Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles nogle af de almene teorier/principper som beskriver egenskaber og opførsel af kemiske og biologiske systemer. Dette kræver ofte matematiske metoder, der går udover, hvad der er behandlet i gymnasiet. Som en illustration betragtes her nogle elementer af området reaktionskinetik, dvs. den kvantitative behandling af den tidslige udvikling i molekylers reaktionshastigheder og koncentrationer. Typisk ønsker man efter, at en kemisk reaktion er sat igang - som funktion af tiden - at fastlægge koncentrationerne af de involverede molekyler. Koncentrationerne er generelt fastlagt af et koblet system af (ikke-lineære) differentialligninger. I dette projekt fastlægges/studeres analytiske og numeriske løsninger for nogle vigtige reaktionsmekanismer. Chymotrypsin er et enzym af serin-protease gruppen. Disse enzymer spalter peptidbindinger. Matematik 1 2006 side 1
2 Lineære differentialligninger Vi betragter følgende reaktionsmekanisme, som involverer de 3 molekyler A, B, og C: A B C (1) Antallet af X molekyler per volumenenhed, til en given tid t, betegnes [X]. Bemærk, at koncentrationen [X] er en funktion af tiden (man kunne skrive [X](t), men man vælger typisk den enkle notation hvor tidsafhængigheden udelades). Alle omdannelserne er såkale 1. ordens reaktioner, dvs. hastigheden d[x]/ knyttet til en given omdannelse af molekyle X er proportional med koncentrationen [X] (som er et ikke-negativt reelt tal). Omdannelserne fra A til B, fra B til A, fra B til C, og fra C til B er karakteriseret ved de 4 hastighedskonstanter k 1, k 1, k 2, og k 2. Hastighedskonstanterne er positive reelle størrelser. De tidsafhængige koncentrationer [A], [B], og [C] er bestemt af differentialligningssystemet eller på matrix-form d d[a] = k 1 [A] + k 1 [B] d[b] = k 1 [A] k 1 [B] k 2 [B] + k 2 [C] d[c] = k 2 [B] k 2 [C] [A] [B] [C] = k 1 k 1 0 k 1 (k 1 + k 2 ) k 2 0 k 2 k 2 [A] [B] [C] (2) (3) Dette er et system af 1. ordens lineære differentialligninger, som skal løses med et givet sæt af start-betingelser. Her betegner vi koncentrationer til tiden t = 0 som [A] 0, [B] 0, og [C] 0. Det første man kan interessere sig for, er om der eksisterer hvad man kalder for stationære løsninger (på engelsk steady-state løsninger). Dette betyder en løsning, hvor alle de tidsafledede er nul (for alle tider). Opgave 1. Vis, at der er (ikke trivielle 1 ) stationære løsninger, og undersøg for disse tilfælde sammenhængen (forholdene) mellem koncentrationerne. Vi betragter i det følgende kun den specielle situation, hvor omdannelsen fra C til B ikke forekommer. Vi kan formelt eliminere en omdannelse ved at sætte den tilhørende hastighedskonstant lig 0, dvs. k 2 = 0. 2.1 Specialtilfældet k 1 = 0 Vi betragter først specialtilfældet, hvor k 1 = 0. Opgave 2. Overvej koblingerne mellem de forskellige koncentrationer i dette tilfælde, opskriv dernæst løsningerne for de 3 koncentrationer. 1 En triviel stationær løsning er nul-løsningen, som ikke er særlig spændende Matematik 1 2006 side 2
2.2 Specialtilfældet k 2 = 0 Vi betragter nu specialtilfældet, hvor k 2 = 0. Opgave 3. Vis ud fra (2), at det totale antal molekyler af A og B er bevaret, dvs. at der gælder, at [A] + [B] = [A] 0 + [B] 0. Giv også en fysisk forklaring. Opgave 4. Opskriv løsningerne for de 2 koncentrationer, [A], [B] i specialtilfældet hvor k 2 = 0. 2.3 Generelle egenskaber Vi betragter nu den generelle situation, hvor alle hastighedskonstanter (bortset fra k 2 ) er forskellige fra 0. Det vil sige, at vi betragter systemet: [A] k d 1 k 1 0 [A] [B] = k 1 (k 1 + k 2 ) 0 [B] (4) [C] 0 k 2 0 [C] Opgave 5. Find egenværdierne til koefficientmatricen i systemet (4). Undersøg herved om der kan forekomme periodisk oscillerende koncentrationer. Og hvad betyder det, at der er en egenværdi der er nul? Overvej også opførslen af enhver løsning for t. Opgave 6. Bestem den generelle løsning til ligning (4), for tilfældet [B] 0 = [C] 0 = 0. Vis, at denne løsning reducerer til løsningen i opgave 2, når k 1 = 0. Opgave 7. Hvad er dimensionsløse variable og hvorfor indfører vi dem? Opgave 8. Indfør dimensionsløse variable. x = [A]/[A] 0, y = [B]/[A] 0, z = [C]/[A] 0, τ = k 1 t. Opskriv det til (4) svarende system. Oversæt løsningen fra opgave 6. Bestem løsningen for tilfældet λ 2 = λ 1. Opgave 9. Plot for det dimensionsløse system koncentrationerne som funktion af tiden τ for følgende situationer: k 1 = 0, og k 2 = k 1 ; k 1 = 0, k 2 = 25k 1 ; k 2 = 25k 1, og k 1 = k 1. 3 Ikke-lineære differentialligninger Vi betragter følgende mekanisme: E + S ES E + P (5) som bl.a. er prototype-mekanismen for en enzym-katalyseret omdannelse af et substrat (S) til et produkt (P), med enzymet (E). Hastighedskonstanterne betegnes henhldsvis κ 1, k 1, og k 2, og Matematik 1 2006 side 3
