MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7
FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere i 89. Da ma må forudse, at ma seere vil skulle kue avede et egetligt matematikprogram, som agives også ogle af ordrere i programmet Maple Ekelte eksempler er hetet fra læreboge Bjare Hellese, Moges Oddershede Larse: Matematik for Igeiører bid. Adre oter i samme serie er Matematiske grudbegreber Giver e kort geemgag af defiitioer og regeregler for de mest almidelige reelle fuktioer af. variabel, disses differetiatio og itegratio, Vektorer Idhold: ) Vektorer i pla og rum, ) Rumgeometri (relatioer mellem pukt, liie og pla) ) Kurver i pla givet ved e parameterfremstillig Komplekse tal Idhold: ) Rektagulær og polær form, ekspoetialfuktio, ) Biom- og adegradsligig ) Opløsig af polyomier i faktorer og dekompoerig Matricer og lieære ligiger Idhold: ) Regeregler for matricer, ) Lieære ligigssystemer, heruder løsig af overbestemt ligigssystem Differetialligiger Idhold: ). orde (seperable, lieære, umerisk løsig), ). og højere orde med kostate koefficieter, ) Laplacetrasformetio til løsig af differetialligigssystemer og differetialligiger med forsikelse Alle de ævte otater ka i pdf-format fides på adresse www.larse-et.dk jauar 7 Moges Oddershede Larse -ii-
Idhold INDHOLD Idledig... Reelle Fourierrækker.... Defiitio og beregig af Fourierrække.... Fourierrække for lige og ulige fuktioer... 6 Fourierrække på kompleks form.... Idledig.... Sammehæg mellem reelle og komplekse Fourierkoefficieter.... Udviklig af fuktio i Fourierrække på kompleks form....4 Differetialligiger, hvor iput er e periodisk fuktio... 4 Fouriertrasformatio... 7 4. Defiitio af de Fouriertrasformerede X ( ω) af x(t)... 7 4. Ehedstrifuktio og ehedsimpulsfuktio... 8 4. Sammehæg mellem Fourierkoefficetere og de Fouriertrasformerede... 4.4 Regeregler for Fouriertrasformerede... Diskret Fouriertrasformatio.... Idledig.... Defiitio af diskret Fouriertrasformatio.... Beregig af diskret Fouriertraspoerede....4 Foldig... 6 Opgaver... 8 -iii-
-iv- Idhold
. Idledig. Idledig Mage periodiske fuktioer ka fremstilles ved e uedelig række beståede af siusled og cosiusled. Er fuktioes halve periode, ka række skrives ( ω ω ) f () t a + a cos( t) + b si( t) eller skrevet helt ud f ( t) a + a cos( ωt) + b si( ωt) +... + a cos( ω t) + b si( ω t) +... hvor t er de uafhægige variable, og vikelfrekvese ω, er et positivt helt tal og a ere og b ere er kostater. Sådae rækker kaldes Fourierrækker. Hvorledes kostatere bestemmes vil fremgå af afsit.. Kostatleddet a kaldes ofte dc-leddet (direct curret jævstrøm). Opfattes t som tide, vil rækkes øvrige led repræsetere svigiger, som etop ved mage praktiske avedelser har e direkte fysisk fortolkig, f. eks. elektromagetiske svigiger, mekaiske svigiger eller lydsvigiger. for < t < Eksempelvis vil e firkatsimpuls f () t med periode 6 (se figure) for < t < f ( t) si t + si t + si t +... have fourierrække + ( ) for < t < og fuktioe f () t med periode (se figure) t for < t < have Fourierrække cos( t) cos( t) cos( t) cos( t) si( t) si( t) si( t) f () t + 7 + + + +...... + + 4 7
. Reelle Fourierrækker Ma siger, at fuktioe f (eksempelvis e periodisk firkat-impuls ) er blevet udtrykt som e superpositio (overlejrig) af idbyrdes harmoiske ree svigiger, eller ma siger, at der er foretaget e harmoisk aalyse af f. Ofte øsker ma række skrevet på forme f ( t) A + Asi( ωt+ ϕ) + A si( ωt+ ϕ) +... + A si( ωt+ ϕ) +... Grudsvigige er Asi( ωt+ ϕ), mes A kaldes amplitude for de te svigig, ϕ er de te faseforskydig. For de ekelte svigig vil ma ud over amplitude også æve frekvese, dvs. atal svigiger pr. tidsehed. For at forstå dette begreb betragtes række for firkatsimpulse: f ( t) + si t + si( t) + si t +... Grudsvigige si t foretager svigig i løbet af e tidsperiode på 6 (da ω ). Heraf følger, at frekvese er. 6 f ω 6 Oversvigige si( t) si t sviger gage i tide 6 og har derfor e frekves f ω osv. 6 Geerelt gælder, at si( ω t) har vikelfrekvese ω, frekvese f ω og e periode (svigigstid) på. f ω. Reelle Fourierrækker. Defiitio og beregig af Fourierrække De fuktioer som ka fremstilles ved Fourierrækker, er de såkaldte stykkevis differetiable fuktioer (se figur.). Ved e stykkevis differetiabel fuktio f defieret i itervallet [ - ; ], forstås e f, som er differetiabel i hele itervallet påær højst et edeligt atal pukter. I disse pukter har såvel f som de afledede fuktio f dog e græseværdi såvel fra vestre som fra højre (for edepuktere dog blot fra de idre side). Fig... Stykkevis differetiabel fuktio f.
