Måling og modellering af partikelspredning

Måling og modellering af partikelspredning Formålet med partikeltransporten er at bestemme partikelspredningen ud fra målinger i strømrenden, og herefter modellere partikelspredningen i en af projektgruppen opstillet partikelspredningsmodel baseret på CFX-strømningsmodellen. Fremstilling af partikler Der er fremstillet gelkugler (partikler), med en densitet lidt større end vands. I følgende afsnit redegøres for fremstillingen og egenskaberne af disse kugler samt resultater og beregninger på baggrund af de i strømrenden udførte partikeltransportforsøg. Herudover beskrives opsætningen af partikelspredningsmodellen samt resultater af denne. Partikelkarakteristika De fremstillede partikler er vist i figur 1 og 2. Figur 1 Partikler med målestok Figur 2 Partikler i strømrenden I Tabel 1 er beskrevet en række karakteristika for de fremstillede partikler. Middelværdi Spredning Partikeldiameter 4,75 0,21 [mm] Partikelmasse [g] 0,0573 0,00097 Partikeldensitet [g/cm 3 ] 1,019 - Tabel 1 Målte og beregnede partikelkarakteristika. Dokumentation Partikeldiameteren er målt med skydelære, og massen er målt ved at veje 50, 100, 150 og 200 partikler og herefter beregne en gennemsnitlig partikelmasse. Som det ses af tabellen, er der forholdsvis store usikkerheder på værdierne, især på diameterbestemmelsen, da det var svært at måle præcist med skydelæren uden at klemme 1

partiklerne. Denne usikkerhed afspejler sig i den nedenstående beregning af sedimentationshastigheder. Partiklernes sedimentationshastighed er målt i et 33 cm højt cylinderglas til 2,82 cm/s (spredning 0,12 cm/s). Sedimentationshastigheden er også beregnet teoretisk ud fra partiklernes karakteristika: Beregning af sedimentationshastighed Den beregnede sedimentationshastighed er ikke benyttet i det følgende, da usikkerheden i bestemmelsen af denne vurderes at være for stor. Herefter benyttes udelukkende den målte sedimentationshastighed. Partikeltransportmålinger Der blev forsøgt at måle partikeltransporten ved at fotografere strømrenden med frekvens på 2-3 billeder pr. sekund, men efter nærmere eftersyn af billederne viste det sig, at den tidslige opløsning af disse billeder var for lille til, at partiklernes baner kunne optegnes. Der blev frigivet 10 partikler i vandoverfladen og på Figur 3 er de 10 partiklers placering til hvert tidsskridt vist. Figur 3 10 partiklers placering til forskellige tidsskridt. Udover at partiklernes baner ikke kan optegnes ud fra ovenstående figur, er det ikke mulig at aflæse hvornår partiklerne når bunden. Desuden er det problematisk at aflæse partiklernes placering, både på grund af kameraets linsefortegning, lysets brydning i vand samt det, at det er svært at aflæse en partikels placering i rendens x-retning når man ikke står præcis ud for den. På baggrund af ovenstående er det valgt at frigive én partikel af gangen og dels markere dennes passering af en linie 5 cm over bunden og dels punktet, hvor partiklen rammer bunden. Dette forsøg er udført med ca. 250 partikler. I modelleringen af partikelspredning vil det blive sandsynliggjort, at dette antal partikler er tilstrækkeligt til at opnå et statistisk stabilt resultat på middelværdi og spredning af tilbagelagt distance. I figur 4 og 5 er resultaterne af forsøget vist. 2

