18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges
Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges... 3 F 1. Strain gauge... 3 F 2. Wheatstonebroen... 6 F 3. Tøjningstransformation og rosette gauge teori... 7 F 4. Referenceliste... 11 Side II
Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges Formålet med dette afsnit er at beskrive den grundlæggende strain gauges teori. Der vil blive behandlet følgende emner strain gaugens grundligning beskrivelse af Wheatstonebroens virkemåde tøjningstransformation og rosette gauge teori Afsnittet er skrevet i henhold til notatet Noter til eksperimentielle metoder 1 F 1. Strain gauge En strain gauge er en enhed der benyttes til tøjningsmåling. Strain gaugen består at en række ledende metaltråde, der er omsluttet af en beskyttende folie. Strain gaugen påsættes konstruktionsdelen i det punkt der ønskes undersøgt. Strain gaugen er underlagt de samme tøjninger, som konstruktionsdelen. Tøjningerne i materialet medfører at strain gaugens metaltråde forkortes eller forlænges, hvormed den elektriske modstand tilsvarende ændres. Modstandsændringen bestemmes ved anvendelse at et signalkonditioneringskredsløb, der benævnes en Wheatstone bro. Modstandsændringen omregnes til en tøjning. Strain gauges fås i forskellige udformninger og størrelser, de hyppigst anvendte gaugelængder er 3 6 mm. Strain gauges måler tøjningen i trådens længderetning, det betyder enkelt gauges måler i én retning og rosette gauges måler i tre retninger. Rosette gauges består principielt af tre enkelt gauges, der er sammensat i det samme punkt. Rosette gauges og teorien herom behandles særskilt i afsnit F 3. Nedenstående figur illustrerer en principskitse af en enkelt gauge og en rosette gauge, tilsvarende til de der anvendt i forsøgene. Figur 1: Principskitse af enkelt gauge og rosette gauge Strain gauges måler tøjningen som en gennemsnitstøjning målt over metaltrådens udstrækning i gaugens lænderetning. Måles tøjningen i et område med en varierende tøjning, som f.eks. omkring et hul, opnås det det bedste resultat ved anvende små strain gauges. Nedenstående figur illustrerer en strain gauge placeret i et område med stor tøjningsvariation. 1 Undervisningsnotat til undervisningen eksperimentelle metoder. Side 3
Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Figur 2: Stain gauge placeret i et område med varierende tøjning, f.eks. omkring et hul. Kilde: Strain gages and instruments, Tech node TN 505 4, side 54, af Vishay Micro Measurements. I det følgende opstilles strain gaugens grundligning. Ligningen udtrykker sammenhængen mellem modstandsændringen og længdetøjningen. Modstanden gennem en metaltråd er en funktion af tværsnitsarealet, længden, samt den specifikke modstand af materialet, se formel (F.1) (F.1) Hvor er den specifikke modstand af materialet A er tværsnitsarealet L er længden af materialer Modstandsændringen i strain gaugen er en kombination af længdeændringen, tværsnitsændringen samt modstandsændringen. Dette kan opskrives ved formel (F.2) (F.2) Udtrykket for R indsættes i ligning (F.2) 1 (F.3) Der divideres igennem med R. 1 1 1 (F.4) Tøjningen i strain gaugens længderetning skrives som (F.5) Side 4
Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Det antages at metaltråden i strain gaugen er en cirkulær tråd. Tværsnitsarealet bliver formindsket forudsat at længdetøjningen er positiv. Diameteren af metaltråden formindskes med 1 (F.6) Hvor ν er Poissons forhold for ledningsmaterialet. Arealændringen i forhold til oprindelige areal beskrives ved 4 4 4 4 1 4 4 2 (F.7) Ændringen i tværsnitsarealet kan forudsat små tøjninger skrives som 2 (F.8) Udtryk (F.7) indsættes i (F.4). 1 2 (F.9) Modstandsændringen i strain gaugen kan dermed skrives som en funktion at længdetøjningen ganget med en gauge faktor k. R R k (F.10) Hvor _ 12 Gauge faktoren k, angiver strain gaugens følsomhed. Faktoren kan bestemmes eksperimentelt, men opgives normalt af producenten. Nedenstående figur illustrerer dataetiketten for de anvendte enkelt strain gauges. Gauge faktoren er markeret med en sort cirkel. Side 5
Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Figur 3: Dataetiket for enkelt strain gauge. Gauge faktor k=2,10 Der anvendes rosette gauges med en gauge faktoren på2,12. Modstanden gennem en strain gauges kan variere som følge af en temperatur ændring. Der anvendes temperaturkompenserende gauges der har samme temperaturudvidelseskoefficient som stålet. Forsøgene udføres over relativt kort tid, og strain gauges nulstilles inden forsøgsstart. Temperaturen betragtes derfor ikke som en potentiel fejlkilde. F 2. Wheatstonebroen For at måle den relative modstandsændring benyttes et signalkonditioneringskredsløb i form af en Wheatstonebro, se figur 4. Figur 4: Skitse af Wheatstone bro Wheatstonebroen er opbygget af fire modstande, der er parvist seriekoblede. Modstandene er af samme størrelse (120 Ω). Systemet opbygges af tre konstante modstande og en variabel modstand (strain gauge). I det følgende regnes der med at R 12 er erstattet af en strain gauge. Princippet i Wheatstonebroen er at påsætte en bro spænding, V e over punkterne 2 og 3. Strømmen vil forudsat at alle modstande er ens, fordele sig ligeligt gennem modstand R 13 og R 34. Er strømmen ens i punkterne 1 og 4 vil spændingensforskellen V 0 over punkterne være nul. Dette system kaldes afbalanceret. Ændres strain gaugens modstand vil strømmen i punkterne 1 og 4 være forskellige og der vil opstå en spændingsforskel mellem punkterne 1 og 4. Spændingen V 0 betegnes outputspændingen. Det betyder at der proportionalitet mellem modstandsændringen og outputspændingen. Sammenhæng beskrives med Wheatstonebroens generaliserede grundligning. Side 6
Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil 1 _ 4 I henhold til formel (F.10) kan modstandsændringen skrives som R R k (F.11) (F.12) formel (F.12) indsættes i (F.11) _ 4 Erstattet én af modstandende wheatstonebroen med en strain gauge. (F.13) Der forekommer ingen modstandsændring i modstandene R 13, R 24 og R 34 og tøjningerne for disse bliver 0. Kendes k, V 0 og V e kan strain gaugens tøjning (ε 12 ) findes ved ε 12 4 k V0 V e_ (F.14) Dataloggeren påsætter en brospænding V e i Volt og registrerer spændingsændringen i mv. Det betyder outputsignalet registreres som Signal1000 V0 V e_ (F.15) Indsættes dette i (F.14) og ganges der med 1000 registreres tøjningen direkte i millistrain. ε 12 4 k signal 1000 1000 4 k (F.16) Faktoren 4 indtastes i loggerens opsætningsprogram. Det bemærkes at gauge faktoren k er forskellige for enkelt og rosette k gauge. F 3. Tøjningstransformation og rosette gauge teori Rosette gauges virker, som enkelt gauges, ved at måle tøjningen i trådens længderetning. En rosette gauge måler tre uafhængige tøjninger i det samme punkt, forudsat de er placeret i det samme punkt. Der anvendes i dette projekt rektangulære rosetter med en indbyrdes vinkel på 45 grader, se figur 5. Side 7
Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Figur 5: Rosette placeret på toppen af referencebjælken. Rosetterne placeres på bjælken efter et referencekoordinatsystem tilsvarende det koordinatsystem der er anvendes til at modellere bjælken i ANSYS. Dette muliggør en direkte sammenligning mellem forsøgsresultater og en ANSYS model. Reference koordinatsystemet benævnes i det efterfølgende x y koordinatsystemet. I tilfælde af at en rosette er placeret skævt i forhold til x y koordinatsystemet transformeres tøjningen til x y koordinatsystemet. Koordinatsystmet der ligger i en vinkel θ til x y koordinatsystemet benævnes (x y ). Nedenstående figur illustrerer en rosette gauge drejet en vinkel i forhold til x y koordinatsystemet. Figur 6: Rosette gauge De af strain gaugen målte størrelser benævnes, og, og kan udtrykkes i form af tøjningskomposanterne, og. Der gælder følgende sammenhæng (F.17) Side 8
Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Hvor, 45,sin45, Der tages først udgangspunkt i udtrykket. cos sin,, sin 2 (F.18) Udtrykkene skrives ligeledes for og 45 45 2 sin 45 cos 45 (F.19) 2 (F.20) I tilfælde af at rosetten er placeret i x y systemet er 0 reduceres ligningssystemet til: 2 Tøjningerne i x y systemet kan optegnes i Mohr s Cirkel og hovedtøjningerne og kan findes. Mohr s Cirkel er illustreret på nedenstående figur. Figur 7: Mohr s Cirkel for en rektangulær rosette Side 9
Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil I tilfælde af at 0 opstilles formel (F.18), (F.19), (F.20) på matixform. 2 45 45 2 sin 45 cos 45 2 Det første led til højre for lighedstegnet invertes. 2 45 45 2 sin 45 cos 45 2 Tøjningerne i punktet omregnes til spændinger ved at anvende Hookes lov for plan spændingstilstand. 1 0 1 1 0 0 0 1 (F.21) Side 10
Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil F 4. Referenceliste Undervisnings notat til undervisningen eksperimentelle metoder Strain gages and instruments, Tech node TN 505 4, Vishay Micro Measurements Side 11