. Defiitio og beregig af Fourierrækker Vi vil i det følgede atage, at f er e periodisk fuktio med periode, og at f er stykkevis differetiabel i itervallet [ - ; ]. DEFINIION af fourierrække. Ved f s fourierrække forstås de uedelige række a a t b t a t b t a t b + + + + + + + t cos si cos si... cos si +... hvor a f t dt, () a f t, og,,,... t dt ()cos b f t t ()si dt Række skrives kort f t a a t b () + cos + si t Kostatere og kaldes Fourierkoefficetere. a b Forklarig af formlere for koefficietere a og b. Hvis fourierrække er koverget med summe f ( x) må koefficietere ødvedigvis være bestemt ved de agive formler. Dette idses ved at multiplicere ligige f t a a t b () + cos + si t med samme fuktio, som idgår i det led, der ideholder a eller b, hvorefter der itegreres. Multipliceres således på begge sider med cos t og itegreres fra - til, fås f t t dt a t dt a k t t dt b k t ( ) cos cos + k cos cos + k si cos t dt k For k og > fås (ved beyttelse af Maple eller i 89), at de oveævte itegraler på højre side af lighedsteget er. Ligige reduceres derfor til f t t dt a t dt b t ( ) cos cos si cos t + dt. Ved itegratio fås u f t.heraf fås,,,,... t ()cos dt a a + a f t t ()cos dt ilsvarede fides a (ved at multiplicere med cos( t) og b (ved at multiplicere med si ). t
. Reelle Fourierrækker Eksempel. Udviklig af e fuktio i e Fourierrække. for < t < Et periodisk firkatssigal med periode 6 er defieret ved f () t for < t < ) Bestem Fourierkoefficetere a samt a og b for,,, 4,. ) Lad Ft a a altså summe af led til og med t b () + cos + si t eg (ved hjælp af lommereger eller Maple) grafe for f(t) og F(t) i samme koordiatsystem. ) Skitser amplitudespektret for f(t), hvor amplitude A er defieret som A a + b () ( ) Eergie i sigalet f t over e periode er givet ved P f () t dt Eergie i sigalet Ft () over e periode er givet ved Q a + ( a + b ) De middelfejl E som opstår, år fuktioe f () t erstattes af delsumme Ft () er E P - Q. 4) Bestem eergiere P, Q og middelfejle E. Agiv i % de adel af eergie i sigalet f () t der repræseteres af delsigalet Ft (). Løsig: ) Vi fider a f t dt dt. 6 () + ) a f t t dt + ()cos t dt cos b f t t dt + ( cos( ) ) ()si t dt si (lommereger beyttet ved itegratioe) Da cos( ) ( ) for ulige fås b for lige for ulige for lige Vi har derfor a, a, b, a, b, a, b, a4, b 4
) Vi har Ft ( ) + si t + si( t) + si t egig: Maple: > w:piecewise(-6<t ad t<-,,t<,,t<,,t<6,); > u:/+/pi*si(pi/*t)+/(*pi)*si(pi*t)+/pi*si(*pi/*t); plot([w,u],t-6..6,discottrue);. Defiitio og beregig af Fourierrækker i 89: Idee er, at ma defierer e fuktio for hvert stykke af de stykkevis differetiable fuktio og så teger i samme koordiatsystem. Y, y(x) /+/ *si( /*x)+/(* )*si( *x)+/ *si(* /*x) Y, y(x)+*x x<- ad x>-6 Y, y(x)+*x x< ad x> Marker y, y og y Vælg GRAPH så bliver de markerede fuktioer teget i samme koordiatsystem Viduet idstilles u, så ma får afbildet det øskede område. Ved sammeligig med grafe for f ses, at ok liger de hiade i hovedstrukture, me umiddelbart bør ok medtages lidt flere led. ) Vi har u følgede tabel: 4 frekves f 6 6 8. 6 amplitude A a + b for for lige ulige 8. 6. 666. 6 6
. Reelle Fourierrækker P f () t dt + dt 7 4) ( ) Q a + ( a + b ) + + + + + + E E P - Q. Relativ fejl P. 7 %. 7.4896 Koverges af Fourierrække i et diskotiuitetspukt. Som det fremgår af de to grafer for f () t og Ft () i eksempel., syes fourierrække i sprigpuktet t at kovergere mod midtpuktet f ( t+ ) + f ( t ) + Det ka vises, at dette gælder geerelt.. Fourierrækker for lige og ulige fuktioer Hvis f (t) er e lige fuktio (se figur.), vil vi vise, at Fourierrække for f er e re cosiusrække. Fig. Lige fuktio, dvs. f ( t) f ( t) (grafe symmetrisk om y-akse) Hvis f (t) er e ulige fuktio (se figur.), vil vi vise, at Fourierrække for f er e re siusrække. Fig. Ulige fuktio, dvs. f ( t) f ( t) (grafe symmetrisk om begydelsespuktet (, ) ). Dette fremgår af følgede sætig. 6
SÆNING. ( Fourierrække for lige og ulige fuktio ). Hvis f er e lige fuktio med periode, har f Fourierrække f () t a + a cos t.. Fourierrækker for lige og ulige fuktioer hvor a f t dt og,,,.... () a f t dt ()cos Hvis f er e ulige fuktio med periode, har f Fourierrække f () t b si t, hvor b f t dt,,,.... ()si Bevis: g() t f () t cos t og h() t f () t si t. Er f lige, dvs. f () t f ( t), fås ved idsættelse, at g( t) g( t) og h( t) h( t), dvs. g er lige og h er e ulige fuktio. Af symmetrigrude (se på de tilsvarede arealer) må g () t dt g () t dt og h () t dt. Hermed er sætige vist, for f lige. Er f ulige, ka beviset føres på gaske samme måde. Eksempel. Fourierrække for lige fuktio. Lad e periodisk fuktio f have følgede graf ) Bestem Fourierkoefficetere a samt a og b for,,, 4,. ) Lad Ft a a altså summe af led til og med t b () + cos + si t Skitser ved hjælp af lommereger eller Maple grafe for F(t), og sammelig de med de i pukt ) tegede graf for f. 7
