Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus 2-2004 Uge 46.1-1
Prikprodukt [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition For vektorer a = (a 1,...,a n ),b = (b 1,...,b n ) i R n er skalarproduktet n a b = a i b i i=1 Calculus 2-2004 Uge 46.1-2
Prikprodukt [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition For vektorer a = (a 1,...,a n ),b = (b 1,...,b n ) i R n er skalarproduktet n a b = a i b i og lœngden, normen i=1 a = a a og afstanden mellem vektorer a og b a b Calculus 2-2004 Uge 46.1-2
Vinkelret [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition b a Vinkerette vektorer To vektorer a,b i R n er ortogonale, vinkelrette, hvis a b = 0. Calculus 2-2004 Uge 46.1-3
Vinkelret [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition b a Vinkerette vektorer To vektorer a,b i R n er ortogonale, vinkelrette, hvis a b = 0. Det skrives også a b a b = 0 Calculus 2-2004 Uge 46.1-3
Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition For en delmængde af vektorer X V = R n er det ortogonale komplement underrummet X = {v v u = 0, u X} Calculus 2-2004 Uge 46.1-4
Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition For en delmængde af vektorer X V = R n er det ortogonale komplement underrummet X = {v v u = 0, u X} Der gælder 0 = V, V = 0 Calculus 2-2004 Uge 46.1-4
Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Komplement - eksempel For u = (3, 1) R 2 er det ortogonale komplement {v v u = 0} bestemt ved ligningen, v = (v 1,v 2 ), 3v 1 + v 2 = 0 Calculus 2-2004 Uge 46.1-5
Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Komplement - eksempel For u = (3, 1) R 2 er det ortogonale komplement {v v u = 0} bestemt ved ligningen, v = (v 1,v 2 ), 3v 1 + v 2 = 0 Løsning ( ) ( ) = v 2 ( ) v 1 v 2 = 1 3 v 2 v 2 1 3 1 Calculus 2-2004 Uge 46.1-5
Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Komplement - figur span(u) y ( 1 3,1) u = (3,1) 1 x Calculus 2-2004 Uge 46.1-6
Tømrersvend [LA] 11 Skalarprodukt i R n Sætning (tømrerprincippet) For en delmængde af vektorer X V = R n som udspænder et underrum U V er det ortogonale komplement X = U Calculus 2-2004 Uge 46.1-7
Tømrersvend [LA] 11 Skalarprodukt i R n Sætning (tømrerprincippet) For en delmængde af vektorer X V = R n som udspænder et underrum U V er det ortogonale komplement X = U Altså gælder w U w x, x X Calculus 2-2004 Uge 46.1-7
Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Komplement - eksempel For U = span((1, 1, 1), (2, 3, 4)) R 3 er det ortogonale komplement U = {v v u = 0, u U} bestemt ved ligningssystemet, v = (v 1,v 2,v 3 ), v 1 + v 2 + v 3 = 0 2v 1 + 3v 2 + 4v 3 = 0 Calculus 2-2004 Uge 46.1-8
Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Komplement - eksempel For U = span((1, 1, 1), (2, 3, 4)) R 3 er det ortogonale komplement U = {v v u = 0, u U} bestemt ved ligningssystemet, v = (v 1,v 2,v 3 ), v 1 + v 2 + v 3 = 0 2v 1 + 3v 2 + 4v 3 = 0 Løsning v 1 v 2 v 3 = v 3 2v 3 = v 3 v 3 1 2 1 Calculus 2-2004 Uge 46.1-8
Komplement [LA] 11 Skalarprodukt i R n Komplement - figur (1, 2,1) z U=span((1,1,1),(2,3,4)) x y Calculus 2-2004 Uge 46.1-9
Nedfæld vinkelret [LA] 12 Ortogonal projektion Projektion - figur v w = v u U u Ortogonal projektion på underrum U Calculus 2-2004 Uge 46.1-10
Projektion [LA] 12 Ortogonal projektion Definition For et underrum U V = R n er den ortogonale projektion af en vektor v på U den vektor u U som opfylder v u = w U Calculus 2-2004 Uge 46.1-11
Projektion [LA] 12 Ortogonal projektion Definition For et underrum U V = R n er den ortogonale projektion af en vektor v på U den vektor u U som opfylder v u = w U Der gælder v = u + w, u U, w U Calculus 2-2004 Uge 46.1-11
