Geodæsi og Geostatistik

1 Noter til Geofysik 5 Geodæsi og Geostatistik C.C.Tscherning Niels Bohr Institutet Forår 009.

Indhold: 1. Indledning 1.1. Hvad er geodæsi?. Matematiske Hjælpemidler. Koordinater..1 De mange bredder. Enheder.3 Elementære formler i planen eller på en kugle.4 Kortprojektioner og kort. 3. Geodætisk Statistik og mindste kvadraters metode 3.1 Statistiske Grundbegreber 3. Linearisering 3.3 Mindste kvadraters metode 3.4 Løsning af normalligningerne 4. Materiale fra Allan A.Nielsen, DTU: Allan Aasbjerg Nielsen: Least Squares Adjustment: Linear and Nonlinear Weighted Regression Analysis. Baggrundsmateriale til første forelæsning i geostatistik Allan Aasbjerg Nielsen: Geostatistik og analyse af spatielle data. Baggrundsmateriale til anden forelæsning i geostatistik Allan Aasbjerg Nielsen: Orthogonal Transformations. Baggrundsmateriale til tredje forelæsning i geostatistik

3 Indledning. Disse noter er udarbejdet med henblik på undervisningen i års-kurset kurset i Geodæsi og Geostatistik på København Universitet. Noterne er dels et supplement til og dels en uddybning af lærebogen af W.Torge: Geodesy, 3.ed., 001, og dels en helt elementær introduktion til emnet kortprojektioner. Endvidere er der udarbejdet Power-Point slides til brug for fremlæggelsen i forelæsningslokalet. Geostatistik er en vigtig del af det metodiske grundlag for alle geofysiske dicipliner. Her har geodæsi en række gode eksempler på statistiske metoder. C.F.Gauss udvikling af mindste-kvadraters metode i 1800-tallet til brug for geodæsi er her et godt eksempel. Undervisningen suppleres af øvelser, der dels illustrerer teksten i Lærebogen, og dels giver de studerende et basalt kendskab til geodætiske målemetoder. 1.1. Hvad er geodæsi? Geodæsi er det fag eller den videnskab, der har til opgave at bestemme Jordens form. Det vil sige opmåling og afbildning af Jordens overflade, og bestemmelse af Jordens tyngdefelt, bunden af vand og is-dækkede områder, samt de tidsmæssige ændringer. Det forhold, at bestemmelsen af tyngdefeltet hører med til geodæsi, har (en af) sin(e) årsager i, at havoverfladen, der jo udgør det mest af Jordens overflade, er en flade, der under visse forudsætninger falder sammen med en flade hvor tyngdepotentialet er konstant. Denne flade kaldes geoiden. Geodæsi søger også at løse de samme opgaver for Månen og planeterne. Hertil kommer de fagområde vi i dag kalder positionsbestemmelse. Det er stedsbestemmelse af objekter (skibe, fly, satellitter) i forhold til Jorden. Hvis "objekterne" bevæger sig taler vi også om navigation, og for satellitters vedkommende om celest mekanik. Geodæsi har en lang række anvendelsesområder, hvor de følgende er de væsentligste: Ved enhver form for kortlægning tager man udgangspunkt i en række punkter med kendte positioner, f.eks. kendt geografisk bredde og længde. Disse punkter benyttes blandt andet til at korrigere et luftfoto for fejl forårsaget af forvrængninger i fotoet. Bestemmelsen af disse punkters koordinater i et veldefineret globalt koordinatsystem er en af geodæsiens væsentligste opgaver: At tilvejebringe grundlaget for nøjagtige landkort. Ved studiet af Jordens dynamiske ændringer, geodynamik, er et af udgangspunkterne gentagne positions- eller tyngdebestemmelser, der sammenlignes. Geodæsi har derfor geodynamik som et af sine hovedområder, fælles med en række andre geofysiske og geologiske fag. Hvis man på en uafhængig måde kan finde geoiden, så kan studiet af de tidsmæssige afvigelser fra denne flade give information om årsagerne til afvigelserne, så som havstrømme, temperaturændringer ol. Helt basalt fortæller tyngdepotentialets værdier om at vand vil løbe fra et punkt med mindre potentiale til et punkt med større. Tyngdekraften, der er lig med størrelsen af potentialets gradient, varierer. Den største variation er forbundet med Jordens fladtrykning. Når man står på Nordpolen er man tættere på Jordens tunge

4 kerne, end hvis man står på Ækvator. Men hvis man fratrækker denne bredde-afhængige variation, så fortæller tyngdeanomalien om det der er inde i eller på Jorden. Er der et bjerg, så er tyngden større, end hvis der er en dal. Og mere interessant, så vil tyngden efter fratrækning af bjerge og dale, give os information om massefordelingen i Jorden. En negativ tyngdeanomali er et tegn på lette masser - vand, gas, olie. Tyngden ændres med tiden, idet den er en sum af Jordens tiltrækning, centrifugalkraften og tiltrækningen fra Sol og Måne. Ligesom vi har tidevand, så har vi også tide variationer af tyngden. Men da Jordoverfladen ændrer sig på grund af tiltrækningen, så vil man ikke måle de tyngdeændringer, der svarer til ændringerne af Sol og Månes position. Dette kan vi benytte til at sige noget om elasticitetsforholdene i Jordens indre. Endelig kan relative positions eller tyngde ændringer give forvarsel om jordskælv eller vulkanudbrud. 1.. Det fælles referencesystem. Et fælles referencesystem (Conventional Terrestrial Reference System, CTRS) er defineret som følger: Det er et sædvanligt tre-retvinklet, Cartesisk, koordinatsystem med nulpunkt (0,0,0) i Jordens tyngdepunkt. Akserne benævnes (X,Y,Z) eller (X 1,X,X 3 ), se Figur 1.1 Figur 1.1 Ellipsoidiske koordinater ( ϕ, λ) og tredimensionale retvinklede koordinater (X,Y,Z) Z-aksen går gennem tyngdepunktet, og er parallel med Jordens rotationsakse år 1900.0. X - Z planen er fastlagt astronomisk, så den falder sammen med Greenwich meridian planen.

I dette koordinatsystem er lagt en omdrejnings-ellipsoide, med Z-aksen som symmetri-akse. Dens dimensioner er givet ved den halve stor-akse, a, den halve lille-akse, b, (i Torge kaldet c!). Dimensionerne kan også angives ved hjælp af fladtrykningen f = (a - b)/a eller 1. excentricitet e = (a - b ) / a. Pas på med b, der i Torge også benyttes for bredden! 5 Ellipsoiden betragtes som Jordens form i første tilnærmelse. Det er den flade, der danner grundlag for landkort, ved en afbildning (kortprojektion) fra fladen til planen (R ). Ellipsoiden er valgt, så den tilnærmer middelhavniveau. I denne forbindelse må man forestille sig middelhavniveau fortsat ind under landmasserne. Helt præsist er middelhavniveau en flade hvor tyngdepotentialet er konstant, og det er denne flade, der kaldes geoiden. Indtil omkring år 1960 kendte man kun små dele af geoidefladen, se Figur 1., nemlig over de store kontinenter. Man fandt ved beregning frem til en ellipsoide, der lokalt passede bedst med middelhavniveau, og antog så, at Jordens tyngdepunkt var sammenfaldende med ellipsoidens centrum. Da satellitterne kom frem, fandt man ud af, at man havde taget op til 1 km fejl! til ellipsoiden har næsten samme retning som lodlinien. Afvigelserne er i middel 30 m, med numerisk maximum 110 m. Et andet forhold af betydning er, at normalen Vinklen mellem ellipsoide-normalen og Ækvatorplanet er den geodætiske eller geografiske bredde ϕ se Figur 1.3. Den fysiske lodretning, der er vinkelret på middelhavniveau, er derfor ganske tæt på ellipsoide-normalen. Rumvinklen mellem de to retninger kaldes lodafvigelsen.

