Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed har de ekelte bil kørt mellem 49,87 og 58,93 km. Me der spørges om det samlede atal kørte kilometer. Her skal vi gage op med N = 800, vogparkes samlede størrelse. Resultatet bliver, at der er kørt estimeret 71.30 km, og med 95% sikkerhed ligger dette mellem 699531 km og 75009 km. (Udtter ma, at populatioes størrelse kedes, så ka et smallere kofidesiterval opås) b) Stikprøvestørrelse bestemmes ved idsættelse: σ σ Zα / μ + Zα / Dvs. e stikprøve på midst 186 biler Opgave 7. a) Ja, det er det. Atal gage er umiddelbart e biomialfordelig, me de ka tilærmes med e ormalfordelig, hvis middelværdie er tilpas stor. Alterativt ka ma geemføre e empirisk udersøgelse og teste, om ormalitetsbetigelse er opfldt. b) HpoStat giver: X forudsættes Normalfordelt 0,95 7,54768 67,5973 1 = 0 s 15,44 ( 1) s χ 1, α / σ ( 1) s χ 1,(1 α / )
Løsiger til kapitel 7 Ved at tage kvadratrødder fås et KI for spredige. Med 95% ligger spredige i itervallet 8,5 < σ < 16, 36. c) HpoStat giver: Pop. varias er ukedt og X er ormalfordelt, så studet t bruges = 34,300 s 15,440 = s0,000 t, α / μ + t 0,95 9,058 39,54 1 1, α / s Med 95% sikkerhed ligger middelværdie mellem 9,06 < μ < 39, 54. d) Smallere. Opgave 7.3 I løsige edefor igoreres det, at populatioes størrelse kedes. Ma ka aturligvis avede dee oplsig og opå margialt smallere kofidesitervaller. a) HpoStat giver: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt 0,95 10,01 10,788 = 10,400 s 7,840 = 00,000 Zα / μ + Z Med 95% sikkerhed ligger det geemsitlige årlig forbrug pr., husstad af pasta på Sodor 10,01 kg og 10,788 kg. b) Gager vi oveævte kofidesitervals græser med atallet af husstade på Sodor, så ses, at det forvetede samlede årlige forbrug på Sodor er 574.9,4 kg, og med 95% sikkerhed ligger dette forbrug mellem 558.448,7 kg og 60.196,95 kg. c) Ved idsættelse i formle edefor fås σ α / σ
Løsiger til kapitel 7 Der skal altså avedes e stikprøve på midst 753 husstade. d) HpoStat giver: 40 eller p 5 og (1 p) 5 = 00 P^ = 0,14 0,95 0,091911 0,188089 (1 ) Z P α / + Zα / (1 ) Det ses, at med 95% sikkerhed ligger adele af husstade, som aldrig køber pasta, mellem 9,19% og 18,8%. e) Vi har et estimat på 14% for adele af husstade, som aldrig spiser pasta. Ved idsættelse i formle edefor fås Der skal altså avedes e stikprøve på midst 466 husstade. Opgave 7.4 a) HpoStat giver 40 eller p 5 og (1 p) 5 = 100 P^ = 0,53 0,95 0,43178 0,678 (1 ) Z P α / + Zα / (1 ) 3
Løsiger til kapitel 7 Adele af ja-sigere ligger med 95% sikkerhed mellem 43% og 63%. b) Nej - vi varierer mellem 43% og 63% ja-sigere, så resultatet er tvivlsomt - vi ved ikke om der er flertal for ja eller ej. c) Vi har et estimat på 53% for adele af ja-sigere. Ved idsættelse i formle edefor fås Der skal altså avedes e stikprøve på midst 1064 husstade. Opgave 7.5 a) Et ormalfraktildiagram for det ormale salg kostrueres: Da datapuktere ligger jævt fordelt omkrig de rette lije i ormalfraktildiagrammet, så ka det ikke afvises, at det ormale salg af Guff-flakes følger e ormalfordelig. b) HpoStat giver: Pop. varias er ukedt og X er ormalfordelt, så studet t bruges = 3,300 s 3.793,063 = s0,000 t, α / μ + t 0,95 194,476 5,14 1 1, α / s 4 Det ses, at med 95% sikkerhed ligger middelværdie for det ormale salg mellem 194,48 og 5,1 pakker. c) Her er det fristede at berege et kofidesiterval for forskelle mellem de to middelværdier. HpoStat giver for dette kofidesiterval:
