Formelsamling Noter til Astronomi 1 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the bird and see what it s doing that s what counts. I learned very early the difference between knowing the name of something and knowing something. Richard P. Feynman Benyttede bøger: Introduction to Cosmology, Barbara Ryden, 003. De overordnede kapitelnumre i denne formelsamling svarer til de behandlede kapitler i bogen Introduction to Cosmology. Sammensat af Kristoffer Stensbo-Smidt 5. juni 007
INDHOLD Indhold Fundamental Observations 3 3 Newton Versus Einstein 3 3.1 To dimensioner.............................................. 3 3. Tre dimensioner.............................................. 3 4 Cosmic Dynamics 4 5 Single-Component Universes 5 5.1 The Benchmark Model.......................................... 5 5.1.1 Kun krumning.......................................... 5 5.1. Flad geometri........................................... 6 5.1.3 Kun stof.............................................. 6 5.1.4 Kun stråling........................................... 7 5. Kun Lambda, Λ............................................. 7 6 Multiple-Component Universes 7 6.1 Stof + krumning............................................. 8 6. Stof + Lambda.............................................. 8 6.3 Stof + krumning + Lambda....................................... 9 6.4 Stråling + stof.............................................. 9 7 Measuring Cosmological Parameters 9 7.1 Lysstyrke-afstand............................................. 9 7. Angulær-diameter-afstand........................................ 9 7.3 Standard Candles og acceleration.................................... 10 8 Dark Matter 10 8.1 Mørkt stof i galakser........................................... 10 9 The Cosmic Microwave Background 10 9.1 Rekombination og dekobling....................................... 10 10 Nucleosynthesis and the Early Universe 11 11 Hurtige facts 1 Indeks 13 Side af 13
Fundamental Observations Fundamental Observations S. 1. Rødforskydningen er givet ved: Blåforskydning: λ < 0. Rødforskydning: λ > 0. Hubbles lov: z λ ob λ em λ em z = c r Hvor r er afstanden til objektet. Ved brug af Doppler-effekten, z = v/c, fås Hubbles lov til S. 15. Hubble-tiden defineres som H 1 0. S. 0. Blackbody-funktionen: Energi-densitet for blackbody-stråling: εf df = 8πh c 3 v = r f 3 df exphf/kt 1 ε γ = αt 4, α = π 15 k4 3 c 3 = 7.56 10 16 Jm 3 K 4 3 Newton Versus Einstein 3.1 To dimensioner S. 31. Trekant med vinkler α, β, γ i et flat rum κ = 0: α + β + γ = π ds = dx + dy = dr + r dθ S. 3. Trekant med vinkler α, β, γ og areal A i et positivt krumt rum κ = 1 med krumningsradius R: α + β + γ = π + A/R ds = dr + R sin r/r dθ S. 33. Trekant med vinkler α, β, γ og areal A i et negativt krumt rum κ = 1 med krumningsradius R: α + β + γ = π A/R ds = dr + R sinh r/r dθ 3. Tre dimensioner S. 34. Generelt: ds = dr + S κ r dω Side 3 af 13
