Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 1
Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. En kunde er netop ankommet. Hvad er sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter? Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 1
Eksempel I exp(2) tæthed 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 2 4 6 8 Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 2 x
Eksempel II Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 3
Eksempel II Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 3
Eksempel III Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Vi betragter nu en periode på 10 minutter Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 4
Eksempel III Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Vi betragter nu en periode på 10 minutter Beregn sandynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. Poissonfordelingen Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 4
Eksempel III Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Vi betragter nu en periode på 10 minutter Beregn sandynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. Poissonfordelingen Beregn sandynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. Binomialfordelingen Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 4
Eksempel IV En stokastisk variabel X har middelværdi 4 og varians 6. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 5
Eksempel IV En stokastisk variabel X har middelværdi 4 og varians 6. Beregn middelværdi og varians for Y = 3X +2 Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 5
Eksempel V Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 6
Eksempel V Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 6
Eksempel VI En færge medtager X passagerer. Det oplyses, at E[X] = 400 og Var[X]=40 2 og at X er normalfordelt. Færgeselskabet har en fortjeneste på 120 kr. pr. passager Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 7
Eksempel VI En færge medtager X passagerer. Det oplyses, at E[X] = 400 og Var[X]=40 2 og at X er normalfordelt. Færgeselskabet har en fortjeneste på 120 kr. pr. passager Beregn middelværdi og varians for færgeselskabets fortjeneste, og beregn sandsynligheden for at fortjenesten vil overstige 50.000 kr. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 7
Eksempel VII Et glas indeholder 100 vitaminpiller, hvor vægten (gram) af tabletterne enkeltvis følger en normalfordeling X N(1, 0.1 2 ). Et glas karakteriseres som undevægtigt, hvis indholdet er mindre end 98 gram Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 8
Eksempel VII Et glas indeholder 100 vitaminpiller, hvor vægten (gram) af tabletterne enkeltvis følger en normalfordeling X N(1, 0.1 2 ). Et glas karakteriseres som undevægtigt, hvis indholdet er mindre end 98 gram Der udtages en stikprøve á 10 glas fra produktionen. Hvad er sandsynligheden for at højst 1 glas er undervægtigt? Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 8
Eksempel VII Det antages, at indkomsten i gruppe, A, er normalfordelt med N(280000, 10000 2 ). I en anden gruppe, B, er lønnen også normalfordelt, men med N(290000, 4000 2 ) Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 9
Eksempel VII Det antages, at indkomsten i gruppe, A, er normalfordelt med N(280000, 10000 2 ). I en anden gruppe, B, er lønnen også normalfordelt, men med N(290000, 4000 2 ) Der udvælges nu en tilfældig person både fra gruppe A og gruppe B. Hvad er sandsynligheden for at personen fra gruppe A tjener mere end personen fra gruppe B? Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 9
Eksempel VIII Antag, at æg sælges i pakker á 144 æg. Sandsynligheden for at et tilfældig udvalgt æg er salmonella inficeret antages at være 5%. Et firma, der producerer fødevarer, indkøber nu 100 pakker æg. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 10
Eksempel VIII Antag, at æg sælges i pakker á 144 æg. Sandsynligheden for at et tilfældig udvalgt æg er salmonella inficeret antages at være 5%. Et firma, der producerer fødevarer, indkøber nu 100 pakker æg. Hvad bliver middelværdi og varians af antal salmonella inficerede æg i den samlede forsendelse? Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 10
Eksempel IX Antag, at du vil købe noget sand, da du vil lave en ny indkørsel til dit hus. Det er specielt vigtigt for dig, at der ikke er sten blandet i sandet. Producenten lover, at der i gennemsnit kun er 0.5 sten pr. m 3. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 11
Eksempel IX Antag, at du vil købe noget sand, da du vil lave en ny indkørsel til dit hus. Det er specielt vigtigt for dig, at der ikke er sten blandet i sandet. Producenten lover, at der i gennemsnit kun er 0.5 sten pr. m 3. Du køber nu 10 m 3 sand og erfarer, at der er 11 sten i blandingen. Føler du dig snydt af producentens løfte om at der kun er 0.5 sten pr. m 3? Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 11
Eksempel X Forekomsten af diskusprolaps blandt flyttemænd i Sverige var sidste år 8 nye tilfælde. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 12
Eksempel X Forekomsten af diskusprolaps blandt flyttemænd i Sverige var sidste år 8 nye tilfælde. Blandt andre erhverv var forekomsten i gennemsnit 3 nye tilfælde pr. år når man beregner for grupper af samme størrelse. Er der grund til at tro at flyttemænd er mere udsat for diskusprolabs end man er i andre erhverv? Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 12
Eksempel XI vægt af dyr mod vægt af hjerne dyr$brain hjerne 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 1000 2000 3000 4000 5000 dyr$body Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 13
Eksempel XI log(vægt) af dyr mod log(vægt) af hjerne log(hjerne) 4 2 0 2 4 6 8 2 0 2 4 6 8 log(dyr) Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 14
Eksempel XI normal scores logbody 2 0 2 4 6 8 2 1 0 1 2 Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 15 pp