En algebra osamling Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008 INDLEDNING Her har jeg samlet forskellige ting, der relaterer til algebra. Dokumentet er en osamling til Concrete Abstract Algebra (1) af Niels Lauritzen og de sulerende noter af Jens Carsten Jantzen anvendt i kurset Algebra ved Institut for Matematiske Fag, Århus Universitet i efteråret 2007. Dokumentet består af de este sætninger (for overblikkets skyld uden beviser, her henvises til (1)) samt forskellige bemærkninger fra bogen, forelæsninger, ogaver eller egen observation. Jeg har samlet tingene som en del af min eksamenslæsning, så det er muligt, at det ikke er brugbart til andet end rocessen :) Jeg vil å ingen måde ofordre til, at man sringer beviserne i bogen over, men dette burde give et bedre overblik. Af coyright mæssige årsager (der er jo meget fra (1)) ligger noten ikke å nettet i øjeblikket. Hvis jeg ændrer mening kommer den nok å www.hys.au.dk/ jkbj06 og www.indianertricks.dk. Kommentarer, rettelser og tilføjelser er velkomne! Hvor intet andet er nævnt benyttes bogstaver i deres normale betydning; G betegner en grue, R en ring, I et ideal osv. Indhold 1 Tal 2 1.5 gcd og indbyrdes rimisk....................... 2 1.6 Den kinesiske rest-sætning...................... 2 1.7 Eulers ϕ - funktion.......................... 3 1.8 Primtal................................ 3 1.9 RSA, lille Fermat og seudorimtal................. 3 1.11 Kvadratiske rester modulo et rimtal................ 3 2 Gruer 4 2.1 Denition............................... 4 2.2 Undergruer og sideklasser..................... 4 2.3 Normale undergruer........................ 5 2.4 Gruehomomorer......................... 5 2.5 Isomor-sætningen.......................... 6 2.6 Ordenen af et grueelement.................... 6 2.7 Cykliske gruer........................... 6 2.8 Gruer og tal............................ 7 2.9 Symmetriske og alternerende gruer................ 7 1
2.10 Gruevirkninger........................... 9 3 Ringe 10 3.1 Denitioner.............................. 10 Idealer................................. 10 3.2 Kvotientringe............................. 10 Kvotientringe af Z.......................... 10 Primidealer.............................. 11 Maksimale idealer.......................... 11 3.3 Ringhomomorer........................... 11 Den entydige ringhomomor fra Z................. 11 Russens drøm aka Freshman's dream................ 12 3.4 Fields of fractions - oversrunget.................. 12 3.5 Entydig faktorisering......................... 12 Divisibilitet og største fælles divisor................ 12 Irreducible elementer......................... 12 Primelementer............................ 13 Euklidiske ringe............................ 13 Primtal og rimelementer i Z[i]................... 13 3.6 Osamling af ring-tyer....................... 14 4 Referencer 14 1 Tal 1.5 gcd og indbyrdes rimisk Euklids udvidede algoritme For m, n Z λ, µ Z : λm + µn = gcd(m, n). Bemærkning (1.5.9). λ, µ Z : λa + µb = 1 gcd(a, b) = 1 Korollar (1.5.10-11 m udv fra noter). Lad a i, b, c Z. (i) Hvis a bc hvor a og b er indbyrdes rimiske, så a c. (ii) Hvis a 1,..., a n arvis indbyrdes rimiske og i : a i c, så a 1 a n c (iii) Hvis a i og c arvis indbyrdes rimisike for alle i, så er a i a n indb.rim. med c 1.6 Den kinesiske rest-sætning Sætning (1.6.4 Den kinesiske rest-sætning). Antag N = n 1 n t med n 1,..., n t Z \ 0 og gcd(n i, n j ) = 1 for i j. Så gælder for systemet af kongurenser (hvor a 1,..., a t Z) (i) Systemet har en løsning X Z. X a 1 (mod n 1 ),. X a t (mod n t ), 2
