Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16

Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte stokastiske variable uafhængighed hvis og kun hvis simultan tæthed splitter op i produkt eksempler transformation og uafhængighed Fordeling af reel transformation af kontinuerte stokastiske variable fordeling af X + Y fordeling af Y /f (X ) fordeling af min(x 1,...,X n ). SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 2 / 16

Flerdimensionale kontinuerte fordelinger: repetition Funktionen p : R n [0, ) er en tæthed på R n hvis R n p(x 1,...,x n )dx 1 dx n = 1 Sandsynlighedsmål på R n med tæthed p: P(A) = 1 A (x 1,...,x n )p(x 1,...,x n )dx 1 dx n, A R n B Stokastisk variabel med fordeling P: P((X 1,...,X n ) A) = 1 A (x 1,...,x n )p(x 1,...,x n )dx 1 dx n R n Marginalfordelinger: integrér de øvrige koordinater væk, p(x 1,...,x k ) = p(x 1,...,x n )dx k+1...dx n R n k SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 3 / 16

Uafhængighed Husk Definition 2.4.1: X 1,...,X n er uafhængige hvis P(X 1 A 1,...,X n A n ) = P(X 1 A 1 ) P(X n A n ) for alle (pæne) delmængder A 1,...,A n R. Og husk sætning 3.6.1 om uafhængighed mellem stokastiske variable med endeligt tilstandsrum: X 1,...,X n stokastisk uafhængige hvis og kun hvis sandsynlighedsfunktionen for (X 1,...,X n ) splitter op i et produkt. Kontinuerte fordelinger: Erstat sandsynlighedsfunktion med sandsynlighedstæthed så gælder samme sætning! SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 4 / 16

Uafhængighed af kontinuerte stokastiske variable (X 1,...,X n ) kontinuert med simultan tæthed p og marginale tætheder p 1,...,p n (som jo er veldefinerede hvorfor?). Sætning 6.2.1 Følgende udsagn er ækvivalente: 1. X 1,...,X n er uafhængige 2. p(x 1,...,x n ) = p 1 (x 1 ) p n (x n ) for alle x 1,...,x n R 3. der findes n ikke-negative funktioner g 1,...,g n : R R så p(x 1,...,x n ) = g 1 (x 1 ) g n (x n ) for alle x 1,...x n R. Altså: hvis vi skal vise uafhængighed, så er det nok at indse at den simultane tæthed splitter op i et produkt funktionerne kan normeres til tætheder! SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 5 / 16

Bevis Bevis i tilfældet n = 2. 1. 2. Hvad er det vi skal vise? Det er faktisk nok at vide det for produktmængder A 1 A 2 2. 1. Regn på P(X 1 A 1,X 2 A 2 ) 2. 3. Oplagt 3. 2. Hvad er de marginale tætheder? Husk at de marginale tætheder integrerer til 1 Regn på p(x 1 )p(x 2 ) SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 6 / 16

Eksempler 1. (X 1,X 2 ) kontinuert med tæthed p(x 1,x 2 ) = λ 2 e λ(x 1+x 2 ), x 1,x 2 > 0 Er X1 og X 2 uafhængige? Hvad er fordelingen af X1? Af X 2? 2. (X 1,X 2 ) kontinuert med tæthed p(x 1,x 2 ) = 1 2π e x2 1 /2λ 2 λx 2, x 1 R,x 2 > 0 Er X1 og X 2 uafhængige? Hvad er fordelingen af X1? Af X 2? SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 7 / 16

Eksempler 3. (X 1,X 2 ) ligefordelt på K = {(x 1,x 2 ) x 1 + x 2 1}. Hvad er tætheden for (X1,X 2 )? Hvad er tætheden for X1? For X 2? Er X1 og X 2 uafhængige? Husk sætning 2.4.2: X 1 og X 2 er uafhængige hvis og kun hvis P(X 1 A 1 X 2 A 2 ) = P(X 1 A 1 ) for alle (pæne) A 1,A 2 R med P(X 2 A 2 ) > 0. Kan vi bruge dette til at sige noget om uafhængighed mellem X 1 og X 2 ovenfor. Produktmængder! SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 8 / 16

