Numerisk/grafisk løsning af differentialigninger med TI-Nspire CAS version 1.7

Numerisk/grafisk løsning af differentialigninger med TI-Nspire CAS version 1.7 Baseret på noter af Knud Nissen og Bjørn Felsager Kapitel 1: Grafisk løsning af differentialligninger side 1 Kapitel 2: Første ordens differentialligninger side 12 Linjeelementer side 12 Grafisk løsning af førsteordens differentialligninger side 13 Implicit differentiation side 17 Et eksempel fra fysik: faldskærmsudspring side 18 Et eksempel fra kemi: Reaktionskinetik side 19 Aktiviteter: Isokliner side 29 Logistisk vækst med jagt/fiskeri side 30 Kapitel 3: Koblede differentialligninger side 31 Romeo og Julie side 35 Et eksempel fra samfundsfag side 39 Rygtespredning side 41 Aktiviteter: En rovdyr-byttedyr model side 44 En epidemi model side 45 Kapitel 4: Anden ordens differentialligninger side 46 Eksempel fra fysik: det matematiske pendul side 48 Aktiviteter: Standselængden for en bil side 50

Kapitel 1: Grafisk løsning af differentialligninger Når man skal løse en differentialligning af formen, er det godt at danne sig et grafisk overblik over løsningernes forløb. Det er da godt at kunne få tegnet linjeelementerne hørende til differentialligningen. Et linjeelement er et lille tangentstykke hørende til en løsning for differentialligningen. Hvis løsningskurven går gennem et bestemt punkt (x0,y0), så vil den i dette punkt hare en tangent med hældningen s(x0,y0) (bogstavet s er netop valgt for ordet slope = hældning). Hvis vi tegner et lille linjestykke med denne hældning vil det derfor give et godt indtryk af hvordan løsningen forløber lige omkring dette punkt. Lad os som et konkret eksempel se på differentialligningen 1 4 Vi åbner nu for et grafer og geometriværksted og afsætter et punkt på det gitter, der hører til koordinatsystemet (højreklik for at få vist gitteret): Gitteret følger inddelingen af koordinatakserne, der styres af vinduesindstillingerne X-skala og Y-skala. Normalt indstilles de automatisk, men har vi sat X- skala og Y-skala til 1, så gitteret netop dækker punkterne med heltallige koordinater. 1

Vi kan nu finde punktets koordinater og dermed beregne værdien af hældningen i dette punkt, idet vi indskriver en tekstboks med formlen for hældningen og peger på x-koordinaten henholdsvis y-koordinaten, når vi beregner den. Trækker vi i punktet kan vi se det springe rundt på gitteret samtidigt med at den lokale hældning knyttet til punktet opdateres. Vi er nu klar til at tegne linjeelementet. Vi skal da have afsat endepunkterne for linjeelementet., og, Her er s hældningen og h er den vandrette tilvækst Δx som skal afpasses så linjeelementet får længden 1, dvs. h er givet ved 1 1 (det sidste følger af Pythagoras sætning anvendt på den karakteristiske retvinklede trekant med den vandrette side h og den lodrette side s h). Vi indskriver derfor formlerne for koordinaterne til endepunkterne og beregner dem ved at pege på de relevante størrelser undervejs, dvs. øverst hældningen s givet ved formlen, derefter den vandrette tilvækst h givet ved formlen, efterfulgt af formlerne for de fire koordinater. Når de først er beregnet kan vi overføre deres mål til de relevante akser og konstruere endepunkterne ved hjælp af vinkelret-konstruktionen: 2

Herefter kan vi skjule beregningerne (med undtagelse af formlen for hældningen, dvs. forskriften for differentialligningen, hældningen og gitterpunktet med dets koordinater) og ved at trække rundt i punktet kan vi nu spore linjeelementet og dermed få tegnet linjeelementerne: Men det bedste ville selvfølgelig være, hvis vi kunne få dem tegnet i et hug, og det kan vi netop, fordi gitteret også kan fungere som en sti for et geometrisk sted. 3

