Signalbehandling og matemati Tiddirete ignaler og ytemer Seion 0. Deign of digital IIR filter Ved Samuel Schmidt chmidt@ht.aau.d htt://www.ht.aau.d/~chmidt/mat/
IIR og FIR filtre IIR FIR Sytemer med uendelige imul reon har altid mindt en betydende ol det vil ige ie nul oler eller ohævede oler H a Sytemer med endelige imul reon har ingen betydende oler det vil ige ie nul oler eller ohævede oler Eemel: H b General form: Inver tranformation: H h n M 0 M 0 b b x[ n ]
IIR v FIR filter Hvorfor IIR filtre? IIR filter har tejlere idelobe end et FIR filter med amme antal oefficienter. Dermed hurtigere og mindre huommele rævende Hvorfor ie? Et IIR filter har ie lineær fae Et IIR filter an være utabilt ET IIR filter er mere enitivt i for hold til afrundingfejl
Definitioner å filter
avne af freevne variabler i ontinuær og diret domæne Kontinuer ignaler Direte ignaler Freven: F H f=f/f ormalieret freven Vinel hatighed : Ω=πF Radianer / eund ω=πf Radianer / amle Konvertering Ω=ω/T Ω=ΩT Afgrænning - <Ω< -π/t<ω<π/t T= amling erioden
Deign af digitale IIR filtre ved hjæl af IIR analoge filtre Secifiation af filteret i digitalt domæne Konverter ecifiationer til analogt Deign filteret i det analoge domæne Konverter det analoge filter til det digitale domæne Imlementer filteret i det digital domæne
Stabile ytemer in og domænet Z: Poler al være i enhedcirlen Im : Poler al være i ventre halvdel jω */3 */ Re */3 */ σ 7
3 metoder til onvertering af analoge IIR filtre til digitale IIR filtre Aroimation af afledte Imul invarian Bilineær Tranformation
Bilineær Tranformation Ved den Bilineær Tranformation ætte lig med Det betyder at: T T H H a
Karateritia ved Bilineær Tranformation Poler fra højre ide i -lanet ligger udenfor enhedcirelen. Modat oler fra ventre ide i -lanet om ligger indenfor enhedcirlen Im jω Re σ 0
Karateritia ved Bilineær Tranformation 3 Sammenhæng mellem ΩT og ω T r hvi tan r in, r co r in T co T tan T
Karateritia ved Bilineær Tranformation Im jω Re σ
Agend Deign of Digital IIR filter Deign af lowa filtre Deign af digitale Butterworth filtre Deign af digitale Chebyhev filtre Deign af digitale Ellitic filtre
Analogt lava Butterworth filter Er et all ole filter Kvadreret freven amlitude reon H / c :filter orden Ω c : 3dB næ freven Ω : Anden næ freven ε: relateret til dæmning ved næ freven e figur. Lalace tranformation H H / c eller H /
Poler fra analogt Butterworth filter Polerne vil ligge ejlet omring både den imaginære ae og den reelle ae. j j c j j c c j c c e e e e e / 0 / c H H / jω σ Ω c
Deign af digitalt lava Butterworth filter Ste:. Konverter ecifiationer fra digitale til analoge ecifiationer ω til Ω Formel 0.3.3. Beregn nødvendig filter orden. Formel 0.3.8 3. Dan overførelfuntionen H ud fra oler i ventre halvlan. Betem Gain ved Ω=0 5. Tranformer til domænet med bilineær tranformation. Formel 0.3.0 6. Omriv til imle rationel form b og a oefficienter