Lodliniens retning kan bestemmes ved astronomiske målinger, og er således en fysisk observerbar størrelse. Dvs. vi kan ved et eksperiment i naturen bestemme en god tilnærmelse til vor position i forhold til ellipsoiden. 6 Note: Astronomisk bredde og længde observeres ved hjælp af en kikkert hvis lodrette akse er sammenfaldende med lodlinien. (Ved hjælp af libeller). Udfra kendskabet til stjerners deklination og rektascention kan man beregne vinklen mellem zenith og den celeste pol (polarafstanden = 90 o - bredden). Udfra observations tidspunktet kan man beregne den astronomiske længde. Helt simpelt kan man observere tidspunktet for hvornår en stjerne står højest på himlen. Forskellen mellem dette tidspunkt (i stjernetid) og Rektascentionen giver en vinkel, der er lig med stedets (astronomiske) længde. I "gamle" dage var udgangspunktet for stedsbestemmelse et antal punkter med kendt astronomisk længde og bredde. Man vedtog, at fastsætte at et af disse punkters bredde og længde skulle være lig med den geodætiske bredde og længde. Eller at man bestemte geodætiske længder og bredder sådan at der i området var bedst mulig overensstemmelse mellem geodætiske koordinater og astronomiske koordinater. Dette kaldes fastlæggelse af et geodætisk datum. Figur 1.6 viser de punkter i Danmark hvor astronomiske bredder og/eller længder er kendt. Fordelen ved at benytte astronomiske metoder var, at man ikke behøvede at have direkte sigte fra punkt til punkt. Mellem de astronomisk bestemte punkter kunne man så fylde ud ved hjælp af vinkelmåling (triangulation) og afstandsmåling (tri-lateration), se Figur 1.4. Højderne blev bestemt ved måling af højdedifferenser fra vandstandsmålere ved kysterne.

7 Da højdedifferenser bestemmes med instrumenter (kikkerter) opstillet med aksen sammenfaldende med lodlinien, så giver lodliniens variation fra sted til sted en fejl, der gør at måling af højdedifferenser i en lukket kurve ikke giver højdeforskellen nul fra start til slut. Vi skal senere se, at hvis man ganger differenserne med værdien af tyngden, så får man differenser af tyngdepotential, og disse differenser vil summere til 0. Måling af højder er således i virkeligheden en måling at tyngdepotentialets ændringer. Heldigvis er det også det der er brug for i praksis, hvor en højdeforskel gerne skulle udtrykke om vand vil løbe fra et sted til et andet! Hvis udgangspunktet for en stedsbestemmelse kun var et punkt, så var det nødvendigt at fastlægge en retning i rummet, for at få det ved triangulation og trilateration konstruerede net korrekt placeret på ellipsoiden. Men retninger (azimuth, se Figur 1.5) kan også fastlægges ved astronomiske målinger. Helt enkelt kunne man forestille sig at Nordstjernen sad nøjagtigt i den celeste nordpol. Ved at måle vinklen mellem de lodrette planer, der indeholder henholdsvis Nordstjernen og et punkt på jordoverfladen ville man have fastlagt retningen. (Bemærk at vinklen vil være målt i en plan vinkelret på kikkertens akse, lodretningen). Vi skal i det følgende se, hvordan vi ved hjælp af satellitter har løst det problem, at vi ikke - på grund af jordkrumningen - kan benytte triangulation eller trilateration for store afstande, f.eks. til at forbinde øer med kontinentet eller kontinenterne. Vi skal også se, at hvis vi kan bestemme tyngdepotentialet uden at nivellere, så kan vi bestemme geoiden og dermed største delen af Jordens form.

8 Fig. 1.6. Første-ordens net i Danmark. File: H:\excerc\g09\kap11.doc 009-03-31

. Matematiske hjælpemidler. Koordinater..1 De mange bredder..1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X, X 3 ). Z-aksen er parallel med Jordens omdrejningsakse, X-Z planen falder sammen med Greenwich meridianplanen og centrum falder i Jordens centrum, et CTS. Men vi har brug for mange andre typer af koordinater. Sædvanlige sfæriske koordinater (.1) er polære koordinater i rummet, se Figur.1. Omvendt har vi (.) Til brug på eller nær Jordens overflade benytter vi geografiske eller geodætiske koordinater (,, h) eller (,, H) se Figur.1 og.. er vinklen mellem normalen nedfældet fra punktet P på ellipsoiden og ækvatorplanet og h er afstanden langs normalen fra ellipsoiden. Da er tæt på vinklen mellem lodlinien og Ækvator, blev benyttet til kortlægning baseret på astronomiske målinger.

. I stedet for h benyttes i praksis højden over havet H. Her må vi præcisere, hvad vi mener med "havet", og det er her geoiden, se Figur.3. Sammenhængen er Vi skal nu udlede sammenhængen mellem de forskellige former for bredde, se Figur.4. Udgangspunktet er ellipsens ligning, som vi her udtrykker i X og Z koordinater, da ellipsoiden fremkommer ved en rotation on Z-aksen, (.3) (.4) hvor ellipsens halve storakse er a og den halve lilleakse er b. Formel (.4) udtrykker at punkterne på ellipsen er det geometriske sted for de punkter, hvor summen af afstanden fra punkter (de focii) er konstant (= a). Midtpunktet mellem de to focii kaldes ellipsens centrum, og det skal falde sammen med vort koordinatsystems nulpunkt. Afstanden E

.3 (excentriciteten) fra centrum til et af de to focii findes ved Pytagoras (.5) For Jorden benytter vi i dag a = 6378137.0 m og b = 635675.314 m Opgave.1. Udregn f, e, e' samt E. For at kunne finde sammenhængen mellem den geografiske og den geocentriske bredde betragter vi nu ellipsen som en kurve i planen, dvs. en afbildning også kaldet en parameterfremstilling. For en cirkel har vi som bekendt For ellipsen vil vi forsøge at finde et udtryk på samme form Da ellipsens ligning skal være opfyldt fås kaldes den reducerede bredde, se Figur.5. Geometrisk findes den ved at omskrive ellipsen med en cirkel med radius a, nedfælde den vinkelrette på X-aksen og dernæst forbinde skæringspunktet med cirklen med centrum i ellipsen.