Vælger vi at konstruere et geometrisk sted og peger vi først på gitterpunktet og dernæst på linjeelementet får vi netop konstrueret det feltet af linjeelementer: Det giver nu en god fornemmelse for løsningskurvernes forløb, idet vi kan følge linjeelementerne på samme måde som et blad følger den skiftende retning af vinden. Læg mærke til, at linjefeltet også er dynamisk. Skifter vi forskrift for differentialligningen opdateres linjefeltet. Hvis vi vil have tegnet løsningskurven gennem et begyndelsespunkt kan vi nu afsætte et frit punkt uden for gitteret og gemme x- og y-koordinaten i variablene x 0 og y 0 og derefter bruge kommandoen desolve til at løse differentialligningen eksakt. Vi starter da med at finde den eksakte løsningsformel for et vilkårligt startpunkt i Grafregner-værkstedet: Grafregner-værkstedet er imidlertid ikke dynamisk, så vi kopierer dette udtryk ind i Grafer og geometri-værkstedet som forskrift for f1(x), idet vi substituerer gitterpunktets koordinater x 0 og y 0 for x_start og y_start. Resultatet er da netop en dynamisk løsningskurve, der følger med rundt når vi trækker i gitterpunktet. Vi ser da netop hvordan løsningskurven følger linjeelementerne lige så nydeligt (læg mærke til at vi har skjult gitterpunktet og dets koordinater). 4

Men det er jo ikke alle differentialligninger vi kan løse eksakt ved hjælp af en færdig formel for y udtrykt ved x. Så i mange tilfælde må man i stedet nøjes med en numerisk løsning baseret på en passende numerisk løsningsformel, fx Eulers metode eller Runge Kuttas metode. Det er nemmest at illustrere Eulers metode, hvor vi simpelthen følger linjeelementerne trin for trin og dermed approksimerer løsningskurven med linjestykker, der hele tiden har den korrekte hældning i midtpunktet. Det er selvfølgelig ikke så præcist som en symbolsk løsning, men det illustrerer princippet rimeligt klart. Vi anvender igen differentialligningen 1 4 som vores illustrative eksempel. Vi vil følge løsningen 20 skridt fremad og tyve skridt bagud. Vi starter derfor med at definere de relevante funktioner, der skal føre os frem henholdsvis tilbage:.,, 1 4, (med decimalpunktum i tælleren),,,,,,,,,,,, Derefter arbejder vi os såvel fremad som tilbage i et lister og regneark-værksted. Det sker ved hjælp af cellekommandoerne 5

Her har vi valgt pæne værdier for startpunktet (x_0,y_0) ved at gå ind og rette direkte i startpunktets koordinater! Efterfølgende kan vi nu afbilde de to lister som forbundne dataserier: Det er selvfølgelig ikke så præcist som den symbolske løsning, men det er tydeligt at vi trods alt prøver at følge linjeelementernes retningsangivelse så godt vi kan. Skal det være bedre skal vi enten bruge mindre trin eller en mere præcis algoritme eller allerhelst begge dele. 6

Fx kan man nøjes med at gå et halvt skridt frem og så bruge hældningen fra det halve skridt til at gå ét helt skridt: Det ser allerede meget bedre ud. Men det kan ikke betale sig at fortsætte af denne vej, idet der findes en professionel fil, som allerede har implementeret en runge-kutta fjerdeordens metode i et fuldstændigt interaktivt miljø. Du henter denne fil ved at åbne for Hjælp-menuen og vælge menupunktet Download den nyeste vejledning. Derved åbnes for TI-Nspires opsamlingsvindue på nettet. 7

Du åbner dernæst for fanebladet lærere og vælger menupunktet Undervisningsmaterialer og service til lærere: Til sidst downloader du de filerne til grafisk løsning af differentialligninger: I dette tilfælde er vi derfor interesserede i eksempelfilen for førsteordens differentialligninger. Den åbnes med et forudprogrammeret eksempel, som vi så kan omskrive efter behov: 8