. Reelle Fourierrækker Løsig: ) Det ses af figure, at f er e lige fuktio med periode 8 og at f () t t+ for t 4 Række er derfor e re cosiusrække. f () t a + a cos t 4 hvor 4 a t dt og 4 + 4 a t+ t dt 4(cos( ) ) cos,,,.... 4 4 8 8 8 Heraf fås: a, a, a a a a,, 4, 9 8 8 9 ) Ft () + cos t + cos t + cos t 4 9 4 4 egig: Maple: plot(+8/pi^*cos(pi/4*t)+8/(9*pi^)*cos(/4*pi*t)+8/(*pi^)*si(*pi/4*t), t-..); Eksempel. (periodisk firkatsimpuls) Det periodiske firkatsigal vist på figure er defieret over e periode som for < t < xt () for < t < < t < er periodisk med periode (se figure). 8
.. Fourierrækker for lige og ulige fuktioer ) Fid fourierkoefficietere ) Bereg amplitudespektret i det tilfælde, hvor 8. Løsig: ) Det ses, at x (t) er e lige fuktio med periode Vi har derfor at række er e re cosiusrække. Idet i formle fås xt () a + a cos t hvor a xtdt dt + dt () si,,,.... a t dt cos Sættes ω (grudvikelfrekvese) fås ( ω ) xt () a + a cos t, hvor a og a ( ),,,.... si ω ) Sættes 8 fås ω og dermed a,,,... si 4 4 a, og a a a, 4 si, si, si 4 7 a4 si ( ), a si, a6 si, a7 si, 4 4 6 6 7 4 7 7 a7 si, a8 si( ), 7 4 7 8 ) Vi har følgede tabel: 4 6 7 8 og a. 4... 9.. 6. 7 9
. Fourierrække på kompleks form. Fourierrække på kompleks form...idledig E Fourierrække på kompleks form for e periodisk fuktio x(t) med periode ka skrives i ω t xt () ce, hvor ω og de komplekse koefficieter er bestemt ved c i ω t xt e dt () ( ) Formle fremkommer ved i Fourierrække xt () a + acos( ω t) + bsi( ω t) e + e e e at idsætte cos og si givet ved Eulers formler : cos( u), si( u). i iu iu iu iu Fordelee ved at gå over til de komplekse form er dels, at mage beregiger bliver meget lettere (jævfør eksempel.) og dels, at ku et tal c både agiver et mål for amplitude ( c )og for faseforskydige ( arg( c ) ). Ulempe er, at resultatere bliver midre overskuelige...sammehæg mellem reelle og komplekse Fourierkoefficieter. ( ( ) ( )) xt () a + a cos ω t + b si ω t i ω ce t a ib Fra reel til kompleks: c a o, c, c c, c a + b for,,,... Fra kompleks til reel: a a Re( c), b IM( c) c o ( ) Skrives Fourierrække f () t a + A si( ω t + ϕ) ϕ Arg c + Arg b + ia er amplitude A c a + b og faseforskydige for,,,... ( ) ( ).. Udviklig af fuktio i Fourierrække på kompleks form. De følgede eksempler viser dels, hvorda ma ka udvikle e periodisk fuktio i e fourierrække på kompleks form, dels hvorledes ma løser e lieær differetialligig, hvor iput er e periodisk fuktio.
.. Udviklig af fuktio i Fourierrække på kompleks form Eksempel. Periodisk firkatssigal for < t < Et periodisk firkatssigal med periode 6 er defieret ved xt () for < t < ) Bestem ud fra defiitioe de komplekse fourierkoefficieter c hvor er alle hele tal til og med ±. ) Ma fadt i eksempel. de reelle fourierkoefficieter a, a, b, a, b, a, b, a4, b Fid på det grudlag de komplekse fourierkoefficieter c hvor er alle hele tal til og med ±. Kotroller, at ma har fået samme resultat. ) Opskriv de komplekse fourierrække svarede til de i spørgsmål ) agive værdier af. 4) eg amplitudespektret for de komplekse fourierrække Løsig: ) Idet og ω fås c x t e dt dt 6 6 6 () i t e i i i t i t e ω e ω c x() t e dt e dt 6 6 6 i ω 6 i ω i i for lige i i e ( ) Da e ( e ) ( ) fås c i i for ulige i i i c, c, c,, i i c i 4 c i i i c, c, c,,. c i 4 c i ) c a o, a ib i i c, c c, i c i, c c, i i c c c,, i c4 i i i, c 4 c4, c, c c, Det ses, at vi fik de samme værdier ved de to metoder. ω ω
. Fourierrække på kompleks form i t i t i t i t i t i t ) -.. 4) i i i i i i xt ( )... + e + e + e + e e e - - 4 - - - 4 c.. 9. 9... I eksempel. var teget de tilsvarede de reelle fourierkoefficieter, og da et sådat amplitudespektrum er mere askueligt ed de komplekse koefficieter, vil ma ofte se dette avedt evetuelt samtidigt med et fasediagram. I eksempel.4 beregede vi de reelle fourierkoefficieter. Vi vil u getage beregigere for det samme problem. Eksempel. (firkatsimpuls geerelt) Det periodiske firkatsigal vist på figure er defieret over e periode som xt () for for < t < < t < < t < er periodisk med periode (se figure) ) Fid forurierkoefficietere ) Bereg amplitudespektret i det tilfælde, hvor 8.