Vi skal nu benytte til af finde. Den findes simpelthen som 90 o minus tangentens hældning, (polarafstanden). Tangentens hældning finder vi ved at differentiere parameterfremstillingen for den kurve, c( ), der fremstiller ellipsen..4 så eller Nu er også så på ellipsoiden gælder Opgave.. Den geografiske bredde for et punkt på ellipsoiden er 56 o. Hvad er den reducerede bredde og den geocentriske bredde. Hvis den geocentriske bredde er 56 o, hvad er så de andre bredder? (a, b som benyttet i opgave.1). Vi kan nu udtrykke den reducerede bredde udfra den geografiske bredde, og dermed finde X og senere Z udtrykt ved denne. Vi har

.5 Da så får vi den meget vigtige formel: Opgave.3. = 56 o. Hvad er N? Vi har så mere generelt: Vi mangler nu at udtrykke Z. Her opstiller vi normalens ligning som en ret linie i X-Z koordinatsystemet, jvf. Figur.6 b. Normalens ligning er

.6 og skæring med Z-aksen fremkommer for X = 0: så Disse vigtige formler findes i Torge, s. 49. Den omvendte afbildning er singulær på polerne. For længden vi har = arctan(y/x), mens og h normalt regnes iterativt. Der findes dog også lukkede formler... Enheder. De vigtigste enheder er: meter, afstand lyset løber i vakuum i løbet af 1/9979458 sek. 1 sek er 919631770 perioder for Cæsium 133's overgang mellem to hyperfinstrukturer. Vinkler: Radianer, 180 o =. Meget benyttet blandt landinspektører er de såkaldte nygrader eller gon, indført i 1791, 1 gon = 0.9 o = 54' (bueminutter) = / 00 radian. TS, tusindedele benyttes militært 64000 = 360 o. Grader, minutter, sek benævnes seksagesimale grader. Af andre længdeenheder finder vi 1 favn = 3 alen = 6 fod, 1 mil = 1000 alen, 1 fod = 0.3138535 m..3. Elementære formler i planen eller på en kugle.

.7 For den plane trekant med siderne a, b, c har vi (se figur.7): For den sfæriske trekant har vi tilsvarende simple formler, for betegnelser se Figur.8. Hvis C ligger i Nordpolen, så har vi

.8 c er så den sfæriske afstand mellem A og B, Formlen bevises let ved at tage skalarproduktet af enhedsvektorer udtrykt i sfæriske koordianter (dvs. r = 1). Skalarproduktet mellem to enhedsvektorer er netop cosinus til den sfæriske afstand. Formlerne kan anvendes til en grov afstandsberegning mellem punkter på en kugle med radius lig med Jordens middelradius, 6371 km. Af andre vigtige formler er sinusrelationerne, der er komplicerede at udlede: Disse formler kan benyttes til at regne grove retninger og afstande udfra 3 kendte størrelser. Kender vi længde og bredde for punkter kan vi regne azimuth,. Det regnes positivt med uret fra nord! Opgave.4. Der er giver to punkter i kortblad 1314 III. P =( =56 o, =10 o ), Q = ( = 56 o 5', = 10 o 18'). Benyt formlerne til at regne afstand og azimuth fra P til Q på en kugle med radius 6371 km. Sammenlign med afstand og retning i kortet.

.9.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del af det reelle talrum, R n, her R 3, eller R. Jorden og/eller dens overflade er en mangfoldighed. I Figur.10 vises afbildningen, f, af en omegn, U, omkring et punkt X, på Jordens overflade over i f(u), der er en delmængde af R. Parret (f, U) kaldes også i abstrakt matematik et kort. f er en kortprojektion og den inverse afbildning, f, er en parametrisering eller parameterfremstilling af U. ksempel.10 E Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f? I praksis optræder flere afbildninger: A: Fra Jordoverfladen eller rummet til ellipsoiden, (X,Y,Z) (,,h=0). (Eventuelt til geoiden, H = 0). B 1 : Afbildning (kort) til planen af et delområde (omegn) B : Afbildning til kugle, og herfra til planen af delområde (omegn). Kortene har forskellige egenskaber, der helt eller delvist udelukker hinanden: (a) afstandstro (b) konforme, dvs. lokalt vinkeltro (c) arealtro

.10 (1) Ret linie der forbinder to punkter i kortet svarer til rute med kortest afstand. (En sådan kurve kaldes en orthodrom eller geodætisk linie). () Ret linie der forbinder to punkter i kortet svarer til rute med konstant kurs. (En sådan kurve kaldes en loxodrom). Kurver i rummet har parameterfremstilling c: R R 3, Eksempel.4.: Meridian på kugle med længden 0 og parallel med bredde 0. De kurver, der frembringes ved i planen at holde en koordinat fast, kaldes parameterkurverne. I eksempel.4.1 er meridianer og paralleller parameterkurverne. Men da parameterfremstillingerne ikke er entydige, kan der være mange parameterkurver. En vigtig type kurver,er de, der forbinder to punkter med den korteste afstand. De kaldes de geodætiske kurver eller linier. På kuglen er det storcirklerne. Eksempel.4.3. Storcirkel på en kugle gennem ( 0, 0 ) med azimuth.

.11 der så afbildes videre over på kuglen. Udfra de sfæriske trekantsformler, jvf. Figur.1, så er Øvelse.4.1. Kontroller, at vi for azimuth lig med 0 får meridianerne og at vi for = 90 o ikke får en parallel! Når vi skal vurdere en kortprojektions egenskaber, skal vi altid huske på, at størrelser som afstande, arealer og retninger alle måles i det tre-dimensionale rum. Længden af en vektor v = (X,Y,Z) er eller kvadratet på længden er skalarproduktet af vektoren med sig selv, s = v v. Cosinus til vinklen mellem vektorer, v 1 og v er lig med skalarproduktet af vektorerne divideret med vektorernes længder, dvs. skalarproduktet af de tilsvarende enhedsvektorer. Vi har her udtrykt den sædvanlige metrik i rummet ved hjælp af skalarproduktet. På en flade må vi arbejde lidt anderledes. I gennem hvert punkt af fladen vil der gå to parameterkurver, der er billede af kurvene x = konstant og y = konstant i kortet. Hver af disse kurver vil have en tangent, og tangenter udspænder en plan, tangentplanen, se Figur.13. I denne kan vi måle vinkler og afstande, som om vi var i det -dimensionale reelle talrum. Men tangentvektorerne vil ikke nødvendigvis være enhedsvektorer eller vinkelrette på hinanden, dvs. de danner ikke nødvendigvis nogen orthonormal basis. Og det må vi selvfølgelig tage hensyn til. Eksempel.4.4: Tangentplanen svarende til eksempel.4.1. Vi skal differentiere parameterkurverne med hensyn til x og y, og evaluere i billedet (X,Y).

.1 Nu definerer vi billedet af en vektor i kortet (a,b) som værende vektoren (a v 1 + b v ) i tangentplanen. Har vi vektorer i kortet (a 1, b 1 ) og (a, b ) så kan vi udtrykke deres skalarprodukt i tangentplanen som Eksempel.4.5: For kortprojektionen i eksempel.4.1 får vi Helt generelt, er det vi har fundet, den såkaldte Jakobi-matrix. Den kaldes også den metriske fundamentalform,

.13 Bemærk at basisvektorernes længde er e ½ og f ½, at cosinus til vinklen mellem vektorerne og arealet er matricens determinant, A = ef - g. Vi kan nu definere målestoksforholdet m som værende forholdet hvor m er angivet som en funktion af (a, b), dvs. det er retningsafhængigt! Vi ser også at målestoksforholdene i akseretningerne er kvadratroden af e, henholdsvis f. Hvis basisvektorerne skal være vinkelrette på hinanden, så skal g være lig med 0. Vi kan nu definere: Konform: Vinklerne mellem tangentvektorerne bevares i ethvert punkt. Arealtro: Arealer målt i tangentplanen udspændt af to vektorer skal være konstant, ef - g = konstant. Afstandstro: Afstande målt i tangentplanen bevares, eller Eksempel.4.6: Cylinderprojektion fra kuglen. Vi forlanger her at afbildningen er afstandstro langs Ækvator, samt at den som funktion af x kun afhænger af længden og af y kun af bredden, dvs: hvor f er en funktion, vi vil finde. Basisvektorerne bliver