Hovedsiden består af to delvinduer, øverst et grafisk vindue, hvor man ser den grafiske løsning af differentialligningen, og nederst et grafregnervindue, hvor men indskriver den differentialligning man vil undersøge. Man henter altså kommandoen på den foregående linje og retter den til: Herefter kan man tilpasse grafregnervinduet ved at rette i vinduesindstillinger. Her skal man især være opmærksom på indstillingerne for koordinatgitteret, X- skala og Y-skala, der jo fastlægger linjeelementerne. Hvis man vælger for små 9

skalainddelinger, bliver gitteret for stort og så kan det komme til at tage rigtigt lang tid at feltet af linjeelementer! Man kan også skifte til det næste vindue, hvor man kan sætte en række parametre: De sidste seks parametre er netop vinduesindstillingerne, der altså også kan indstilles her. De første seks kontrollerer derimod løsningskurven: x0, y0: Det er startværdierne for løsningskurven. De kan også vælges grafisk på hovedvinduet, ved enten at indtaste værdierne i koordinatsættet for begyndelsespunktet eller trække i begyndelsespunktet med musen: Max # Points, #Division: Her fortæller vi dels hvor mange punkter vi ønsker at beregne på løsningskurven (idet dette antal punkter vil blive benyttet såvel når vi fremskriver løsningen, som når vi tilbageskriver løsningen), dels angiver vi hvor store skridt vil tage, idet antallet inddelinger langs x-aksen angiver størrelsen af skridtet. Jo mere præcis vi ønsker løsningen, jo flere inddelinger skal vi altså vælge men alt med måde, da beregningen ellers kan komme til at tage lidt for lang tid. 10

VL: Kontrollerer vektorens længde, så de ikke overlapper. Ved en skala på 1 vil de ligge direkte i forlængelse af hinanden. Function_only: Runge-Kutta metoden kan føre til kurver, der begynder at gå baglæns, og derfor ikke længere kan opfattes som grafer for funktioner. Det undgås ved at sætte parameteren til 1. Endelig skal man være opmærksom på at man også får stillet tabeller over løsningen til rådighed. De står gemt lidt af vejen i regnearket og hedder lx1 og ly1. De kan selvfølgelig kopieres over i lister med mere fornuftige navne, hvis det ønskes, ligesom de kan afbildes i et data og statistk-vindue, hvis det er mere overskueligt: Læg mærke til at kommandoen def_eqd1 er lidt mere restriktiv end den tilsvarende desolve-kommando: Differentialligningen skal angives på formen, med x og y som navnene på den uafhængige og afhængige variabel. Tilsvarende skal koordinatsættet for begyndelsespunktet angives som en liste med 2 værdier. 11

Kapitel 2: 1. ordens differentialligninger Linjeelementer Differentialligningen x (1) y ' = y kan tolkes således, at den i ethvert punkt (x 0,y 0 ), giver oplysning om tangenthældningen α for en eventuel løsningskurve 1 gennem dette punkt. Kaldes løsningskurven for f, gælder f ( x ) = y 0 0 f '( x og 0 ) = α Dette udtrykkes ved, at f går igennem linjeelementet (x 0,y 0 ;α). Fx vil løsningskurven gennem punktet (2,1) have tangenthældningen α= 2, med andre ord, vil løsningskurven gå gennem linjeelementet (2,1; 1). For at kunne danne sig et indtryk af løsningskurvernes forløb, kan man tegne nogle linjeelementer ind i et koordinatsystem. Går løsningskurven gennem linjeelementet ( x0, y0 ; α), tegnes gennem punktet ( x0, y0 ) et lille orienteret linjestykke med hældningen α. Nedenfor ses en række linjeelementer tegnet for differentialligningen (1): 1 Vi benytter ordet løsningskurve som betegnelse for grafen for en løsning. 12

Grafisk løsning af førsteordens differentialligninger Du vil nu se, hvordan vi får TI-Nspire CAS til at tegne disse linjeelementer. Hertil skal vi åbne en særlig fil: Grafisk løsning af førsteordens differentialligninger, som altså skal ligge på din computer! Den åbner et særligt værksted, hvor de nødvendige kommandoer til at få tegnet linjeelementer er indbygget på forhånd. Som du kan se, består hovedvinduet af et Grafer og Geometri-vindue og et Grafregner-vindue. Det er i Grafregner-vinduet man indtaster differentialligningen. Læg mærke til at der skal bruges x og y for den uafhængige og afhængige variabel! Dertil kommer en startværdi for x henholdsvis y, der indtastes som en liste. I det ovenstående eksempel ser det således ud: x def _ eqd1 y ' =,{1,1} y Der er ingen grund til at stave dig igennem kommandoen. Du piler bare op og henter den foregående kommando og retter differentialligningen til. Hvis grafvinduet ikke er passende kan du ændre det på sædvanlig vis via zoom-menuer eller ved at håndrette aksernes slutværdier. Læg også mærke til startværdierne øverst til venstre. De kan også rettes til efterfølgende, men du kan også direkte trække i startpunktet, dvs. centrum for startcirklen, der udelukkende er tegnet med for at gøre det nemmere at finde startpunktet. Ved at trække i startpunktet kan man få en god fornemmelse, for hvordan løsningskurverne opfører sig. 13

