Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave 2 (5 %) En funktion er givet ved f (x) = x 2 + 7 a) Bestem f (x) 1
Løsning: f (x) = x 2 + 7 En sammensat funktion. Vi bruger kædereglen f (x) = y = u dy du = 1 2 u u = x 2 + 7 du dx = 2x dy dx = dy du du dx f (x) = dy dx = 1 2 x 2 + 7 2x = x x 2 + 7 Opgave 3 (5 %) I en retvinklet trekant er længden af hypotenusen, c = 13 og længden af den ene katete, b =5. a) Beregn længden af den anden katete, a. Løsning: a) vi starter med at tegne en retvinklet trekant. 2
Vi bruger Pythagoras sætning a 2 + b 2 = c 2 a 2 + 5 5 = 13 2 a 2 = 169 25 = 144 a = 12 Opgave 4 (5 %) Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne A(1,6) og B( 3, 2). a) Bestem forskriften for funktionen. 3
Løsning: Vi starter med formlen for lineær funktion f (x) = y = αx + q Da vi kender to punkter kan vi finde hæsldningen α = y 2 y 1 x 2 x 1 = 2 6 3 1 = 8 4 = 2 Indsættes hældningen og ét af punkterne i lgningen fås q som er skæringspunktet med y aksen 6 = 2 1 + q q = 4 Forskriften bliver f (x) = 2x + 4 Opgave 5 (5 %) En funktion er givet ved f (x) = x 2+3 a) Angiv forskrift og definitionsmængde for den omvendte funktion, f (x). Løsning: f (x) = x 2 + 3 For at finde Dm f må vi kræve x 2 0 x 2 4
Dm f = [2; [= V m f 1 Værdimængden kan aflæses direkte af funktionen V m f = [3; [= Dm f 1 For at finde den omvendte funktion byttes x med y x = y 2 + 3 x 3 = y 2 Kvadreres begge sider af lighedstegnet, fås forskriften for den omvendte funktion (x 3) 2 = (y 2) y = x 2 6x + 11 Definitionsmængden er allerede bestemt ovenfor. Vi ved at den omvendte funktion IKKE er injektiv, derfor kræver vi at den kun er defineret fra og med toppunktets x-koordinat som kan beregnes af følgende x = B 2A = 6 2 = 3 Dvs. definitionsmængden er begrensæt til at være Dm f 1 = [3; [ således at både f (x) og den omvendte funktion f (x) er hinandens spejlbilleder i linien y = x. Se evt 30-32 i Bog II 5
Opgave 6 (20 %) Om en trekant ABC oplyses det, at B er spids, C er spids, længden af siden c = 5, længden af siden a = 3 og A = 36 0. a) Bestem C b) Bestem trekantens areal. Om en anden trekant ABC oplyses det, at B er spids, C er stump, længden af siden c = 5, længden af siden a = 3 og A = 36 0. c) Bestem B og C i denne trekant d) Beregn længden af medianen m b fra B på siden b. Løsning: Vi starter med at skitsere trekanten hvis alle vinkler er spidse, altså kan vi bruge sinusrelationerne. a) 6
sinb b = sinc c C = sin 1 ( c sina ) = 5 sin(360 ) = 78.42 0 a 3 B = (180 0 (36 + 78,42 0 ) = 65.58 0 b) Trekantens areal bestemmes T = 1 2 a c sinb = 3 5 sin(65.580 ) = 6.829 c) Vi skitserer den anden trekant hvis C er stump Vi bruger cos relation: a 2 = b 2 + c 2 2bc cosa 7
9 = b 2 + 25 2 b 5 cos36 0 b 2 8.09 b + 16 = 0 solve giver følgende rødder: b = 3.44 b = 4.65 Vi kan afprøve begge løsninger for at se om det giver det samme : Først indsætter vi b = 3.44 B = cos 1 ( a2 + c 2 b 2 ) = cos 1 9 + 25 3.442 ( ) = 42.37 0 2ac 2 3 5 C = 180 0 (36 0 + 42.37 0 ) = 101.63 0 Bagefter indsætter vi b = 4.65 B = cos 1 ( a2 + c 2 b 2 ) = cos 1 9 + 25 4.652 ( ) = 65.63 0 2ac 2 3 5 C = 180 0 (36 0 + 65.63 0 ) = 78.37 0 Men 78.37 0 skal trækkes fra 180 0 for at få 101.63 0. d) Længden af meridianen m b fra B på siden b. Medianen m b deler siden AC i to lige store dele. Vi skitserer en anden trekant: 8
a 2 = b 2 + c 2 2bc cosa m 2 b = 52 + 1.72 2 2 5 1.72 cos36 0 m b = 3.75 Opgave 7 (25 %) En funktion f er givet ved: f (x) = 1 3 x3 4x 2 + 7x a) Bestem monotoniforhold for funktionen f b) Bestem koordinaterne til de punkter på funktionens graf, hvor der er lokale ekstrema. Funktionens graf har to tangenter, der står venkelret på linjen l : y = 1 5 x + 1 9
c) Bestem x værdierne til de punkter på funktionens graf, hvor de nævnte tangenter findes. d) Bestem koordinaterne til skæringspunkterne mellem grafen for f og linjen med ligningen y = 10 3 e) For hvilke værdier af b har ligningen f (x) = b præcis 2 løsninger? Løsning: Monotononiforholdet bestemmes ved at differentiere funktionen og sætte denne til nul. a) f (x) = 1 3 x3 4x 2 + 7x f (x) = 1 3 3x2 8x + 7 = x 2 8x + 7 = 0 Solve giver følgende værdier x = 1 x = 7 Vi tegner en fortegnslinje 10
