Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl Mangler

Transkript

1 Minilex Mat 2AL.. Henrik Dahl Mangler Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende fejl. Jeg påtager mig intet ansvar overhovedet for noget som helst. Faktisk vil jeg for en sikkerheds skyld fraråde brug af det følgende... Check altid referencen for at være sikker, og lav kun henvisninger til de officielle lærebøger - absolut ikke til dette dokument. Referencerne er for størstedelen til Anders Thorup: Algebra, 2. udgave. Når der er henvisninger hertil er forfatternavn udeladt. Referencer af formen Landin er til Joseph Landin: An Introduction to Algebraic Structures, Dover, 1969, og referencer af formen Scherk er til John Scherk: Algebra - a Computational Introduction, Chapman and Hall/CRC, Hvis du finder fejl - og der er med garanti flere end i bogen (så der er ikke præmier) - eller har andre kommentarer hører jeg meget gerne om det. Send mig en mail, så minilexet kan blive forbedret. På forhånd tak! Og tak til Alexander Sokol for gode kommentarer og omhyggelig nærlæsning.

2 INDHOLD 2 Indhold 1 Definitioner 3 2 Sætninger 17 3 Opskrifter 32 4 Gruppetabel 34 5 Asches words 35

3 1 DEFINITIONER 3 1 Definitioner Alternerende gruppe Associerede elementer Automorfi Bane Undergruppen af lige permutationer i den symmetriske gruppe S n kaldes den alternerende gruppe af grad n, og den betegnes med A n (Grp. 2.23, s.64) a, a R (kommutativt integritetsområde) er associerede hvis der findes en enhed u, så a = ua (Rng.5.2, s.197) En bijektiv homomorfi af G på sig selv kaldes en gruppeautomorfi (Grp.7.17, s.115) Lad σ være en permutation af X (endelig). For alle a X kan vi betragte følgen af billeder a 1 := a, a 2 := σ(a 1 ), dvs. a i+1 = σ(a i ). Delmængden B a = B a (σ) := {a 1,...} kaldes banen bestemt ved a. Da X er endelig findes et entydigt p N så elementerne er forskellige og der for større p sker gentagelse. Tallet p kaldes banens længde (Grp 2.11, s.58) Banerne udgør en klassedeling af X. Til en bane B af længde p hører naturligt en p-cykel, γ := (a 1... a p ). Cyklerne, der svarer til klassedelingen af X er disjunkte og kommuterer. (Grp. 2.11, s.58) Ækvivalensklasserne i klassedelingen bestemt af en permutation ϕ kaldes banerne for ϕ. En bane for ϕ er triviel hviss den består af et enkelt element. Ellers er banen ikke-triviel (Landin, D.13, s.76) Baneantal Billede Antallet af baner af længde p for permutationen σ betegnes ved m p (σ). Der gælder, at m(σ) = m p (σ), X = pm p (σ) (Grp. 2.16, s.60-61) Lad G, G være grupper, og ϕ : G G være en homomorfi. Da er ϕ(g) en undergruppe af G. Den kaldes billedet af G for homomorfien ϕ (Grp.5.3, s.89) Ditto for ringhomomorfier (Rng. 3.3, s.189) Brøklegeme Mængden K af alle brøker a/s, a, s R, s 0 (R integritetsområde) udgør med sædvanlig addition og multiplikation et legeme (brøklegemet). Nulelementet er 0/1, etelementet er 1/1. For en brøk a/s er den modsatte brøk ( a)/s. For en brøk a/s som ikke er nulelementet er a 0 og den inverse brøk er (a/s) 1 = s/a. Afbildningen a a/1 er en injektiv ringhomomorfi R K (Rng. 4.3, 4.4, s.195) Brøklegemet for Z er Q. De holomorfe funktioners brøklegeme er de meromorfe funktioner. Brøklegement for polynomiumsringen L[X] er de rationale funktioner L(X) (Rng.4.5, s.196) Centralisator Centrum Cykel For et givet x G med konjugering som virkning består stabilisatorgruppen af de g G hvor gx = xg. Det er altså undergruppen C(x) := {g G gx = xg}. Denne kaldes centralisatoren for elementet x. Da g kommuterer med alle potenser g i er g C(g). For et givet element g G er fixpunkterne de x G, der kommuterer med g - mængden heraf er altså centralisatoren C(g). (Grp. 7.17, s.116) Fællesmængden af alle centralisatorer kaldes gruppen Gs centrum og den betegnes Cent(G): Cent(G) := {x G g G : gx = xg}. Centeret er en undergruppe af G. Hviss x tilhører centret består konjugeretklassen indeholdende x udelukkende af x. Elementerne i centret er altså konjugeretklasser med netop et element. (Grp. 7.17, s.116) Lad X = {a 1,..., a n }. En permutation γ af X givet ved γ(a 1 ) = a 2,..., γ(a p ) = a 1,