Ved gentagen anvendelse af træk i startpunktet, kan du tegne alle de løsningskurver, du måtte ønske. Ved at eksperimentere lidt med dette, ser du, at alle løsningskurver bliver halvcirkler med centrum i origo, og at ingen løsningskurve skærer x-aksen. Hvis du højreklikker på løsningskurven kan du slå et geometrisk spor til og på denne måde som vist få tegnet en masse løsningskurver på en gang: Almindelig sporing virker også, men kun på den aktive løsningskurve. Løsningskurven er tegnet som et sammenhængende punktplot, så du kan ikke ramme et vilkårligt punkt ved at justere koordinaterne for det punkt, der spores! Hvis du får brug for at ændre indstillingerne for linjeelementerne så følger de gitteret i Grafer og Geometri-vinduerne. Du kan derfor ændre på opløsningen af linjeelementerne ved at ændre på stepværdierne for akserne, dvs. rette i tallene for aksemærkerne (tæt ved origo). Får du brug for det kan du også finde de samme oplysninger i det Lister og regneark-vindue, der følger med på den næste side. Vinduesoplysningerne står til sidst i de første kolonner! De andre oplysninger man kan indskrive direkte er startværdierne, det maksimale antal punkter på løsningskurven, antal inddelinger på x-aksen og en skalafaktor, der regulerer længden af linjeelementet: 14

Det er også i lister og regnearket man finder tabellerne for det punktplot, der udgør løsningskurven! Disse lister, kaldet lx1 og ly1 kan naturligvis gøres til genstand for selvstændige undersøgelser i andre applikationer. Du skal se på et par eksempler mere. Du kan nøjes med at lave nogle små ændringer i det, du allerede har. Først fjerner du minus: Her ser du, at løsningerne bliver hyperbler med asymptoterne y = ±x. Disse linjer er i øvrigt også selv løsninger. Læg mærke til at løsningskurverne igen undgår at skære x-aksen. 15

Byttes om på x og y, bliver løsningskurverne er rette linjer gennem origo: Denne gang er der ikke problemer med at krydse akserne. Krydset sker gennem origo, hvor begge koordinater er nul og hældningen derfor skizofren. Øvelse 1: Undersøg nu selv, hvad der sker, hvis vi skifter fortegn igen, dvs. undersøger differentialligningen y y ' = x Undersøg på tilsvarende måde differentialligningen y ' = 2 y. x Øvelse 2: Gør rede for at parablen y = x 2 løser de følgende tre typer differentialligninger 1 2 2 2 3 2 Tegn linjeelementerne i de tre tilfælde og karakterisér sammenhængen mellem den specielle løsning y = x2 og generelle løsning. 16

Implicit differentiation Vi slutter med et par bemærkninger om hvordan man ud fra løsningskurverne kan gætte sig frem til den pågældende differentialligning. Lad os se på det første eksempel, hvor løsningskurverne bestod at koncentriske halvcirkler med centrum i origo. Ligningen for en sådan halvcirkel er givet på formen: 2 2 2 x + y = r Dette er en implicit sammenhæng mellem de to variable x og y. Vi kunne gøre den eksplicit ved at isolere y. Men vi kan godt differentiere den implicitte sammenhæng direkte. Det gøres ved hjælp af en implicit differentiation: Hvordan skal det nu forstås? Jo, hvis y opfattes som en funktion af x, kan vi jo differentiere cirkelligningen således i hånden: Vi er nødt til at gære det i hånden, da TI-Nspire CAS ellers ikke ved at y rent faktisk afhænger af x! Isolerer vi derefter y ' fås netop resultatet af den implicitte differentiation. Uden den implicitte differentiation havde vi været nødt til at binde y til at være en funktion af x ved hjælp af kommandoen: y : = f ( x) hvorefter vi kan differentiere på normal vis og finder: Øvelse 3: Fra løsningskurver til differentialligninger I Undersøg på samme måde de øvrige differentialligninger fra det foregående, idet du først gætter på ligningen for løsningskurverne. Denne ligning indeholder en parameter, som du isolerer, så den forsvinder ved differentiationen. Derefter genfinder du differentialligningen ved hjælp af en implicit differentiation. Øvelse 4: Fra løsningskurver til differentialligninger II Der findes mange andre familier af løsningskurver, som udfylder planen, fx vandrette og lodrette forskydninger af enhedsparablen: 2 (1) y = x + k 2 (2) y = ( x h), x > h Disse ligninger indeholder en parameter, som du isolerer, så den forsvinder ved differentiationen. Derefter genfinder du differentialligningen ved hjælp af en implicit differentiation. 17