Projektion [LA] 12 Ortogonal projektion Definition For et underrum U V = R n er den ortogonale projektion af en vektor v på U den vektor u U som opfylder Der gælder v = u + w, v u = w U Den ortogonale projektion betegnes u U, w U proj U (v) = u Calculus 2-2004 Uge 46.1-11
Projektion på koordinatplan [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For underrumet U = span(e 1,e 2 ) R n er den ortogonale projektion af en vektor v = (v 1,v 2,...,v n ) på U givet ved proj U (v) = u = (v 1,v 2, 0,...,0) Calculus 2-2004 Uge 46.1-12
Projektion på koordinatplan [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For underrumet U = span(e 1,e 2 ) R n er den ortogonale projektion af en vektor v = (v 1,v 2,...,v n ) på U givet ved proj U (v) = u = (v 1,v 2, 0,...,0) Ses let da v u = (0, 0,v 3,...,v n ) U Calculus 2-2004 Uge 46.1-12
Projektion på en vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For et underrum U = span(a) R n udspændt af netop én vektor a 0 er den ortogonale projektion af en vektor v på U givet ved u = v a a a a Calculus 2-2004 Uge 46.1-13
Projektion på en vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For et underrum U = span(a) R n udspændt af netop én vektor a 0 er den ortogonale projektion af en vektor v på U givet ved u = v a a a a Det skrives proj a (v) = v a a a a Calculus 2-2004 Uge 46.1-13
Projektion på vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel - figur v w = v u U u = λa U = span(a) Ortogonal projektion u = proj a (v) på span(a) λ = v a a a Calculus 2-2004 Uge 46.1-14
Projektion på en vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel - argument For et underrum U = span(a) er er den ortogonale projektion v på U givet ved u = proj a (v) = v a a a a Calculus 2-2004 Uge 46.1-15
Projektion på en vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel - argument For et underrum U = span(a) er er den ortogonale projektion v på U givet ved u = proj a (v) = v a a a a Eftervis altså (v v a a a a) a (v v a a a a) a = v a v a a a a a = 0 Calculus 2-2004 Uge 46.1-15
Projektion på en vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For et underrum U = span(a) R 3 udspændt af vektoren a = (1, 1, 1) er den ortogonale projektion af en vektor v = (v 1,v 2,v 3 ) på U givet ved proj a (v) = v a a a a = v 1 + v 2 + v 3 3 (1, 1, 1) Calculus 2-2004 Uge 46.1-16
Projektion på vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel 1 - figur y v = (1,18) proj a (v) = (9,12) a = (3,4) 1 x Ortogonal projektion proj a (v) på span(a) Calculus 2-2004 Uge 46.1-17
Projektion på en vektor [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel 1 For et underrum U = span(a) R 2 udspændt af vektoren a = (3, 4) er den ortogonale projektion af en vektor v = (1, 18) på U givet ved proj a (v) = v a a a a = 3 + 4 18 3 2 + 4 2 (3, 4) = 3(3, 4) = (9, 12) Calculus 2-2004 Uge 46.1-18
Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 17 Lad u 1,...,u k R n vœre inbyrdes ortogonale egentlige vektorer. Antag at de udspœnder underrummet U. Så gœlder proj U (v) = k j=1 proj uj (v) er den ortogonale projektion af en vektor v på U. Calculus 2-2004 Uge 46.1-19
Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 17 Lad u 1,...,u k R n vœre inbyrdes ortogonale egentlige vektorer. Antag at de udspœnder underrummet U. Så gœlder proj U (v) = k j=1 proj uj (v) er den ortogonale projektion af en vektor v på U. Bevis Eftervis ved tømrerprincippet, at v k j=1 proj u j (v) U Calculus 2-2004 Uge 46.1-19
Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel Lad u 1 = (1, 1, 1),u 2 = (1, 2, 1) R 3 være inbyrdes ortogonale vektorer der udspænder underrummet U. Så er den ortogonale projektion proj U (v) = proj u1 (v) + proj u2 (v) = v u 1 u 1 u 1 u 1 + v u 2 u 2 u 2 u 2 = v 1 v 2 + v 3 3 = ( v 1 + v 3 2 (1, 1, 1) + v 1 + 2v 2 + v 3 6,v 2, v 1 + v 3 2 ) (1, 2, 1) Calculus 2-2004 Uge 46.1-20
Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel 3 Betragt u 1 = (1, 1 2, 0, 1),u 2 = (2, 2, 1, 3) R 4 samt underrummet U = span(u 1,u 2 ). Calculus 2-2004 Uge 46.1-21
Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel 3 Betragt u 1 = (1, 1 2, 0, 1),u 2 = (2, 2, 1, 3) R 4 samt underrummet U = span(u 1,u 2 ). 1. Vektorerne u 1 og u 2 er ortogonale: u 1 u 2 = 2 + 1 2 2 + 0 3 = 0 Calculus 2-2004 Uge 46.1-21
Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel 3 - fortsat Betragt u 1 = (1, 1 2, 0, 1),u 2 = (2, 2, 1, 3) R 4 samt underrummet U = span(u 1,u 2 ). Calculus 2-2004 Uge 46.1-22
Projektion på basis [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel 3 - fortsat Betragt u 1 = (1, 1 2, 0, 1),u 2 = (2, 2, 1, 3) R 4 samt underrummet U = span(u 1,u 2 ). 2. Lad v = (2, 2, 8, 6) og beregn proj U (v) = proj u1 (v) + proj u2 (v) = v u 1 u 1 u 1 u 1 + v u 2 u 2 u 2 u 2 = 9 9 (1, 1 18, 0, 1) + 2 18 4 = (2, 0, 1, 7) (2, 2, 1, 3) Calculus 2-2004 Uge 46.1-22
Pythagoras [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 18 (Pythagoras) Hvis a b, så er a 2 + b 2 = a + b 2 Calculus 2-2004 Uge 46.1-23
Pythagoras [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 18 (Pythagoras) Hvis a b, så er a 2 + b 2 = a + b 2 Bevis a + b 2 = (a + b) (a + b) = a a + 2a b + b b = a 2 + b 2 Calculus 2-2004 Uge 46.1-23
Pythagoras [LA] 12 Ortogonal projektion Pythagoras - figur a + b b Pythagoras som du kender den a a 2 + b 2 = a + b 2 Calculus 2-2004 Uge 46.1-24
Afstand til underrum [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 19 Lad U V = R n vœre et underrum. Antag at vektoren v har ortogonal projektion u på U. Så er u den vektor i U, der har kortest afstand til v. Calculus 2-2004 Uge 46.1-25
Afstand til underrum [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 19 Lad U V = R n vœre et underrum. Antag at vektoren v har ortogonal projektion u på U. Så er u den vektor i U, der har kortest afstand til v. Bevis For en vektor u u U gælder v (u u ) 2 = (v u) + u 2 = v u 2 + u 2 i følge Pythagoras, Sætning 18, da (v u) u. Calculus 2-2004 Uge 46.1-25
Mindste afstand [LA] 12 Ortogonal projektion Sætning 19 - figur v v u v (u u ) u u Mindste afstand til underrum U Calculus 2-2004 Uge 46.1-26
Afstand til linje [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For en linje U = span(a) R 3 udspændt af vektoren a = (1, 1, 1) er den vektor i U med kortest afstand til en vektor v = (v 1,v 2,v 3 ) givet ved proj a (v) = v a a a a = v 1 + v 2 + v 3 3 (1, 1, 1) Calculus 2-2004 Uge 46.1-27
Afstand til linje [LA] 12 Ortogonal projektion Eksempel For en linje U = span(a) R 3 udspændt af vektoren a = (1, 1, 1) er den vektor i U med kortest afstand til en vektor v = (v 1,v 2,v 3 ) givet ved proj a (v) = v a a a a = v 1 + v 2 + v 3 3 (1, 1, 1) Kvadratafstanden er v proj a (v) 2 = (v 1 m) 2 + (v 2 m) 2 + (v 3 m) 2 hvor m = v 1+v 2 +v 3 3. Calculus 2-2004 Uge 46.1-27
Middelværdi [LA] 12.1 Mindste kvadraters metode Eksempel 4 For y 1,...,y n vil middelværdien minimerer kvadratsummen m = y 1 + + y n n (y 1 m) 2 + + (y n m) 2 Calculus 2-2004 Uge 46.1-28
Middelværdi [LA] 12.1 Mindste kvadraters metode Eksempel 4 For y 1,...,y n vil middelværdien minimerer kvadratsummen m = y 1 + + y n n (y 1 m) 2 + + (y n m) 2 Løsning Sæt y = (y 1,...,y n ) og a = (1,...,1). Så er m bestemt ved ma = proj a (y) = y a a a a = y 1 + + y n n Calculus 2-2004 Uge 46.1-28 a
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorer u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (1, 2, 3, 4). Calculus 2-2004 Uge 46.1-29