.4. Differetialligiger, hvor iput er e periodisk fuktio Løsig: Idet periode er, ω fås ) c i t ω xte dt e () : c dt i ω tt i ω t i ω i ω : c e dt ( e e ) e ω dt i ω t e i ω i ω ω e si( ω ) si( ω ) i ω iu iu i ω i e e De sidste omskrivig skyldes Eulers formel si( u). i Sammeliges med resultatet i eksempel.4 ses, at påær a så er a c som forvetet. ) Sættes 8 fås ω og dermed c, helt tal 4 si 4 ± ± ± ± 4 ± ± 6 ± 7 ± 8 c.. 6. 8 6... 6. 4.4. Differetialligiger, hvor iput er e periodisk fuktio Har ma et elektrisk kredsløb som vist på figure vil sammehæge mellem iput E(t) og output I(t) være bestemt ved differetialligige L d I R di dt dt C I de + + dt
. Fourierrække på kompleks form Er højre side af differetialligige e periodisk fuktio, vil ma sædvaligvis være iteresseret i at fide e såkaldt statioær løsig, dvs. e partikulær løsig. De homogee løsig vil i praksis sædvaligvis være af forme e f () t og vil derfor ret hurtigt dø ud, så ma ku har de ihomogee (statioære) løsig tilbage. For de statioære løsigs vedkommede er det ige sædvaligvis især amplitudespektret der er af iteresse, og det fides emmest ved at beytte fourierrækker på kompleks form. il løsig beyttes følgede regler: Differetiatiosregel for fourierkoefficieter Lad f(t) have de komplekse fourierkoefficiet. c Der gælder da: f () t har fourierkoefficiete i c, f () t har ( i ) c, osv. Liearitetsregel for fourierkoefficieter Lad f(t) og g(t) have de komplekse fourierkoefficiet og. Der gælder da, at a f () t + b g() t har fourierkoefficiet a c + b k Eksempel.. Løsig af differetialligig. Lad der være givet differetialligige y () t + 4y () t + yt () xt () hvor iput x(t) er det i eksempel. agive periodiske firkatssigal med periode 6 for < t < xt () for < t < c k at ω Lad de statioære løsig y(t) have de komplekse Fourierkoefficieter c, dvs. i t yt () ce. ) Fid værdie af c for, ±, ±, ±, ± 7med decimaler. ) Output y(t) ka u skrives yt ( ) A + A si( ω t+ ϕ ) + A si( ω t+ ϕ ) + A si( ω t+ ϕ ) +... hvor A c. eg amplitudespektret A for,,,4,,6,7 og afgør herudfra hvilke/hvilke amplitude/amplituder, der er de domierede. Løsig: ) Lad være Fourierkoefficiet for iput k xt () For ehver værdi af må fourierkoefficiete på vestre side af differetialligige være lig med højre side. 4
.4. Differetialligiger, hvor iput er e periodisk fuktio Af liearitetsregel og differetiatiosregel fås: ( i) c + 4 ( i) c + c k c k ( i) + 4 ( i) + H ( ) ( i) + 4i + kaldes overførigsfuktioe for differetialligige. for lige I eksempel. fadt vi k og k for ulige i c H ( ) k ( ) Vi har H ( ) ( i) + i + ( 4 + ) + i( 4) + + 4 ( ) ( ) for for 6 og k for lige dvs. c for lige for ulige for ulige ( ) + 4 Dette giver følgede tabel: ± ± ± ± 4 ± ± 6 ± 7 c 9. 6.7.44.4. ) Vi har u følgede tabel over A ere: A 4 6 7 c.8.4.88.4.
. Fourierrække på kompleks form Det ses, at påær kostatleddet, så er de domierede amplituder A og A svarede til leddee 4. si t + ϕ og. 88 si t + ϕ. Det er klart, at output udover iput også afhæger af systemet, dvs. de homogee løsig til differetialligige y () t + ay () t + by() t x() t Er dæmpige a lille og e af frekvesere for iput x(t) tæt ved frekvese for e homoge løsig, så vil der kue opstå e resoasvirkig, dvs. e meget stor amplitude. De følgede eksempel illustrerer dette. Eksempel.4. Resoas Lad være givet differetialligige y () t +. y () t + 9y() t x() t, hvor iput xt () er de samme som i eksempel., me u er dæmpige edsat fra 4 til., dvs. de homogee løsig aftager meget lagsomt. Edvidere er de homogee løsigs vikelfrekves tæt ved, da karakterligige er 4 9 λ + λ+ 9 λ. ± (. ).. ± i og. t de homogee løsig derfor af type yh () t Ce si( t+ ϕ). Ma må derfor forvete e resoasvirkig. Differetialligiges overførigsfuktio er H ( ) ( i) +. i + 9 og H ( ) Som før er k for for lige. for ulige for 6 c H k for lige ( ) ( ) ( ) ( + 9) + i(. ) + 9. for ulige ( + 9) + (. ) Vi har u følgede tabel over A ere: 4 6 7 A c.98..7 98.4 Vi ser som forvetet, at er det helt domierede led. A 6
4.. Defiitio af de Fouriertrasformerede 4. Fouriertrasformatio 4.. Defiitio af de Fouriertrasfortrasformerede X ( ω) af x(t) Iput x(t) har vi hidtil ataget var periodisk med periode. I dette afsit vil vi betragte de situatio hvor x(t) ikke er periodisk. E såda fuktio ka formelt set udledes ud fra e Fourierrække på kompleks form ved at ma lader blive meget stor (gå mod ) E Fourierrække på kompleks form for e periodisk fuktio x(t) med periode ka skrives xt () c i ω t ce, hvor ω og de komplekse koefficieter er bestemt ved i ω t xt e dt. () Lad ω ω, ω ω og X( ω ) c. Idsættes disse udtryk i Fourierrække ovefor fås xt X, e i ω t ω X e i ω t ( ) ( ω ) ( ω ) ω ω hvor X( ω ) x( t) e dt. iω t Lader vi u ka ma vise, at de ikke periodiske fuktio x(t) ka skrives som et i ω t Fourieritegral xt () X( ω) e dω (), i ω t hvor X( ω) x( t) e dt. () Itegralet er græseværdie lim xt ( ) e iω t dt, og det forudsættes, at xt () er stykkevis differe- tiabel. Ma siger, at X ( ω) er de Fouriertrasformerede af sigalet x(t). Kedes de Fouriertrasformerede X ( ω) ka ma gedae det opridelige sigal x(t) ved de iverse Fouriertrasformerede (formel ()). Bemærk: Fouriertrasformatio og tilbagetrasformatio er helt es bortset fra ekspoetes forteg. 7
