Lad nu P = (x 1, x 2 ) og Q = (y 1, y 2 ) være to punkter i planen. Afstanden d(p, Q) mellem punkterne P og Q (eller afstanden d(x, y) mellem vektorerne

x og y) er længden af linjestykket P Q, og dermed er d(p, Q) = d(x, y) lig med normen af vektoren y x, så vi har derfor, at d(p, Q) = d(x, y) = y x = Dette er afstandsformlen. Vi bemærker, at følgende regler er opfyldt (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2. (1.) x, y R 2 : d(x, y) 0 ( d(x, y) = 0 x = y ). (2.) x, y R 2 : d(x, y) = d(y, x). Afstandsfunktionen d er symmetrisk. (3.) x, y, z R 2 : d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Den sidste regel kaldes trekantsuligheden (for afstandsfunktionen d). Vi vil herefter se på nogle eksempler. Eksempel. Vi betragter vektorerne x = (3, 5) og y = (7, 2). Da er x = 9 + 25 = 34 og y = 49 + 4 = 53. Endvidere ser vi, at y x = (4, 7), så d(x, y) = y x = 16 + 49 = 65. Eksempel. For et vilkårligt t R betragter vi vektorerne x = x(t) = (t, 1 + t) og y = y(t) = (7, 5 2t). Vi finder, at x = x(t) = så x(0) = 1, og x( 2) = 5. Desuden har vi, at y = y(t) = så y(1) = 58, og y( 1) = 98. Endvidere får vi, at så d(x(t), y(t)) = y(t) x(t) = t 2 + (1 + t) 2 = 2t 2 + 2t + 1, 49 + (5 2t) 2 = 4t 2 20t + 74, v = v(t) = y(t) x(t) = (7 t, 4 3t), (7 t) 2 + (4 3t) 2 = 10t 2 38t + 64.

Eksempel. Vi betragter punkterne A = (a 1, a 2 ) og B = (b 1, b 2 ). Midtpunktet på linjestykket AB (fra A til B) kaldes M = (m 1, m 2 ). Vi ser, at (m 1, m 2 ) = (a 1, a 2 ) + 1 ( ) b1 a 1, b 2 a ( b 1 + a 1 2 =, b 2 + a ) 2, 2 2 2 idet vektoren (m 1, m 2 ) fra O til M fremkommer som summen af vektoren (a 1, a 2 ) fra O til A plus halvdelen af vektoren (b 1 a 1, b 2 a 2 ) fra A til B. Hvis A = (5, 2) og B = (7, 11), er midtpunktet af linjestykket AB lig med M = (6, 13). 2 Eksempel. I planen betragter vi den trekant ABC, hvor A = O = (0, 0) og B = (b 1, 0), hvor b 1 > 0, ligger på førsteaksens positive del. Punktet C = (c 1, c 2 ), hvor c 2 > 0, ligger således ikke på førsteaksen. Det punkt M = (m 1, m 2 ), der har en og samme afstand til vinkelspidserne A, B og C, opfylder betingelsen så d(o, M) = d(a, M) = d(b, M) = d(m, C), m 2 1 + m 2 2 = (m 1 b 1 ) 2 + m 2 2 = (m 1 c 1 ) 2 + (m 2 c 2 ) 2. Heraf ser man, at m 2 1+m 2 2 = m 2 1+b 2 1 2b 1 m 1 +m 2 2 m 2 1+m 2 2 = m 2 1+c 2 1 2c 1 m 1 +m 2 2+c 2 2 2c 2 m 2 m 1 = b 1 2 0 = b2 1 c 2 1 2b 1 m 1 + 2c 1 m 1 c 2 2 + 2c 2 m 2 m 1 = b 1 2 0 = c2 1 + b 1 c 1 c 2 2 + 2c 2 m 2 m 1 = b 1 2 m 2 = c2 1 + c 2 2 b 1 c 1. 2c 2 Punktet M = ( b 1 2, c2 1 + c 2 2 b 1 c ) 1 2c 2 er midtnormalernes fælles skæringspunkt, som er centrum for trekantens omskrevne cirkel. Hvis fx A = (0, 0), B = (8, 0) og C = (6, 9), har vi altså, at M = ( 4, 36 + 81 48 18 ) ( 69) = 4,. 18 Eksempel. Den cirkel C, der har centrum i punktet M = (m 1, m 2 ), og som har radius r > 0, består af netop de punkter, P = (x 1, x 2 ), der har afstanden d(p, M) = r fra centrum M. Altså er C = {P = (x 1, x 2 ) d(p, M) = r} =

{(x 1, x 2 ) (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 = r} = {(x 1, x 2 ) (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 = r 2 }. Ligningen (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 = r eller (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 = r 2 kaldes cirklens ligning. Hvis fx M = (3, 13), og r = 5, har den cirkel C, som har centrum i punket M, og som har radius r = 5, ligningen (x 1 3) 2 + (x 2 + 13) 2 = 25. Vektorregning er nært knyttet til den analytiske geometri, som blev grundlagt af den franske matematiker René Descartes (1596-1650). Umiddelbart efter at Descartes havde udgivet sit kendte, matematiske storværk La Géométrie i 1637, fik den analytiske geometri stor betydning for matematikkens videre udvikling, og den franske matematiker Pierre Varignon (1654-1722) var en stor beundrer af Descartes. Desuden var Varignon gode venner med både Newton, Leibniz og den berømte matematikerfamilie Bernoulli fra Basel i Schweiz. Varignon blev i 1688 professor i matematik ved Collège Mazarin i Paris, og gennem mange år holdt han en række forelæsninger, bl. a. om differentialregning og analytisk geometri. I 1731 blev disse forelæsninger trykt og udgivet med titlen Élemens de mathématique. (Bemærk stavemåden!). I dette værk finder vi følgende interessante og besynderlige, geometriske sætning, som naturligt nok kaldes Varignons sætning: Varignons sætning. Lad F være en vilkårlig firkant i planen R 2, og lad M 1, M 2, M 3 og M 4 være midtpunkterne på denne firkants sider. Da er den firkant P, som har hjørnespidserne M 1, M 2, M 3 og M 4, et parallellogram. Vi vil vise denne sætning som et illustrativt eksempel på regning med vektorer i planen. BEVIS for Varignons sætning. Påstanden er vist, hvis vi kan vise, at de modstående sider i firkanten P er lige lange og parallelle. Firkanten F, som har hjørnespidserne A, B, C og D, kan (evt. efter en flytning, dvs. en parallelforskydning efterfulgt af en drejning) anbringes i et retvinklet koordinatsystem, så A = (0, 0), og B = (x, 0). (Lav en tegning!) Herefter er C = (α, β) og D = (ξ, η). Vi får nu, at M 1 = ( x 2, 0), M 2 = ( α + x, β 2 2 ), M3 = ( α + ξ 2, β + η ), 2

og at M 4 = ( ξ 2, η ). 2 Vektoren fra M 1 til M 2 er v 12 = ( α + x 2 og vektoren fra M 4 til M 3 er x 2, β 2 ) ( α = 2, β ) 2 så v 43 = v 12. v 43 = ( α + ξ 2 ξ 2, β + η 2 η 2 ) ( α = 2, β ), 2 Egentlig er vi færdige nu. Hvorfor? Men lad os alligevel også udregne vektorerne v 14 (fra M 1 til M 4 ) og v 23 (fra M 2 til M 3 ). Vi får således, at v 14 = ( ξ 2 x 2, η ) ( ξ x =, η ), 2 2 2 og at v 23 = ( α + ξ α + x, β + η β ) ( ξ x =, η ), 2 2 2 2 2 2 og helt som ventet er v 23 = v 14. Hermed er Varignons sætning vist ved hjælp af elementær vektorregning. Øvelse. Lad os betragte den firkant, der har vinkelspidserne A = (2, 8), B = (7, 9), C = (5, 19) og D = (3, 22). Bestem koordinaterne til midtpunkterne M 1, M 2, M 3 og M 4 på sidestykkerne i denne firkant, og bestem derpå kantlængderne i det parallelogram, som er givet ved at benytte Varignons sætning. SKALARPRODUKTET Vi skal i dette afsnit se på det såkaldte skalarprodukt, som er en afbildning, hvor to vektorer afbildes på et reelt tal. Det viser sig, at denne afbildning har stor geometrisk betydning, og derfor er skalarproduktet et meget vigtigt begreb i vektorregningen. Vi begynder med at definere skalarproduktet.