(ii) Hvis X, Y Z er løsninger, så er X Y (mod N). (iii) Hvis X er en løsning og Y X (mod N), så er Y også en løsning. Beviset giver også en metode til at nde løsninger. 1.7 Eulers ϕ - funktion Proosition (1.7.1). Lad m og n være indb. rimiske. Så er ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) Sætning (1.7.2 (Euler)). Lad a, n Z være indb. rimiske og n 0, så er a ϕ(n) 1 (mod n). 1.8 Primtal Lemma (1.8.3). Lad være et rimtal og antag ab, a, b Z. Så a eller b. En tal kan faktoriseres entydigt til et rodukt af rimtal, så fra roosition 1.7.1 får vi ) ) ϕ(n) = ( r1 1 r1 1 1 ) ( rs s rs 1 s ) = n (1 11 (1 1s 1.9 RSA, lille Fermat og seudorimtal Korollar (1.9.2 (Fermat's lille sætning)). Lad være et rimtal og a et helt tal med gcd(a, )=1. Så a 1 1 (mod ). Desuden ndes her denitionen å sedurimtal relativ til en basis, stærke ditto, Carmichael tal samt et ar tester for rimtal. B.la Lemma (1.9.4). Lad være et rimtal og x Z. Vi har så x 2 1 (mod ) x ±1 (mod ) 1.11 Kvadratiske rester modulo et rimtal Denition. Lad være et rimtal. Hvis a kaldes a en kvadratisk rest modulo hvis der eksisterer x Z så a x 2 (mod ). I modsat fald kaldes a en kvadratisk ikke-rest modulo. Hvis a er a hverken en kvadratisk rest eller en kvadratiske ikke-rest. For at holde styr å dette indfører vi Legendre symbolet ( ) a = 0 hvis a, 1 hvis a er en kvadratisk rest modulo, 1 hvis a er en kvadratisk ikke-rest modulo. 3
Hvis a x 2 (mod ), kan vi nde 0 y < så a y 2 (mod ) ved at sætte y = [x]. Så givet et rimtal er de kvadriske rester (a'erne) neto resterne af tallene fra 1 til 1 kvadreret: [1 2 ],..., [( 1) 2 ]. De handler om at reducere til et af de tilfælde, vi kender. Vi har nemlig fra ro 1.11.6 ( ) 1 = { 1 hvis 1 (mod 4), 1 hvis 3 (mod 4), og fra kor 1.11.11 ( ) 2 = 1 hvis 1 (mod 8), 1 hvis 3 (mod 8), 1 hvis 5 (mod 8), 1 hvis 7 (mod 8). Vi kan regne med g. regler: Legendre symbolet ofylder for k Z ( ) ( ) a a + k =. For ulige rimtal gælder ( ) ab = ( a ) ( ) b. Hvis og q er ulige rimtal gælder for vending ( ) ( ) q hvis q 3 (mod 4), = ( ) q q ellers. 2 Gruer 2.1 Denition Indeholder denitionen af en grue samt ere indledende eksemler å abelske og ikke abelske gruer. Her er også et ar resultater: Entydighed af neutralt element og invers til et element, den sædvanlige sammensætning af afbildninger å mængden af afbildninger fra en mængde til sig selv er associativ, multilikation (vilkårlig komos.) med et element er bijektiv. 2.2 Undergruer og sideklasser Denition (Sideklasse). Lad H være en undergrue af G og g G. Så er gh = {gh h H} G en venstre sideklasse af H. Mængden af venstre sideklasser kaldes G/H mens mængden af højre sk kaldes H\G (Huskeregel: Den øverste del af skråstregen eger å undergruen). Lemma. (2.2.6) Lad H være en undergrue af G og lad x, y G. Så (i) x xh (ii) xh = yh x 1 y H 4