.14 Her får vi så for at vinklerne skal bevares må vi have Løsningen til denne ligning er Denne størrelse kaldes også isometrisk bredde og det er den der er grundlaget for de sædvanlige søkort i Merkators projektion. Hvis afbildningen skulle have været arealtro, så var betingelsen Hvis vi ønsker en Meridian afstandstro, så bytter vi (på kuglen!) om på længde og bredde. Herved fremkommer den overmåde meget benyttede Transverse Merkator projektion, se Figur.15. Ved at rotere 90 o om X-aksen, så den nye Z-akse går i samme retning som Y aksen, bytter om på længde og bredde, så er med o = 0 i Figur.15 Heraf får vi

.15 Dvs. Det er grundlaget for UTM, Universal Transversal Merkator projektion, der benyttes på alle moderne topografiske kort i målestoksforhold fra 1:5000 til 1:50000. UTM har der særlige forhold, at der for hver 6 o er defineret en ny midtermeridian, hvor målestoksforholder er 0.9996. Herved skærer cylinderen langs to kurver, så den generelle målestoksforvrængning er mindst mulig inden for 6 o zonen. Generelt så kan vi opfatte bredden og længden som funktioner af de plane koordinater (x, y). Så bliver parameterkurvernes tangentvektorer, Her får vi så efter en lang udregning Udskifter vi med isometrisk bredde, så

.16 Hvis vi vil forlange at kortprojektionen skal være konform, så må tangentvektorerne være lige lange og skalarproduktet må være 0. (De skal være vinkelrette på hinanden). For at dette kan gælde, så må vi have Dette er de berømte Cauchy-Riemanns differentialligninger, der som konsekvens har, at sammenhængen mellem (x,y) og (, ) kan udtrykkes om en kompleks analytisk funktion, endda som et polynomium (med uendelig mange led, en potensrække), hvor a'ern og b'erne er komplekse konstanter og i er den imaginære enhed. Denne form har den fordel, at man udfra kendskabet til den ene række let kan finde den anden række for den inverse afbildning. I Kort & Matrikelstyrelsens transformationsprogrammer er dette udnyttet til flere af de konforme kortprojektioner, se Poder, K., and K.Engsager: Some conformal mappings and transformations for geodesy and cartography. Draft KMS, 1995. Vi skal nu udnytte de generelle formler til at finde udtrykket for en kegleprojektion.

.17 Her forlanges røring langs en af parallellerne. Indfører vi vinklen og forlanger at afstanden fra keglens toppunkt er en funktion af bredden alene, så er Vi må nu udregne de afledede med hensyn til x og y. Her er to udregnet; udregn selv de andre: Herefter kan længden og det indre produkt af tangent-vektorerne udregnes, (f' er den afledede af f):

.18 Konformitet kræver nu at vektorerne er lige lange og vinkelrette på hinanden, så og heraf Herefter fastlægges konstanterne c 1, c og c 3, så vi får målestoksforholdet til at passe. Ved at multiplicere med en passende faktor, er det også muligt at få keglen til at skære langs paralleller. De endelige formler svarende til en røringsparallel med bredden 0 (for en kugle) bliver Udfra formlerne for keglen kan man udlede formlerne for Merkators projektion (Tangens ved ækvator) og for Polar-stereografisk projektion, hvor en plan tangerer en af polerne. Formlerne for polar-stereografisk projektion bliver hvor vi har forskudt nulpunktet til skæringspunktet mellem røringsparallellen og midtermeridianen.

.19 Nulpunktsforskydning. Ofte ønsker vi et bestemt punkt ( 0, 0 ) skal afbildes over i kortet som (0,0). Det gøres enklest ved først at afbilde punktet over i kortet i (x 0, y 0 ), og derefter definere den nye afbildning som x' = x - x 0, y' = y - y 0. Eksempel.4.7. For kegleprojektionen ønsker vi nulpunktet lagt på rørings-parallellen med bredde 0. Dvs. vi skal fratrække afstanden fra keglens toppunkt, Meridiankonvergensen. Vinklen mellem meridian-kurvens billede og Y-aksen (Nord-retningen) kaldes meridiankonvergensen. Vinklen findes i tangentplanen mellem tangenterne til meridianen og til parameterkurven svarende til x = konstant, (v ), som vi har udledt et generelt udtryk for ovenfor. Tangenten til meridianen er

.0 Ved at danne det indre produkt, og dividere med længden af tangenterne får vi cosinus til vinklen, Hvis længden er uafhængig af y, som i Merkators projektion, så ser vi at cos = 1, dvs. = 0. For Transvers-Merkator er x = R f( '), y = R '. Heraf får vi eller meridiankonvergensen er tilnærmet lig med længde-differensen fra midtermeridianen. Ellipsoidiske formler. Ovenfor har vi udledt formler for kortprojektioner fra en kugle til planen. De tilsvarende formler for overgangen fra en ellipsoide til planen, evt. med en "genvej" over en kugle kan udledes uden særlige komplikationer. - Formlerne bliver længere. Mange flere detailler om kortprojektioner, herunder om såkaldte skævaksede findes i Peter Ricardus og Ron K. Adler, 1974. Nogle af de følgende illustrationer er kopieret fra denne bog. Danske kortprojektioner. De sædvanlige topografiske kort (4, og 1 cm) er i UTM-projektionen med midtermeridianer med længderne 9 o og 15 o. (Zone 3 og zone 33), se Buchwaldt, 197. Søkort er i Merkators projektion. Dette giver meridianer og paralleller som rette linier. Lambert konform-konisk projektion benyttes for Fly kort (ICAO).

.1 Det Danske koordinatsystem System 34 (se Buchwaldt, 1976) er ikke baseret på nogen kortprojektion i matematisk forstand. Basis er en tilnærmet transversal konform cylinderprojektion (samt 1 for Bornholm). Jorden er regnet kugleformet, baseret på middelkrumningsradius for Hayford-ellipsoiden (a = 6378388 m, 1/f = 97) i bredden 56 o 08' for Jylland og 55 o 0' for Sjælland. Det trigonometriske punkt Agri Baunehøj har fået koordinaterne (Y, X) = ( 00 km, 00 km), så alle danske koordinater er positive. X - aksen peger mod Nord og Y - aksen peger mod vest. Afbildningen er iøvrigt fastlagt så retningen fra Agri til Lysnet er 4 o 31'14".17. Den er konstrueret så målestoksændringerne er mindre end 50 ppm (part per million) for Jylland og ppm for Sjælland. Den benyttes til alle matrikulære formål. Overgangen fra System 34 Sjælland, Jylland og Bornholm, bygger på kendskabet til koordinater i systemer, nemlig UTM og System 34. Der er konstrueret flere sæt af polynomier, der repræsenterer overgangen fra det ene system til det andet, se Andersson. O. og K.Poder:, 1981..5 Litteratur til kapitel. Andersson. O. og K.Poder: Koordinattransformationer ved Geodætisk Institut. Landinspektøren, Årg. 30, s. 55-571, 1981. Bomford. G.: Geodesy. 4. ed., Clarendon Press, Oxford, 1980. Buchwaldt, F.: UTM nettet, Opbygning og anvendelse, Geodætisk Institut,. oplag 197. Buchwaldt, F.: Den Danske Kortprojektion System 1934. Damsk Kartografisk Selskab, Pub. Nr. 5, (Uden år, dog 1976). Grossmann, W.: Geodätische Rechnungen und Abbildungen, Verlag Konrad Wittwer, 1976. Ricardus, Peter og Ron K. Adler: Map Projections, North-Holland,. ed. 1974. Pearson II, F.: Map Projections, Theory and Applications.CRC Press, Inc., 1990.