Definition. Lad x = (x 1, x 2 ) og y = (y 1, y 2 ) være to givne vektorer. Ved skalarproduktet (eller prikproduktet) x y af vektorerne x og y forstås tallet x y = (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2. Vi bemærker, at der hermed er defineret en afbildning s : R 2 R 2 R, hvor x, y R 2 : s(x, y) = x y. Vi ser, at (2, 3) (7, 4) = 14 + 12 = 26, ( 1, 6) (5, 2) = 5 12 = 17, (0, 67) ( 23, 2) = 0 + 134, og at ( 2, 6) ( 7, 5) = 14 30 = 16. Desuden ser vi, at for enhver vektor x = (x 1, x 2 ) R 2 x 0 = 0, og at gælder det, x e 1 = (x 1, x 2 ) (1, 0) = x 1 og x e 2 = (x 1, x 2 ) (0, 1) = x 2, idet e 1 = (1, 0) og e 2 = (0, 1), så x = (x 1, x 2 ) R 2 : x = (x e 1 )e 1 + (x e 2 )e 2. Vi har tillige, at x = (x 1, x 2 ) R 2 : x x = x 2 1 + x 2 2 = x 2. For skalarproduktet gælder følgende regler, som man umiddelbart efterviser: (1.) x, y R 2 : x y = y x. (Den kommutative regel). (2.) x, y, z R 2 : x (y + z) = x y + x z. (Den distributive regel). (3.) λ R x R 2 : (λx) y = λ(x y) = x (λy). (Den associative regel). (4.) x R 2 : x x 0 x x = 0 x = 0. Sådan som vi her har defineret skalarproduktet, ser der ud til, at det er afhængigt af koordinatsystemet placering i planen. Drejer man fx koordinatsystemet med en vis vinlel θ vil et givet punkts koordinatsæt blive ændret

fra x = (x 1, x 2 ) til x = (ξ 1, ξ 2 ), og dermed har punktets stedvektor også fået ændret sine koordinater. Tilsvarende vil et andet punkts koordinater også blive ændret, og den tilhørende stedvektor y = (y 1, y 2 ) vil blive ændret til y = (η 1, η 2 ). Umiddelbart ser det altså ikke ud til, at skalarproduktet x y skulle være uafhængigt af koordinatsystemets placering, altså at ligningen x 1 y 1 + x 2 y 2 = ξ 1 η 1 + ξ 2 η 2 skulle være opfyldt, men det er faktisk tilfældet. For at vise denne påstand betragter vi to vilkårlige vektorer x og y. Vi husker, at x x = x 2, at y y = y 2, og at (x + y) (x + y) = x + y 2, så x + y 2 = (x + y) (x + y) = x x + x y + y x + y y = hvoraf man får, at x 2 + 2(x y) + y 2, x y = 1 2( x + y 2 x 2 y 2). Denne formel viser, at skalarproduket x y mellem vektorerne x og y kun afhænger af længderne af vektorerne x, y og x + y. Dermed har vi vist, at skalarproduktet ikke afhænger af, om koordinatsystemet bliver drejet en vis vinkel omkring punktet O. Eksempel. Lad os fx antage, at vi om vektorerne x og y ved, at x = 3, at y = 6, og at x + y = 8. Vi finder da, at x y = 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2) = 1 2( 64 9 36 ) = 19 2. Øvelse. Bestem skalarproduktet x y af vektorerne x og y, når x = 11, y = 12, og x + y = 13. Vi vil nu vise en særdeles nyttig sætning. Sætning. Lad x og y være to vilkårlige vektorer fra vektorrummet R 2. Der gælder da følgende: (1.) Lad os antage, at vektorerne x og y begge er egentlige vektorer, så x 0 og y 0. Da er skalarproduktet x y af vektorerne x og y lig med længden af den ene vektor multipliceret med den anden vektors

retvinklende projektion (regnet med fortegn) ned på den første vektor. Vi kan altså skrive x y = x y 1 = x 1 y, hvor y 1 er den retvinklede projektion af y på x, og x 1 er den retvinklede projektion af x på y. (2.) Hvis x = 0, eller hvis y = 0, eller hvis x = y = 0, så er x y = 0. BEVIS. Det er klart, at x y = 0, hvis enten x = 0, y = 0 eller x = y = 0. Vi antager derfor, at vektorerne x og y begge er egentlige, altså at de ikke er nulvektoren. Vi har tidligere indset, at skalarproduktet x y er uafhængigt af koordinatsystemetes placering. Lad nu x = (x 1, x 2 ), og lad os betragte punktet P x = (x 1, x 2 ). Vektoren x er da stedvektor for punktet P x. Vi drejer nu koordinatsystemet omkring origo O = (0, 0), så punktet P x kommer til at ligge på abscisseaksens positive halvdel. I dette drejede koordinatsystem ser vi, at vektoren x kan skrives som x = ( x, 0), og hvis y = (η 1, η 2 ) i dette koordinatsystem, hvor η 1 åbenbart er den retvinklede projektion af Y på x regnet med fortegn, får vi, at Hermed er påstanden vist. x y = ( x, 0) (η 1, η 2 ) = x η 1. Vi vil nu udnytte denne sætning, men vi skal først have fundet ud af, hvad vi vil forstå ved vinklen θ mellem to vektorer. Lad os derfor betragte vektorerne x og y. Hvis x = 0, eller hvis y = 0, eller hvis x = y = 0, sætter vi den mellemliggende vinkel θ = 90 o. Dette virker måske besynderligt, men det viser sig at være praktisk. Hvis vektorerne x = (x 1, x 2 ) og y = (y 1, y 2 ) er egentlige, er de stedvektorer for punkterne P x = (x 1, x 2 ) og P y = (y 1, y 2 ). Vinklen θ i origo O = (0, 0) mellem linjestykkerne OP x og OP y defineres da som vinklen mellem vektorerne x og y. Som en direkte følge af ovenstående sætning får vi så følgende resultat: Sætning. Lad x og y være to vilkårlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem dem. Der gælder da, at (1.) x y > 0 θ [0 o, 90 o [. Vinklen θ er spids. (2.) x y = 0 θ = 90 o. Vinklen θ er ret. Vektorerne x og y er ortogonale. (3.) x y < 0 θ ]90 o, 180 o ]. Vinklen θ er stump.

Eksempel. Lad t R være en parameter, og betragt vektorerne Vi finder da, at så x = x(t) = (t, 2) og y = y(t) = (t, t). x y = (t, 2) (t, t) = t 2 2t = t(t 2), x y = 0 t = 0 t = 2 x y, hvor tegnet betyder, at vektorerne x og y er ortogonale eller vinkelrette på hinanden. Endvidere ser vi, at det for vinklen θ mellem vektorerne x og y gælder, at θ er spids t < 0 t > 2, og at θ er stump 0 < t < 2. Øvelse. Lad t R være en parameter, og betragt vektorerne x = x(t) = (t 2, 1) og y = y(t) = (2, t + 1). Lad θ være vinklen mellem vektorerne x og y. Bestem de t R, for hvilke vinklen θ er enten spids, ret eller stump. Vi skal nu vise endnu en sætning. Sætning. Lad x og y være to vilkårlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem disse vektorer. Da har man, at x y = x y cos(θ). Skalarproduktet x y kan altså udregnes som normen af den ene vektor ganget med normen af den anden vektor ganget med cosinus til den mellemliggende vinkel. BEVIS. Lad η 1 være den retvinklede projektion regnet med fortegn af vektoren y på vektoren x. Det er da klart, at η 1 = y cos(θ), og heraf aflæses påstanden umiddelbart. Det er velkendt, at cos(θ) [ 1, 1], og vi får da straks følgende resultat: Sætning. Lad x og y være vilkårlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem dem. Man har da, at x y x y.

Denne ulighed, der er helt fundamental i vektorregningen, kaldes Cauchy- Schwarz ulighed. På baggrund af de foregående sætninger får vi tillige følgende sætning: Sætning. Lad x og y være egentlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem dem. Vi har da, at cos(θ) = x y x y. Eksempel. Lad os betragte vektorerne x = (4, 5) og y = (7, 2). Vi ser da, at x = 41, at y = 53, og at x y = 28 10 = 18. Hvis vinklen mellem vektorerne x og y er θ, får vi nu, at cos(θ) = x y x y = 18 41 53, så θ = 67, 29 o. Øvelse. Bestem vinklen θ mellem vektorerne x og y, når (1.) x = (5, 1) og y = (3, 10). (2.) x = ( 1, 2) og y = (4, 3). (3.) x = (1, 10) og y = ( 20, 2). (4.) x = ( 1, 5) og y = (19, 7 1). 2 2 (5.) x = (2 5, 3) og y = (7, 6 11). Vi fortsætter nu med at vise en sætning, som har et vigtigt geometrisk indhold. Sætning. Betragt en vilkårlig trekant ABC, som har siderne a, b og c. Man har da, at a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(a), og at b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(b), c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(c). Disse formler kaldes cosinusrelationerne.