(iii) Hvis xh yh så er de disjunkte: xh yh = (iv) Afbildningen ϕ : H xh givet ved ϕ(h) = xh er bijektiv. Sætning (2.2.8 (Lagrange)). Hvis H G er en undergrue af en endelig grue G, så går ordenen af undergruen o i grueordenen og secielt G = G/H H Denition (2.2.9 Indeks). Antallet af sideklasser G/H kaldes indekset af H i G og skrives [G : H]. Og 2.15 giver, at G/H = H\G. 2.3 Normale undergruer Standard komositionen af to delmængder X, Y G er XY = {xy x X, y Y }. Komositionen er associativ, men det er ikke nødvendigvis en komosition å (venstre) sideklasser. Vi indfører derfor Denition (2.3.2). En undergrue N G kaldes normal hvis for ethvert g G. gng 1 = {gng 1 n N} = N Bemærkning. Det er nok at vise gng 1 N for alle g G \ N (det gælder automatisk for g N). Så har vi nemlig g G N gng 1 : Lad n N givet så er g 1 ng N r antagelse så gng 1 g(g 1 ng)g 1 = n. Vi har også, at N ofylder gn = Ng for alle g G r og 2.13. Proosition (2.3.1). Lad H være en undergrue af en grue G. Hvis gh = Hg, g G så er (xh)(yh) = (xy)h x, y G Korollar (2.3.3). Lad N G være en normal undergrue. Komositionen af delmængder gør G/N til en (kvotient)grue og (g 1 N)(g 2 N) = (g 1 g 2 )N, g 1 N, g 2 N G/N Bemærkning. Hvis G er en abelsk grue, er enhver undergrue normal. Hvis en undergrue har indeks 2 er den normal r og 2.15 2.4 Gruehomomorer Denition (2.4.1). Lad G og K være gruer. En afbildning f : G K er en gruehomomor hvis f(xy) = f(x)f(y), x, y G. Bemærkning. Vi har f(e G ) = e K og f(g 1 ) = (f(g)) 1. Denition (2.4.5). Kernen for en gruehomomor er ker f = {g G f(g) = e K }. 5
Bemærkning. En bijektiv gruehomomor kaldes en grueisomor og skrives f : G K og hvis en sådan eksisterer er G og K isomorfe: G = K. Isomorfe gruer er ens, idet de for alle raktiske formål har samme komositionstabel. Proosition (2.4.9). Lad f : G K være en gruehomomor. (i) Billedet f(g) K er en undergrue af K. (ii) Kernen ker f G er en normal undergrue af G. (iii) f er injektiv hvis og kun hvis ker(f) = {e G }. 2.5 Isomor-sætningen Hvis N G er en normal undergrue, kan vi nde ud af mere om G/N ved at nde en kendt grue K så G/N = K. Sætning (2.5.1 Isomor-sætningen). Lad G og K være gruer og f : G K være en grue homor med kernen ker f = N. Så er f : G/N f(g) givet ved f(gn) = f(g) en veldeneret afbildning og en grueisomor. Bemærkning. Vi kan altså forstå en kvotientgrue G/N ved at nde en (kendt) grue K og en surjektiv (så f(g) = K) gruehomomor f : G K med N som kerne, således at G/N = K af sætningen. 2.6 Ordenen af et grueelement Ordenen af en element g G er antallet af elementer i g = f g (Z), hvor f g : Z G er grue homoren givet ved f g (n) = g n. ord(g) er også den mindste ositive otens så g n = e. De sulerende noter s. 1-2 indeholder lidt ekstra om f g. Proosition (2.6.3). Lad G være en endelig grue og g G (i) Ordenen af g går o i G. (ii) g G = e. (iii) Hvis g n = e for et n > 0 så ord(g) n. Dette gælder også for en uendelig grue (bevis: ker f g = n g Z) 2.7 Cykliske gruer For n 0 er Z/nZ cyklisk. Lad G = g være en cyklisk grue. Det gælder altid, at ker f g = n g Z for et entydigt n g N. Nu er G cyklisk, så billedet f g (Z) = G, og af isomorsætningen får vi Z/n g Z = g = G. Proosition (2.7.2). En grue af rim-orden G = er isomorf til den cykliske grue Z/Z. 6