Middelværdi, x [m] 2,340 Spredning [m] 0,499 Målt middelhast., u (laser) [m/s] 0,283 x Middel-transporttid, t = u [s] 8,27 Vanddybde, y [m] 0,202 Middel-sedimentationshast. y v s = t [m/s] 0,244 Figur 4 Målt og beregnet partikelspredning 5 cm over bunden af strømrenden. Dokumentation Middelværdi, x [m] 2,737 Spredning [m] 0,483 Målt middelhast., u (laser) [m/s] 0,283 x Middel-transporttid, t = u [s] 9,67 Vanddybde, y [m] 0,202 Middel-sedimentationshast. y v s = t [m/s] 0,201 Figur 5 Målt og beregnet partikelspredning på bunden af strømrenden. Dokumentation Det ses, at der er en forskydning på de to middelværdier på 0,38 m, men at spredningen stort set giver den samme værdi. Det ses desuden, at de overslagsmæssige sedimentationshastigheder (på gennemsnitligt ca. 2,2 cm/s) afviger fra sedimentationshastigheden målt i cylinderglas. Mulige årsager til dette tages op senere under modelleringen af partikelspredning. 5-10 % af de tilledte partikler ikke er blevet registreret, da de faldt udenfor den opsatte målestok på strømrenden. Hvis disse partikler havde været registreret ville den beregnede middelværdi og spredning have været større. Dette er en væsentlig fejlkilde i forsøget. Der er valgt at se bort fra en eventuel initialspredning på partiklerne, men usikkerhederne ved aflæsningen af partikelplaceringen taget i betragtning vurderes initialspredningen som negligeabel. For at belyse partiklernes transport yderligere er der optaget videoklip af partikelspredningen: 1 Partikeltransport set fra siden 2 Partikeltransport set fra oven 3 Ilægning af partikler i vandoverfladen 4 Partikeltransport ved overløb 5 Partikeltransport fra glat til ru bund 3

På videoklippene er det tydeligt at se, at turbulensen er langt større ved bunden, hvor partiklerne hvirvles op og derfor bliver partiklernes bane forlænget. Hvis turbulensen havde været mindre ved bunden ville partiklernes bane være væsentligt kortere. Denne tendens ses også af figur 3 og af videoklip 5, hvor turbulensen ved den glatte bund er væsentligt mindre end ved den ru bund. Modellering af partikelspredning i strømrende Der opstilles en model for transporten af partikler i strømrenden. Formålet er at belyse, hvor stor overensstemmelse der er mellem målte og modellerede resultater, og hvad eventuelle forskelle kan skyldes. Partikelspredningen modelleres ved en random walk metode i MatLab, hvis teoretiske grundlag og generelle metode er den samme som for partikelspredningsmodellen (PT-modellen) i Del 2. Forudsætninger for partikelspredningsmodel Efterfølgende gennemgås de forudsætninger der gælder for den anvendte PT-model for strømrenden. Dimensioner Modellens geometri er en vilkårligt lang rende med højde og bredde som den virkelige strømrende. I alle tværsnit i rendens længderetning (x-retningen) hersker samme forhold, dvs. ens vandybde, hastighedsfelt og dispersionsfordeling. Det forudsættes, at der er ensformig strømning gennem et givet tværsnit i modellen. Dette vil sige, at der kun foregår vandstrømning i rendens længderetning. Dispersion modelleres i tre dimensioner. Hastighedsfelt I afsnittet om CFX-modellering vurderes hastighedsfeltet beregnet i CFX-modellen ikke at afvige markant fra det reelle hastighedsfelt i strømrenden. Derfor anvendes dette i PT-modellen. Hastighedsfeltet ses af figur 6. 4

Figur 6 Hastighedsfelt importeret fra CFX til brug i partikelspredningsmodel. Sedimentation Da partiklerne har en densitet højere end vands, sedimenterer de i y-retningen. Den målte sedimentationshastighed i cylinderglas på 0,028 m/s anvendes som udgangspunkt i modellen. Dispersion Når fordelingen af hvirvelviskositet ν T kendes for tværsnittet, enten fra målinger og beregninger eller fra CFX-modellering kan den turbulente dispersionskoefficient estimeres ud fra formel 1, hvori det antages, at spredning af hhv. bevægelsesmængde og stof er proportionale [Brorsen, 2001]. ν T D T = (1) σ C hvor D T : Turbulent dispersionskoefficient [m 2 /s] ν T : Hvirvelviskositet [m 2 /s] σ c : Schmidt s tal, som oftest (også i dette projekt) sættes lig 0,9 Som omtalt i CFX-afsnittet beregner CFX-modellen ikke hvirvelviskositeterne korrekt. Ligeledes er hvirvelviskositeterne beregnet på baggrund af målinger forholdsvis usikkert bestemt i dybder mellem overfladen og 8 cm fra bunden. Derfor foretages PT-modelleringen med dispersionskoefficienter beregnet både ud fra CFX og ud fra egne lasermålinger og beregninger, med henblik på at belyse eventuelle forskelle. Resultaterne af disse modelleringer sammenholdes med de udførte målinger af partikelspredning, for at vurdere hvilke dispersionskoefficienter der er mest repræsentative for de fysiske forhold i strømrenden. 5