Vi kan nu konkludere følgende: f (x) er voksende i ] ; 1[ ]7; [ f (x) er aftagende i [1;7] b) Koordinaterne bliver (x, f (1)) = (1, 3.33) lokale maximum (x, f (7)) = (7, 32.67) Skitsering vha. GeoGebra 11
c) Bestemmelse af x-værdier til de punkter hvor der er tangenter der er vinkelrette på linjen y = 1 5 x + 1 Der gælder følgende når to linjer er vinkelrette på hinanden: α β = 1 Da vi kender α = 1 5 kan vi indsætte 1 β = 1 β = 5 5 Ved at sætte den differentierede funktion til β = 5 fås x-koordinaterne f (x) = x 2 8x + 7 = 5 x 2 8x + 12 =0 Solve giver følgende x-koordinater x = 2 og x = 6 d) Koordinaterne til skæring med f (x) og y = 10 3 med hinanden findes ved at sætte disse lig 1 3 x3 4x 2 + 7x = 10 3 x 3 12x 2 + 21x 10 = 0 solve giver følgende x = 1 x = 10 12
Koordinaterne findes e)vi undersøger nu for hvilke værdier ligningen f (x) = b præcis har to løsninger. (1,3.33) og (10,3.33) 1 3 x3 4x 2 + 7x = b x 3 12x 2 + 21x 3b = 0 Vi kan nu løse ligningen ved at indsætte b = 10 3 som er y-koordinaten af punkt A i ovenstående figur. x 3 12x 2 + 21x 10 = 0 Ligningen har en dobbeltrod i x = 1 så får vi præcis to løsninger nemlig x = 1 x = 10 Dette kan også ses hvis vi nu løser ligningen med solve. Opgave 8 (5 %) På nedenstående figur er vist grafen for en funktion f (x) = ax 2 + bx + c a) Angiv med begrundelse fortegnene for konstanterne a,b,c og d hvor d betegner diskriminanten. 13
Løsning: a) Parablen f (x) = ax 2 + bx + c skærer y aksen i y = c = 1 a<0 betyder at parablens grene vender nedad b>0 viser hældningen i skæring med y aksen d>0 er positiv da der er to løsninger. Opgave 9 ( 15 %) I en klasse A,gav en bedømmelse af elevernes opgave følgende points: 0 0 2 2 2 2 4 4 4 4 4 7 7 7 10 10 10 10 12 12 a) Bestem kvartilsættet for elevernes pointtal. I en anden klasse B,blev kvartilsættet bestemt til (4, 7, 10) med et største pointtal på 12 og et mindste pointtal på 2. b) Tegn i samme koordinatsystem et boksplot for hver af de to klassers pointtal. c) Beregn middelværdien for talmaterialet herunder: Interval [0;25] ]25;35] ]35;50] ]50;70] ]70;100] Hyppighed 16 28 13 20 23 Løsning: a) Bestemmelse af kvartilsættet for klasse A Vi bruger GeoGebra ved at indsætte tallene 14
{0,0,2,2,2,2,4,4,4,4,4,7,7,7,10,10,10,10,12,12} GeoGebra laver en liste ud af tallene og vi kan så bruger følgende kommandoer til at finde kvatrilsættet. Q1 = [list1] = 2 første kvartil Median = [list1] = 4 median Q3 = [list1] = 10 tredje kvartil Kvartilsættet kan så skrives som Kvartilsættet=[2,4,10] c) Middelværdien beregnes ved at gange hvert intervalmidtpunkt med antallet af observationer i intervallet, lægge sammen og dividere med det samlede antal observationer. µ = 12.5 16 + 30 28 + 42.5 13 + 60 20 + 85 23 100 15 = 47.475
Opgave 10a (10 %) For en eksponentiel udvikling, f (x) = b a x er givet følgende oplysninger: f (0) = 100 og fordoblingskonstanten T 2 = 5 a) Bestem f (10) En anden eksponentiel udvikling er givet ved g(x) = 4 0.83 x b) beregn haveringskonstanten for funktionen g. Løsning: a) Vi bestemmer f (10) og T 2 Fordoblingskonstanten Eksponentielfunktionen bliver: 100 = b a 0 b = 100 T 2 = ln2 lna 5 = ln2 lna lna = ln2 5 = 1.15 f (x) = 100 1.15 x f (10) = 100 1.15 10 = 400 b) Halveringskonstanten for funktionen g(x) = 4 0.83 x Halveringskonstanen T1 2 = ln( 1 2 ) lna = ln2 lna = ln2 ln 0.83 = 3.72 16
Opgave 10b (10 %) En funktion f er givet ved f (x) = x 2 + 9 Grafen for f afgrænser sammen med x aksen og y aksen et område M i 1. kvadrant. a) Skitsér grafen for f. b) Beregn arealet af M. Løsning: a) Vi skitser grafen vha. GeoGebra på følgende måde b) Arealet af det skraverede område M beregnes ved hjælp af kommandoen Integral[ x 2 + 9,0,3] = 18 Vi vil også vise hvordan man beregner arelaet vha. integral 17
M = 3 0 f (x) dx M = 3 0 ( x2 + 9) dx M = [ x3 3 + 9x]3 0 = [ 27 3 + 27] [0] = 18 18