Eksempel fra fysik: Faldskærmsudspring Et faldskærmsudspring sker fra 4000 meters højde og faldskærmen udløses først i 1500 meters højde. Den maksimale fart, der opnås, er 50 m/s. I denne 2 situation gælder kraftligningen m v' = m g k v hvor v er hastigheden til tiden t, m er massen, g = 9.82 m/s 2 er tyngdeaccelerationen og k en konstant, der bl.a. afhænger af form og størrelse af den faldende genstand. Antag, at m = 80 kg. Når den maksimale fart (50 m/s) nås, er v' = 0. Ved indsættelse af dette i kraftligningen fås k = 0.31424 kg/m: Omformet til en differentialligning i TI-NSpire CAS syntaks fås kraftligningen (divider med m på begge sider og skriv y i stedet for v): m 2 Differentialligningen y' = g y indtastes sammen med begyndelsesbetingelsen x0=0 og y0=0 idet hastigheden er 0 ved udspringets start. I grafbille- k det er Spor aktiveret. Her kan du se, at løsningskurven nærmer sig asymptotisk til 50 og at tophastigheden nås efter ca. 15 sek. 18

Et eksempel fra kemi: Reaktionskinetik Vi ser på reaktionen mellem nitrogenoxid og dichlor som fører til dannelsen af nitrocylchlorid: 2NO + Cl 2 2NOCl Vi ser da at hver gang der forsvinder 2 NO-molekyler og 1 Cl 2 -molekyle, dannes der 2 NOCl-molekyler. Det gør det nemt at holde styr på den indbyrdes omsætning af de tre molekyler. Vi kan fx oprette lister over deres antal, hvor vi sørger for at der i hvert trin forsvinder 2 NO-molekyler og 1 Cl 2 -molekyle, samtidig med at der opstår 2 NOCl-molekyler. Vi kan fx forestille os at der er 100 NOmolekyler og 100 Cl 2 -molekyler, men ingen NOCl-molekyler til start. Læg mærke til at vi kun behøver at taste de to første rækker ind. Derefter kan vi udfylde tabellen nedad, efter det system, der angives af de to første rækker. Læg også mærke til at vi har tilføjet en søjle for antallet af kemiske reaktioner. Vi kan derfor nu nemt oprette en graf i data og statistik-værkstedet der viser hvor de tre stoffer udvikler sig efterhånden som reaktionen skrider fremad: 19

Vi lægger mærke til at NO-molekylerne forsvinder dobbelt så hurtigt som Cl2- molekylerne. Vi kan nemt finde forbindelsen mellem de enkelte typer molekyler ved at oprette grafer og aflæse ligningerne: Der gælder altså sammenhængen NOCl = - NO + 100 NOCl + NO = 100 20

Altså er summen af antallet af NO-molekyler og antallet af NOCl-molekyler konstant, hvilket selvfølgelig ikke er så overraskende, eftersom der dukker 2 NOCl-molekyler op for hver gang der forsvinder 2 NO-molekyler. Den konstante sum kan så fastlægges alene ud fra startværdierne. Tilsvarende finder vi sammenhængen mellem de to reaktanter: NO = 2 Cl 2 + 100 Antallet af NO-molekyler falder altså i den dobbelte takst af antallet af Cl 2 - molekyler.det er selvfølgelig heller ikke overraskende, idet der forsvinder 2 NOmolekyler for hver gang der forsvinder 1 Cl 2 -molekyle. Igen kan konstanten fastlægges alene ud fra startværdierne. Konklusionen er altså at der kun er én frihedsgrad i den kemiske reaktion. Hvis vi kender antallet af Cl 2 -molekyler, kender vi også de to andres antal: NO(t) = 2Cl 2 (t) + (NO(0) 2Cl 2 (0)) NOCl(t) = -2Cl 2 (t) + (NOCl(0) + 2Cl 2 (0)) Men vi har endnu ikke styr på dynamikken, dvs. vi ved ikke hvor hurtigt reaktionen forløber. Vi blot at jo færre NO-molekyler, der er jo langsommere kører reaktionen fordi møderne mellem NO-molekylerne og Cl 2 -molekylerne bliver sjældnere. For nu at håndtere dynamikken fornuftigt vil vi for det første håndtere et realistisk antal molekyler, som altså skal måles i mol og ikke i hundreder. Det ændrer ikke de fundne relationer. Tilsvarende vil vi gå over til at regne på koncen- 21