Kontrol af model Det er blevet undersøgt om den opstillede PT-model regner korrekt sammenlignet med en analytisk løsning i en forsimplet 1-dimensionel spredningssituation. Undersøgelsen sandsynliggør, at PTmodellen regner korrekt i den 1-dimensionale situation. På den baggrund antages det efterfølgende, at også den fulde PT-model regner korrekt, da der kun er lille praktisk forskel mellem den fulde og den forsimplede model. Kontrol af PT-model for strømrende Modellering Hver kørsel af modellen udføres med tilledning af 256 partikler, samme antal partikler som er anvendt i målingerne. Outputtet fra modellen er den distance, den enkelte partikel har tilbagelagt i rendens længderetning (x-retningen) inden den når dybden 5 cm over bunden, samt når den rammer bunden, så modellen kan sammenlignes med måledata. Modelopsætningen køres 20 gange, hvorefter der foretages statistik på resultaterne fra hver kørsel. Hvis denne statistik viser lille afvigelse i resultaterne fra gang til gang, er det indikation på, at det anvendte antal partikler er stort nok til at producere stabile resultater. Resultater ved anvendelse af D T beregnet ud fra CFX-resultater På figur 7 ses variationen af D T over tværsnittet, med største værdier i den nedre, midterste del af tværsnittet. Middelværdien af D T er 1,95 10-5 m 2 /s. figur 8 viser hvordan placeringen af én tilfældig partikel udvikler sig over tid. Udviklingen i x-retningen ses at bøje af over den sidste halvdel af sedimentationstiden, hvilket skyldes lavere vandhastighed i den nederste del af tværsnittet. Udviklingen i placering over bunden (y-retningen) ses at følge et overordnet lineært forløb som følge af sedimentation med udsving som følge af dispersion. Dispersionen ses at være størst i tværsnittets nederste del, hvilket er i overensstemmelse med dispersionsfeltet på figur 7. Der er ikke store udsving i partiklens placering på tværs af renden, da der her kun er dispersion til at forårsage flytning. 6

Figur 7 Skitse af dispersionskoefficientens variation ved anvendelse af D T beregnet ud fra CFX-resultater. D T = 1,95 10-5 m 2 /s Figur 8 Udvikling af én enkelt partikels placering efter modellering med anvendelse af D T beregnet ud fra CFX-resultater. Partiklen ses at sedimentere efter ca. 8,5 s. 7

På figur 9a og b ses spredningen af partikler hhv. 5 cm over bunden og ved bunden for modellerede og målte data. Umiddelbart ses der at være markant afvigelse mellem måling og modellering. I tabel 2 og 3 er vist middelværdier og spredninger til sammenligning. Figur 9a Spredning af partikler ved passage af plan 5 cm over bunden ved anvendelse af D beregnet ud fra CFX-hvirvelviskositeter (blå histogram), samt spredning af måledata samme sted (røde histogram). Figur 9b Spredning af partikler ved anslag mod bund ved anvendelse af D beregnet ud fra CFX-hvirvelviskositeter (blå histogram), samt spredning af måledata samme sted (røde histogram). 8