Løsiger til kapitel 7 Begge variaser er ikke kedte og og er ikke begge > 30 t fordelige bruges.σ =σ atages. X og Y er ormalfordelte og uafhægige = 0 = 3,3 s 3793,063 = 0 = 34,75 s = 407,355 0,95 141,481 61,4191 s e = ( ) ± t, α / 3910,09 S + e + Det ses, at med 95% sikkerhed ligger forskelle på middelværdiere mellem -141,48 og -61,4 pakker. Idet dette kofidesiterval ideholder værdier både uder og over -100, så ka ma her ikke kokludere, at kampages salgsmål er ået. Me dette er imidlertid forkert, idet der jo er tale om parvise observatioer ("matched pairs"). Det korrekte kofidesiterval bliver derfor Matched Pairs ~N(μ,σ ), ~N(μ,σ ) d = 101,45 s d 57,4184 s = d d t, α / 0,95 104,996 97,9036 0 μ μ d + t 1 1, α / s d Med 95% sikkerhed ligger forskelle på middelværdiere mellem -105,00 og -97,90, og da alle tal i dette kofidesiterval er over -90, så ka vi kokludere, at forskelle er på midst 90, og kampage har derfor ået sit mål. Poite er, at der er e eorm spredig på størrelsere af butikkere (målt i salget af pakker), og at e evetuel forskel i middelværdiere før og efter kampage vil druke i dee eorme spredig, med midre ma elimierer dee. Dette gøres ved at avede parvise observatioer. 5
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.6 a) Vi har i alt 4 timer, og de 15 kuder giver i geemsit. HpoStat giver: 0,95 4,435 5,803 ± Zα / Med 95% sikkerhed ligger itesitete mellem 4,435 og 5,803. b) Vi har tilsvarede 63 eftermiddagstimer med i alt 345 kuder, givede i geemsit. HpoStat giver u: 0,95 1,56 0,53860 ) ± Z / + ( α Med 95% sikkerhed ligger forskelle på de to itesiteter mellem -1,53 og 0,539. Idet der idgår både positive og egative værdier i dette kofidesiterval, så ka vi ikke kokludere, at itesitete af kuder om eftermiddage er større ed om formiddage. Opgave 7.7 a) Vi har spurgt 437 persoer, og af disse er iteresserede. Dette giver estimatet HpoStat giver u: for adele af iteresserede persoer. 40 eller p 5 og (1 p) 5 = 437 P^ = 0,31 0,9 0,197837 0,64163 (1 ) Z P α / + Zα / (1 ) Med 90% sikkerhed ligger adele af iteresserede persoer mellem 19,78% og 6,4% 6
Løsiger til kapitel 7 b) Vi har u 13 mæd, hvoraf der er 47 eller,06%, og 4 kvider, hvoraf der er 54 eller 4,10%, som er iteresserede. HpoStat giver u: ˆ ˆ p0 5, (1 p0) 5 5, (1 ) 5 0 0 = 13 = 4 P^ = 0,06 ( ) + ( ) 0 P^ = = 0,411 + 0,31108 σ^ σ^ 0,90 0,08679 0,045787 0,000807 0,000817 σ^ = (P^ (1-P^) )/ σ^ = (P^ ( (1-P^) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p ) Zα / σ + σ ( P P ) ( p p ) + Zα / σ + σ )/ Med 90% sikkerhed ligger forskelle på de to adele mellem -8,68% og 4,58%, og da dette kofidesiterval ideholder både positive og egative værdier, så ka vi ikke kokludere, at der er oge forskel på adele af iteresserede mæd og iteresserede kvider. Opgave 7.8 Det er vigtigt her at kostatere, at der er tale om parvise observatioer. Vi skal derfor kocetrere os om differecere i bruttosalgee før og efter for de ekelte perso: 7 Sælger Bruttosalg før kurset Bruttosalg efter kurset Differece Adres Aderse 90 97 7 Bet Blom 83 80 3 Camilla Christese 10 110 8 Da Derig 105 110 5 Esther Eskildse 110 118 8 Frede Frederikse 77 86 9 Gudru Gohrm 97 93 4 Has Hase 75 81 6
Løsiger til kapitel 7 Disse differecer skal være ormalfordelte, hvorfor der kostrueres et ormalfraktildiagram for differecere: Idet datapuktere ligger jævt fordelte omkrig de rette lije, så ka vi ikke afvise, at der er tale om e ormalfordelig. HpoStat giver u for kofidesitervallet af differecere: Pop. varias er ukedt og X er ormalfordelt, så studet t bruges = 4,500 s 6,000 = s 8,000 t, α / μ + t 0,95 0,37 8,763 1 1, α / s Med 95% sikkerhed ligger de geemsitlige salgsforbedrig mellem 0,37 og 8,763. Da alle tal i dette kofidesiterval er positive, så ka det kokluderes, at middelværdie for differece er positiv og at kurset derfor faktisk forbedrer salget. 8
Løsiger til kapitel 7 (Havde ma været så aiv at tro, at der var tale om uafhægige observatioer, så ville kofidesitervallet blive: Begge variaser er ikke kedte og og er ikke begge > 30 t fordelige bruges.σ =σ atages. X og Y er ormalfordelte og uafhægige = 8 = 96,875 s 08,6964 = 8 = 9,375 s = 173,6964 0,95 ) ± t 10,384 19,3839 s e = 191,1964 S ( +, α / e + og e evetuel forbedrig af salgstallee ville druke i variatioe fra de ekelte sælgeres salg, altså ige koklusio). 9