trationer [NO], [Cl 2 ] og [NOCl] i stedet for absolutte antal indesluttet i et fast volumen. Det ændrer heller ikke på realationerne. Vi bemærker så at når der hele tiden forsvinder dobbelt så mange NO-molekyler som Cl 2 -molekyler, må der gælde sammenhængen Tilsvarende må der gælde: 2 2 Vi skal så blot have fundet en relation for differentialkvotienten. Vi indfører da som det er sædvane i kemi, reaktionens hastighed v således: 1 2 1 2 Reaktionshastigheden er altså positiv og den antages for almindelige kemiske reaktioner at opfylde en relation af formen: hvor n og m angiver reaktionens orden med hensyn til Cl2 henholdsvis NO. En sådan relation kan begrundes ud fra massevirkningsloven om kemisk ligevægt. Men eksponenterne n og m kan kun findes eksperimentelt. Det er nemlig kun brutto reaktionen vi har skrevet op. Den kan godt være delt op i en kæde af delreaktioner. Det er så den langsomste af disse delreaktioner, der typisk fastlægger eksponenterne. Man finder ordenen ved at måle starthastigheden v 0 ved forskellige kombinationer af startkoncentrationer for dichlor og nitrogenoxid. Ved eksperimenter har man nu fundet (hvor vi i forsøg 1,2 holder [NO] 0 konstant, mens vi i forsøg 1, 3 holder [Cl 2 ] 0 konstant): Forsøg [Cl 2 ] 0 / M [NO] 0 / M v 0 / m s -1 1 0.18 0.12 1.0 10-2 2 0.36 0.12 2.0 10-2 3 0.18 0.24 4.0 10-2 Reaktionen er altså af første orden med hensyn til dichlor og af anden orden med hensyn til Nitrogenoxid. Når vi nemlig fordobler koncentrationen af dichlor (forsøg 1 forsøg 2) fordobles også starthastigheden v 0. Når vi derimod fordobler koncentrationen af nitrogenoxid firdobles hastigheden (forsøg 1 forsøg 3). Sammenhængen ser derfor således ud: med k = 3.85 22

Læg mærke til at det er et smukt eksempel på variabelkontrol. 23

Her har vi skiftet til Grafer og Geometri, fordi vi så kan tegne familier af funktioner! Men så kan vi jo opstille en simpel differentialligning for dichlor-koncentrationen, når vi erstatter [NO] med 2[Cl 2 ] + ([NO] 0-2 [Cl2] 0 : 3.85 2 20, Hvis vi vedtager at startkoncentrationen for NO og Cl 2 skal være den samme, fx 0.18 M, mens startkoncentrationen for NOCl er sat til 0 M, så får vi altså den følgende differentialligning og de følgende sammenhænge: 3.85 2 0.18 med 0 0.18 Men denne differentialligning af tredje orden kan vi jo forsøge at løse symbolsk: Som det ses kan vi ikke isolere koncentrationen c, men vi kan godt isolere tiden t. Vi har altså fundet den omvendte funktion. Det kan vi i princippet udnytte til at finde lister, der repræsenterer tid og koncentration. Vi kan da frit vælge værdierne for koncentrationen af dichlor i intervallet fra startværdien 0.18 til den halve værdi 0.09 (der ikke må komme med). Derefter beregnes dels tiderne hørende til disse koncentrationer ved hjælp af den fundne løsningsfunktion fra differentialligningen dels de øvrige to stoffers koncentrationer ved hjælp af de tidligere fundne sammenhænge: 24