Måledata Modellerede data (middelværdi og spredning (i parentes) ved 20 modelkørsler) Modellerede datas afvigelse fra målte µ 5cm [m] σ 5cm [m] µ 5cm [m] σ 5cm [m] µ 5cm [%] σ 5cm [%] 2,34 0,50 1,87 (0,01) 0,16 (0,01) 20 68 Tabel 2 Sammenligning af middelværdi og spredning af tilbagelagt distance ved passage af plan 5 cm over bunden for målte og modellerede data. Måledata Modellerede data (middelværdi og spredning (i parentes) ved 20 modelkørsler) Modellerede datas afvigelse fra målte µ bund [m] σ bund µ bund [m] σ bund [m] µ bund [%] σ bund [%] [m] 2,73 0,48 2,31 (0,02) 0,22 (0,01) 15 54 Tabel 3 Sammenligning af middelværdi og spredning af tilbagelagt distance ved anslag mod bunden for målte og modellerede data. Det ses af tabel 2 og 3, at der er lille spredning på de modellerede resultater ved 20 modelkørsler. Dette antyder, at der modelleres med tilstrækkeligt stort antal partikler til, at resultatet bliver stabilt. Ydermere ses det, at der stor afvigelse mellem målte og modellerede data, specielt mht. spredning. Der er ikke stor forskel på størrelsen af afvigelserne i tabel 2 sammenlignet med tabel 3. Måledata har ca. 2-3 gange større spredning end modeldata. Dette tyder på at den anvendte dispersionskoefficient i modellen er for lille (når måledata antages at give korrekt billede). Det næste modelsetup med dispersionskoefficient ud fra egne målinger anvender en højere middelværdi af dispersionskoefficient. Resultater ved anvendelse af D T beregnet ud fra egne målinger Fra egne målinger beregnes sammenhørende værdier af dybde og D T midt i rendens bredde. Denne fordeling antages herefter at gælde i hele rendens bredde, og en dispersionskoefficientfordeling som vist på figur 10 fremkommer. Middelværdien af D T er i dette tilfælde 2,76 10-4 m 2 /s, eller ca. 14 gange højere end den ovenfor anvendte D T beregnet ud fra CFX. Udviklingen i en vilkårlig partikels placering (Figur 11) ses også at udvise større udsving som følge af større dispersion. 9

Figur 10 Skitse af dispersionskoefficientens variation ved anvendelse af D T beregnet ud fra egne målinger. = 2,76 10-4 m 2 /s Figur 11 Udvikling af én enkelt partikels placering efter modellering med anvendelse af D T beregnet ud fra egne målinger. På figur 12a og b ses spredningen af partikler hhv. 5 cm over bunden og ved bunden for modellerede og målte data. Umiddelbart ses der at være mindre afvigelse mellem måling og modellering end i den første sammenligning. I tabel 4 og 5 er vist middelværdier og spredninger til sammenligning. 10

Figur 12a Spredning af partikler ved passage af plan 5 cm over bunden ved anvendelse af D beregnet ud fra egne måledata (blå histogram), samt spredning af måledata samme sted (røde histogram). Figur 12b Spredning af partikler ved anslag mod bund ved anvendelse af D beregnet ud fra egne måledata (blå histogram), samt spredning af måledata samme sted (røde histogram). 11

Måledata Modellerede data (middelværdi og spredning (i parentes) ved 20 modelkørsler) Modellerede datas afvigelse fra målte µ 5cm [m] σ 5cm µ 5cm [m] σ 5cm [m] µ 5cm [%] σ 5cm [%] [m] 2,34 0,50 1,85 (0,04) 0,66 (0,04) 21 32 Tabel 4 Sammenligning af middelværdi og spredning af tilbagelagt distance ved passage af plan 5 cm over bunden for målte og modellerede data. Måledata Modellerede data (middelværdi og spredning (i parentes) ved 20 modelkørsler) Modellerede datas afvigelse fra målte µ bund [m] σ bund µ bund [m] σ bund [m] µ bund [%] σ bund [%] [m] 2,73 0,48 2,26 (0,04) 0,67 (0,04) 17 40 Tabel 5 Sammenligning af middelværdi og spredning af tilbagelagt distance ved anslag mod bunden for målte og modellerede data. Det ses af tabel 4 og 5, at der større spredning på de modellerede resultater efter 20 modelkørsler end ved den første sammenligning. Dette skyldes den større anvendte D T. Afvigelsen vurderes dog stadig at være lille nok til, at resultaterne kan betragtes som stabile. Afvigelsen mellem middelværdier af målte og modellerede data er stort set den samme som i første undersøgelse, hvilket er forventeligt, idet det kun er dispersionskoefficienten der er ændret. Ændringen af denne forårsager, at der nu er større spredning på modeldata end på måledata. Afvigelsen mellem spredningerne på de to datasæt er nu mindre, hvilket indikerer, at det sidst anvendte sæt dispersionskoefficienter er bedre end det første, men ikke godt nok (hvis måledata stadig antages at give det korrekte billede). Vurdering af resultater Middelværdien af de modellerede data er i de udførte sammenligninger 15-20% lavere end de tilsvarende måledata. Dette må tilskrives enten for lav konvektion eller for høj sedimentation i modellen. Det anvendte CFX-hastighedsprofil afviger kun lidt fra de målte hastigheder, og denne afvigelse vurderes ikke at kunne forklare afvigelsen på resultaterne. Målingen af sedimentationshastighed er foregået i stillestående vand, mens sedimentationen i forsøgene er foregået i strømmende vand, hvor turbulenshvirvler påvirker mediet omkring den sedimenterende partikel. Dette forhold kan gøre, at sedimentationshastigheden i det strømmende og det stillestående vand er forskellige. Den overslagsmæssige sedimentationshastighed beregnet ud fra partikeltransport-målingerne, jf. figur 4 og 5 på 0,022 m/s er da også 21 % mindre end den i modellen anvendte. Hvis hastigheden 0,022 m/s anvendes i modellen med D T ud fra egne målinger fås spredningsmønstre som vist på figur 13a og b, samt de statistiske data i tabel 6 og 7. 12