H:\excerc\geodstat.doc, sidste ændring: Nov. 5, 003.. 3. Geodætisk statistik og mindste kvadraters metode. 3.1. Statistiske grundbegreber. 3.1.1 Fordelinger. Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram, der viser antallet af målinger i et givet interval. Målingerne kan gentages i det samme punkt (og kan så opfattes som en tidsrække) eller den samme størrelse kan måles i forskellige punkter på Jorden (og opfattes så som en stedsafhængig størrelse). Nedenfor er vist fordelingen af middel-tyngdeværdierne for 1 grads blokke fordelt over hele Jorden. Dette eksempel er valgt for at illustrere at også fysiske (deterministiske) størrelser kan have en statistisk fordeling. Fordelingen vist i figuren ligner jo afgjort en normalfordeling. For målinger der gentages på det samme sted betragtes typisk afvigelsen fra middelværdien som en fejl, med mindre vi ved at der er en fysisk årsag til afvigelsen (som fx tidekræfterne). I statistik er det grundlæggende begreb et udfald (af et forsøg) eller en hændelse. I geodæsi vil en hændelse være en måling af en afstand eller en tyngdeværdi. Vi har en afbildning fra et rum (H) af mulige hændelser ind i et udfaldsrum (den reelle akse (R), en ternings 6 øjne, ol.). Afbildningen kaldes en stokastisk variable. Den svarer til begrebet en funktional i funktionalanalyse hvis udfaldsrummet er den reelle akse. Tyngden i et punkt er en afbildning fra rummet af mulige tyngdepotentialer ind i det reelle talrum. En stokastisk variabel X: H -> R kan beskrives ved en sandsynlighedstæthed, f(x), der ved 1

integration over intervallet [a,b] angiver hvor stor sandsynligheden (P) er for at udfaldet ligger i dette interval, P(a x b)= b a f(x) dx For fordelingen kan man definere middelværdi, varians og det n=te moment: der begge kan udtrykkes ved Estimations operatoren E. Varians : Middelværdi : σ x = x= - (x - x ) f(x) dx= E((x - x ) ) n - te moment : E((x - x f(x) dx= E(x) Hvis udfaldsrummet er flerdimensionalt (fx tyngdevektorens 3 komponenter) kan man på tilsvarende vis definere middelværdi vektoren og Varians-Kovarians Matricen: Σ X - hvor vi ofte betegner x ) = σ X ={ σ ij }, σ = ( x - ~ ij i x i )( x j - ~ x n ) σ ii = σ i. j ) f( xi,x j ) dx i dx j, Hvis X er tyngdevektoren, så er matricen en 3 x 3 matrix. Vi kan så også definere korrelationen mellem størrelser: ρ = ij σ ij [,1] σ ii σ jj På grund af estimationsoperatorens linearitet har vi kovarians-propagation : E(a X i +b X j )= a E( X i )+b E( X j ) hvor a og b er reelle tal. Hvis X og A 0 er vektorer af dimension n og A er en n x m matrix, så gælder

Y = A Σ Y 0 + A X E Y ) = A ( 0 = E(( y E( Y )) ( Y E( Y )) + A E( X ) T ) = A Σ X A T Den inverse P = Σ kaldes ofte vægt-matricen. X Eksempel 3.1: Her er n = og m = 1. Vi betragter summen af observationer: σ 11 0 A0 ={0}, A={1,1}, X = 0 Σ σ Y = X 1+ X, σ YY = σ 11+ σ Hvad er så variansen, hvis vi betragter differensen mellem observationer? 3.1. Normalfordelingen. En 1-dimensional størrelse er normalfordelt hvis 1 -(x-e(x)) /( σ xx) f(x) = e π σ xx Tilsvarende består en vektor af simultant normalfordelte størrelser hvis 1 T -(X -E(X)) P (X -E(X))/ F( x1,...,xn )= n/ 1/ e (π ) X ) ( det Σ Den kaldes den n-dimensionale normalfordeling. En konsekvens af kovarians-propagationen (og som ses let ved et lille regnestykke) er at hvis X er en n-dimensional normalfordelt vektor, D en n x m matrix, så bliver Z = D X også normalfordelt med middelværdi E(Z) = D E(X) og varians-kovarians matrix Hvis en størrelse er normalfordelt så er det bedste skøn (udfra n observationer) for middelværdi, varians og ko-varians T E( Z )= Σ Z = D ΣX D 3

x= ˆ eller med s = n Σ i=1 Standardafvigelsen= n Σ i=1 Standardafvigelsen= x x n COV(x, y)= Σ i=1 i=1 (x - x) ˆ (y - y)/n, ˆ Korrelation = ρ = COV(x, y)/( σ x σ y ) i i /n,, σ x = n ss = Σ (ss - x s i n Σ i=1 ( xi - xˆ ) n - 1 /n)/(n) Hvis kovariansen COV(x,y) kan udtrykkes som en funktion af en parameter s, COV(s), så kaldes den for en kovariansfunktion. I øvelse 11.1 beskrives estimationen af en kovariansfunktion for lokale tyngdedata. Bemærk, at hvis vi som udgangsdata har data, der er normalfordelte, så får vi et nyt sæt af normalfordelte data, hvis det nye sæt har en lineær relation til det gamle sæt! Det har som konsekvens, at vi må linearisere (Taylorudvikling med kun 0 og 1. ordens led) en eventuel ikke lineær relation. Årsagen til at dette er vigtigt er, at vi ofte ved at startdata er normalfordelte med en kendt varians, og vi så ønsker at kunne sige noget om variansen af afledte størrelser. Hvis middelværdien er ukendt, og variansskønnet går mod uendeligt når man får flere og flere data (for eksempel hvis data fordeler sig om en ret linie med hældning forskellig fra 0), så benytter man i stedet variogrammet: vari(s)= N iσ =1 ( xi - x j ), hvor summen tages over alle par af data, der har afstanden s (eller ligger i intervallet fra s-ds til s+ds). Bemærk, at variogrammet har værdien 0 for s = 0. For normalfordelte størelser er der en meget simpel sammenhæng mellem kovariansfunktion og variogram. Vi kan også have uendelig (men tællelig) dimensionale normalfordelinger. Antag vi har en funktion T(P) i et Hilbertrum af tællelig dimension. Denne funktion kan udvikles i en (Fourier-) række T(P) = Σ i=1 a i V i (P), V i orthonormal basis, De fundamentale stokastiske variable, X i er de lineære funktionaler der afbilder fra T til Fourier-koefficienterne a i. Disse variable antages at være normalfordelte med middelværdi 0 og varians σ i. Summen af varianserne skal være et endeligt tal. Dette er et eksempel på en stokastisk proces. Formelt kræves der, at den simultane (samtidige) 4

