Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1 Bølgeligningen Indhold 1. Bølgeligningen.... Udbredelseshastigheden for bølger på en elastisk streng...3 3. Udbredelseshastigheden for longitudinalbølger i faste elastiske stoffer...4 4. Lydens hastighed i gasser...5 Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 00
Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1. Bølgeligningen For en harmonisk (sinus forme bølge, der udbreder sig langs en -akse i en retning (dimension), gælder følgende udtryk: (1.1) u, cos( t k ) ( 0 u(, er udsinget for en partikel fra en ligeægtsstilling u(, = 0 på stedet til tidspunktet t. er amplituden i udsinget, er den cykliske frekens T, hor T er perioden. k er bølgetallet k, hor er bølgelængden. t k ) kaldes for fasen og 0 er begyndelsesfasen. ( 0 Ligningen (1.1) er baseret på to grundlæggende obserationer for bølger: 1. De udbreder sig med konstant hastighed.. Bølgens form er uændret ed udbredelsen. Udtrykket for en harmonisk bølge kan da udledes, his i antager, at i har en harmonisk singning ed = 0: u 0, cos( t ) ( 0 Ifølge (1) og () kan i derfor udtrykke, at udsinget på stedet til tidspunktet t: r det samme udsing, som i hade på stedet = 0, men på et tidligere tidspunkt, nemlig så meget tidligere, som det tager bølgen at beæge sig stykket. Skreet formelt (1.) u (, u(0, t ) u(, cos( ( t ) 0) cos( t 0) Indføres bølgetallet: k, opnår i udtrykket (1.1). Der findes en del relationer mellem de symboler som karakteriserer bølgeudbredelse. Hastighed:, bølgelængde: λ, inkelfrekensen: ω, frekensen: ν, og perioden: T, som relatit let kan erificeres. (1.3), k, T T k t ikke nødendigis harmonisk bølgefænomen, hor bølgens form er giet ed et udtryk u( 0, f (, kan repræsenteres ed en funktion: (1.4) u(, u(0, t ) f ( t ) lle endimensionale bølgefænomener, tilfredsstiller den såkaldte bølgeligning:
Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 3 u 1 u (1.5) 0 t Symbolet betegner partiel differentiation af en funktion af flere ariable. Partiel differentiation er det samme som normal differentiation med hensyn til en ariabel, men hor de ørige ariable betragtes som konstanter. t udtrykkene (1.1) og (1.3) begge opfylder denne ligning, er let at erificere ed differentiation. Omendt: His man har et fænomen, der kan beskries ed en funktion u (,, der opfylder (1.4) skreet på formen: u u (1.6) c 0 t Så er fænomenet et bølgefænomen med en udbredelseshastighed =1/c. I det følgende, il i betragte forskellige fænomener, og udlede, at de opfylder en bølgeligning (1.6). f denne ligning kan i da slutte os til et udtryk for udbredelseshastigheden.. Udbredelseshastigheden for bølger på en elastisk streng i betragter et lille stykke mellem og + af en elastisk streng i singninger. Strengen er spændt ud langs med -aksen og forskydningen u(, = y(, er i y-aksens retning. i ser bort fra tyngdekraften, så det lille stykke er kun påirket af kræfter F() og F(+). Begge disse kræfter er rettet langs tangenten af kuren u(,. i ser endidere bort fra de små forskelle, der er snorspændingen F langs med strengen. Komposanterne af F i -retningen, går ud mod hinanden. Komposanterne i y-retning kan bestemmes som Fsin, hor er tangenthældningen. For små er imidlertid sin tan = (tangenthældningen). For kraften i y-retningen finder man derfor: (.1) F F F ( ) F ( ) yres y y u u F F u F u F Den resulterende kraft er lig med massen gange accelerationen af det stykke af strengen, der befinder sig mellem og +. His massen pr. længdeenhed er er m =. i finder derfor:
Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 4 (.) u u F t u u 0 F t Sammenligner man med bølgeligningen, ser man at udbredelseshastigheden er giet ed: (.3) 1 F F Hilket ar det ønskede udtryk. 3. Udbredelseshastigheden for longitudinalbølger i faste elastiske stoffer Udtrykket for udbredelseshastigheden for longitudinalbølger i elastiske stoffer er baseret på Hookes lo: Har man et elastisk stof med tærsnitsareal, længde L, som påirkes af en kraft F, og dermed forlænges stykket, gælder Hookes lo: (3.1) F L kaldes for Youngs modul. Den skries også som Y. i betragter nu et stykke af en sådan streng, som opfylder Hookes lo. His der udbreder sig en bølge i stoffet er tilstanden dynamisk, og kraftpåirkningen ed og + er ikke den samme. (Se figuren nedenfor). Udsinget af en partikeldel fra en ligeægtsstilling, il i som hidtil betegne med u(,. Udsinget er nu blot langs med bølgens udbredelsesretning altså i -retningen. Ræsonnementet er det samme som gennemført oenfor for transersalbølger. i udregner den resulterende kraft på stykket og sætter den lig med massen gange accelerationen af det stykke, der befinder sig mellem og +. For at opstille udtrykket anender i Hookes lo med L = og = u(+,t )- u(,. Længden af stoffet er og deformationen i -retningen er forskellen mellem forskydningerne ed + og.
Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 5 u F( ) ( u(, u(, ) F res F F( ) F( ) u Betegner massefylden for stoffet, er massen m af stoffet mellem og + lig med m =. Newtons. lo: F res = ma gier derfor: u u F res t u u (3.) 0 t Sammenlignes med bølgeligningen, finder man herefter det ønskede udtryk for udbredelseshastigheden. (3.3) 4. Lydens hastighed i gasser n direkte udledning af udtrykket for lydens hastighed i gasser er ret kompliceret. i il her foretage en udledning, der er baseret på udtrykket oenfor for longitudinalbølger. i omskrier først Hookes lo på differentialform, idet i ønsker at finde sammenhængen mellem en lille ændring af rumfanget, som følge af en lille trykændring P. (4.1) F L F F P P inustegnet fremkommer, fordi P og har forskelligt fortegn. n trykforøgelse resulterer i en rumfangsformindskelse. Ud fra udtrykket oenfor er man nu i stand til at finde et udtryk for modulen. (Som ikke længere kan betragtes som Youngs modul). Dette udtryk kan så indsættes i udtrykket (3.3) til bestemmelse af udbredelseshastigheden. (4.) P Dette il i anende på en idealgas. For en sådan gas gælder tilstandsligningen: (4.3) P nrt For sammenhængen mellem tryk P og Rumfang gælder for isoterme ændringer: P = konst. nender man denne relation, får man imidlertid ikke et korrekte udtryk for lydens hastighed.
Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 6 Årsagen er, at ed lydudbredelse er ændringerne i gassens tilstand ikke isoterme (singningerne er så hurtige, at der ikke når at ske en temperaturudligning), men adiabatiske (armeisolere. i kan derfor ikke anende Boyle-ariottes lo, men den tilsarende lo for adiabatiske ændringer. i tager udgangspunkt i armeteoriens 1. hoedsætning, som i opskrier på differentialform. (4.4) d = dq + d Den tilførte arme dq til et system plus det udførte arbejde på systemet er lig med tilæksten i systemets indre energi.. For en idealgas afhænger energien kun af Kelintemperaturen og er giet ed udtrykket: (4.5) NkT nrt d nrdt kin N er antallet af molekyler, k er Boltzmanns konstant, n er antal mol af gassen og R er gaskonstanten. er en konstant, der afhænger af gassen, og som er 3/ for en enatomig gas. "Stempelarbejdet" er d = -Pd. diabatisk betyder at dq = 0, heraf følger ligningen (4.6) d d nrdt Pd nrdt Pd 0 Indsætter man nu i denne ligning nrdt ud fra tilstandsligningen på differential form: d(p)= nrdt Pd+dP = nrdt får man: ( 1) d dp d dp (4.7) Pd dp Pd 0 0 0 P P Integreres den sidste ligning får man (4.8) ln ln P konst P konst Dette er den ønskede adiabatiske relation, horaf i kan finde af relationen (4.8) P. i tager derfor differentialet (4.9) dp P 1 d 0 P P ndelig finder i da: P (4.10) P Udtrykker i nu P ed hjælp af tilstandsligningen:
Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 7 (4.11) P nrt nrt m RT RT Dette udtryk, il i nu indsætte i formlen for udbredelseshastigheden (3.3) P RT RT i finder derfor udtrykket for lydens ubredelseshastighed i gasser (4.11) RT hor 1 kan for forskellige gasser findes i en håndbog oer fysiske konstanter. For atmosfærisk luft er =1.4.