BEVIS. Ud fra hjørnespidserne A, B og C i trekanten ABC definerer vi vektoren x som den vektor, der har begyndelsespunktet C og slutpunktet B. Desuden definerer vi vektoren y som den vektor, der har begyndelsespunktet C og slutpunktet A. Vinklen mellem vektorerne x og y er vinklen C i den pågældende trekant, og desuden ser vi, at x = a, og at y = b. Vektoren z = x y har begyndelsespunktet A og slutpunktet B, og vi ser, at z = x y = c. Vi finder nu, at z = x y 2 = (x y) (x y) = x x + y y 2x y = x 2 + y 2 2 x y cos(c), så c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(c). De to øvrige formler vises på analog måde. Øvelse. Cosinusrelationerne kaldes ofte den udvidede pythagoræiske læresætning. Vis ud fra cosinusrelationerne, at Pythagoras læresætning er opfyldt, netop når den betragtede trekant ABC er retvinklet. Vektorer i rummet I det sædvanlige euklidiske rum (det fysiske rum), der har tre dimensioner (længde, bredde og højde) kan vi vælge et fast punkt O, der kaldes nulpunktet eller origo, og tre på hinanden vinkelrette orienterede akser (førsteaksen, andenaksen og tredjeaksen). Når dette er gjort, kan ethvert punkt i rummet identificeres med et tripel (x 1, x 2, x 3 ), som vi også betegner som punktets koordinatsæt, og vi skriver så P = (x 1, x 2, x 3 ). Det er nu klart, at mængden af rummets punkter kan identificeres med mængden R 3 = R R R = {x = (x 1, x 2, x 3 ) x 1, x 2, x 3 R}. Elementerne x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 kaldes vektorer, og tallene x 1, x 2 og x 3 er henholdsvis første, anden og tredje koordinat for vektoren x. Mængden R 3 kaldes det 3-dimensionale talvektorrum. Nulvektoren er triplet 0 = (0, 0, 0), som også kaldes den uegentlige vektor, mens alle andre vektorer siges at være egentlige. Hvis P = (x 1, x 2, x 3 ), kan vektoren x = (x 1, x 2, x 3 ) også karakteriseres ved det orienterede linjestykke OP fra O til P, og vi siger at OP er en repræsentant for x.

REGNING MED VEKTORER I RUMMET I det 3-dimensionale talvektorrum R 3 kan vi indfører addition af vektorer og multiplikation af en skalar med en vektor på følgende måde. x, y R 3 : x + y = (x 1, x 2, x 3 ) + (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) og λ R x R 3 : λx = λ(x 1, x 2, x 3 ) = (λx 1, λx 2, λx 3 ). Desuden ser vi, at x, y R 3 : x y = (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1 y 1, x 2 y 2, x 3 y 3 ). Vi har derfor, at (2, 3, 19) + (7, 5, 4) = (9, 8, 15) og 2(5, 6, 13) = (10, 12, 26). Hvis λ 0 er et givet reelt tal, og a = (a 1, a 2, a 3 ), og b = (b 1, b 2, b 3 ) er givne vektorer, har vi således, at λx + a = b λx = b a x = 1 λ( b a ), så x = (x 1, x 2, x 3 ) = ( b 1 a 1 λ, b 2 a 2 λ, b 3 a ) 3. λ Længdeformlen. Enhver vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 har en længde eller en norm, som vi betegner med x, og som er lig med længden af det orienterede linjestykke OP, hvor P = (x 1, x 2, x 3 ). Idet vi sætter p = (x 1, x 2, 0) og q = (0, 0, x 3 ), ser vi, at x = (x 1, x 2, x 3 ) = p + q, og vi bemærker, at vektoren p ligger i den plan π(1, 2), der udspændes af første- og andenaksen, mens vektoren q er parallel med tredjeaksen og derfor vinkelret på p. Ved at benytte Pythagoras læresætning på den retvinklede trekant OQP, hvor Q = (x 1, x 2, 0), ser vi, at x = p 2 + q 2 = p 2 + x 2 3, og da det er klart, at p = x 2 1 + x 2 2,

ser vi, at x = Denne formel kaldes længdeformlen. x 2 1 + x 2 2 + x 2 3. Vi finder således, at (2, 5, 3) = 4 + 25 + 9 = 38, og vi ser, at der gælder følgende regler vedrørende normen for vektorer i det tre-dimensionale talvektorrum. (1) x R 3 : x 0 ( x = 0 x = 0 ). (2) λ R x R 3 : λx = λ x. (3) x, y R 3 : x ± y x + y. Den tredje regel kaldes trekantsuligheden. Afstandsformlen. Lad P = (x 1, x 2, x 3 ) og Q = (y 1, y 2, y 3 ) være to vilkårlige punkter i rummet. Afstanden d(p, Q) mellem punkterne P og Q (eller mellem vektorerne x = (x 1, x 2, x 3 ) og y = (y 1, y 2, y 3 )) er længden af vektoren y x, thi y = (y x) + x, så y x er den vektor, der har det orienterede linjestykke P Q fra P til Q som en repræsentant. Vi har altså, at d(p, Q) = d(x, y) = y x = Denne formel kaldes afstandsformlen. (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 + (y 3 x 3 ) 2. Hvis P = (4, 3, 2) og Q = ( 1, 0, 8), er afstanden mellem disse to punkter d(p, Q) = ( 5) 2 + 3 2 + 6 2 = 70, og vi ser desuden, at der gælder følgende regler. (1) x, y R 3 : d(x, y) 0 ( d(x, y) = 0 x = y ). (2) x, y R 3 : d(y, x) = d(x, y). (3) x, y, z R 3 : d(x, z) d(x, y) + d(y, z).

Den tredje regel kaldes trekantsuligheden. Vi vil herefter se på et par eksempler. Eksempel. En trekant ABC i rummet har vinkelspidserne A = (3, 5, 7), B = ( 1, 2, 4) og C = (11, 9, 2). Vi betragter nu vektorerne x = (3, 5, 7), y = ( 1, 2, 4) og z = (11, 9, 2). Da har siden a længden z y = 12 2 + 7 2 + ( 2) 2 = 144 + 49 + 4 = 197, siden b har længden z x = 8 2 + 4 2 + ( 5) 2 = 64 + 16 + 25 = 105, og siden c har længden y x = ( 4) 2 + ( 3) 2 + ( 3) 2 = 16 + 9 + 9 = 34. Eksempel. Vi betragter den kugle K, der har centrum i punktet M = (m 1, m 2, m 3 ), og som har radius r > 0. Kuglen K består af netop de punkter P = (x 1, x 2, x 3 ), der har afstanden d(p, M) = r fra centrum M. Vi har således, at K = {P = (x 1, x 2, x 3 ) d(p, M) = r} = {x = (x 1, x 2, x 3 ) (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 + (x 3 m 3 ) 2 = r} = og {x = (x 1, x 2, x 3 ) (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 + (x 3 m 3 ) 2 = r 2 }. Ligningerne (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 + (x 3 m 3 ) 2 = r (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 + (x 3 m 3 ) 2 = r 2 kaldes kuglens ligning. Hvis fx M = (2, 8, 3), og r = 6, ser vi, at den kugle K, der har centrum i punktet M, og som har radius r = 6, har ligningen (x 1 2) 2 + (x 2 8) 2 + (x 3 3) 2 = 36. Øvelse. De fire punkter A = (7, 9, 14), B = (3, 8, 5), C = (6, 7, 10) og D = (100, 4, 99) danner et såkaldt tetraeder i rummet. Beregn længden af kantlængderne AB, AC, BC, AD, BD og CD.