Bemærkning. Cykliske gruer er abelske, idet alle elementer kan udtrykkes som otenser af frembringeren. Proosition (2.7.4). Lad G være en cyklisk grue (i) Enhver undergrue af G er cyklisk. (ii) Antag at G er endelig og at d G. Så indeholder G en entydig undergrue H af orden d. (iii) Der er ϕ(d) elementer af orden d i G. Dette er frembringerne for H. 2.8 Gruer og tal Produktgruer G = G 1 G n (n-tuler) og lidt om gruehomomorer herå. Proosition (2.8.2). Lad n 1,..., n r Z være arvis indb. rimiske og lad N = n 1 n r. Så er afbildning obygget af kanoniske gruehomomorer ϕ : Z/NZ (Z/n 1 Z,..., Z/n r Z) givet ved ϕ(x + NZ) = ( ϕ 1 (x),..., ϕ r (x)) en grueisomor. Bemærkning. Vi har faktisk vist, at hvis n 1,..., n r Z er arvis indb. rimiske og N = n 1 n r, så er Z/n 1 Z Z/n r Z = Z/NZ (cyklisk) 2.9 Symmetriske og alternerende gruer Af en mængde M n med n elementer kan vi lave den symmetriske grue S n af bijektive afbildninger fra M n til sig selv. S n er en grue med sammensætning af afbildninger som komosition og n! elementer. Elementerne σ S n kaldes ermutationer. Generelt er S n ikke abelske. Denition. Lad σ S n. Så er M σ = {x M n σ(x) x} dvs de elemter, der ændres. Vi bemærker, at σ(m σ ) = M σ. Permutationerne σ og τ kaldes disjunkte hvis M σ M τ =. Proosition (2.9.2+Sunote). Lad σ, τ være disjunkte ermutationer i S n. Så kommuterer de στ = τσ. Desuden er M στ = M σ M τ. Denition (Cykler). Antag at vi har k forskellige elementer x 1,..., x k M n. En ermutation σ S n som ofylder σ(x 1 ) = x 2, σ(x 2 ) = x 3,..., σ(x k 1 ) = x k, σ(x k ) = x 1 og σ(x) = x for x / {x 1,..., x k } kaldes en k - cykel og skrives σ = (x 1 x 2 x k ). Bemærk at en k - cykel kan skrives å k forskellige måder, M σ = {x 1,..., x k }, og ordenen af σ i S n er k. 7
Denition ((Simel)transosition). En 2-cykel kaldes en transosition og er sin egen inverse i S n. Hvis en transosition har formen s i = (i i+1), i = 1,..., n 1, kaldes s i en simel transosition. Proosition (2.9.6). Enhver ermutation σ S n kan skrives entydigt (ånær rækkefølge) som et rodukt af disjunkte cykler. Proosition (2.9.5). Lad σ S n være skrevet som et rodukt af disjunkte cykler σ 1 σ r. Ordenen af σ i S n er lcm(ord(σ 1 ),..., ord(σ 1 )). Beviset giver også, at M σ m = M σ m 1 M σ m r. Lemma (2.9.8). Antag at τ = (i 1... i k ) er en k - cykel og σ er en ermutation i S n. Så er σ(i 1... i k )σ 1 = (σ(i 1 )... σ(i k )) Denition (2.9.10). Lad σ S n være en ermutation. Et ar af indices (i, j), med 1 i < j n, kaldes en inversion (af σ) hvis σ(i) > σ(j). Vi lader I σ = {(i, j) 1 i < j n og σ(i) > σ(j)} betegne mængden af inversioner og n(σ) = I σ være antallet af inversioner af σ. Vi bemærker (ro 2.9.12), at σ er identitetsafbildningen hvis og kun hvis n(σ) = 0. Lemma (2.9.13). Lad s i S n være en simel transosition og σ S n. Så er { n(σ) + 1 hvis σ(i) < σ(i + 1), n(σs i ) = n(σ) 1 hvis σ(i) > σ(i + 1). Proosition (2.9.14). Lad σ S n. Så (i) σ er et rodukt af n(σ) simle transositioner. (ii) n(σ) er det minimale antal simle transositioner, der kan bruges for at skrive σ. Denition (2.9.15). Fortegnet for en ermutation σ S n er sgn(σ) = ( 1) n(σ). Hvis sgn(σ) = 1 kaldes σ lige ellers ulige (svarende til n(σ) lige hhv ulige). Proosition (2.9.16). Fortegns-afbildningen sgn : S n {±1} er en gruehomomor, hvor komositionen å {±1} er gange. Mængden af lige ermutationer A n S n kaldes den alternerende grue og er en normal undergrue af S n (som kerne for sgn). S n /A n = {±1} af isomorsætningen, så A n = S n /2 = n!/2 af Lagrange. Bemærkning. sgn er en gruehomomor, så for at udregne sgn(σ) kan vi nøjes med at kende oskrivningen i disjunkte cykler og sgn af disse. Proosition (2.9.17). Lad n 2. Fortegnet å en r - cykel σ S n er ( 1) r 1. En simel grue er en grue G, hvor de eneste normale undergruer er {e} og G. Se nere i afs 2.9.4 8