Læg mærke til at der er problemer med at få punkterne ordentligt spredt ud. Det kunne selvfølgelig løses ved at indskyde flere værdier for koncentrationen af dichlor i den sidste del af tabellen. Men det er nok nemmere at skifte til en grafisk løsning af differentialligningen. 25

Vi åbner derfor hjælpefilen Grafisk løsning af første ordens differentialligninger: Efter at have skiftet vinduesgrænserne som vist (med passende valg af gitterinddelinger), så ser det ganske fornuftigt ud. Men vi har jo også adgang til lister over løsningspunkternes koordinater. Vi kan derfor plukke de tidsværdier i lx1, der svarer til intervallet fra 0 til 120 og tilsvarende for koncentrationen: 26

Når c nærmer sig sin ligevægtsværdi 0.09 kan vi erstatte det første c med 0.09 og ser da at c nærmer sig sin ligevægtsværdi som i en anden ordens proces, jfr. grafen for reaktionshastigheden som funktion af koncentrationen, der netop ikke krydser aksen i ligevægtspunktet 0.09! Vi kan derfor tilnærme med differentialligningen 3.85 0.09 2 0.18 Løses denne differentialligning fås approksimationen Sætter vi konstanten c5 til -25 fås da en rimelig asymptotisk approksimation: 27

28

Aktiviteter 5:Isokliner En isoklin er en kurve tegnet gennem de punkter, hvor løsningerne til en differentialligning har samme hældning dvs. punkter, hvor y er konstant. Isoklinerne for differentialligningen y' = x + y er således bestemt ved en ligning på formen x + y = k, dvs. rette linjer med hældning 1. a) Tegn linjeelementer for y' = x + y. b) Tegn en række isokliner for y' = x + y sammen med linjeelementerne. Det gør du ved at indtaste fx f1(x) = {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} - x i Grafer og Geometri-værlstedets indtastningslinje. Det kan også gøres ved at udnytte en skyder for konstanten k. Tegn nogle løsningskurver. En af isoklinerne er løsning. Hvilken? Det er iøvrigt noget som sjældent sker! c) Den lineære løsningskurve deler så at sige vandene: Over, har alle løsningskurver et minimum og under, er alle løsningskurver aftagende. Forklar dette. Hvor antager alle øvre løsningskurver deres minimum? d) Med en vis ret, kan den lineære løsningskurve til y' = x + y kaldes frastødende. Tegn linjeelementer og find lineære løsninger til differentialligningerne y' = x y, y' = x + y, y' = x y og retfærdiggør begreberne frastødende/tiltrækkende. e) Tegn linjeelementer for y' = y 2 x og et passende antal løsningskurver. Findes der tiltrækkende/frastødende kurver her? (Vink: Se på 0-isoklinen) 29

6: Logistisk vækst med jagt/fiskeri Som eksempler på anvendelser af differentialligninger kan vi se på vækstmodeller. Den logistiske vækst, her eksemplificeret ved y' = 2y y 1 2 2 er et godt udgangspunkt. a) Tegn linjeelementer og tegn nogle typiske løsningskurver. Find de stationære (dvs. konstante) løsninger og marker, hvilken der er tiltrækkende og hvilken der er frastødende. b) Hvis der inkluderes jagt/fiskeri i modellen kan det gøres simpelt ved at trække en konstant fra: 1 2 y' = 2y 2 y a Konstanten a repræsenterer da den hastighed, hvormed der skydes/fiskes i populationen. Lav billeder af typiske løsningskurver for a = 3/2 og a = 3. Angiv de stationære løsninger i tilfældet a = 3/2 og marker, hvilken der er tiltrækkende og hvilken der er frastødende. Forklar, hvorfor der ikke kan være stationære løsninger i tilfældet a =3. Bestem den kritiske værdi af a (1 dec.), hvor de stationære løsninger forsvinder, og gør rede for, hvilke konsekvenser det har for populationen, hvis jagten/fiskeriet overstiger den kritiske værdi. c) Hvis der inkluderes sæsonsvingninger i modellen, kan differentialligningen fx ændres til denne: 1 2 ( ) y' = 2 + cos( x) y y a Lav nogle løsningskurver for tilfældet a = 1. De konstante løsninger forsvinder, men i stedet dukker der nogle "periodiske" løsninger op, hvor den ene er tiltrækkende og den anden er frastødende. Lav også nogle løsningskurver for tilfældet a = 2, og forklar, hvorfor der ikke kan være periodiske løsninger i dette tilfælde. Find gennem eksperimenter den kritiske værdi af a (1 dec.), hvor de periodiske løsninger forsvinder, og gør rede for, hvilke konsekvenser det har for populationen, hvis jagten/fiskeriet overskrider denne værdi. 2 30

