Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen på denne mængde. Er rækken en potensrække? (b) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken (ln(x)) n er konvergent og angiv sumfuntionen på denne mængde. Er rækken en potensrække? (c) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken er konvergent. Hvis f betegner sumfunktionen beregn da f (), f (5) () og f (8) (). Er det en potensrække? x n Besvarelse: (a) Hvis x eller x vil leddene i rækken ikke gå mod nul og divergenstesten fortæller os at rækken er divergent. Hvis x < er den geometriske række xn absolut konvergent med sumfunktion ( x). Hvis x > er den geometriske række (x) n absolut konvergent med sumfunktion ( (x) ). Derfor er den givne række konvergent præcis når < x < med sumfunktion x + x x. Da konvergensmængden består af to disjunkte intervaller ], [ og ], [ kan det ikke være en potensrække i x.
(b) Rækken er en geometrisk række og er konvergent præcis når ln(x) <, dvs. for x ]e, e[, hvor sumfunktionen er ( ln(x)). Det n. led i rækken er (ln(x)) n. For n er et sådant led ikke på formen a k (x a) k, idet leddet ikke er konstant og (ln(x)) n a k (x a) k når x for alle værdier af k N og (også komplekse) a k og a. Rækken er således ikke en potensrække i variablen x. Den er en potensrække i variablen y = ln(x). (c) Hvis x går leddene ikke mod, så divergenstesten giver, at rækken ikke er konvergent i dette tilfælde. Vi benytter forholdstesten til at Rettet 4-5- undersøge x < (hvis x = er rækken klart konvergent). x n+ x n n+ n = x = x n < når n da x <. Konvergensmængden er derfor x <. Rækken er en potensrække, da den er på formen k= a k(x a) k med a = og a k =, hvis k er en potens k = n for et n =,,,... og ellers. Da en potensrække er Taylorrække for sin sumfunktion får vi, at der for sumfunktionen f gælder, at f (k) () = a k k!. Dvs. f () = svarende til k = =, f (5) () = da 5 ikke er en -potens og f (8) () = 8! svarende til k = 8 = 3. Opgave (4%) For hver af nedenstående potensrækker skal man angive konvergensintervallet (husk at undersøge endepunkter) og sumfunktionen. (a) (%) (b) (%) (c) (%) (d) (%) (n)! x n ( ) n (x + π 3 )n+ (n)! n + n (n )!
Besvarelse: (a) Rækken er konvergent for x =, men ikke for nogle andre x idet ((n + ))! + = (n + )(n + ) x (n)! xn (b) når n for x. Konvergensintervallet er altså punktet x = og sumfunktionen er funktionen defineret i med værdien! =. ( ) n (x + π 3 )n+ (n)! = (x+ π 3 ) ( ) n (x + π 3 )n = (x+ π (n)! 3 ) cos(x+π 3 ) idet vi genkender Taylorrækken for cosinus som er konvergent på hele den reelle akse, så konvergensintervallet i dette tilfælde er hele R. (c) Hvis x får vi ved ledvis integration af potensrækken n + = = x x x x x x t n+ dt = x t t n dt = x + x ln( x) dt = t x t t dt Vi ved at udregningen ovenfor er korrekt for alle x <, idet rækken tn har konvergensradius og ledvis integration er tilladt på det indre af konvergensintervallet. For x = bliver rækken alternerende og leddene er aftagende og går imod nul. Rækker er derfor konvergent ved alternerende række testen. For x = er rækken divergent, hvilket ses ved sammenligning med den harmoniske række, idet n+ n = n n + når n. Konvergensintervallet er altså [, [ og sumfunktionen på dette interval er f(x) = x (x + ln( x)) for x (for x = ses dette ved Abels Sætning idet det givne f er kontinuert i x = ) og f() = / (ses ved indsættelse af x = i rækken). (d) Ved ledvis differentiation af potensrækken får vi ( ) n = x d (n )! dx (n )! = x d x dx (n )! () = x d dx (xex ) = x e x + xe x. () 3
Udregningen ovenfor er korrekt på hele R idet rækken (n )! har konvergensradius uendelig med sumfunktion e x. Konvergensintervallet for den givne række er altså R og sumfunktionen er (x + x)e x. Betragt potensrækken Opgave 3 (3%) og lad f betegne sumfunktionen på konvergensintervallet. (a) (%) Bestem konvergensintervallet. (b) (%) Vis, at f på det åbne konvergensinterval opfylder differentialligningen x 3 f (x) + 3x f (x) + xf (x) + f(x) = x. (c) (%) Vis, at f er den eneste sumfunktion for en potensrække a n som løser differentialligningen i (b). Besvarelse: (a) Rækken er klart konvergent for x =. Hvis x benytter vi forholdstesten til at bestemme konvergensradius x n+ (n+) 3 + x n n 3 + = x x (n + ) 3 + når n. Vi konkluderer, at konvergensradius er. Vi skal undersøge endepunkterne x = ±. Her får vi = som er konvergent da og vi ved at n 3 + n 3 n 3 er konvergent. Altså er rækken absolut konvergent i endepunkterne og konvergensintervallet er [, ]. 4
(b) Ved ledvis differentiation af potensrækken på det åbne konvergensinterval finder vi, at x 3 f (x) + 3x f (x) + xf (x) + f(x) = (n(n )(n ) + 3n(n ) + n + ) = (n(n )(n ) + 3n(n ) + n + ) = (n(n )(n + ) + n + ) = (n(n ) + )(n + ) = (n 3 + ) = = x (c) Hvis a n har sumfunktion g, finder vi på det indre af konvergensintervallet ved ledvis differentiation og samme udregning som ovenfor, at x 3 g (x) + 3x g (x) + xg (x) + g(x) = ()a n. Hvis g løser differentialligningen finder vi altså, at på det indre af konvergensintervallet for rækken a n er ()a n = x. Da en potensrække er Taylorrække for sin sumfunktion ser vi, at rækken til venstre er Taylorrækken (i ) for, dvs. rækken x xn. Vi konkluderer, at a n = (), hvilket var, hvad vi skulle vise. 5