4 Cosmic Dynamics hvor dω dθ + sin θ dϕ og R sinr/r κ = +1 S κ r = r κ = 0 R sinhr/r κ = 1 S. 35. Minkowski metrikken kun for fladt rum!: ds = c dt + dr + r dω S. 36. Robertson-Walker metrikken for alle geometrier: ds = c dt + at [ dr + S κ r dω ] med skalafaktoren at givet ved λ e at e = λ 0 a 1 + z = a at e = 1 at e S. 39. Hubble-radius: d H c/ 4 Cosmic Dynamics S. 45. Poissons ligning: Φ = 4πGρ S. 48. Friedmann-ligningen: ȧ Ht = a = 8πG κc εt 3c R0 κc 1 at 1 Ωt = R0 at Ht S. 51 hvor Ωt = εt ε ct. S. 50. Kritisk energi-densitet: ε c t 3c 8πG Ht For en given εt: Hvis εt > ε c t: κ = +1 Ωt > 1. Hvis εt = ε c t: κ = 0 Ωt = 1. Hvis εt < ε c t: κ = 1 Ωt < 1. S. 51. Kritisk masse-densitet: ρ c t = ε ct c = 3 8πG Ht Side 4 af 13
5 Single-Component Universes S. 53. Fluid-ligningen: Accelerationsligningen: S. 55. Tilstandsligning: hvor ε + 3ȧ a ε + P = 0 ä a = 4πG ε + 3P 3c P = wε Øvre grænse Stråling Stof Mørk energi Den kosmologiske konstant, Λ w = 1 w = 1 3 w = 0 w < 1 3 w = 1 5 Single-Component Universes S. 63. Energi-densiteten kan adderes: ε = w ε w S. 64. Hvis w er konstant: ε w a = ε w,0 a 31+w 5.1 The Benchmark Model S. 67. En Benchmark Model beskriver et fladt rum med Ω m,0 = 0, 30 og Ω Λ,0 0, 70. Et godt skema: s. 96 øverst. I det følgende betragtes specialtilfælde. 5.1.1 Kun krumning S. 69. Friedmann-ligningen bliver: ȧ = κc R 0 Bemærk: Både κ = 0 og κ = 1 er en løsning her! I dette underafsnit betragtes kun negativt krummede rum! Skalafaktoren bliver: at = t = tc = t R 0 S. 70. Tiden da en observeret lyskilde blev udsendt: 1 + z = 1 at e S. 71. Proper distance på det tidspunkt, lyset observeres: d p = c ln1 + z Proper distance på det tidspunkt, lyset udsendes: d p t e = c ln1 + z 1 + z t e = H 1 0 1 + z Side 5 af 13
5.1 The Benchmark Model 5.1. Flad geometri S. 73. Friedmann-ligningen bliver: Skalafaktoren bliver: hvor idet Energi-densiteten er: ȧ = 8πGε 0 3c a 1+3w t at = 3+3w = 1 1 c = 1 + w 6πGε 0 31 + w H 1 0 = 31 + 3 t 1 0 t εa = ε 0 a 31+w = ε 0 S. 74. Tiden, da en foton blev udsendt, kan beregnes ved Proper distance: d p = c 31 + w 1 + 3w 1 t e = te 1 + z 31+w 1+3w 3+3w = c 1 + 3w 1 1 + z 1+3w 5.1 S. 75. Horisont-afstanden kan fås ved at sætte t e = 0 i 5.1: 5.1.3 Kun stof d hor = c 31 + w 1 + 3w = c 1 + 3w NB! Dette gælder kun for et fladt univers! Her er w = 0. S. 75. Horisont-afstanden er d hor = 3c = c hvor universets alder,, er = 3. S. 76. Skalafaktoren er Proper distance: d p = 3c 1 d p t e = c 1 + z t a m t = te 1 3 1 3 = c 1 1 1 + z 1 1 + z Side 6 af 13
5. Kun Lambda, Λ 5.1.4 Kun stråling NB! Dette gælder kun for et fladt univers! Her er w = 1 3. S. 76. Horisont-afstanden er hvor universets alder,, er = 1. Skalafaktoren bliver: d hor = c = t at = 1 c S. 77. Proper distance: d p = c 1 d p t e = c te z 1 + z 1 = c z 1 + z Energi-densiteten er givet ved: t ε r t = ε 0 5. Kun Lambda, Λ S. 79. Friedmann-ligningen bliver: hvor ε Λ er konstant med tiden. Skala-faktoren bliver: ȧ = 8πGε Λ 3c a at = e H0t t0 hvor Proper distance: = d p = c d p t e = c 8πGεΛ 3c e H0t0 te 1 z 1 + z = c z 6 Multiple-Component Universes S. 8. Omskrevet Friedmann-ligning: Ht H 0 = εt + 1 Ω 0 ε c,0 at Side 7 af 13