SKALARPRODUKTET Lad x = (x 1, x 2, x 3 ) og y = (y 1, y 2, y 3 ) være to vilkårlige vektorer fra det tredimensionale talvektorrum R 3. Ved skalarproduktet (eller prikproduktet) x y af vektorerne x og y forstås tallet x y = (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. at Vi bemærker, at x 0 = 0 for enhver vektor x R 3, og vi har desuden, (5, 3, 1) (7, 2, 9) = 35 6 + 9 = 38, og (1, 2, 1) (10, 1, 9) = 10 1 9 = 0. 2 Vi ser, at der gælder følgende regler for skalarproduktet i R 3. (1) x, y R 3 : x y = y x. (2) x, y, z R 3 : x (y + z) = x y + x z. (3) λ R x, y R 3 : λ(x y) = (λx) y = x (λy). (4) x R 3 : x x = x 2. Ligesom i tilfældet R 2, er det klart, at x y = 1 2( x y 2 x 2 y 2), så skalarproduktet x y for vektorer x, y R 3 afhænger ikke af, hvordan man drejer koordinatsystemet omkring nulpunktet O. Hvis fx x = 7, y = 5 og x y = 8, ser man, at x y = 1 2( 64 49 25 ) = 20. Det er klart, at x 0 = 0 y = 0 0 = 0 for alle vektorer x, y R 3. Hvis e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) og e 3 = (0, 0, 1), og hvis x = (x 1, x 2, x 3 ) er en vilkårlig vektor i R 3, ser vi, at x e 1 = x 1, x e 2 = x 2 og x e 3 = x 3,

så x = (x 1, x 2, x 3 ) = (x e 1, x e 2, x e 3 ) = (x e 1 )e 1 + (x e 2 )e 2 + (x e 3 )e 3. Lad nu x, y R 3 være to egentlige vektorer, og vælg koordinatsystemet, så x = ( x, 0, 0), hvilket er muligt, idet førsteaksen orienteres i retningen fra nulpunktet O til punktet P x = ( x, 0, 0). Idet vi nu yderligere antager, at y ikke har en repræsentant, som ligger på førsteaksen, vil vektorerne x og y udspænde en plan π(1, 2) i rummet. Vi vælger nu andenaksen til at være vinkelret på førsteaksen og til at ligge i planen π(1, 2), og så er y = (y 1, y 2, 0), hvor koordinaten y 1 er projektionen (regnet med fortegn) af y på x. Tredjeaksen vælges vinkelret på både førsteog andenaksen. Vi har nu, at x y = ( x, 0, 0) (y 1, y 2, 0) = x y 1. Vinklen θ mellem vektorerne x og y er defineret som vinklen i planen π(1, 2) mellem de to orienterede linjestykker OP x og OP y, hvor P x = ( x, 0, 0) og P y = (y 1, y 2, 0). Vi bemærker nu, at y 1 = y cos(θ), så ( ) x y = x y cos(θ), hvilket svarer nøje til et lignende resultat, vi fandt for skalarproduktet mellem to vektorer i vektorrummet R 2. Vi bemærker, at formlen ( ) også er gyldig for alle vektorer x, y R 3, altså også hvis x og y ligger på en og samme linje, eller hvis en af vektorerne eller de begge er lig med nulvektoren. I det tilfælde hvor både x og y er egentlige vektorer, får vi, at cos(θ) = x y x y. Hvis x = 0, eller y = 0 eller hvis x = y = 0, sætter vi vinklen θ = 90 o, hvilket viser sig praktisk. og Vi ser også, at x y > 0 θ er spids, x y = 0 θ er ret, x y < 0 θ er stump.

Vi vil nu se på et par eksempler og en øvelse. Eksempel. Vi betragter vektorerne x = (2, 1, 7) og y = (3, 5, 12). Da er x y = 6 5 + 84 = 85, x = 4 + 1 + 49 = 54 og y = 9 + 25 + 144 = 178, så cos(θ) = 85 54 178, hvoraf man får, at θ = 29, 89 o. Eksempel. For ethvert t R betragter vi vektorerne x = x(t) = (t, 2t, t) og y = y(t) = (2, t, 5t). Da er x y = 2t + 2t 2 5t 2 = 3t 2 + 2t, så x y = 0 t( 3t + 2) = 0 t = 0 t = 2 3. Lad θ være vinklen mellem vektorerne x og y. Vi har da, at θ er spids 0 < t < 2 3, og θ er ret t = 0 t = 2 3, θ er stump t < 0 t > 2 3. Øvelse. I vektorrummet R 3 betragter vi den trekant ABC, hvor A = (1, 2, 3), B = (7, 9, 13) og C = (5, 10, 12). Bestem sidernes kantlængder og størrelsen af vinkelspidserne i denne trekant. Vektorrum af højere dimension Vektorrummene R 1, R 2 og R 3, siges at have dimensionerne 1, 2 og 3, og vi har i de foregående afsnit set, at dimensionen af disse vektorrum er knyttet til geometrien henholdsvis på en ret linje, i planen eller i rummet. Imidlertid regnede vi med vektorerne i R 1, R 2 og R 3 udelukkende ved at anvende vektorernes koordinater, idet vi også bemærkede, at geometriske begreber som længder, afstande og vinkler kunne bestemmes ud fra kendskabet til vektorernes koordinater.

Vi vil derfor generalisere de opnåede resultater fra omtalen af vektorrummene R 1, R 2 og R 3 til enhver mængde R n = {x = (x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} bestående af n-sæt, hvor n N, og n > 3. Mængden R n kaldes det n-dimensionale talvektorrum, (eller blot det n-dimensionale vektorrum), og elementerne x = (x 1, x 2,..., x n ) R n kaldes vektorer. En vektor x = (x 1, x 2,..., x n ) R n har koordinaterne x 1, x 2,..., x n, hvor x i er den i te koordinat. Vektoren 0, hvis koordinater alle er 0, kaldes nulvektoren eller den uegentlige vektor, og enhver vektor x 0 siges at være en egentlig vektor. Vi vil nn se på et par eksempler. Eksempel. Vi betragter vektorerne e 1 = (1, 0, 0,..., 0,..., 0, 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0,..., 0, 0),...... e i = (0, 0, 0,..., 1,..., 0, 0),...... e n = (0, 0, 0,..., 0,..., 0, 1), fra vektorrummet R n, hvor alle koordinaterne i vektoren e i er 0 bortset fra den i te koordinat, som er 1. Disse n vektorer kan vi samle i vektorsættet ɛ n = (e 1, e 2, e 3,..., e i,..., e n 1, e n ), der kaldes den kanoniske basis eller standardbasen for vektorrummet R n. Eksempel. Vi kunne også betragte vektorerne f 1 = (0, 1, 1,..., 1,..., 1, 1), f 2 = (1, 0, 1,..., 1,..., 1, 1),...... f i = (1, 1, 1,..., 0,..., 1, 1),......

f n = (1, 1, 1,..., 1,..., 1, 0), fra vektorrummet R n, hvor alle koordinaterne i vektoren e i er 1 bortset fra den i te koordinat, som er 0. Disse n vektorer kan vi samle i vektorsættet ϕ n = (f 1, f 2, f 3,..., f i,..., f n 1, f n ). REGNING MED VEKTORER Vi skal se på, hvordan man regner med vektorer fra et vilkårligt vektorrum R n, hvor n N, og det er naturligvis vigtigt, at de regneregler, vi indførte på vektorrummene R 1, R 2 og R 3, er specialtilfælde af de regler, vi nu skal omtale. Hvis x = (x 1, x 2,..., x n ) og y = (y 1, y 2,..., y n ) er vilkårlige vektorer fra vektorrummet R n, definerer vi summen x + y af vektorerne x og y som den vektor i R n, der er givet ved x + y = (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ), så koordinaterne i summen x + y udregnes ved addition af koordinaterne i x og y. Desuden definerer vi den såkaldte skalarmultiplikation: Hvis λ R, og hvis x = (x 1, x 2,..., x n ) er en vilkårlig vektor i R n, er produktet λx af tallet λ og vektoren x den vektor, som er givet ved λx = λ(x 1, x 2,..., x n ) = (λx 1, λx 2,..., λx n ). Vektoren 0 = (0, 0,..., 0), hvor alle koordinaterne er 0, er som tidligere anført nulvektoren (i vektorrummet R n ), og vektoren x = ( x 1, x 2,..., x n ) kaldes den til x = (x 1, x 2,..., x n ) modsatte vektor. Bemærk, at x = ( 1)x. For regning med vektorer gælder følgende regler, der kaldes vektorrumsbetingelserne: (1) x, y R n : x + y = y + x. Vi udtrykker dette ved at sige, at vektoraddition er kommutativ.