. Fourierrække på kompleks form 4.. Ehedstrifuktio og ehedsimpulsfuktio o fuktioer, der spiller e stor rolle i sigalbehadlig er ) Ehedstrifuktioe ut ( a) (også kalder Heavisides ehedstrifuktio) for t a > Defiitio: ut ( a) for t - a < E firkatsimpuls der tæder i a og slukker i b", hvor a < b (se figure) ka u skrives xt () ut ( a) ut ( b) De Fouriertrasformerede af x(t) er X ( ω) e iωa e iω iωb Bevis: ω b iωb iωa iωa iωb b i t e iωt iωt e e e e X( ω) x( t) e dt e dt a iω iω iω ) Ehedsimpulsfuktioe δ( t a) (også kaldet Dirachs deltafuktio) Ofte atager e fysisk størrelse store værdier i et kort tidsrum t, f.eks. stoftilførsle, år e sækfuld salt pludselig tilsættes eller de elektriske strøm, år e kodesator kortsluttes I praksis er ma sædvaligvis ikke iteresseret i forme af e såda smal puls (eller ige vide om forme). Hvis ma eksempelvis i et tidsrum ε tilsætter 4 kg af et stof A, så vil tilførselshastighede i geemsit være 4 kg pr. ε tidsehed i dette lille tidsrum, mes de er udefor. Det vil derfor være rimeligt at erstatte pulse med de på figure, der er 4 i tidsrummet ε og udefor dette tidsrum. ε Som regel er de øjagtige værdi af ε ude praktisk betyd- ig, år blot ε er lille. Ma lader derfor sædvaligvis ε. Det giver e stor beregigsmæssig foreklig. Ma idealiseres altså pulse til meget (uedelig) smalle og meget (uedelig ) høje pulser, hvor arealet uder hver puls forbliver det samme. Sådae ideale pulser beskrives ved de såkaldte Diracs deltafuktio δ. a 8
4.. Defiitio af de Fouriertrasformerede δ( t a) er ikke e sædvalig fuktio, me e såkaldt geeraliseret fuktio da vi jo stregt t a taget har, at δ( t a) for og δ( t a) dt ellers hvilket aturligvis ikke er muligt for e sædvalig fuktio. Ma ka vise, at der gælder, at de Fouriertrasformerede af δ( t a) er e iω a og af δ( t) er. Eksempel 4. Fouriertrasformatio for < t < Lad os betragte e ekelt firkatsimpuls defieret ved xt (). for < t < Bemærk: Fuktioe er ikke periodisk ) Fid de Fouriertrasformerede X ( ω) af x(t). ) Beyt lommeregere (heller Maple) til at tege X ( ω) ) For de tilsvarede periodiske fuktio med periode 6 fadt vi i eksempel. at de komplekse iω e Fourierkoefficiet var c og c for, 6 iω Hvilke sammehæg er der mellem dee og de i spørgsmål ) fude løsig? Løsig: ) xt () ut () ut ( ). Fuktioe tæder i og slukker i. ( ) Heraf fås, at de Fouriertrasformerede X i i i e e e ( ω) iω iω ω ω ω iωt e iω i ω t i ω t e Ka også fide af defiitioe X( ω) x( t) e dt e dt. iω iω ) i 89: Y*abs((-e^(-i*x*))/(-i*x)) Maple: plot(abs(*(exp(-i*x*)-)/(-i*x)),x-6..6); ) Det ses, at 6 c X( ω ) 9
. Fourierrække på kompleks form 4.. Sammehæg mellem Fourierkoefficetere c og de Fouriertrasfor- merede X ( ω) i ω t i ω t Som det fremgår af formle for c xt e dt og for () X( ω) x( t) e dt er disse meget lig hiade. Hvis ma som i eksempel 4. Fouriertrasformerer e ekelt impuls, så vil det gælde, at c X( ω ), dvs. vi ka ud fra de Fouriertrasformerede umiddelbart fide Fourierkoefficetere. Formle ka dog give problemer for, me de klares jo sædvaligvis let ude itegratio. 4.4. Regeregler for Fouriertrasformerede I edeståede skema er agivet ogle yttige regeregler for komplekse Fouriertrasformerede. formel r. Fuktio Fouriertrasformeret x(t), y(t) X( ω), Y( ω) (): Liearitetsregel a x() t + b y() t a X( ω) + b Y( ω) (): ids iverterig x( t) X ( ω) X ( ω) (): ids skalerig xat ( ), a a X ω a (4): Forsikelse xt ( a) X( ω) e ia (): Forskydigsregel xt () e iω t X ( ω ω ) ω (6): Multiplikatio med t t x() t,,,,... i d dω X ( ω) (7):Differetiatio i d x() t ( iω) X( ω) tidsdomæe,,,,... dt (8): Foldig i tidsdomæe p ( x* y)( t) x( t p) y( p) dp p X( ω) Y( ω) (9): Dualitetsregel [ ] [ ] xt () X ( ω) Xt () x ( ω) Fourierrasformatio Fourier rasformatio X( ω) x( t) x( ω) X( ω) Ivers Fourier Ivers Fourier rasformatio rasformatio I i 89 ka ma fide defiitioer, regeregler og e lille tabel over traspoerede APPS, EEPro, ENER, F4(Referece), 6: rasforms, : Fourier rasforms Nu fremkommer e lille meu, hvor defiitio, egeskaber og e lille tabel ka fides.