6.1 Stof + krumning hvor ε c,0 3c H 0 8πG S. 83. For vores univers ser Friedmann-ligningen således ud: H H 0 = Ω r,0 a 4 + Ω m,0 a 3 + Ω Λ,0 + 1 Ω 0 a hvor Ω r,0 = ε r,0 /ε c,0, Ω m,0 = ε m,0 /ε c,0, Ω Λ,0 = ε Λ,0 /ε c,0 og Ω 0 = Ω r,0 + Ω m,0 + Ω Λ,0. 6.1 Stof + krumning S. 85. Friedmann-ligningen kan skrives: da Ω m,0 = Ω 0 i dette univers. Skalafaktor ved max. udvidelse: S. 86. For κ = +1 Ω 0 > 1: Ht H 0 = Ω 0 a 3 + 1 Ω 0 a a max = Ω 0 Ω 0 1 aθ = 1 Ω 1 cos θ Ω 0 1 tθ = 1 Ω θ sin θ Ω 0 1 3/ hvor θ går fra 0 Big Bang til π Big Crunch. S. 87. For κ = 1 : aη = 1 Ω cosh η 1 1 Ω 0 3/ tη = 1 Ω sinh η η 1 Ω 0 3/ S. 88. For dette univers: DENSITY IS DESTINY! 6. Stof + Lambda Dette gælder kun for et fladt univers! S. 88. Friedmann-ligningen: S. 89. Skalafaktoren ved max. udvidelse: Big Crunch vil indtræffe ved S. 90. Skalafaktoren bliver: a mλ = H H 0 = Ω m,0 a 3 + 1 Ω m,0 a max = Ωm,0 1/3 Ω m,0 1 t crunch = π 3 1 Ωm,0 1 Ωm,0 Ω Λ,0 1/3 = Ωm,0 1 Ω m,0 1/3 Side 8 af 13
6.3 Stof + krumning + Lambda 6.3 Stof + krumning + Lambda S. 91. Friedmann-ligningen: 6.4 Stråling + stof S. 94. Friedmann-ligningen: H H 0 = Ω m,0 a 3 + 1 Ω m,0 Ω Λ,0 a + Ω Λ,0 H H 0 = Ω r,0 a 4 + Ω m,0 a 3 7 Measuring Cosmological Parameters S. 104. Accelerationsligningen: Decelerationsparameteren q 0 er givet ved: 7.1 Lysstyrke-afstand S. 107. Lysstyrke-afstanden er defineret som: ä a = 4πG 3c ε w 1 + 3w w q 0 = 1 Ω w,0 1 + 3w w d L 1/ L 4πf hvor L er lysstyrken, og f er fluxen. S. 109. Universets udvidelse giver anledning til følgende korrektioner: 7. Angulær-diameter-afstand λ 0 = 1 at e λ e = 1 + zλ e E 0 = E e 1 + z L f = 4πS κ r 1 + z d L = S κ r1 + z S. 111. Angulær-diameter-afstand er defineret som: d A l δθ hvor l er metriklængden af objektet, og δθ er vinklen, objektet spænder over. S. 11. Angulær-diameter-afstanden kan også skrives som d A = S κr 1 + z = d L 1 + z Side 9 af 13
7.3 Standard Candles og acceleration 7.3 Standard Candles og acceleration S. 119. Tilsyneladende størrelse: m, 5 log 10 f f x hvor f er fluxen, og f x =, 53 10 8 watt m. Absolut størrelse: L dl M, 5 log 10 = m 5 log L 10 5 x 1 Mpc hvor L er lysstyrken, og L x = 78.7 L. S. 10. Afstands-modulus: 8 Dark Matter 8.1 Mørkt stof i galakser m M = 5 log 10 dl 1 Mpc S. 130. Overfladelysstyrken I fra galakser aftager eksponentielt: IR = I0 exp RRs + 5 hvor R s er skalalængden, som bestemmes ud fra observationer. S. 133. Er hastigheden konstant med radius, kan massen approksimeres med: MR = v R G 9 The Cosmic Microwave Background 9.1 Rekombination og dekobling S. 153. Ioniseringsgraden defineres som: X n p = n p = n p + n H n bary hvor n p, n e, n H og n bary er antalstætheden af hhv. protoner, elektroner, hydrogenatomer og baryoner. S. 154. Den middelfri vejlængde for fotoner er: λ = 1 n e σ e hvor n e er antalstætheden af elektroner og σ e er tværsnittet for Thomson-spredningen. Generelt defineres den middelfri vejlængde: λ = 1 na n e n bary hvor n er antalstætheden og A er r i to dimensioner, πr i tre, 4 3 πr3 i fire osv. Spredningsraten for fotonerne er: Der gælder følgende for Γ: Γ = c λ = n eσ e c Side 10 af 13