(2) x, y, z R n : (x + y) + z = x + (y + z). Vektoraddition er associativ. (3) x R n : x + 0 = 0 + x = x. Nulvektoren 0 er neutral ved vektoraddition. (4) x R n : x + ( x) = ( x) + x = 0. (5) λ R x, y R n : λ(x + y) = λx + λy. (6) λ, µ R x R n : (λ + µ)x = λx + µx. (7) λ, µ R x R n : λ(µx) = (λµ)x. (8) x R n : 1x = x. Tallet 1 er neutralt ved skalarmultiplikation. Reglerne (5) og (6) kaldes de distributive love, og regel (7) er den associative lov for skalarmultiplikation. Vi definerer differensen x y mellem vektorerne x og y fra vektorrummet R n ved x y = x + ( y) = (x 1 y 1, x 2 y 2,..., x n y n ), og desuden gælder nulreglen for skalarmultiplikation: λx = 0 λ = 0 x = 0. Med disse grundlæggende regneregler er det nu muligt at regne med vektorer, nogenlunde ligesom man regner med reelle tal. Fx har vi, at (5, 4, 3, 9) + 2(1, 1, 2, 4) (3, 8, 5, 7) = og at (5, 4, 3, 9) + (2, 2, 4, 8) (3, 8, 5, 7) = (4, 6, 12, 10), λ 0 x, a, b R n : λx + a = b x = 1 λ( b a ). Lad os nu se på et par eksempler. Eksempel. I vektorrummet R 5 betragter vi de to vektorer a = (1, 2, 1, 3, 0) og b = (7, 9, 5, 0, 4). Vi vil nu bestemme den vektor x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) R 5, således at 2x + a = b.

Vi finder, at 2x + a = b x = 1 2( b a ) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = 1 2( 6, 7, 4, 3, 4 ) (x1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = ( 3, 7 2, 2, 3 2, 2). Eksempel. I vektorrummet R 4 betragter vi vektorerne x = x(t) = (1, 2t, 5t, 3) og y = y(s) = (s, 9s, 2, 4), hvor s, t R. Vi ser nu, at z(t, s) = 3x(t) + y(s) = 3(1, 2t, 5t, 3) + (s, 9s, 2, 4) = (3 + s, 6t + 9s, 2 + 15t, 5). Hvis t = s, finder vi, at z(s, s) = (3 + s, 15s, 2 + 15s, 5). Hele den grundlæggende abstrakte vektorrumsteori blev udviklet af den tyske matematiker Hermann Graßmann (1809-1877), der i 1844 udsendte værket Die lineare Ausdehnungslehre. Ein neuer Zweig der Mathematik. SKALARPRODUKTET På vektorrummet R n indfører vi skalarproduktet (eller prikproduktet, på engelsk: The Dot Product) x y af vektorerne x = (x 1, x 2,..., x n ) og y = (y 1, y 2,..., y n ) ved n x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + x n y n = x i y i, i=1 som altså er det tal, der opstår, når man ganger koordinaterne i x med koordinaterne i y og lægger alle disse produkter sammen. Bemærk, at skalarproduktet i vektorrummet R n er en umiddelbar generalisering af skalarproduktet i vektorrummene R 1, R 2 og R 3. For skalarproduktet i vektorrummet R n gælder følgende sætning. Sætning.(Regneregler for skalarproduktet) Man har, at (1) x, y R n : x y = y x.

(2) x, y, z R n : x (y + z) = x y + x z. (3) λ R x R n : (λx) y = λ(x y) = x (λy). (4) x R n : x x 0 x x = 0 x = 0. BEVIS. Lad os betragte vektorerne x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) og z = (z 1, z 2,..., z n ) fra vektorrummet R n, og lad λ R være vilkårligt valgt. Man har da, at n n x y = x i y i = y i x i = y x, i=1 i=1 n n n n x (y + z) = x i (y i + z i ) = (x i y i + x 1 z i ) = x i y i + x i z i = x y + x z, i=1 i=1 i=1 i=1 n n (λx) y = (λx i )y i = λ x i y i = λ(x y) i=1 i=1 n n (λx) y = (λx i )y i = x i (λy i ) = x (λy), i=1 i=1 n x x = x 2 i 0, i=1 og x x = 0 ( i = 1, 2,..., n : x 2 i = 0 x = 0 ). Hermed er sætningen bevist, og vi fortsætter så med at se på et par eksempler. Eksempel. Vi ser, at x 0 = 0 for alle vektorer x R n, og lad os i vektorrummet R 4 betragte vektorerne v = (7, 1, 6, 3) og u = (1, 5, 2, 4). Vi har da, at v u = (7, 1, 6, 3) (1, 5, 2, 4) = 7 + 5 12 + 12 = 12. Lad os endvidere betragte vektoren a = (2, 1, 3, 5) R 4. Hvis a x = 0, hvor x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ), har vi altså, at 2x 1 + x 2 + 3x 3 5x 4 = 0 x 2 = 2x 1 3x 3 + 5x 4,

hvilket viser, at A = {x R 4 a x = 0} = {x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 2 = 2x 1 3x 3 +5x 4 }. Eksempel. Lad ɛ n = (e 1, e 2,..., e n ) være den kanoniske basis for vektorrummet R n, og lad x = (x 1, x 2,..., x n ) være en vilkårlig vektor i R n. Vi ser da, at x e 1 = x 1, x e 2 = x 2,..., x e n 1 = x n 1 og x e n = x n, så x = (x e 1, x e 2,..., x e i,..., x e n ) = (x e 1 )e 1 + (x e 2 )e 2 +... + (x e i )e i +... + (x e n )e n. LÆNGDER OG AFSTANDE På basis af regel (4) for skalarproduktet indfører vi normen (eller længden) x af en vektor x R n ved x = x x = n x 2 i, og afstanden d(x, y) mellem vektorerne x og y defineres så ved i=1 d(x, y) = x y = n (x i y i ) 2. Fx har vi, at (1, 7, 3 2) = 1 + 49 + 9 + 4 = 63, og afstanden d(x, y) mellem vektorerne x = (2, 5, 6, 3) og y = (7, 5, 3, 1) er normen af vektoren x y = ( 5, 10, 3, 2), hvoraf vi ser, at d(x, y) = 25 + 100 + 9 + 4 = 138. i=1 Vi bemærker, at normen x af en vektor x R n og afstanden d(x, y) mellem to vektorer x og y er indført som en umiddelbar generalisering af begreberne længde og afstand i vektorrummene R 1, R 2 og R 3. På denne måde indfører vi geometriske begreber i vektorrummene R n, hvor n 4. For normer af vektorer gælder følgende regler: Regler for normer. Vi har, at

(1) x R n : x 0 x = 0 x = 0. (2) λ R x R n : λx = λ x. (3) x, y, z R n : x+y x + y. Denne regel kaldes trekantsuligheden. For afstanden d(x, y) mellem to vektorer (her x og y) gælder følgende tre regler, som hænger nøje sammen med de tre foregående regler for normer: Regler for afstande. Man har, at (1) x, y R n : d(x, y) = x y 0 d(x, y) = 0 x = y. (2) x, y R n : d(x, y) = x y = y x = d(y, x). (3) x, y, z R n : d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Denne regel kaldes også trekantsuligheden. Både for normer og adstande er reglerne (1) og (2) oplagte, mens reglen (3), altså trekantsuligheden, først kan vises, når vi har vist følgende interessante resultat, som er helt fundamentalt for vektorrumsteorien. Cauchy-Schwarz ulighed. Lad x og y være vilkårlige vektorer fra vektorrummet R n, hvor n N. Vi har da, at x y x y. Denne ulighed kaldes Cauchy-Schwarz ulighed. Sådan som den fremgår her, er den første gang vist af den franske matematiker Augustin Louis Cauchy (1789-1857) i 1821. I 1888 viste den tyske matematiker Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), at for to kontinuerte funktioner f og g, som er defineret på det kompakte interval [a, b] gælder det, at b b b f(x)g(x) dx f(x) 2 dx g(x) 2 dx. a a a Dette resultat er en generalisering af Cauchys ulighed til kontinuerte funktioner, hvor integralet b f(x)g(x) dx a skal opfattes som skalarproduktet mellem de to kontinuert funktioner f og g på intervallet [a, b]. Af og til kaldes uligheden også Bunyakowskys ulighed

efter den russiske matematiker Yalovlevich Bunyakowsky (1804-1889), der viste uligheden i 1859. BEVIS for Cauchy-Schwarz ulighed. Lad λ R være vilkårligt valgt, og lad x, y R n være to vilkårligt valgte vektorer. Vi ser da, at 0 λx + y 2 = (λx + y) (λx + y) = λ 2 x x + 2λx y + y y = λ 2 x 2 + 2λ(x y) + y 2. Disse udregninger viser, at andengradspolynomiet P, som er givet ved λ R : P (λ) = λ 2 x 2 + 2λ(x y) + y 2, højst har en reel rod, og derfor er diskriminanten Heraf får man så, at D = 4(x y) 2 4 x 2 y 2 0. (x y) 2 x 2 y 2 x y x y x y x y x y. BEVIS for trekantsuligheden. Lad x, y R n være vilkårligt valgt. Vi har da, at 0 x + y 2 = (x + y) (x + y) = x x + 2(x y) + y y = x 2 + 2(x y) + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2, hvor vi har benyttet Cauchy-Schwarz ulighed. Vi får nu, at x + y x + y, hvilket netop er trekantsuligheden for normer. Da x y = x + ( y), og da y = y, har vi også, at x y x + y, Lad nu x, y, z R n være vilkårligt valgte vektorer. Vi finder da, at d(x, z) = x z = (x y) + (y z)