4.4 Regeregler for Fouriertrasformerede Eksempel 4..Regeregler for < t < Lad os ige betragte de ekelt firkatsimpuls defieret ved xt (). for < t < med de Fouriertraspoerede X ( ω) iω e iω ) Fid ved beyttelse af e regeregel de Fouriertraspoerede X ( ω) til fuktioe x() t x() t. ) Fid ved beyttelse af e regeregel de Fouriertraspoerede X ( ω) til fuktioe x () t x ( t ) ) Skitser grafere for x () t og x () t samt deres Fouriertraspoerede X ( ω) og X ( ω). 4) Fid ved beyttelse af e regeregel de Fouriertraspoerede X ( ω) til fuktioe x () t t x ( t) ) Skitser grafere for x( t) og des Fouriertraspoerede X ( ω). 6) Beyt relatioe c X( ω ) til at fide de komplekse Fourierkoefficieter til x( t) for ±, ±, ±, ± 4 7) Bestem på grudlag heraf de første led af de reelle Fourierrække for x( t) (sammelig med række på side. Løsig: iω e ) Ifølge formel () (liearitetsregle) er X( ω) X( ω) iω ) Ifølge formel () (tidsskalerig) er X X ω e ( ω) ω i iω e ω iω i for < t < ) x() t x() t, dvs. x() t for < t < for < t < for < t < x() t x( t), dvs x() t x() t for < t < for < t < Da x () t har e periode der er af x t, vil amplitudespektret for de to være idetiske bort- ( ) set fra, at højde af amplitudespektret for X () t er så høj me samtidig gage så bred. x( t) x () t
. Fourierrække på kompleks form 4) Ifølge formel (6) (multiplikatio med t) er X ( ω) d e ω( ) ( ) iω iω iω dx ie e i ω ( iω + ) e ( ω) i i dω dω iω ω ω for < t < ) x() t t x( t), dvs. x () t t for < t < iω ( iω + ) e 6) c X( ω ) c ( ω ) i ( i + ) e ( i + )( ) ( ) ( ) Da ω fås c + i ( ) ( ) ( ) c i, c i c i c i c i,, 4, 4 9 6 8 c + i c i c + i c i c, + i,, 4, 4 9 6 8 7) Da ma ikke umiddelbart ka fide c fides de ved itegratio. c tdt 4 Da a c, a Re( c), b Im( c), ω fås: 4 xt ( ) cos( t) + si( t) si( t) cos( t) + si( t) si( 4t) cos( t) + si( t) +... 4 9 4 Det ses, at det er samme række som på side.
4.4 Regeregler for Fouriertrasformerede Foldigsregel. Lad os betragte et LFI-system med impulssvaret h(t), output y(t) og iput x(t). Der gælder da, at yt () ( h* x)() t, hvor h*x er foldige og tilsvarede Y( ω) H( ω) X( ω) Lad os som eksempel herpå betragte et system bestemt ved e differetialligig. Eksempel 4.. Foldig Lad der være givet differetialligige y () t + yt () xt () hvor iput x(t) er det i eksempel 4. agive ekelte firkatsimpuls xt () ( ut () ut ( )). at at e for t > Idet det oplyses, at fuktioe ht () e ut (), a > har de Fouriertrasfor- for t < merede H( ω) (fudet i e tabel), skal ma ved foldig fide de statioære løsig til a + iω differetialligige. Løsig. Overførigsfuktioe Vi har derfor u, at p H ( ω) iω +, dvs. ht () e ut t () ( ) yt () ( x* h)() t xp ( ) ht ( pdp ) up ( ) up ( ) e ut ( pdp ) p p p ( ) ( t p) ( t p) For p < er up ( ) up (, dvs. yt () up ( ) up ( ) e ut ( pdp ) For < t < p< t er p t p t ( t p) t p t p yt e dp e e dp e e t t t () e e p p For p p [ ] ( ) p t > er yt e t p ( p) t p t p t 9 () dp e e dp e [ e ] e ( e ) p p Er ma ku iteresseret i amplitudere, bliver regigere meget emmere, idet vi jo så har, ifølge foldigsregle, at de Fouriertraspoerede af foldige x* h( t) er X( ω) H( ω)
. Diskret Fouriertrasformatio Eksempel 4.4. Amplitudespektret Lad der være givet differetialligige y () t + 4y () t + yt () xt () for < t < hvor iput x(t) er det i eksempel 4. agive ekelte firkatsimpuls xt (). for < t < med de Fouriertraspoerede X ( ω). iω Fid og teg amplitudespektret for output y(t). e iω Løsig: Af differetiatiosregle (7) fås ( iω) Y( ω) + 4iωY( ω) + Y( ω) X( ω) Y( ω) X ( ω) ( iω) + 4iω + dvs. Y( ω) H( ω) X( ω), hvor H( ω) (overførigsfuktioe) ( iω) + 4iω + Amplitudespektret fås u som Y( ω) Ved idtastig i i 89 fås grafe for amplitudespektret :. Diskret Fouriertrasformatio... Idledig. Vi har hidtil ataget, at iput var e kotiuert fuktio x(t), der ka beskrives ved et relativt simpelt fuktiosudtryk. I praksis ka et sigal være så uregelmæssigt, at det ikke ka beskrives ved et simpelt fuktiosudtryk. Ma udtager så i stedet e række fuktiosværdier (ma sampler det kotiuerte sigal) hvorved der fremkommer som e række tal. Ma ka sammelige det med år e computer teger grafe for e kotiuert fuktio. De bereger fuktiosværdiere i et stort atal tætsiddede pukter, og teger så kurve ved at forbide disse pukter med rette liier. Vi vil i det følgede betege sådae diskrete fuktioer x[] i stedet for x(t)... Defiitio af diskret Fouriertrasformatio. Lad iput være e række tal (et diskret sigal) beståede af N tal x[],[],[],...,[ x x x N ]. Ved de diskrete Fouriertraspoerede Xk [ ] af x[] forstås 4