Kapitel 3. Koblede differentialligninger Grafisk/numerisk løsning af to koblede førsteordens differentialligninger foregår ved hjælp af en særlig skabelon, der hentes i filen Grafisk løsning af systemer af differentialligninger. Det forudsætter altså tilstedeværelsen af denne fil på din computer. Eksempel: Løs differentialligningssystemet, og tegn den løsningskurve, der går gennem begyndelses (2,1). 31

Læg mærke til at man interaktivt både kan regulere på startpunktet (x0,y0), fx ved at rette direkte i koordinatsættet øverst til venstre eller ved at trække i det. Læg også mærke til at systemet er et autonomt system, dvs. højre siden indeholder ikke tidsparameteren t. Det er forudsætningen for at det giver mening at tegne linjeelementer og faseplot. Udover faseplottet (x, y) får vi også tegnet tidsgraferne (t, x) og (t, y) på den følgende side: Hvis vi vil undersøge løsningen nøjere kan vi oversætte systemet af de to koblede differentialligninger til en førsteordens differentialligning ved at foretage omskrivningen: 32

Denne ligning kan løses eksakt og vi kan derfor finde ligningen for løsningskurven i (x,y)-rummet (der netop viser sig at være en cirkel med radius 5: Vil vi også have tidsafhængigheden med ind i en eksakt løsning, bliver det lidt mere indviklet, fordi vi denne gang skal omskrive systemet til en andenordens differentialligning: og det samme for y: De løser altså den samme anden ordens differentialligning, hvilket er et generelt træk ved autonome systemer af koblede differentialligninger. Bemærkning: I almindelighed går omskrivningen ikke helt så nemt: Når vi differentierer den første differentialligning dukker der i almindelighed både dx/dt (som er ok) og dy/dt (som skal elimineres) op på højresiden. Når dy/dt erstattes af udtrykket fra den anden differentialligning dukker der i almindelighed både x og y op i udtrykket. Vi må så eliminere y ved hjælp af den første differentialligning, dvs. erstatte y med et udtryk i x og dx/dt.. Det giver i praksis ofte en andenordens differentialligning, der ikke kan løses eksakt. Men i det ovenstående tilfælde går det. Først bemærker vi at startbetingelsen også skal oversættes. I det første tilfælde finder vi: 0 2, 0 0 1 I det andet tilfælde finder vi tilsvarende: 0 1, 0 0 2 Det er altså startværdierne, der skelner mellem de to tilfælde: Det kan være svært at genkende parameterfremstillingen for en cirkel på denne form, men så kan vi samle leddene ved hjælp af tcollect-kommandoen: 33

Vi ser da netop at der er tale om en cirkel med radius 5. De to parameterkurver kan naturligvis efterprøves simpelt grafisk: 34

Romeo og Julie (et studie i ulykkelig kærlighed) Første akt. De elskende plages af en manglende tilpasning af deres gensidige følelser overfor hinanden. Romeo (kølig): "Min kærlighed til Julie falder i takt med hendes følelser for mig!" Juliet (varmblodet): "Min kærlighed til Romeo vokser i takt med hans følelser for mig!" Vi lader x repræsentere Romeo's følelser for Julie og y repræsentere Julies følelser for Romeo. Tiden måles i dage (0-60), og deres følelser måles på en skala fra -5 til 5, hvor 0 er ligegyldighed: Følelse Hysterisk had Begyndende afsky Ligegyldighed Spirende forelskelse Ekstatisk kærlighed Værdi -5-2.5 0 2.5 5 Ligningerne til modellen for deres kærlighedsaffære ser således ud 0.2 0.8 Vi antager nu, at Romeo ser Julie for første gang til tidspunktet t = 0, og at han straks bliver tiltrukket af hende (dvs. x(0) = 2). Julie derimod er naturligvis i første omgang ligeglad (y(0) = 0), men situationen er selvfølgelig ustabil! Eleverne vil få grafer som de følgende: 35