sandsynlighedsfordeling af n variable er defineret, dvs. for variable P(a < X 1 < b,c < X < d) er kendt, og ligger i intervallet fra 0 til 1. Herudfra kan man finde den 1-dimensionale fordeling af for eksempel evalueringsfunktionalerne, L P (T) = T(P). De får også middelværdi 0, og varians lig med Σ i=1 E(T(P ) )= σ i V(P ) Kovariansen mellem værdier bliver tilsvarende Σ i=1 E((T(P) T(Q))= σ i V i (P) V i (Q) Eksempel 3..1.: Stationær tidsrække. Betragt Fourierrække (periodisk funktion) f(x)= N Σ i=0 πi πi ( ai cos( x)+bi sin( x)), N N E(( ai ) )= E((bi ) )= σ i Så er kovariansfunktionen COV(x, y)= E(f(x) f(y))= N Σ i=0 σ i ( cos(i x) cos(i N Σ i=0 σ i cos(i(x- y)) y)+ sin(i x) sin(i y))= Vi ser at kovariansfunktionen kun afhænger af forskellen mellem x og y, dvs. den er stationær. Varianserne kaldes power-spektret. Eksempel 3.1.3: Det anomale tyngdepotentiale, T. Her er rækkeudviklingen ( sfærisk tilnærmelse) 5

j GM R T(P)= T( ϕ, λ,r)= C V (, ) R Σ ij ij i= r Σ ϕ λ j=-i ϕ = bredden, λ = længden,r = radiusvektors længde, R = Jordens middelradius,c GM = produkt af ij i+1 fuldt - normaliserede koefficienter, gravitationskonstant og Jordens totalmasse. Antag at koefficienterne at er normalfordelte med den samme varians GM E( ( C ij ) )= σ ij = σ i /(i + 1) R for koefficienter af samme grad. Hermed bliver kovariansfunktionen (se Torge (1991, (.47)) COV(P,Q)= E(T(P) T(Q))= i Σ Σ i= j=-i σ i /(i+1) i+1 R rr i+1 R Σσ i P i( cosψ ), ψ = sfærisk afstand mellem P og Q, i= r r P = ( ϕ, λ,r),q = ( ϕ, λ,r ), Pi, Legendre Polynomium af graden i. V ij ( ϕ, λ ) V ij ( ϕ, λ )= Vi ser at kovariansfunktionen kun er en funktion af den sfæriske afstand, samt r og r=. Funktionen er isotrop = rotations-invariant. 3.. Linearisering. I fysik, geofysik og geodæsi står vi ofte overfor et parameter estimations problem - dvs. at finde det bedste skøn af m størrelse ud fra n andre størrelser, hvor n er større end eller lig med m. Vi har flere observationer end størrelser vi ønsker at bestemme. Hvis sammenhængen er lineær, og data er normaltfordelt, kan man vise, at den bedste metode (den der giver mindst fejl eller varians) er mindste kvadraters metode. Ved denne metode finder man de størrelser der har den mindste kvadratiske afvigelse fra de oprindelige størrelser, hvis man regner baglæns fra de bedste skøn. Men ofte er denne lineære sammenhæng ikke tilstede, og må så findes ved en Taylorudvikling. 6

Den generelle ikke lineære sammenhæng kan skrives L + v= Φ(X) eller observationer + fejl = Funktion af parametre Antag vi har et første skøn X 1 for X, så L 0 = Φ ( X 1 ), y = L- L 0, x = X - X 1. Så er tilnærmet Φ y + v= A x, A= { } X 1 X A er en matrix der består af de partielle afledede med hensyn til X=s komponenter, evalueret i X 1. Hvis der er givet en række målinger, x=(x 1,...,x n ), der som udgangspunkt er normalfordelte med varians { σ i } og uafhængige, så kan vi benytte den lineariserede sammenhæng til at finde varians-kovarians matricen for y = A x, se afsnit 1. T Σ y = A { σ i } A Eksempel 3..1: En afstands afhængighed af koordinatforskelle. Φ ( X, X ) = ( X X ) + ( X X ) ( X X 0 1 01 0 3 03) Denne relation kan lineariseres udfra et start punkt, her (X 11,X 1,X 13 ): 3 Φ Φ(X, X 0 )= Φ( X 1, X 0 )+ X ( X i - X 1 i=1 X 1i Φ X 1i - = X 0i X 1 X 1i Φ( X 1, X 0 ) 1i )+led af - orden. På matrix form har vi med dx i = ( X i -X 1i ) T Φ( X, X 0 ) { dx i} = Φ( X, X X X 0 i observeret beregnet, eller A x = y 0 ) Φ( X, X 1 0 ) = 7

Hvis O-ordens leddet af Taylorudviklingen trækkes over på venstre side, og led af -orden bortkastes, så er forbedringerne til X 1, X-X 1 udtrykt ved en lineær ligning med 3 ubekendte, nemlig (X-X 1 )>s 3 komponenter. Eksempel 3..: (Jævnfør Øvelse 10), (X 11, X 1,X 13 ) = ( 3496719 m, 7434 m, 564456 m). Der er observeret afstanden fra en GPS satellit #16. Koordinaterne for satelliten, den observerede afstand og den beregnede (alt i m) er: Sat. X 11 X 1 X 13 Obser. Beregnet Afstand 16 1988818.3-400773.6 17137390.1 0785631.1 0785633.8 Observationsligningen er derfor med dx i = ( X i -X 1i ) ((3496719.0988818.3)dX 1 + (7434.0-400773.6) dx +(564456.07137390.1) dx 3 )/0785633.8 = ( 0785631.1-0785633.8) eller -0.7883 dx 1-0.1571 dx + 1.7083 dx 3 = -.7 Eksempel 3..3: I fysisk geodæsi lineariseres udtrykket for geoidehøjden og tyngdeanomalien ved hjælp af anomalipotentialet T = W-U: T ς = (højdeanomalien), γ dt Δg = - - T (tyngdeanomalien) dr r Herved er de to størrelser udtrykt ved hjælp af lineære funktionaler, der er anvendt på T, hvor T betragtes som element i et lineært funktionsrum (af harmoniske funktioner). U (normalpotentialet, se Torge (001, Afs. 4.4.)) kan betragtes som 0-ordens leddet i en Taylorudvikling. (I et Hilbertrum kaldes den afledede den Frechet-afledede). 8

3.3. Mindste kvadraters metode. 3.3.1 Det overbestemte problem. Mindste kvadraters metode er traditionelt blevet anvendt til at bestemme en n-dimensional vektor x, udfra m observationer, y, m > n. Vi har et overbestemt problem. Et typisk eksempel er et geodætisk net hvor vi har målt alle retninger (vinkler) og afstande. For et plant net kræves det dog normalt at af punkterne har kendte koordinater. Antag nu, at vi har foretaget en linearisering af den funktionelle sammenhæng mellem observationer og de parametre vi vil bestemme. Så vil de m observationer udspænde et rum af maximal dimensional m, hvor de n parametre udgør et underrum. (Vi vil i det følgende antage at rummet er m-dimensionalt, ellers se afsnit 3.). Et skøn ~ x for x kan bestemmes i dette underrum ved en projektion. Vi søger det bedste skøn - den bedste projektion - der kan defineres som den, hvor forskellen mellem det observerede og det der beregnes udfra det bedste skøn har den mindste kvadratiske sum. Vi tager her hensyn til at observationerne muligvis har forskellig nøjagtighed. Hvis målingerne har en fejl v i, så har vi y + v = A x, (Observationsligningerne) Vi søger en løsning så v Σ y T v =(y - A x) Σ y (y - A x ) T = minimum(x) Denne fås ved differentiation efter x: d 1 T (y - Ax) Σ ȳ (y - Ax ) = 0 d xi 1 T 1 yi Σ ȳ (Ai ) - ( Ai ) Σ ȳ ( Ai ) xi = 0 T 1 1 A Σ ȳ A x= A Σ ȳ y T 1 T 1 x=( A Σ ȳ A ) A Σ ȳ y (Normalligningerne) (Hele denne proces kaldes en udjævning af observationerne, fordi fejlen fordeles mellem observationerne efter deres vægt). Herefter kan vi finde varians-kovarians matricen for x: T Σ x=( A Σ y A ) A T Σ y T Σy ( A Σ y A ) A T Σ y T T ) =( A Σ y A ) Eksempel 3.3.1 : Vi betragter nu et typisk problem der er født lineært. Betragt 3 punkter H, G, I. Tyngen i et punkt H er 981600.15 mgal og vi har målt tyngdeforskellene mellem H og G til 1.11 mgal og mellem G og I til 10.5 mgal, samt mellem I og H til -.70 mgal. 1