2.10 Gruevirkninger Denition (2.10.1). Lad G være en grue og S en mængde. Vi siger, at G virker (fra venstre) å S, hvis der eksisterer en afbildning α : G S S, som ofylder (i) e s = s for alle s S. (ii) (g h) s = g (h s) for alle g, h G og alle s S. Denition (2.10.2). Lad α : G S S være en gruevirkning af G å S, X S en delmængde af S og s S. (i) G s = Gs = {gs g G} kaldes banen af s (under virkningen fra G). (ii) Mængden af baner {Gs s S} betegnes S/G. (iii) Lad g X = gx = {gx x X}, hvor g G. Så er G X = {g G gx = X} stabilisatoren for X. Hvis X = {x} skriver vi G x. (iv) Et ksunkt for virkningen er et element s S således at gs = s for alle g G. Mængden af ksunkter betegnes S G. Proosition (2.10.5). Lad α : G S S være en gruevirkning. (i) Lad X S. Så er G X en undegrue af G (ii) S er foreningen af G-baner S = s S Gs, hvor Gt Gs Gs Gt = for s, t S (iii) Lad x S. Så er f : G/G x Gx givet ved f(gg x ) = gx en veldeneret og bijektiv afbildning mellem de venstre sideklasser til G x og banen Gx. Så secielt er G/G x = Gx Eksemel 2.10.6 giver en metode til at nde ordenen af en stabilisator. Afsnit 2.10.1 introducerer konjugens klasser og giver nye navne til stabilisator o.lign. Noternes s. 4 giver, at konjugationsafbildningen for et fast g er en grueisomor. I den symmetriske grue ser vi, at konjugensklasserne består af ermutationerne med samme cykeltye. Denition (-grue). En -grue er en grue af orden r, hvor er et rimtal og r N. Pro 2.10.13-14 giver resultater om ordenen af stabilisatoren for S og centralisatoren for G ved konjugation. Proosition (2.10.15). Lad være et rimtal. En grue af orden G = 2 er abelsk. Se denitionen af en Sylow -grue og Sylows sætninger å s. 102-103 samt eksemel 2.10.20. Bemærkning. Hvis en endelig grueg har P som den eneste Sylow -grue for et rimtal, er P en normal undergrue af G. Der er nogle æne egenskaber for to Sylow, q-gruer å noternes s. 5. 9
3 Ringe 3.1 Denitioner Bemærkning. Multilikationen i R gør (R, ) til en grue. Hvis R {0} er 0 / R. Hvis R er en kommutativ ring, er R en abelsk grue Proosition (3.1.3). Lad R være et integritetsområde og lad a, x, y R. Hvis a 0 og ax = yx så er x = y Proosition (3.1.4). Lad F være et legeme, så er F et integritetsområde Eksemel. De Gaussiske heltal Z[i] har følgende egenskaber (a) z Z[i] er en enhed N(z) = 1. (b) Z[i] er integritetsområde. (c) Z[i] er en Euklidisk ring og dermed et hovedidealområde og dermed en faktorialring. Eksemel. Normfunktionen N : Z[i] N givet ved N(a + ib) = a 2 + b 2 siller en vigtig rolle ifbm Z[i]. N ofylder N(z 1 )N(z 2 ) = N(z 1 z 2 ). Eksemel. Z[ 5] er en ring med ere atologiske egenskaber: (a) Z[ 5] indeholder idealer, der ikke er hovedidealer. (b) Z[ 5] er ikke en faktorialring. Idealer Bemærkning. Hvis I er et ideal, er I en undergrue af (R,+), så I da 0 I. For r 1,..., r n I r 1,..., r n I og r 1,..., r n er det mindste ideal indeholdende r 1,..., r n, (1, og 3.6) Et ideal er hele R 1 I. Secielt er et ideal i et legeme enten {0} eller hele legemet. 3.2 Kvotientringe R/I kaldes en kvotientring af R modulo I. Bemærkning. [x] = 0 i R/I hvis og kun hvis x I. Kvotientringe af Z Proosition (3.2.2). Antag d N \ {0}. Gruen af enheder (Z/dZ) er en abelsk grue (mht addition) med ϕ(d) elementer. Proosition (3.2.3). Lad n N. Så er Z/nZ et legeme hvis og kun hvis n er et rimtal. I så fald skriver vi for =n F = Z/Z. Hvis n er et sammensat tal, er Z/nZ ikke et integritetsområde. 10