Figur 13a. Spredning af partikler ved passage af plan 5 cm over bunden ved anvendelse af D beregnet ud fra egne måledata og sedimentationshast. på 0,022 m/s (blå histogram), samt spredning af måledata samme sted (røde histogram). Figur 13b. Spredning af partikler ved anslag mod bund ved anvendelse af D beregnet ud fra egne måledata og sedimentationshast. på 0,022 m/s (blå histogram), samt spredning af måledata samme sted (røde histogram). 13

Måledata Modellerede data (middelværdi og spredning (i parentes) ved 20 modelkørsler) Modellerede datas afvigelse fra målte µ 5cm [m] σ 5cm µ 5cm [m] σ 5cm [m] µ 5cm [%] σ 5cm [%] [m] 2,34 0,50 2,34 (0,06) 0,93 (0,05) 0 86 Tabel 6. Sammenligning af middelværdi og spredning af tilbagelagt distance ved passage af plan 5 cm over bunden for målte og modellerede data. Måledata Modellerede data (middelværdi og spredning (i parentes) ved 20 modelkørsler) Modellerede datas afvigelse fra målte µ bund [m] σ bund µ bund [m] σ bund [m] µ bund [%] σ bund [%] [m] 2,73 0,48 2,87 (0,07) 1,00 (0,05) 5 108 Tabel 7. Sammenligning af middelværdi og spredning af tilbagelagt distance ved anslag mod bunden for målte og modellerede data. Ændringen i sedimentationshastighed medfører, at middelværdierne af modeldata og måledata bliver næsten ens, med afvigelser på hhv. 0 og 5%, mens afvigelsen i spredning bliver mere end fordoblet. Det konkluderes, at middelværdiernes afvigelser i de tidligere modelleringer sandsynligvis skyldes den usikkert bestemte sedimentationshastighed. Hvad angår dispersionskoefficienterne var D T bestemt ud fra CFX-resultaterne for små, hvilket stemmer overens med, at CFX modellerer meget mindre værdier af hvirvelviskositet end egne målinger og beregninger viste. D T bestemt ud fra egne målinger har givet de bedste resultater sammenlignet med målingerne, men de har givet en modelleret spredning der er for stor, sammenlignet med målingerne. Den primære årsag til dette skal findes i det den manglende registrering af 5-10 % af partiklerne i forsøget, som har medført for lille en spredning på måledata. Havde disse været medtaget ville spredning på måledata og modeldata have været tættere på hinanden, og det kan ikke umiddelbart modvises, at modellen regner korrekt under de givne forudsætninger. Nedenfor er link til to animationer af det modellerede spredningsforløb af 256 partikler, med anvendt D T ud fra egne lasermålinger og en sedimentationshastighed på 0,022 m/s. De modellerede partikler vises som sorte prikker. Til sammenligning viser en rød prik forløbet en partikel med gennemsnit af konvektions- og sedimentationshastighed fra målingerne af partikeltransport, jf. figur 4 og 5. Det skal bemærkes at der ikke er samme skalering på akserne. Således er længeaksen 6 m, dybdeaksen 20,2 cm (den totale vanddybde) og breddeaksen 30,3 cm (rendens bredde). Animation af partikelspredning i strømrende set fra siden Animation af partikelspredning i strømrende set fra oven Dow nload PT-model for strømrende Alle filer lægges ind i MatLab's "work"-bibliotek 14