Usikkerhedden i H er 0.0 mgal, og differenserne er målt med en nøjagtighed på 0.03 mgal. Vi søger det bedste skøn for tyngderne i G og I..70-10.5 1.11 981600.15 = g g g 10 0 1 10 0 0 1 I H G så 10 0 1 10 10 0 0.00 0.00 0.00 0.03 0.00 0.00 0.00 0.03 0.00 0.00 0.00 0.03 0.00 0.00 0.00 0.0 1 0 0 10 0 1 0 1 = - x 1 Σ

Opgave 3.3.1: Udregn varians-kovarians-matricen. Mindste kvadraters metode giver det bedste (lineære) skøn, hvis observationerne er normaltfordelt. Hvis de ikke er det, kan man stadig bruge mindste kvadraters metode, blot er den ikke længere nødvendigvis den bedste metode. Endvidere kan man ikke beregne den statistiske fordeling af de skønnede størrelser, på den simple måde. Bemærk, at man kan finde nye skøn for observationernes fordeling ved at regne baglæns. Et nyt skøn for fordelingen er Σ ~ T T y = A( A Σ y A ) A Vi har ovenfor forudsat at der var foretaget en linearisering. Hvis der er tvivl om at denne måske ikke er god nok, benyttes det nye resultat som et nyt udgangspunkt for lineariseringen, og udjævningen foretages på ny. 3.3.. Det underbestemte problem. Hvis vort rum har en dimension, der er større end antallet af observationer, må vi foretage en anden projektion. Vi søger i stedet den vektor, der har mindst mulig norm. Men hvilken norm? Inspireret af det overbestemte problem, kan man kræve, at en skønnet værdi er en linearkombination af observationerne, 3

n ~ x i = α ij Hvis x er en funktion, erstattes index i af en punkt-variabel (P), og α ij bliver også en funktion α af P. Pi Vi kan betragte x som en stokastisk proces, og kræve at variansen af x - x~ bliver mindst mulig: j=1 y j E( x ~ x ) = E( x Vi kalder nu ) = E( x n i= 1 i= 1 α y ) α E( x y ) + i = 1 i n i i i n i= 1 n j= 1 α α E( y i j i y ) = minimum( α ) j i Cij = E( y y ),C i j Pi = E(x y ),C0= E( x ) i og får igen ved differentiation (sammenlign Torge (001, side 5)). ~ x =( C Pi ) ( C ij ) y Fejl-variansen kan også udregnes: E((x - ~ x + med E(x)= 0, E(y)= 0, E(( T ) )= E( x ) - ( C Pi) ( Cij) E(x y) T ( C Pi)( Cij) E( y ) ( Cij) ( C Pj) = T σ x - ( C Pi) ( Cij) ( C Pj) T y ) ( y ) )= ( Cij), E(xy)= ( C i Vi ser, at hvis vi vil have et skøn for et af observationsværdierne, bliver det reproduceret eksakt. Fejlskønnet bliver endvidere 0. Det er fordi vi ikke har taget hensyn til fejlene i observationerne. Man kan vise, at det gøres ved at addere støjens varians-kovarians til matricen (C ij ). Eksempel 3.3.: Vi har tyngdeværdier i punkterne P og Q med værdierne 6 mgal og 10 mgal. Vi ser bort fra målefejl. Afstanden mellem P og Q er 10 km. Vi søger tyngden i et andet punkt R, der ligger 8 km fra P og 4 km fra Q. Kovarianserne er: COV(0) = 100 mgal, COV(10 km) = 60, COV(8 j Pj )

km) = 80 mgal, COV(4 km) = 90 mgal. Værdien i R bliver Δ g ~ R = 100 60 10 ( 90 80) = 9 mgal 60 100 6 Opgave 3.3.: Udregn fejskønnet for tyngdeanomalien i R. (Se også øvelse 11.). Ovennævnte metode kaldes mindste-kvadraters collocation eller ofte optimal lineær estimation. Metodens navn udspringer fra teorien for løsning af partielle differentialligninger, hvor metoden er karakteriseret ved, at den for fejlfrie data reproducere disse. Indenfor denne ramme er metoden blevet generaliseret af Torben Krarup, (Krarup, 1969) så man kan behandle data af forskellig art, som for eksempel tyngder og geoidehøjder samtidigt. Metoden er yderligere generaliseret af H.Moritz, (Moritz, 1980) så man kan blande et overbestemt og et underbestemt problem (se Torge (001, afsnit 6.8.)). Denne type problemer løses indenfor andre fag ved en metode kaldet Kriging, der er i tæt familie med collocationsmetoden. Skøn for kovarianserne bestemmes som for normalfordelingen, under hensyntagen til at der her er tale om en funktion. Men med mange fysiske fænomener har vi ikke gentagelser (vi har kun en jord, kun en tid). Man må så gå på kompromis og antage en hvis regularitet i kovarianserne. Ved stationaritet antager man for eksempel, at kovarianserne kun afhænger af tidsforskellen. Dvs. alle par af observationer, der observeres med en given tidsforskel kan benyttes til estimation af kovariansen. Dette gøres ved at danne alle produkter af data, der har den bestemte tidsforskel, og så dividere med antallet af produkter. På Jordens overflade (eller i rummet) antages isotropi. Hvis vi drejer Jorden om jordcenteret får vi en ny Jord. Herved er gentagelserne alle værdier, der for en fast højde har den samme sfæriske afstand. Kovariansen estimeres så ved integralet (summen) over alle værdier, der har en fast afstand, og der divideres med antallet. (Se øvelse 11). Eksempel 3.3.3: For tyngdeanomalier har vi for punkter på Jordens overflade (r = R) V ij j GM Δg( ϕ, λ,r)= (i - 1) V (,,R) Σ Σ C ij ij ϕ λ R i= j= = Pij( ϕ ) cos(j λ ), sin(j λ ), fuldt normaliserede kuglefunktioner så kovarianserne for tyngdeanomalierne bliver (se Heiskanen & Moritz (1967, afsnit 7.7)): π π/ π 1 C( ψ )= C( ϕ, λ, ϕ, λ )= g(, ) g(, ) d d d, 16 Δ ϕ λ Δ ϕ λ cosϕ ϕ λ α π -π -π/ 0 med ϕ, λ med fast sfærisk afstand ψ, α azimut.