10 Nucleosynthesis and the Early Universe Effektiv spredning Dekobling Universet transparent Γ > H Γ H Γ < H S. 156. Maxwell-Boltzmann-ligningen beskriver antalstætheden n x af ikke-relativistiske partikler med masse m x, når partiklerne er i ligevægt: hvor g x er statistiske vægte. S. 160. Den optiske dybde er defineret som: 3 mx kt n x = g x exp m xc π kt τt = t0 t z Γt dt = 0.0035 0 10 Nucleosynthesis and the Early Universe S. 171. Temperaturen T er proportional med skalafaktoren: T a 1. S. 174. Brøkdelen af helium i det tidlige univers: Neutron-henfald: Y p ρ4 He ρ bary n p + e + ν e Andelen af neutroner efter et tidsrum kan beregnes ved f = exp t/τ n hvor τ n er henfaldstiden. S. 175. Ved t = 0.1 s og T 3 10 10 K foregik følgende reaktioner: γ + γ e + e + n + ν e n + e + p + e p + ν e S. 176. Neutron-proton-raten: n n = exp Q n n p kt hvor Q n = 1.9 MeV. S. 177. Ved freeze out : t 1 s og T = 9 10 9 K. S. 178. Neutron-neutron-reaktion er negligibel: p + p D + e + + ν e p + n D + γ Massebrøk: n + n D + e + ν e Y max = f 1 + f, f n n n p Side 11 af 13
11 Hurtige facts S. 179. Efter freeze out sker følgende reaktioner: p + n D + γ p + e H + γ S. 18. Når der er en betydelig mængde deuterium tilstede, vil følgende reaktioner forløbe: D + p 3 He + γ D + n 3 H + γ D + D 4 He + γ D + D 3 H + p D + D 3 He + n S. 183. Hverken 3 H eller 3 He lever længe: 3 H + p 4 He + γ 3 He + n 4 He + γ 3 H + D 4 He + n 3 He + D 4 He + p Højere reaktioner inkluderer: 4 He + D 6 Li + γ 4 He + 3 H 7 Li + γ 4 He + 3 He 7 Be + γ 11 Hurtige facts S. 96. Benchmark-modellen: Ingredienser Fotoner: Ω γ,0 = 5.0 10 5 Neutrinoer: Ω ν,0 = 3.4 10 5 Total stråling: Ω γ,0 = 8.4 10 5 Baryonisk stof: Ω bary,0 = 0.04 Ikkebaryonisk mørkt stof: Ω dm,0 = 0.6 Total stof: Ω dm,0 = 0.30 Kosmologisk konstant: Ω Λ,0 0.70 Vigtige epoker Stråling-stof-ækvivalens: a rm =.8 10 4 t rm = 4.7 10 4 yr Stof-lambda-ækvivalens: a mλ = 0.75 t mλ = 9.8 Gyr Nu: a 0 = 1 = 13.5 Gyr Side 1 af 13
Indeks absolut størrelse, 10 accelerationsligningen, 4, 9 afstands-modulus, 10 angulær-diameter-afstand, 9 blåforskydning, 3 decelerationsparameteren, 9 Doppler-effekt, 3 kun krumning, 5 kun lambda, 7 kun stof, 6 kun stråling, 7 tilstandsligningen, 4 tilsyneladende størrelse, 10 w, 4 energi-densitet, 5 flat rum, 3 fluid-ligningen, 4 freeze out, 11 Friedmann-ligningen, 4, 7 horisont, 6, 7 Hubbles lov, 3 ioniseringsgrad, 10 kritisk energi-densitet, 4 kritisk masse-densitet, 4 lysstyrke-afstand, 9 massebrøk, 11 Maxwell-Boltzmann, 11 middelfri vejlængde, 10 Minkowski metrikken, 3 multi-komponent-universer, 7 stof + krumning, 8 stof + krumning + lambda, 9 stof + lambda, 8 stråling + stof, 9 negativt krumt rum, 3 neutron-henfald, 11 optisk dybde, 11 Poissons ligning, 4 positivt krumt rum, 3 rødforskydning, 3 Robertson-Walker mektrikken, 4 skalafaktor, 4 spredningsrate, 10 standard candles, 10 the Benchmark Model, 5 flad geometri, 5 13