x y + y z = d(x, y) + d(y, z). Hermed er trekantsuligheden bevist. Vi er nu nået så langt, at vi kan definere vinklen mellem to vektorer fra vektorrummet R n. Vinklen mellem to vektorer. Hvis x 0 og y 0 kan Cauchy- Schwarz ulighed omskrives til 1 x y x y 1, og da cos(θ) [ 1, 1] for ethvert θ R, definerer vi vinklen θ mellem vektorerne x og y ved at sætte cos(θ) = x y x y ), så θ = Arccos(. x y x y Hvis x y = 0, siges vektorerne x og y at være vinkelrette eller ortogonale vektorer, og vi skriver x y. Nulvektoren 0 regnes for at være vinkelret på alle vektorer. Vi ser umiddelbart, at følgende sætning er opfyldt Sætning. Lad x, y R n være vilkårlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem vektorerne x og y. Man har da, at x y > 0 θ er spids, og x y = 0 θ er ret, x y < 0 θ er stump. Vi bemærker, at vinkelbegrebet i vektorrummet R n, hvor n 4, har mening, fordi Cauchy-Schwarz ulighed er opfyldt. Vinkelbegrebet i vektorrummet R n, hvor n 4, er derfor baseret på skalarproduktet, og vi ser, at det velkendte og anskuelige vinkelbegreb i vektorrummene R 1, R 2 og R 3 er specialtilfælde af det generaliserede vinkelbegreb, vi netop har indført i vektorrummet R n, hvor n N. Vi vil herefter se på nogle eksempler. Eksempel. Hvis x = (2, 1, 5, 3) og y = (7, 3, 2, 4), er x y = 14 + 3 10 + 12 = 19,

og endvidere er x = 4 + 1 + 25 + 9 = 39 og y = 49 + 9 + 4 + 16 = 78. Vi får da, at vinklen θ mellem vektorerne x og y er θ = Arccos ( x y ) ( 19 ) = Arccos = 69, 85 o. x y 39 78 Eksempel. Lad t R, og lad os betragte vektorerne fra vektorrummet R 5. Vi ser, at så x = x(t) = (2, t, t, 3, t) og y = y(t) = (t, t, 5, t, 2) x y = 2t + t 2 5t 3t + 2t = t 2 4t, x y = 0 t 2 4t = 0 t = 0 t = 4. Vektorerne x og y er således ortogonale (vinkelrette), netop når t = 0, eller når t = 4. Vi ser også, at x y > 0 t > 4 t < 0, og da er vinklen θ mellem vektorerne x og y er spids, og endvidere ser vi, at og i dette tilfælde er vinklen θ stump. Vi sætter t = 1. Da er x y < 0 0 < t < 4, x = x(1) = (2, 1, 1, 3, 1) og y = y(1) = (1, 1, 5, 1, 2) Vi ser, at x(1) y(1) = 3, og at x(1) = 4 + 1 + 1 + 9 + 1 = 16 = 4 og y(1) = 1 + 1 + 25 + 1 + 4 = 32 = 4 2. Vinklen θ mellem vektorerne x(1) og y(1) er da givet ved θ = Arccos ( x(1) y(1) ) ( 3 = Arccos x(1) y(1) 16 ) = 97, 62 o. 2

Eksempel. En vektor u R n kaldes en enhedsvektor, dersom u = 1. Vi ser, at alle vektorerne e 1, e 2,..., e n 1 og e n i den kanoniske basis ɛ n for vektorrummet R n åbenbart er parvis ortogonale, idet vi jo har, at e i e j = δ i,j = { 0, for i j 1, for i = j, siger man, at sættet ɛ n = (e 1, e 2,..., e n ) er et ortonormalsæt. Symbolet δ i,j kaldes Kroneckers delta. Eksempel. Lad x R være en vilkårligt valgt egentlig vektor, så x 0. Da er vektoren u = 1 x x en enhedsvektor. Vi siger, at u er fremkommet ved normering af x. Lad x, y R n være to egentlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem x og y. Hvis u = 1 x x og v = 1 y y, ser vi, at u v = ( 1 x x) ( 1 y y) = x y x y = cos(θ). Dette viser, at vinklen mellem enhedsvektorerne u og v også er θ. Eksempel. Lad os se på vektorsættet ϕ = (f 1, f 2,..., f n ) fra R n, hvor n 2, og hvor vektoren f i = (1, 1,..., 1, 0, 1,..., 1, 1) har alle sine koordinater lig med 1 bortset fra den i te, der er lig med 0. Vi ser, at f i = n 1 for ethvert i = 1, 2,..., n. For i j får vi, at f i f j = n 2, og hvis θ i,j er vinklen mellem vektorerne f i og f j, finder vi, at θ i,j = Arccos ( n 2 ) ( n 2) = Arccos. n 1 n 1 n 1 For n = 100 har vi således, at θ i,j = Arccos ( 98) = 8, 15 o. 99

Vi bemærker, at n 2 n 1 1 for n, så θ i,j 0 o for n. Indre produkter Vi bemærker, at vektorers længder, afstande mellem vektorer og vinkler mellem vektorer er fastlagt udelukkende på grundlag af skalarproduktet og dets specifikke egenskaber, og denne iagttagelse er uhyre vigtig. På basis af de fire regler, der gælder for skalarproduktet, vil vi nemlig indføre indføre et mere generelt begreb, som vi skriver [x y], og som kaldes det indre produkt mellem vektorerne x og y fra vektorrummet R n. Dette gøres således: Definition. Ved det indre produkt [x y] mellem vektorerne x og y fra vektorrummet R n forstås en afbildning, der til vektorparret (x, y) knytter tallet [x y], så følgende regler er opfyldt: (1) x, y R n : [x y] = [y x]. (2) x, y, z R n : [x y + z] = [x y] + [x z]. (3) λ R x R n : [λx y] = λ[x y] = [x λy]. (4) x R n : [x x] 0 [x x] = 0 x = 0. ved Svarende til dette indre produkt indfører vi normen [[x]] af vektoren x [[x]] = [x x], og afstanden δ(x, y) mellem vektorerne x og y defineres som δ(x, y) = [[x y]]. Da vi ovenfor viste Cauchy-Schwarz ulighed, benyttede vi udelukkende skalarproduktets fire egenskaber, og da et indre produkt har netop de samme fire egenskaber som skalarproduktet, gælder Cauchy-Schwarz ulighed naturligvis også for et vilkårligt indre produkt. Vi har altså, at x, y R n : [[x]][[y]] [x y] [[x]][[y]],

og hvis x 0, og y 0, har vi tillige, at 1 [x y] [[x]][[y]] 1. Vi definerer derfor vinklen Θ mellem vektorerne x og y ved cos(θ) = [x y] [x y] ), så Θ = Arccos(. [[x]][[y]] [[x]][[y]] Hvis [x y] = 0, siges vektorerne x og y at være ortogonale (med hensyn til det valgte indre produkt), og vi skriver x y. Nulvektoren 0 er ortogonal på alle vektorer i vektorrummet R n. Hvis u R n har normen [[u]] = 1, siges u at være en enhedsvektor (med hensyn til det givne indre produkt). Vi vil herefter se på nogle eksempler. Eksempel. Lad os se på det indre produkt n [x y] = ix i y i = x 1 y 1 + 2x 2 y 2 +... + nx n y n i=1 i vektorrummet R n. Vi bemærker, at det enkelte led i den sum, der definerer dette indre produkt er vægtet med koordinatnummeret i. Hvis vi specielt sætter n = 4 og atter betragter vektorerne x = (2, 1, 5, 3) og y = (7, 3, 2, 4), får vi, at [x y] = 14 + 2 3 + 3 ( 10) + 4 12 = 14 + 6 30 + 48 = 38, og [[x]] = 4 + 2 1 + 3 25 + 3 9 = 4 + 2 + 75 + 27 = 108 [[y]] = 49 + 2 9 + 3 4 + 4 16 = 49 + 18 + 12 + 64 = 143, så i dette tilfælde får man, at Θ = Arccos ( [x y] ) ( 38 ) = Arccos = 76, 98 o. [[x]][[y]] 108 143 Hvis ikke andet er anført benytter man i praksis altid skalarproduktet.