Transformationer og uafhængighed Sætning 6.2.3 (X 1...,X n ) kontinuert, funktion ψ : R n k R. Hvis X 1,...,X n er uafh. så er X 1,...,X k,ψ(x k+1,...,x n ) også uafhængige. Bevis: Hvad skal vi vise? Husk originalmængden til A: ψ 1 (A) = {(x k+1,...,x n ) ψ(x k+1,...,x n ) A}, delmængde af R n 1 Regn på P(X 1 A 1,...,X k A n,ψ(x k+1,...,x n ) A) Husk også: For ψ 1,...,ψ n : R R: ψ 1 (X 1 ),...,ψ n (X n ) er uafhængige For φ : R k R og ψ : R n k R: φ(x 1,...,X k ) og ψ(x k+1,...,x n ) uafhængige. SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 9 / 16

Fordeling af sum på endelige mængder Husk sætning 3.4.4: Hvis X 1 og X 2 er koncentreret på {0,1,...,n 1 } hhv. {0,1,...,n 2 }, og (X 1,X 2 ) har sandsynlighedsfunktion p, så har Y = X 1 + X 2 sandsynlighedsfunktion q(y) = y j=0 p(j,y j), y = 0,1,...,n 1 + n 2 Summerer sandsynlighederne for alle mulige par med sum y. SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 10 / 16

Fordeling af sum for kontinuerte fordelinger Tilsvarende for kontinuerte stokastiske variable: Sætning 6.3.1 og korollar 6.3.2 (X,Y ) kontinuert med tæthed p. Så er Z = X + Y kontinuert og har tæthed q(z) = p(x,z x)dx, z R Hvis X og Y er uafhængige: q(z) = p 1(x)p 2 (z x)dx, Integrerer over alle mulige værdier af (x,y) med sum z. Bevis: z R Regn på fordelingsfunktionen for Z og vis at F (z) = z q(u)du. Brug så sætning 5.1.5. SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 11 / 16

Eksempel: foldning af normalfordelinger Foldning: sum af to uafhængige variable. Antag at X og Y er uafhængige og at de begge er N(0,1)-fordelte. Hvad er fordelingen af X + Y? Vi skal se på sagen igen på onsdag, på en lidt anden måde... SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 12 / 16

Fordeling af Z = Y /f (X ) Det kan være nyttigt at kunne finde fordelingen af Z = Y /f (X ) for forskellige funktioner f. Sætning 6.3.4 (X,Y ) kontinuert med tæthed p og X koncentreret på mængde M. Givet funktion f : R R med f > 0 på M. Så er Z = Y /f (X ) kontinuert og har tæthed q(z) = p(x,f (x)z)f (x)dx, z R Bevis: Som for summen, men nu med ikke-lineær substitution u = y/f (x). Korollarer for tre vigtige specialtilfælde: f (x) = 1/x svarende til Z = XY. f (x) = x svarende til Z = Y /X. f (x) = x svarende til Z = Y / X. SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 13 / 16

Eksempel 6.3.8: kvotient af to eksponentialford. X og Y uafhængige, begge eksponentialfordelte med parameter 1. Hvad er tætheden for Z = Y /X? SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 14 / 16

Eksempel: fordeling af minimum X 1,X 2,...,X n uafhængige med samme fordeling og dermed samme fordelingsfunktion, F. Hvad er fordelingen af Y = min(x 1,...,X n )? Kan ikke bruge nogle af sætningerne Regn på fordelingsfunktionen for Y : F Y (y) = P(Y y) = 1 P(Y > y) Hvordan kan Y > y udtrykkes vha. X i er? Specialtilfælde: X 1,...,X n ligefordelt på [0,1] (eksempel 6.3.9). SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 15 / 16

Resume Vigtige ting fra i dag: Kan vise uafhængighed ved at vise at den simultane tæthed splitter op i et produkt. Fordeling af X + Y og Y /f (X ): formlerne, men også bevismetoden, så I selv kan finde lignende fordelinger. På onsdag: Lineær transformation af linæer fordeling: Y = AX hvor X er en todimensional stokastisk variabel og A er en 2 2-matrix. Middelværdi, varians, kovarians, korrelation SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 16 / 16