Konverter ecifiationer fra digitale til analoge ecifiationer Ste Hvi ecifiationen er ogivet i H find den normalierede vinel hatighed ω c =πf c /F Omdan næfrevenen ω c til Ω c tan T Samme rocedure for andre vinel hatigheder. F.e. Stobånd frevener ω
Betem filter orden Ste Hvi filter orden er forud defineret foræt til næte lide. Hvi en given dæmning δ er årævet ved ω og ω c finde ved: c H / c c c / log log / / δ : dæmning i tobånd et ved ω c Ob: Hvi ie er et hel tal runde o
Betem overførelfuntionen fra oler i ventre ide af -lanet Ste 3 Beregn oler: Otil ytem funtion fra oler i ventre halv lan altå dem fra H 3 H c H H / 0,,... e e j j c
Betem gain Ste ormalt øne i gain å ved DC. Find G å H0=; H 0 G 0 0 3 G 0 3 0 0
Fra domæne til domæme Ste 5 Brug bilinear tranformation T H 3 T T T T T T H 3 Bilinear tranformation
Fra omle tranformation til tiddomæne filter Ste 6 T T T T T T H 3 a a a a b b b b b a b H 3 3 3 3 0 0 0 Simlificer ] [ 3] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 3] [ ] [ ] [ ] [ 3 0 3 n x b n x b n x b n b x n x b n y a n y a n y a n y a n y Inver -tranformation
Eemel Kontruer et digitalt butterworth lava filter f c =0 H, F=00. og δ =0dB dæmning ved f =60H
Eemel te ormalierede vinel hatighed: Knæfreevn ω c =π 0/00=0. π Stobåndet hjørne freven ω c =πf c /F ω =π 60/00=0.6 π Fra digital til analog vinel hatighed T= c T T 0. tan 0.6 tan.53rad /.758rad / tan T
Eemel: Betem filter orden Ste Ønet dæmning ved Ω 0dB c.53rad /.758 rad / log log / c 0 0 0dB 0 0. log 0.0 log.753/.53 3.6 Filter orden =
j Betem overførelfuntionen fra oler i ventre ide af -lanet Ste 3 Beregn oler: c e j j e 0,,... j 8.53e e j 0,,,3 S-Plane Abolut værdi: Vineler:.53 8 0.5 5 *0 8 8 7 * 8 8 0-0.5 - -.5 - -0.5 0 0.5.5
j Betem overførelfuntionen fra oler i ventre ide af -lanet Ste 3 forat Otil ytem funtion fra oler i ventre halvlan S-Plane oler i ventre halvlan: 0.55607 j.375.375 j0.55607 0.5 0-0.5 oler i ventre halvlan: - -.5 - -0.5 0 0.5.5 G H 0.55607 j.375 0.55607 j.375.375 j0.55607.375 j0.55607 H G +. +.5 Ti: multiliation af omle onjugerede a jb a jb - a + b + a +.6895 +.5
Betem gain Ste Find G å H0=; G H 0.5.5 G.58.58 H +. +.5 +.6895 +.5
Fra domæne til domæme Ste 5 Bilinear tranformation T Bilinear tranformation +.6895 +.5 +. +.5.58 H +.5 +.6895 +.5 +..58 H
Fra omle tranformation til H H tiddomæne filter Ste 6 +..58 +.5 +.6895 +.5.58 +. +.5 +.6895 +.5.58 - - - - 8 +. +.5 8 +.6895 +.5 H.58 - - 8.33570 3.777088 3.88769.836 3.77709 0.755 H.58 H - - -3-95.706-7.85 65.078-7.83 +.885 0.00*.58 H - - -3 - - 0.78093 0.679976-0.8675 + 0.03087 Mål: - - -3 0.0636 0.856 + 0.789 + 0.856 + 0.0636 H - - -3 - - 0.7809 0.67997-0.867 + 0.030 - b0 b H a b a b3 a 3 3 3 b a
Tet af eemel Tet i matlab b=[0.06 0.855 0.78 0.855 0.06]; a=[.0000-0.78 0.6800-0.87 0.030]; freqb,a,000,00 Sammenlign med butter i matlab [b a]=butter,[0/00] b =[0.066 0.863 0.795 0.863 0.066] a =[.0000-0.78 0.6800-0.87 0.030]