Eksempel. Vi vil dog endnu en gang se på et andet indre produkt. Vi indfører i vektorrummet R 4 det indre produkt [x y] 0, som er defineret ved [x y] 0 = 1 2 x 1y 1 + 2x 2 y 2 + 8 5 x 3y 3 + 1 4 x 4y 4. Vi ser nu atter på vektorerne x = (2, 1, 5, 3) og y = (7, 3, 2, 4), og vi får da, at [x y] 0 = 1 2 14 + 2 3 8 5 10 + 1 12 = 7 + 6 16 + 3 = 0, 4 så med hensyn til det indre produkt [x y] 0 er vektorerne x og y åbenbart ortogonale. Eksempel. I planen (altså i vektorrummet R 2 ) betragter vi punkterne 0, e 1 = (1, 0) og e 2 = (0, 1). Disse tre punkter danner åbenbart en retvinklet, ligebenet trekant, når vi benytter den sædvanlige euclidiske plangeometri, og det gør vi helt automatisk, hvis vi benytter skalarproduktet, altså prikproduktet. Men lad os nu i vektorrummet R 2 indføre det indre produkt [x y], som er givet ved [x y] = 7x 1 y 1 + 2x 2 y 2, og vi ser straks, at [e 1 e 2 ] = 0, så vektorerne e 1 og e 2 er ortogonale, også med hensyn til dette indre produkt. Det betyder, at trekantsvinklen ved punktet 0 er Θ 0 = 90 o. Trekantsvinklen Θ 1 ved vinkelspidsen e 1, er vinklen mellem vektorerne e 1 = ( 1, 0) og e 2 e 1 = ( 1, 1). Vi finder, at [ e 1 e 2 e 1 ] = 7, at [[ e 1 ]] = 7, og at [[e 2 e 1 ]] = 3. Heraf finder vi så, at Θ 1 = Arccos ( [ e 1 e 2 e 1 ] ) ( 7 = Arccos [[ e 1 ]][[e 2 e 1 ]] 3 ) = 54, 74 o. 7 Endvidere får vi, at trekantsvinklen Θ 2 ved vinkelspidsen e 2, er vinklen mellem vektorerne e 2 = (0, 1) og e 1 e 2 = (1, 1). Vi finder i dette tilfælde, at [ e 2 e 1 e 2 ] = 2, at [[ e 2 ]] = 2, og at [[e 1 e 2 ]] = 3. Heraf finder vi så, at Θ 2 = Arccos ( [ e 2 e 1 e 2 ] ) ( 2 = Arccos [[ e 2 ]][[e 1 e 2 ]] 3 ) = 61, 87 o. 2 Med hensyn til det indre produkt [x y] er trekanten altså retvinklet, men vinkelsummen er ikke 180 o, som den er i det euclidiske tilfælde. Den er derimod Θ 0 + Θ 1 + Θ 2 = 90 o + 54, 74 o + 61, 87 o = 202, 61 o.

Linjer Fra plangeometrien (og rumgeometrien) ved vi, at man kan karakterisere en linje på følgende to (i princippet forskellige) måder: 1. En linje er en geometrisk størrelse, som går gennem et givet punkt P 0, og som har en bestemt retning, der er fastlagt ved en vektor r 0. Denne vektor kaldes en retningsvektor for linjen. 2. En linje er en geometrisk størrelse, som går gennem to forskellige givne punkter A og B, og som har retningen fra A til B. Vi vil nu benytte disse (ikke særligt præcise, men dog anskuelige) karakteriseringer til at definere, hvad man vil forstå ved linjer i et vilkårligt vektorrum R n, hvor n 2. Definition. Lad der i vektorrummet R n, hvor n 2, være givet et punkt P 0 = p = (p 1, p 2,..., p n ) og en egentlig vektor r = (r 1, r 2,..., r n ). Ved linjen L, der går gennem punktet P 0, og som har retningsvektoren r forstås punktmængden L = {P = x = (x 1, x 2,..., x n ) R n x = p + tr, hvor t R}. Vi har her tilladt os at identificere punkterne P 0 og P med deres tilhørende stedvektorer p og x. Når man opskriver en linje L på den ovenfor anførte måde, siger man, at linjen er givet ved en parameterfremstilling, og den variable t R kaldes en parameter. Vi vil herefter gennemgå nogle eksempler og se på den anden karakterisering af en ret linje. Eksempel. Lad P 0 = (5, 8, 4, 3, 9) være et fast punkt, og lad vektoren r = (3, 2, 7, 5, 2) være en given vektor i vektorrummet R 5. Den linje, L, der går gennem punktet P 0, og som har retningsvektoren r, har parameterfremstillingen x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = p + tr = (5, 8, 4, 3, 9) + t(3, 2, 7, 5, 2) = (5 + 3t, 8 + 2t, 4 + 7t, 3 + 5t, 9 2t), hvor t R. Vi bemærker, at punktet Q = (11, 12, 10, 13, 5) ligger på linjen L: (Sæt t = 2). Det er endvidere klart, at punktet Q 1 = (111, 12, 10, 13, 5) ikke ligger på linjen L.

Eksempel. I vektorrummet R n, hvor n 2, betragter vi nulpunktet O, og de n parvis ortogonale koordinatakser K 1, K 2,..., K n 1 og K n, som netop er de rette linjer, der går gennem punktet O, og som har retningsvektorerne henholdsvis e 1, e 2,..., e n 1 og e n. (Disse vektorer er vektorerne i den kanoniske basis ɛ n for vektorrummet R n.) Den i te koordinatakse K i har derfor parameterfremstillingen hvor t R. x = (x 1, x 2,..., x n ) = te i = (0, 0,..., 0, t, 0,..., 0, 0), Vi vil nu benytte den anden karakterisering af en ret linje. Lad A = (a 1, a 2,..., a n ) og B = (b 1, b 2,..., b n ) være to forskellige punkter i vektorrummet R n. Det er da klart, at den linje, L, der går gennem punkterne A og B, har vektoren r, som går fra A til B, som en retningsvektor. Altså er r = (b 1 a 1, b 2 a 2,..., b n a n ), og linjen L har derfor parameterfremstillingerne x = (a 1, a 2,..., a n ) + t(b 1 a 1, b 2 a 2,..., b n a n ) og hvor t R. x = (b 1, b 2,..., b n ) + t(b 1 a 1, b 2 a 2,..., b n a n ), Vi bemærker, at disse to parameterfremstillinger er forskellige - men lige gode! Desuden bemærker vi, at vektoren s = r = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ) også er en retningsvektor for linjen L. For øvrigt er enhver vektor v = kr, hvor k 0, en retningsvektor for denne rette linje. Eksempel. Lad os i vektorrummet R 4 betragte punkterne A = (4, 1, 3, 7) og B = (5, 6, 9, 2). Den linje L, der går gennem punkterne A og B har retningsvektoren r = (5, 6, 9, 2) (4, 1, 3, 7) = (1, 7, 6, 5). Linjen L har derfor parameterfremstillingerne x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (4, 1, 3, 7) + t(1, 7, 6, 5) = (4 + t, 1 7t, 3 + 6t, 7 5t)

og x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (5, 6, 9, 2)+t(1, 7, 6, 5) = (5+t, 6 7t, 9+6t, 2 5t), hvor t R. Hyperplaner En ret linje i planen og en plan i rummet er karakteriseret ved at gå gennem et givet punkt P 0 og ved at stå vinkelret på en bestemt fastsat retning, som er givet ved en egentlig vektor a 0. Denne karakterisering vil vi herefter benytte til at definere de såkaldte hyperplaner i vektorrummene R n, hvor n 1. I tilfældet n = 2 er en hyperplan således en ret linje i planen, og i tilfældet n = 3 er en hyperplan en sædvanlig plan i det velkendte 3-dimensionale rum. Definition. Lad vektorrummet R n være forsynet med skalarproduktet (prikproduktet). Lad der endvidere være givet et punkt P 0 = p = (p 1, p 2,..., p n ) og en egentlig vektor a = (a 1, a 2,..., a n ) i R n. Ved hyperplanen H = H(P 0, a), der går gennem punktet P 0, og som har normalvektoren a, forstås punktmængden H = {P = x = (x 1, x 2,..., x n ) a (x p) = 0} = {P = x = (x 1, x 2,..., x n ) a x = a p}. Vi siger, at hyperplanen H har ligningen a (x p) = 0 a 1 (x 1 p 1 ) + a 2 (x 2 p 2 ) +... + a n (x n p n ) = 0 a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = a 1 p 1 + a 2 p 2 +... + a n p n. Da a (x p) = 0 er ensbetydende med, at vektorerne a og x p er ortogonale, kunne vi også have karakteriseret hyperplanen H som punktmængden H = {P = x = (x 1, x 2,..., x n ) a (x p)}. Lad os se på et par eksempler.