Primidealer Denition. I er et rimideal hvis I R og xy I x I eller y I. Proosition (3.2.6). Et ideal I R er et rimideal hvis og kun hvis R/I er et integritetsområde. Maksimale idealer Denition. Et ideal I kaldes maksimalt hvis I J J = R hvor J er et ideal i R. Proosition (3.2.7). Et ideal I R er maksimalt hvis og kun hvis R/I er et legeme. Bemærkning (3.2.8). Et maksimalt ideal er et rimideal (fordi et legeme er et integritetsområde) Bemærkning. De maksimale idealer i Z er, hvor er et rimtal. Dette følger af ro. 3.5.6 nedenfor. 3.3 Ringhomomorer Bemærkning. Lad f : R S være en ringhomomor Kernen ker f = {r R f(r) = 0} er et ideal i R og billedet f(r) er et delring af S (1, og 3.11). Som for gruer har vi ringhomomorsætningen (1, Proosition 3.3.2). Den entydige ringhomomor fra Z Lemma (3.3.3). For enhver ring R eksisterer der en entydig ringhomomor f : Z R. For n 0 er f(n) = 1 R + + 1 R, summen af n eksemlarer af 1-elementet i R. På denne måde kan vi se heltal som elementer i en vilkårlig ring, idet vi så referer til f(n) Denition (charr). Lad ord(1) betegne ordenen af 1 i (R,+). Hvis ord(1) er uendelig, siger vi, at R har karakteristik 0. Hvis ord(1) er endelig, siger vi, at R har (den endelige) karakteristik ord(1). Bemærkning. charr er det laveste antal gange, man skal lægge 1 sammen for at få 0 i R. Vi har charz/nz = n og charr = 1 R = {0}. Lemma (3.3.5). Lad R være en ring med charr = n. Der eksisterer en injektiv ringhomomor Z/nZ R Vi siger at Z/nZ er indeholdt i R, da den er isomorf til en delring af R. Proosition (3.3.7). Lad R være et integritetsområde. Så er charr enten 0 eller et rimtal. Hvis R er endelig, er R et legeme og charr er et rimtal. Bemærkning. Alle endelige integritetsområder er altså legemer (det kommer egentlig af (1, øvelse 3.23)). 11
Russens drøm aka Freshman's dream Sætning (3.3.9 (Freshmans's Dream)). Lad R være en ring med rim karakteristik (dvs charr =, hvor er et rimtal). Så er for alle x, y R og r N (x + y) r = x r + y r Bemærkning (3.3.10). Dette giver nemt at Frobenius' mor F : RtoR givet ved F (x) = x er en ringhomomor, hvis R har rim karakteristik. 3.4 Fields of fractions - oversrunget Fields of fractions er ikke en del af ensum i AlgE07, så det oversringes. 3.5 Entydig faktorisering Vi antager i det følgende, at R er et integritetsområde Divisibilitet og største fælles divisor I det generelle integritetsområde ser tingene lidt anderledes ud end i Z, så vi starter med at få styr å de generaliserede denitioner fra (1, s. 126). Denition. Antag x, y R (a) Hvis r R så rx = y, siger vi, at x går o i y og skriver x y. Bemærk x y x y (b) Hvis u R så ux = y, siger vi, at x og y er associerede elementer. Bemærk at x = y x og y er associerede. (c) Et element d R kaldes en største fælles divisor (gcd) for x og y hvis d er en fælles divisor for x og y (dvs d x og d x) samt hvis c er en fælles divisor medfører at c d. Bemærk at hvis d er