Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst er det, i skolen, ikke. Komplekse tal hedder i øvrit også: imaginære tal. Det er ikke så komplekst og beskriver lidt, hvad det er, nemlig tal som ikke tilhører vores normale tal, men er imaginære(indbildte). Vi vil alligevel i det videre forløb kalde dem komplekse tal. Hvorfor har vi disse underlige tal? Vi ser på en ligning: x 2 + 1 = 0 En helt normal andengradsligning. Hvis vi nu prøver at finde en løsning, får vi et problem: x 2 = 1 Findes der et tal som, multipliceret med sig selv bliver noget negativt? Hvis vi multiplicerer et positivt tal med et positivt tal får vi igen et positivt tal. Når vi gør det samme med to negative tal? Så får vi også et positivt tal. Hidtil har vi så bare sagt, at vi ikke har nogen løsning. Men nu definerer vi noget, sådan at vi kan løse sådan nogle ligninger. (For de interesserede: De komplekse tal er den algebraske afslutning af polynomiumsligniner, dvs. til enhver n-te-grads-ligning kan løses (der findes præcis n løsninger.)) Definition:i = 1 i 2 = 1 Nu ser vi på vores første ligning. Der ser vi allerede, at løsningen må være i. Nu prøver vi en ligning mere: 1
x 2 + 5x + 8, 5 = 0 D = 5 2 4 1 8, 5 D = 9 x = 5 ± 9 2 1 Vi ser nu, at vi skal finde kvadratroden af -9. Det er ikke muligt...ikke muligt med de midler vi hidtil kendte. Men nu har vi komplekse tal. Man må omskrive kvadratrødder til: 1 9 når der er et gange-tegn mellem delene i kvadratroden. af 9 kan vi uden problemer finde en løsning: 3. For 1 har vi jo lige defineret, at det er i! Dermed får vi: 5 ± 3i x = 2 1 x = 2, 5 + 1, 5i x = 2, 5 1, 5i Det er en løsning, skrevet som komplekst tal. Komplekse tal kan nemlig skrives på formen: a+bi, hvor a og b er normale, reele tal (reele tal er de tal vi kender. Se Apendix for en nøjere forklaring af reele tal). Nu endnu nogle regneregler: Addition: Multiplikation: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c b d) + (a d + b c)i To eksempler: (3 + 4i) + (5 + 2i) = (3 + 5) + (4 + 2)i = 8 + 6i ( 2 + 3i) (4 3i) = ( 2 4 3 3) + ( 2 3 + 3 4)i = 1 + 18i Nu ved vi hvordan vi adderer/subtraherer og multiplicerer. Nu mangler vi endnu division. Vi kan regne med komplekse tal, som vi er vandt til det med de reele tal. Hvis vi skriver et komplekst tal, så vil vi helst skrive det på formen: a + bi. Vi ser nu på et eksempel for divion, eller rettere: omskrivning af brøker med et komplekst tal i nævneren: z = 6 3 2i 2
Nu skal vi omforme brøkken. Det kan vi ikke lige nu. Vi skal først lære noget: Den komplekse konjugerede: (a + bi) (a bi) = a 2 + b 2 Det er noget som vi kender: to tals sum gange de samme to tals differens er lige med kvadratet på første led minus kvadratet på andet led. Da vi i andet led har i og da i 2 = 1 har vi her et plus mellem de to led. Men vigtigt er, at vi får et resultat der IKKE indeholder i. Vi forlænger nu vores brøk med den komplekse konjugerede. Den komplekse konjugerede af et komplekst tal a + bi er a bi, altså med et omvendt fortegn i midten. 6 (3 + 2i) z = (3 2i) (3 + 2i) 18 + 12i z = 9 + 4 z = 18 13 + 12 13 i 2 Forskellige former at skrive komplekse tal på Et komplekst tal kan skrives, som vi har set på formen a + bi. Men vi kan også skrive det som et talpar (a,b). Når vi ser på det talpar, så minder det meget om skrivemåden af et punkt. Præcis det vil vi bruge. Vi kan tegne et komplekst tal ind i en plan, med den reele del a på x-aksen og den imaginære del b på y-aksen. Figur 1: Komplekst talplan En anden metode, også i talplanen, er at angive det komplekse tal ved at angive længden af vektoren der repræsenterer det komplekse tal og vinklen mellem vektoren og x-aksen, målt fra 0. F.eks. repræsenterer vektoren på figuren ovenover det komplekse tal 2 + 3i. Hvordan kan man omregne et komplekst tal til en længde og en vinkel? Længden af en vektor kan vi let finde: Når vi har det komplekse tal a + bi så er det: 3
a + bi = a 2 + b 2 At finde vinklen er lidt sværere. Dert skal vi beregne både ( ) ( ) b a sin cos a + bi a + bi Det skal gerne regnes i radianer. Resultatet skulle være mellem π og π, eller, når man alligevel regner i grader, mellem -180 og +180. Man skal regne på begge ting, fodi det enkeltvis ikke er entydigt. Når man får forskellige resultater kan man se i følgende tabel, hvilket resultat der er rigtigt. a positivt b positivt 0 til π 2 negativt π 2 til π negativt π 2 til 0 π 2 til π Tabel 1: Vinkler til forskellige resultater i radianer a positivt negativt b positivt 0 til 90 90 til 180 negativt -90 til 0-180 til -90 Tabel 2: Vinkler til forskellige resultater i grader I tabellen kan aflæses i hvilket område (hhv. radianer eller grader) vinklen skal ligge. Dermed har vi flere forskellige metoder til at udtrykke et komplekst tal på. Særlig interessant er nok at kunne indtegne det i en talplan. Det skal vi se på lidt mere. 3 Komplekst talplan Vi har længere oppe set at man kan indtegne et komplekst tal i en talplan, sådan som vi før kunne indtegne vores normale tal på en tallinie. Når vi ser på additionen af to tal i talplanen, så opdager vi, at det svarer til vektor-addition, som vi kender det fra normale vektorer. Det er ligemeget i hvilken rækkefølge tallene lægges sammen. Se dertil tegningen nedenfor. 4
Figur 2: Addition af to komplekse tal Multiplikation er lidt vanskelligere. Her er det bedst at bruge de komplekse tal udtrykt som en længde og en vinkel. Multiplikation af to komplekse tal i talplanen er så en multiplikation af deres længder og en addition af deres vinkler. Det kan ses på figuren nedenunder. prøv at gange i og i, idet i har længden 1 og en vinkel på π 2 eller 90. Resultatet skulle blive -1, idet længden forbliver 1 (1 1) og vinklen bliver π (eller 180 ). Figur 3: Multiplikation af to komplekse tal Dermed afslutter vi kort-oversigten over komplekse tal. Jeg håber at de komplekse/imaginære tal ikke mere er så kompleks. 5
4 Apendix A Vi ser kort på forskellige tal. Vi har de naturlige tal, med og uden 0, de hele tal, de rationalle tal, de reele tal og nu også de komplekse tal. Hvad er de? En oversigt: N = 1, 2, 3,...naturlige tal N = 0, 1, 2, 3,...naturlige tal med 0 Z = 0, ±1, ±2, ±3,...hele tal Q = p, hvor p er et helt tal og q er et naturligt tal. De rationalle tal q R = alle reele tal, se nærmere forklaring C = a + bi, hvor a og b er reele tal De reele tal er alle tal er alle tal der kan skrives på formen: ±...xxxx,xxxxx... Eller mere matematisk: ± a 10 i, a N i= 6