Eksempel. I vektorrummet R 4 betragter vi punktet P 0 = p = (3, 5, 1, 2) og den egentlige vektor a = (7, 1, 1, 4). Den hyperplan H, som går gennem punktet P 0, og som har normalvektoren a, har derfor ligningen a x = a p 7x 1 + x 2 x 3 + 4x 4 = 33. Vi bemærker, at nulpunktet O ikke ligger i denne hyperplan. Eksempel. Vi betragter den hyperplan, H, i vektorrummet R 5, som går gennem nulpunktet O, og som har normalvektoren a = (1, 3, 4, 5, 2), og vi ser, at denne hyperplan har ligningen Vi ser endvidere, at a x = 0 x 1 + 3x 2 4x 3 + 5x 4 + 2x 5 = 0. x 1 + 3x 2 4x 3 + 5x 4 + 2x 5 = 0 x 1 = 3x 2 + 4x 3 5x 4 2x 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = ( 3x 2 + 4x 3 5x 4 2x 5, x 2, x 3, x 4, x 5 ) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = x 2 ( 3, 1, 0, 0, 0) + x 3 (4, 0, 1, 0, 0) + x 4 ( 5, 0, 0, 1, 0) + x 5 ( 2, 0, 0, 0, 1). Vi siger, at denne hyperplan er udspændt af vektorerne v 2 = ( 3, 1, 0, 0, 0), v 3 = (4, 0, 1, 0, 0), v 4 = ( 5, 0, 0, 1, 0) og v 5 = ( 2, 0, 0, 0, 1). Vi siger også, at vektorsættet υ = (v 2, v 3, v 4, v 5 ) er en basis for hyperplanen H. Eksempel. I vektorrummet R 3 betragter vi koordinatplanerne π(1, 2), π(1, 3) og π(2, 3), som er givet ved og π(1, 2) = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 3 = 0}, π(1, 3) = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 2 = 0} π(2, 3) = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 = 0}. Idet vi betragter vektorerne e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) og e 3 = (0, 0, 1) fra den kanoniske basis for R 3, ser vi, at π(1, 2) er den hyperplan, som går gennem nulpunktet O, og som har normalvektoren e 3. Tilsvarende ser vi, at π(1, 3) er den hyperplan, som går gennem nulpunket O, og som har

normalvektoren e 2, og π(2, 3) er den hyperplan, som går gennem nulpunktet O, og som har normalvektoren e 1. Lad os herefter betragte den kanoniske basis ɛ n = (e 1, e 2,..., e n ) for vektorrummet R n. Den hyperplan H(i), der går gennem nulpunket O, og som har normalvektoren e i, er da givet ved ligningen Vi siger, at hyperplanen x e i = 0 x i = 0. H(i) = {x R n x e i = 0} = {x = (x 1,..., x i 1, 0, x i+1,..., x n ) x 1,..., x i 1, 0, x i+1,..., x n R} er den i te koordinatplan i vektorrummet R n. Øvelse. Vi har ovenfor set, at enhver hyperplan H i vektorrummet R n har en ligning af formen a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = k, hvor a = (a 1, a 2,..., a n ) 0 er en normalvektor for hyperplanen, og hvor k R er en given konstant. Vis, at hyperplanen H går gennem nulpunktet O, hvis og kun hvis k = 0. Vis, at enhver mængde M = {x = (x 1, x 2,..., x n ) R n a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = k}, hvor a = (a 1, a 2,..., a n ) 0, og hvor k R, er en hyperplan, der har a som normalvektor. HESSES AFSTANDSFORMEL Lad os i vektorrummet R n benytte det sædvanlige indre produkt, altså prikproduktet. Lad os endvidere betragte den hyperplan H, som er givet ved ligningen n a x = a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = a i x i = k, i=1 hvor a 0 er en normalvektor for hyperplanen H, og k er en given konstant, så k = a p for et givet punkt p H.

Lad nu y R n være en vektor, så y / H. Vektoren y ligger altså ikke i hyperplanen H, og med d betegner vi afstanden mellem punktet y og hyperplanen H. Vi vil nu bestemme en formel for d. Idet p H, og idet vi benytter Cauchy-Schwarz ulighed, får vi, at a (y p) = a y p cos(θ), hvor θ er vinklen mellem vektorerne a og y p. Vi bemærker nu, at d = y p cos(θ), hvilket man kan anskueliggøre ved at lave en tegning af situationen i vektorrummet R 2, altså i den sædvanlige tegneplan. Vi får så, at a (y p) = d a, så d = a (y p) a = a y a p a = a y k. a Dette er Hesses afstandsformel, som er fundet af den tyske matematiker Ludwig Otto Hesse (1811-1874). Vi vil nu se på et par eksempler. Eksempel. Vi betragter den hyperplan H i vektorrummet R 4, som er givet ved ligningen 2x 1 + 3x 2 x 3 + 5x 4 = 2. Vi ser straks, at vektoren a = (2, 3, 1, 5) er en normalvektor for H, og hvis vi betragter vektoren y = (1, 1, 9, 3) er det klart, at så y / H. Desuden har vi, at a y = 2 + 3 9 + 15 = 11, a = 4 + 9 + 1 + 25 = 39, og ved at benytte Hesses afstandsformel får vi, at afstanden d mellem y og H er a y k a y 2 d = = = 9. a a 39

Eksempel. Vi vil nu betragte de to hyperplaner H 0 og H 1 i vektorrummet R 4, som er givet ved ligningerne H 0 : x 1 + 2x 2 3x 3 4x 4 = 0 og H 1 : x 1 + 2x 2 3x 3 4x 4 = 2. Da disse to hyperplaner har den samme normalvektor, a = (1, 2, 3, 4), er de parallelle, og vi vil nu betemme afstanden d mellem dem. Det er klart, at denne afstand kan man finde ved at finde afstanden mellem hyperplanen H 1 og et bestem punkt i H 0. Vi vælger dette punkt til at være 0, thi det er jo klart, at nulpunktet O ligger i hyperplanen H 0. Vi får så, at d = a x 0 k a = a 0 ( 2) a = 2 30, idet a = 30. HYPERPLANER OG INDRE PRODUKTER Vi har i det foregående set, at en hyperplan H i vektorrummet R n er givet ved en ligning af formen a x = k a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = k, hvor a = (a 1, a 2,..., a n ) 0 er en normalvektor for H, og hvor k R er en given konstant. Vi bemærker, at hyperplanens ligning er udregnet ved at benytte skalarproduktet (prikproduktet) i vektorrummet R n. Men vi kunne selvfølgelig også have opbygget en ganske tilsvarende teori for hyperplaner ved at have benyttet et vilkårligt indre produkt. Lad os derfor betragte et givet indre produkt [ ] på vektorrummet R n. Lad a = (a 1, a 2,..., a n ) 0 være en given egentlig vektor, og lad P = p = (p 1, p 2,..., p n ) være et givet punkt. Ved hyperplanen H, der går gennem punktet P, og som har normalvektoren a forstås mængden H = H(p, a) = {x R n [a x p] = 0} = {x R n [a x] = [a p]}. Vi siger, at ligningen [a x p] = 0 [a x] = [a p],

er en ligning for hyperplanen H. Lad nu H være en hyperplan med ligningen [a x] = k, hvor k = [a p], og lad y være en vektor (eller et punkt, skulle vi måske snarere sige), som ikke ligger i hyperplanen H. Vi kan nu let og elegant generalisere Hesses afstandsformel, hvor vi for prikproduktet benytter det givne indre produkt, og vi ser så, at afstanden d mellem punktet y og hyperplanen H er givet ved formlen [a y] k d =. [[a]] Vi slutter dette afsnit med at se på et eksempel. Eksempel. Lad os i vektorrummet R 4 betragte det indre produkt, som er givet ved x, y R 4 : [x y] = 2x 1 y 1 + x 2 y 2 + 3x 3 y 3 + x 4 y 4. Lad a = (1, 2, 3, 4) og lad P = p = (3, 0, 1, 1) være en given egentlig vektor og et givet punkt. Den hyperplan H, som går gennem punktet P, og som har normalvektoren a, har ligningen [a x] = [a p] 2x 1 + 2x 2 9x 3 + 4x 4 = 7. Punktet y = (2, 1, 4, 1) ligger ikke i hyperplanen H, thi [a y] = 34. Idet [[a]] = 7, er afstanden d mellem punktet y og hyperplanen H givet ved d = [a y] k [[a]] = 34 ( 7) 7 = 27 7.