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorer u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (1, 2, 3, 4). Løsning I følge Sætning 19 er u den ortogonale projektion af v på U. Den korteste afstand er v u Calculus 2-2004 Uge 46.1-29
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 - fortsat Vektorerne u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0) har u 1 u 2 = 1 0 + 1 1 + ( 1) 1 + ( 1) 0 = 0 Calculus 2-2004 Uge 46.1-30
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 - fortsat Vektorerne u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0) har u 1 u 2 = 1 0 + 1 1 + ( 1) 1 + ( 1) 0 = 0 Fra Sætning 17 fås projektionen af v = (1, 2, 3, 4) u = proj U (v) = proj u1 (v) + proj u2 (v) = v u 1 u 1 + v u 2 u 2 u 1 u 1 u 2 u 2 = 4 4 (1, 1, 1, 1) + 5 (0, 1, 1, 0) 2 = ( 1, 3, 7, 1) 2 2 Calculus 2-2004 Uge 46.1-30
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 - ekstra Restvektoren v u = (1, 2, 3, 4) ( 1, 3 2, 7 2, 1) = (2, 1 2, 1 2, 3) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u = (2, 1 2, 1 2, 3) = 27 2 = 3 2 6 Calculus 2-2004 Uge 46.1-31
Tømrermester [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum Tømrermester - figur w = v proj u (v) v proj u (v) u To vektorer rettet op Calculus 2-2004 Uge 46.1-32
Tømrermester [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum Bemærkning Lad u,v være ikke-parallelle vektorer der udspænder underrummet U. Sæt w = v proj u (v) = v v u u u u Så er u,w ortogonale og udspænder U. Calculus 2-2004 Uge 46.1-33
Tømrermester [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum Bemærkning Lad u,v være ikke-parallelle vektorer der udspænder underrummet U. Sæt w = v proj u (v) = v v u u u u Så er u,w ortogonale og udspænder U. Den ortogonale projektion af vektoren x på U er da proj U (x) = proj u (x) + proj w (x) = x u u u u + x w w w w Calculus 2-2004 Uge 46.1-33
Tømrermester [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum Eksempel (delvis 7 side 84) Lad u = (1, 1, 1),v = (1, 2, 3) være vektorer der udspænder underrummet U. Sæt w = v proj u (v) = v v u u u u = (1, 2, 3) 2(1, 1, 1) = ( 1, 0, 1) Den ortogonale projektion af vektoren y = (3, 3.6, 6) på U er da proj U (y) = proj u (y) + proj w (y) = y u u u u + y w w w w Calculus 2-2004 Uge 46.1-34
Tømrermester [LA] 12.2 Projektion på 2-dim. underrum Eksempel - fortsat For u = (1, 1, 1),w = ( 1, 0, 1),y = (3, 3.6, 6) er projektion af vektoren y på U = span(u, w) proj U (y) = proj u (y) + proj w (y) = y u u u u + y w w w w = 12.6 3 (1, 1, 1) + 3 2 = (2.7, 4.2, 5.7) ( 1, 0, 1) Calculus 2-2004 Uge 46.1-35
Cauchy-Schwarz ulighed [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Sætning 20 (Cauchy-Schwarz ulighed) For vektorer u,v gœlder u v u v Calculus 2-2004 Uge 46.1-36
Cauchy-Schwarz ulighed [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Sætning 20 (Cauchy-Schwarz ulighed) For vektorer u,v gœlder u v u v Bevis Fra Pythagoras, Sætning 18, på de ortogonale vektorer v proj u (v),proj u (v) fås v 2 proj u (v) 2 = ( v u ) 2 u 2 u u Forlæng med u 2 og uddrag kvadratroden. Calculus 2-2004 Uge 46.1-36
Trekantsuligheden [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Sætning 21 (Trekantsuligheden) For vektorer u,v gœlder u + v u + v Calculus 2-2004 Uge 46.1-37
Trekantsuligheden [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Sætning 21 (Trekantsuligheden) For vektorer u,v gœlder u + v u + v Bevis Fra Cauchy-Schwarz ulighed Uddrag kvadratroden. u + v 2 u 2 + v 2 + 2 u v = ( u + v ) 2 Calculus 2-2004 Uge 46.1-37
Trekantsulighed [LA] 13 Andre sætninger om skalarprodukt Trekantsulighed - figur u + v v u Indlysende trekantsulighed u + v u + v Calculus 2-2004 Uge 46.1-38