N Xk xe i [ ] [ ] N k. hvor k er et helt tal.. Beregig af diskret Fouriertraspoerede De iverst traspoerede af Xk [ ] er bestemt af x Xk e i [ ] [ ] N k. N Beregigere udføres på computer ved beyttelse af e metode der kaldes Fast Fourier rasform (forkortet FF) med e regetid der er proportioal med N log( N). N bør så vidt mulig være e potes af f.eks. N 4 og skal i praksis skal være et stort tal. Såvel i 89 som Maple har idbygget FF metode... Beregig af diskret Fouriertraspoerede For bedre at forstå formlere vil vi i det følgede eksempel rege med et lille atal N-værdier. Eksempel.. Beregig af diskret Fouriertrasformeret. Lad os atage at sigalet x[] er givet ved følgede tabel (svarede til firkatsimpulse i eksempel 4.) 4 6 7 x[] ) Fid de Fouriertraspoerede X[ ] og X[]. ) Beyt i89 eller Maple til at fide alle 8 Fouriertraspoerede. Løsig: ) X[ ] 7 x e i [ ] 8 + + + + + + + 7 i i i i i 8 4 8 8 6 8 7 8 X[] x[ ] e + + + + e + e + e + e ( ( ) ) 7 i i i i e + e 4 + e + e 4 ( ) + + i +. 7 i ) Beyttes i 89's FF-program beyttes følgede ordrer: APPS, Vælg EEPro, F, Vælg 6: Fourier rasforms, Vælg : FF Idtast i ime tallee:,,,,,,, F: I Freq fremkommer de traspoerede tal. ryk evetuelt på F4 for at studere dem ærmere. Det ses (forhåbetlig), at de to første tal svarer til de i pukt ) beregede.
. Diskret Fouriertrasformatio.4. Foldig Lad os betragte et LFI system med impulssvaret h[], output y[] og iput x[]. Er iput og impulssvaret diskrete sigaler ka ma let fide output ved beyttelse af FF. Ved FF fides de Fouriertraspoerede H [ ] og X [ ]. Idet der gælder samme foldigssætig i det diskrete som i det kotiuerte tilfælde, så ka ma fide de Fouriertraspoerede Y [ ] af Y [ ] H [ ] X [ ] Derefter fides output y[] ved at avede de iverse Fouriertraspoerede på Y [ ]. Det følgede eksempel illustrerer dette. Eksempel.. Beregig af output i et LFI-system. I eksempel 4. havde et LFI-system impulssvaret ht () e t ut [] med iput xt () ut () ut ( ). Vi betragter u i stedet ( ) x [ ] ( u [ ] u [ ] ) h [ ] e u [ ] og. Fid ved FF output y[] for N 8. Løsig: Vi har følgede tabel: 4 6 7 h[] e e 6 9 e e e e 8 e x[]..76.6..6 Metode: h-værdiere idtastes i FF og ma får et resultat, som automatisk gemmes i Mai uder avet Freq. Vælg Home, Var-lik, marker freq, F, Reame, giv eksempelvis avet h, ENER Aalogt avedes FF på x-værdiere, de gives avet x. Vælg home og skriv h*x ENER. SO, kald resultatet for a, Ma kalder u iverse FF og i freq skrive a, ENER, resultatet fremkommer i ime. 4 6 7 y[] -. Det er klart, at atallet af pukter burde have været lagt større for at resultatet ka give meig. 6
. Beregig af diskret Fouriertraspoerede Eksempel.. Autokorrelatio Lad os atage vi har et sigal x(t), der påær støj atages at have to pukler. Foretager ma e foldig af x(t) med sig selv ( x* x)( t) x( p) x( t p) dp, så får ma et mål for hvor meget fuktioe x( p) liger si ege parallelforskudte fuktio xt ( p). Ma siger, at ma beytter autokorrelatio. Idet de fouriertraspoerede af foldige (x*x)(t) er X( ω) X( ω) ka ma ved FF hurtigt berege (x*x)(t) (først fides X ( ω) ved FF, og derpå fides (x*x)(t) ved ivers FF avedt på ( X ( )) ω ) E mere detaljeret beskrivelse ka fides i B. Hellese, M. Oddershede Larse: Matematik for Igeiører: bid side 97. Eksempel.4. Eergispektrum, dataudglatig, optimal filtrerig. Lad os ige tæke os et sigal x(t), som har et meget uregelmæssigt forløb. ) Ved eergispekteret for x(t) forstås P( ω) X( ω) + X( ω), ω < De spektrale eergitæthed ka derfor hurtigt bereges ved FF. ) Dataudglatig, optimal filtrerig Er sigalet påvirket af e del støj, vil ma søge at fjere så meget som muligt af støje. Ma ka ofte skøe e opspaltig af eergispekteret P( ω) P ( ω) + P ( ω) i sigal P s ( ω) og støj P ( ω). Derpå ka e udglattet fuktio x( t) fides ved tilbagetraspoerig af X ( ω) P ( ω) + P ( ω) s Metode kaldes optimal filtrerig. Er opspaltige korrekt fås emlig e udglattet fuktio med midst mulig RMS-fejl. E mere detaljeret beskrivelse ka fides i B. Hellese, M. Oddershede Larse: Matematik for Igeiører: bid side 97. s 7