en gcd for x og y og u R, så er ud en gcd for x og y. Bemærkning. Lad R være et hovedidealområde. For alle a, b R d R så a, b = d. Vi har så at d er en gcd for a og b. Vi har nemlig a, b d, og derfor for c en fælles divisor for a og b er secielt af bemærkningen ovenfor c a d og altså c d hvilken giver c d. Irreducible elementer Denition. Et element r R \ R kaldes irreducibelt hvis r = ab a R eller b R Bemærk hvis r er irreducibelt og u R så er ru irreducibelt. Bemærk desuden at legemer ikke indeholder nogle irreducible elementer. Denition. Faktoriseringer (a) Et element x R\R siges at have en faktorisering til irreducible elementer hvis 1,..., r irreducible så x = 1... r 12
(b) Et element x R\R siges at have en entydig faktorisering til irreducible elementer hvis q 1,..., q s irreducible så x = q 1... q s medfører at for i = 1... r j så i q j (dvs ethvert i skal være associeret til et q j ). Secielt har vi så r = s (R er et integritetsområde, så vi kan forkorte). Denition. Et integritetsområde som ofylder at ethvert ikke-nul element i R\ R har en entydig faktorisering til irreducible elementer kaldes en faktorial ring eller et entydigt faktoriseringsområde Primelementer Denition. Et ikke-nul element R\R kaldes et rimelement hvis xy x eller y for x, y R. Proosition (3.5.2). Et rimelement er irreducibelt. Proosition (3.5.3). Lad R være en ring hvori ethvert hvert ikke-nul element x R \ R har en faktorisering til irreducible elementer. Ethvert irreducibelt element er et rimelement i R hvis og kun hvis R er en faktorial ring. ( er det mest interessante resultat her.) Bemærkning. I en faktorial ring er rimelementer altså det samme som irreducible elementer. Z er en faktorialring (de irreducible elementer er altså neto ±). Proosition (3.5.6). Antag at R er hovedidealområde, der ikke er et legeme. Et ideal x R er maksimalt hvis og kun hvis x er et irreducibelt element. Proosition (3.5.7). Et hovedidealområde er en faktorialring. Bemærkning. (1, s. 130) giver en ikke videre brugbar metode til at udregne en gcd ud fra faktoriseringer i en faktorial ring. Euklidiske ringe Denition. Et integritetsområde kaldes en Euklidisk ring hvis der eksisterer en Euklidisk funktion N : R \ {0} N hvor der for alle x R, d R \ {0} eksisterer q, r R så x = qd + r og enten r = 0 eller N(r) < N(d). Proosition (3.5.9). En Euklidisk ring er et hovedidealområde. Se også beviset for ro 3.5.9. Efter roositionen står den generelle euklidiske algoritme. De Gaussiske heltal er en Euklidisk ring. Primtal og rimelementer i Z[i] Proosition (3.5.11,.14 og.18). Resultater vdr. rimelementer i de Gaussiske heltal. (i) Hvis π Z[i] ofylder N(π) =, hvor er et rimtal, er π et rimelement i Z[i]. (ii) Et rimtal 1 (mod 4) er ikke et rimelement i Z[i]. 13
(iii) Et rimtal 3 (mod 4) er et rimelement i Z[i]. Lemma (3.5.12). Lad være et rimtal så 1 (mod 4). Kongurensen x 2 1 (mod ) kan løses ved x = (2n)! hvor = 4n + 1. Sætning (3.5.15). Et rimtal 1 (mod 4) er en sum af to entydigt bestemte kvadrater. 3.6 Osamling af ring-tyer Som osamling er her et skema over forskellige egenskaber en ring kan have og hvordan de er forbundet. Litteratur 4 Referencer [1] Concrete abstract algebra: from numbers to Gröbner bases, Lauritzen, Niels. c Cambridge University Press 2003. Rerint with corrections 2006. 14