Chebyhev filter tye I Overførelfuntion H T / Hvor ε er relateret til rile i abåndet Hvor T er et orden olynomium co co x coh coh T x x x x
Polerne ligger å en ellie r r Hvor β er relateret til ε Polerne location: Chebyhev filter tye I / Poler x y co r in r Hvor vinlen φ er:
Chebyhev filter tye II Overførelfuntion H Bemær indeholder ogå nulunter Hvor ε er relateret til rile i tobåndet Hvor T er amme Chebyhev olynomium co co x coh coh T T T x x / / / x x
Betem filter orden å Chebyhev Hvor : filter orden ε: Rile i a bånd δ : Dæmning i tobåndet Ω : Knæ freven Ω : Start å tobånd Hvor T er amme Chebyhev olynomium filter log log / / /
Magnitude db Magnitude db Imaginary Part Imaginary Part Tranformation af lava filtre til andre filter tyer. Tranformer et eiterende filter til ønede egenaber. 0.5 0.5 0-0.5 - - 0 Real Part Simle tranformation Sejl oler omring IMG. aen 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part 0 50-50 -00-50 -00-50 0 0. 0. 0.6 0.8 ormalied Frequency rad/amle 0-50 -00 0 0. 0. 0.6 0.8 ormalied Frequency rad/amle
Tranformation i analogt domæne Filter tye Tranformation y næ freven Lava>Lava ' ' Lava>Høja ' ' Lava>Bånda l u u l l, u Lava>Stobånd u l l u l, u l u : : Lavete næfreven Højete næfreven
Eemel Konverter vore lava filter til et høja filter med næ freven ved ω c= 0.5 π H l.58 +. +.5 +.6895 +.5 ' 5.5056.758 rad / 0.5 ' tan rad T / H H h h 5.5056.58 5.5056 5.5056 +. +.5.58 5.5056 +.6895 +.5.58 3.5 6. 30.36.5 +.7550 30.36.58 +.0858 + 8.36 + 63.855 + 98.696
Magnitude Tet af eemel i Matlab H h.58 3.58 +.0858 + 8.36 + 63.855 + 98.696 b=[.58 0 0 0 0]; a=[.58.0858 8.360 63.8550 98.6960]; freqb,a 0 0 0-5 0-0 0-5 0-0 - 0 0 0 0 Frequency rad/
Tranformation i det digitalt domæne
Eemel digitalt Konverter vore lava filter til et høja filter med næ freven ved ω c= 0.5 π - - -3 0.06365 0.856 + 0.789 + 0.856 + 0.06365 H - - -3 - - 0.78093 0.679976-0.8675 + 0.03087 Orindelig næfreven ω =0.π y næfreven ω =0.5π Tranformation: a, a hvor co a co ' ' 3 - / / 0.58 0.58 0.58 0.58 0.58 0.06365 0.856 + 0.789 + 0.856 + 0.06365 0.58 0.58 0.58 0.58 H 3 0.58 0.58 0.58 0.58-0.78093 0.679976-0.8675 + 0.03087 0.58 0.58 0.58 0.58 0.06365 0.856 H - 0.78093 3 3 0.58 0.58 + 0.789 0.58 0.58 + 0.856 0.58 0.58 + 0.06365 0.58 3 3 0.58 0.58 0.679976 0.58 0.58-0.8675 0.58 0.58 + 0.03087 0.58 H 0.075.0000 - -0.080 0.3-0.93.037 - - -0.05 0.07-3 -3-0.097-0.09 -
Phae degree Magnitude db Tet af digitalt eemel i Matlab H 0.075.0000-0.080 0.93 - - 0.3.037 - - -0.05 0.07-3 -3-0.097 0.09 - - b=[0.075-0.080 0.3-0.05-0.097]; a=[.0000 0.93.037 0.07 0.09]; freqb,a,000,00 0-0 U: lille fejl -0-60 0 0 0 30 0 50 60 70 80 90 00 Frequency H 00 0-00 -00 0 0 0 30 0 50 60 70 80 90 00 Frequency H
Magnitude db Sammenligning mellem filtre. orden filter f c =0 H, f =80 H,F=00 Magnitude Reone db 0-0 -0-30 Butter Otimal filter Chev Ellitic Chev -0-50 -60-70 -80-90 -00 0 0 0 30 0 50 60 70 80 90 Frequency H