Opgaver OPGAVER Opgave : Fourierrække. Fid Fourierrække for hver af følgede fuktioer: t for < t ) xx ( ) for < t < ) xt () t for < t< ) t t xx for < t for < t < 4) for < t xx ( ) for < t < for < t < Opgave : vuge svigig, resoas. Idledig: Lad os betragte et lod med masse m der er fastgjort til e fjeder. Loddet bevæger sig frem og tilbage påvirket dels af e fjederkraft og dels af e luftmodstad. Edvidere er dette system påvirket af e ydre kraft ved, at fjederes fastspædigspukt bevæges sig frem og tilbage på e såda måde, at afvigelse fra det opridelige fastspædigspukt til tide t er r(t) (se figure), hvor dee ydre påvirkig r(t) atages at være periodisk. Loddets bevægelse y(t) ka da beskrives ved e differetialligig m y () t + c y () t + k y() t r() t (bemærk, at dee differetialligig er fuldstædig aalogt til det elektriske kredsløb i afsit.4.) Fsi( β t) Fsi( β t) Opgave: Lad m (gram) c. (gram/sec), k (gram/sec ) og r(t) (målt i gram cm/sec ) er e periodisk fuktio med periode t+ for < t < rt () t+ for < t < givet ved Differetialligige bliver da y () t +. y () t + y() t r() t 8
Opgaver 4 Det oplyses, at Fourierrække for r(t) er rt () cost+ cos( t) + cos( t) +... ) Fid de komplekse Fourierkoefficieter k for fuktioe r(t), for,,,7. ) Fid overførigsfuktioe H() for differetialligige ) Lad de statioære løsig y(t) have de komplekse Fourierkoefficieter c, dvs. yt () it ce. Fid værdie af c for ±, ±, ±, ± 7 med 4 decimaler. 4) Output y(t) ka u skrives yt ( ) A si( t+ ϕ ) + A si( t+ ϕ ) + A si( t+ ϕ ) +... hvor A c. eg amplitudespektret A for,,,7 og afgør herudfra hvilke/hvilke amplitude/amplituder, der er de domierede. Opgave (regeregler) Givet fuktioe xt () for < t < ellers i e Vi har, at xt () ut ( ) ut ( ), og X ( ω) iω for < t < ) Lad x() t ellers a) Udtryk x( t) ved ehedstrisfuktioer b) Fid de Fouriertraspoerede X ( ω) ) Lad x () t for < t < ellers eg grafe for x () t, og fid X ( ω) for < t < ) Lad x() t for < t < ellers eg grafe for x( t), og fid X ( ω) t for < t < 4) Lad x4 () t t for < t < ellers eg grafe for x4 () t, og fid X 4 ( ω). ) Givet differetialligige dy + yt () x4 () t dt a) Fid de Fouriertraspoerede Y( ω) af yt () b) eg amplitudespektret Y( ω). ω 9
Opgaver Opgave 4. Diskret Fouriertrasformatio ) Bereg de diskrete Fouriertrasformerede af, 4,,,,,, 4 ) Bereg de iverse diskrete Fouriertraspoerede af 4 ) Der er givet et LFI-system med impulssvaret h [ ]. u [ ]. Systemet påtrykkes sigalet x [ ] cos N Fid fourierrækkekoefficietere for output y[] for N 4.
Stikord SIKORD A amplitude, 4, amplitudespektret 4,, 4 autokorrelatio 6 B C D dataudglatig 7 DCDirect curret deltafuktio 8 differetialligig, iput periodisk differetiatio i tidsdomæe differetiatiosregel for komplekse Fourierkoefficieter 4 Dirac s deltafuktio 8 Diskret Fouriertrasformatio 4 Dualitetsregel E elektrisk kredsløb eergi i sigal 4 eergispektrum 7 ehedstrifuktio 8 ehedsimpulsfuktio 8 Eulers formel F FFFast Fourier rasform firkatsimpuls, 8 foldigsregel,, forsikelsesregel:fouriertrasformerede Forskydigsregel:Fouriertrasform,) Fourierkoefficieter differetiatiosregel 4 komplekse, liearitetsregel 4 reelle, Fourierrække reelle, kompleks for lige fuktio 6, 7 for ulige fuktio 6, 7 Fouriertrasformatio 7 frekves G grudfrekves 9 H harmoisk aalyse Heavisides ehedstrifuktio 8 I ivers Fouriertrasformeret 7 K kompleks Fourierrække L lige fuktio 6 liearitetsregel for Fourierkoefficieter 4 for Fouriertrasformerede M N O optimal filtrerig 7 opgaver 8 overførigsfuktio oversvigig P periode periodisk firkatsimpuls, 4, 8,, R reelle Fourierrækker,, regeregler for fouriertrasformerede ree svigiger resoas 6 S stykkevis differetiabel fuktio superpositio svigigstid ids iverterig ids skalerig
Stikord U ulige fuktio 6 V vikelfrekves,