P.gr. af ortogonaliteten af kuglefunktionerne på kuglen får vi

GM σ i = R j Σ j=-i C( ψ )= (i - 1 ) C i= ij σ i P i( cosψ ),,(tyngdeanomali gradvarianser) Der findes forskellige modeller for hvordan grad-varianserne går mod uendelig. Mest kendt er Kaulas-rule,(Kaula, 1959), der desværre medfører at tyngdevariansen på Jordens overflade er uendelig. I 1974 lancerede forfatteren og R.H.Rapp en model, der ikke har denne skavank (Tscherning & Rapp, 1974), Torge (001, eq. 6.7). 3.4. Løsning af normalligningerne. Da normalligningerne har en symmetrisk koefficient-matrix (N) og altid forsøges konstrueret så de er løsbare (positivt definitte), er det mest fordelagtigt at benytte Cholesky=s metode til at løse ligningerne. Denne metode giver den mindst mulige afrundingsfejl, og hvis ligningerne er singulære kan man blive advaret om det under løsningsprocessen. Vi skal løse ligningssystemet y = N x, hvor y og x er n-dimensionale vektorer. Hovedideen er at omforme N så den bliver et produkt af to nedre-symmetriske matricer, L (for Lower ). L (L L T T N x= L L x= y, ) x= L y,eller L T x= L y Dette system er nu øvre-triangulært. Det vil sige, at den n-te ligning er en ligning med 1 ubekendt (x n ). Løses denne og indsættes, får man at den næste er en ny ligning med 1 ubekendt. Denne proces kaldes tilbageløsningen, og kan først udføres når L y er beregnet. Cholesky algoritmen kan udledes induktivt. Først betragtes en ligning med 1 ubekendt. Så er L et tal, lig med kvadratroden af N 11. Antag nu vi har fundet (den reducerede) L m for det delsystem, der består af de m første rækker, og kald de m første rækker af den m-te søjle for N m+1, så vil L m+1 være lig med L m +1 L = 0 m N m+1,m+1 - ( L m L m N N m+1 m+1 ) T L m N m+1 (Vises ved at danne produktet). Så kerne algoritmen er følgende: Da L m er nedre-triangulær, skal vi løse 1 ligning med 1 ubekendt for voksende index:

L i, m+ 1 L = ( N m+ 1, m+ 1 i, m+ 1 = - N m Σ k=1 L ik m+ 1, m+ 1 Lm - m Σ k=1 + 1, k L k )/ L, m + 1 ii Den samme algoritme benyttes til beregning af L x. En bedste måde at se det på er, at udvide N-matricen med en ekstra søjle bestående af y=s elementer. Anbringes kvadratsummen af y=erne i et nyt diagonal-led, N n+1,n+1, så får man en generel algoritme. Eksempel 3.4.1. Vi ønsker nu at løse samme opgave som i eksempel 3.3., og betragter så 3 x 3 matricen ( L T 100 60 10 N y = 60 100 6, T T y y y 10 6 136 T T 10 6 1 L ( L ) y = 0 8 0,så T T 0 y y - ( y N y 0 0 135 ) ( L T ) 0.1 90 y = og ~ x = 0 80 T 0.1 = 9 0 En nedre (eller øvre) triangulær matrix har en determinant, der er lig med produktet af diagonalleddene. Endvidere er produktet af L=s diagonal elementer lig med kvadratroden af N=s determinant. Hvis det bliver lig 0, er ligningssystemet singulært. Hvis det m-te diagonalelementerne bliver nul, så er den m-te del-matrix singulær. (Den m-te søjle er lineært afhængig af de m forrige). Denne egenskab gør, at Cholesky=s metode er meget anvendelig i praksis, idet man når at fange fejl i ligningssystemet. I et geodætisk net kan det skyldes, at der ikke er nok fastholdte (kendte) punkter, og i collocation, at en observation er taget med gange. Cholesky=s metode, er en metode til at løse ligninger med en positiv definit koefficientmatrix, og ikke en metode til at finde den inverse af en matrix. Hvis den skal bestemmes, så må man løse et antal ligninger, hvor højresiden består af kolonnerne i en identititsmatrix. Eksempel 3.4.: Bestemmelse af den inverse af en x matrix, jvf. Eksempel 3.3.:.

100 60 10 6 1 0.1 0 0 T N =, L =, L =, L = 60 100 0 8 0-0.75 1 0.15 0.1 0.0665 0-0.09375 T T så ( L ) =,( L ) =, - 0.75-0.09375 0.15 0.01565 0.0665-0.09375 N = - 0.09375 0.01565 Kontroller beregningen ved at finde den inverse ved determinantmetoden. Bemærk endvidere at N er symmetrisk, så man kun behøver at lagre den ene halvdel. Når et element i ligningssystemet har været i brug, så kan det erstattes af det tilsvarende i L- matricen. Det kan også udnyttes, at hvis en søjle har en række elementer lig med 0 i begyndelsen af søjlen, så bliver de tilsvarende elementer i L-matricen også 0. Det giver mulighed for at spare regnekraft, når der arbejdes med såkaldte tyndt besatte matricer. Sådanne matricer opstår ofte når man udjævner geodætiske net. Værdier, der svarer til at der ikke er nogen måling, der forbinder punkter, vil være 0. Se iøvrigt Poder & Tscherning (1973). Bemærk, at hvis den n+1 søjle består af elementerne C pi med C 0 i diagonalen, så beregnes fejlskønnet, hvis man i Cholesky-algoritmen undlader at tage kvadratroden til sidst. Eksempel 3.4.3. Vi vil nu udregne fejlskønnet på skønnet for tyngdeværdien i eksempel 3.3.. Vi har allerede udregnet L-matricen i eksempel 3.4.1, så vi betragter nu 3 x 3 matricen, der består af x matricen L, vektoren C pi og C 0 i diagonal-elementet: L C 0 C Pi 0 10 6 90 = 0 8 80 0 0 100 der viderereduceres, så vi får 0 C 0 L - ( L C Pi L T ) ( L C C Pi Pi 10 6 9 = 0 8 3.5 0 0.9 så fejlskønnet er.9 mgal. 3.5. Litteratur til kapitel 3. Hald, A.: statistical Theory with Engineering Applications. John Whiley & Sons, New York, London, 1956. Heiskanen, W.A. and H. Moritz: Physical Geodesy. W.H. Freeman & Co, San Francisco,

1967. Kaula, W.M.: Statistical and Harmonic Analysis of Gravity. J.Geophys. Res., Vol. 64, no. 1, pp. 401-41, 1959. Krarup, T.: A Contribution to the Mathematical Foundation of Physical Geodesy. Meddelelse no. 44, Geodætisk Institut, København 1969. Moritz, H.: Advanced Physical Geodesy. H.Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1980. Poder, K. and C.C.Tscherning: Cholesky's Method on a Computer. The Danish Geodetic Institute Internal Report No. 8, 1973. Sanso, F.: Statistical methods in physical geodesy. In: Suenkel, H.: Mathematical and Numerical Techniques in Physical Geodesy. Lecture Notes in Earth Sciences, Vol. 7, pp. 4955, Springer-Verlag, 1986. Torge, W.: Geodesy. 3. edition, de Gruyter, 001. Torge, W.: Gravimetry. de Gruyter, Berlin, 1989. Tscherning, C.C.: Introduction to Functional Analysis with a View to its Application in Approximation Theory. In: Moritz, H. and H.Suenkel (Ed's): Approximation Methods in Geodesy, H.Wichmann Verlag, Karlsruhe, pp. 1579, 1978c. Tscherning, C.C. and R.H.Rapp: Closed Covariance Expressions for Gravity Anomalies, Geoid Undulations, and Deflections of the Vertical Implied by Anomaly Degree-Variance Models. Reports of the Department of Geodetic Science No. 08, The Ohio State University, Columbus, Ohio, 1974.