koncentrationerne er bestemt af d[p] = k 2 [ES] d[s] = κ 1 [E][S] + k 1 [ES] d[es] = κ 1 [E][S] k 1 [ES] k 2 [ES] d[e] = κ 1 [E][S] + k 2 [ES] + k 1 [ES] idet omdannelserne er 1. ordens reaktioner pånær reaktionen mellem E og S, som er en 2. ordens reaktion, hvor hastigheden er proportional med produktet af koncentrationerne. Bemærk at differentiallignings-systemet nu indeholder ikke-lineære led. Start-betingelserne er i det følgende: [E] 0 og [S] 0 er givne, og [ES] 0 = 0 = [P] 0. Opgave 10. Vis, at systemet (6) betyder, at der gælder, at (6) [E] + [ES] = [E] 0 + [ES] 0, [S] + [ES] + [P] = [S] 0 + [ES] 0 + [P] 0. (7) Her urykker den første ligning, at det totale antal enzymmolekyler er bevaret. Opgave 11. Vis, at (7) sammen med de givne begyndelsesbetingelser betyder at problemet kan forenkles til at betragte løsningen til de to følgende koblede (og ikke-linære) differentialligninger: hvor k 10 = κ 1 [E] 0 og K M = (k 1 + k 2 )/κ 1. d[s] = k 10 [S] + κ 1 ([S] + k 1 /κ 1 )[ES], d[es] = k 10 [S] κ 1 ([S] + K M )[ES], (8) Matematik 1 2006 side 4
Indfør de dimensionsløse variable u = k 2 t, x = [S] [S] 0 og y = [ES] [S] 0. Opgave 12. Vis at ligningssystemet (8) i disse variable antager formen dx = αx + βy + δxy, du dy = αx γy δxy, du x(0) = 1, y(0) = 0 (9) Uryk konstanterne α, β, γ og δ ved de i opgaveteksten definerede konstanter. Opgave 13. Findes der (ikke trivielle) stationære løsninger til ligningssystemet (9)? Opgave 14. Undersøg om Maple kan finde en generel analytisk løsning til ligningssystemet (9). 4 Linearisering Da en eksakt løsning af (8) og (9) ikke er mulig, må man gribe til approximationer eller numeriske løsningsmetoder. Vi vil først forsøge en approximation af (8) med et lineært differentialligningssystem, og vi må derfor overveje det ikke-lineære led δxy nærmere. Når u går mod + vil både x og y gå mod 0, og δxy vil derfor være meget mindre end de andre led. Man får således den ønskede linearisering ved at bortkaste δxy. Dette kan ikke lade sig gøre for små værdier af u. Da x(0) = 1, kan δxy i dette tilfælde være af samme størrelsesorden som βy og γy. Derimod vil δ(x 1)y være lille og kunne bortkastes. Opgave 15. Opstil det lineære differentialligningssystem som man får ved at negligere størrelserne δ(x 1)y. Uryk først egenværdierne λ 1 og λ 2 ved α, β, γ og δ, og opskriv den fuldstændige løsning. Bestem derefter, urykt ved λ 1 og λ 2 den løsning der opfylder (9). Find, urykt ved λ 1 og λ 2, den værdi u 0 for hvilken y(u) antager sin maksimale værdi. Opgave 16. Som opgave 15, idet man nu negligerer δ xy. Egenværdierne i dette tilfælde benævnes µ 1 og µ 2. Opgave 17. Overvej om man kan få en anvendelig approximation for u [0, + [ ved at kombinere de to lineariseringer fra opgave 15 og opgave 16 (besvares kvalitativt, ikke kvantitativt). 5 Beregninger med data Fordøjelsesenzymet chymotrypsin nedbryder proteiner ved at spalte peptidbindingerne mellem de enkelte aminosyrer. For et bestemt protein (substrat) har man fundet følgende konstanter: κ 1 = 0.15M 1 s 1, k 2 = 0.051s 1, og K M = 0.44M. Opgave 18. For [S] 0 = 10 2 M og [E] 0 = 10 3 M beregnes α,β,γ,δ. For de to tilfælde i opg. 15 og opg. 16 beregnes egenværdierne, og graferne for x(u) og y(u) tegnes. Matematik 1 2006 side 5
Opgave 19. Løs ligningssystemet (9) for de i opgave 18 beregnede værdier af α,β,γ,δ ved hjælp af dsolve med option numeric. Plot x(u) og y(u). Sammenlign resultatet med den approximative løsning fra forrige opgave. 6 Variationer Opgave 20. Indfør en ny variabel z ved at sætte y(u) = αz(u). Opstil differentialligninger og begyndelsesbetingelser for x og z. Løs systemet numerisk med samme koefficienter som i opgave 19, og plot x(u) og z(u). Opgave 21. Prøv at gentage regningerne når begyndelseskoncentrationen [E] 0 gøres 10, hhv 100, hhv 500 gange mindre. Opgave 22. I (9) sættes dy/du = 0. Uryk derefter y ved x og indsæt dette uryk i den første ligning. Løs derefter systemet ved at separere de variable x og u. Matematik 1 2006 side 6