4 1 DEFINITIONER 4 γ(x) = x for x / X kaldes en p cykel, eller en cykel af længde p. Den inverse til en p cykel er igen en p cykel (elementerne i omvendt rækkefølge). (Grp 2.9, s.56) En permutation γ S n er cykel hviss den højst har en ikke-triviel bane (Landin, D.14, s.76) Cykelnotation Cykeltype Cyklisk gruppe Delring Direkte notation Divisor - polynomier Divisor, største fælles For en p-cykel γ bruges altid cykelnotationen γ = (a 1... a p ) (uden komma). Det er ligegyldigt hvilket element der optræder på førstepladsen. (Grp 2.9, s.57). Det er kun de elementer, der flyttes, der indgår i notationen, ikke fixpunkter. Lad σ være en permutation i X (endelig). Følgen m 1 (σ), m 2 (σ),... kaldes cykeltypen af σ. Typen angiver altså, hvor mange 1-punkts, 2-punkts-, etc. -baner, der er i klassedelingen. Ofte angives typen mere kompakt som f.eks (Grp. 2.16, s.60). En (multiplikativ) gruppe G er cyklisk hviss der findes x G så hvert y G er heltalspotens af x. x er da en frembringer for G, og vi skriver G = x. Alternativt formuleret: G er cyklisk med frembringer x G hviss G = {x m m Z} (Landin, def.9, s.72) Lad Λ være en ring. En delring af Λ er er delmængde Λ som er stabil under addition og multiplikation og med disse er en ring med samme et-element som Λ. For at Λ er en delring er det nok, at er stabil under addition og multiplikation og at 1 Λ (Rng. 1.4, s.176) Den direkte notation for den symmetriske gruppe S n er positionsangivning adskilt af kommaer, f.eks. σ = (1, 3, 2, 4) (Grp. 2.4, s.55) Lad a R (kommutativt integritetsområde). For d R siger vi, at d er divisor i a (a er multiplum af d) og skriver d a hvis der findes q R så a = qd. 0-elementet er specielt: alle elementer er divisorer i 0, 0 er kun divisor i 0. (Rng. 5.2, s.197) Et polynomium d siges at være divisor i f (d f) hvis der findes et polynomium q så qd = f. Divisorer i f svarer altså til faktoriseringer af f som produkt af to polynomier. (Pol. 2.2, s.231) Den største fælles divisor r for a 1, a 2,..., a n er det største tal, der går op i hvert af tallene. Vi skriver r = (a 1, a 2,..., a n ). (Tal 3.2, s.14) Et polynomium d siges at være største fælles divisor for to givne polynomier f, g hvis d er fælles divisor (d f, d g) og hvis enhver fælles divisor for f, g også er divisor i d (Pol.2.2, s.232) Divisor, triviel De trivielle divisorer i a Z er ±1 og ±a (Tal 3.2, s.13) I en ring er de trivielle divisorer enhederne og elementerne associerede med a (Rng. 5.2, s.197) De trivielle divisorer i polynomiet f er dels konstanterne u R, dels polynomier af formen uf for u R. De trivielle divisorer svarer til de trivielle faktoriseringer f = (u 1 f)u = u 1 (uf) (Pol. 2.2, s.232) Enhed Et invertibelt element i en ring kaldes en enhed (Rng. 1.3, s.176)

5 1 DEFINITIONER 5 Eulers ϕ-funktion Antallet af primiske restklasser kaldes ϕ(n), som er defineret for alle n N. Den kaldes Eulers ϕ-funktion (Tal 6.11, s. 34) Der gælder, at ϕ(1) = ϕ(2) = 1, ϕ(3) = ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2, ϕ(7) = 6. Hvis p er et primtal er ϕ(p) = p 1 og ϕ(p ν ) = p ν p ν 1 Evalueringsafbildning Faktoropløsning Fixpunkt Evalueringsafbildningen er afbildningen f f(α) (f polynomium). Den er en ringhomomorfi R[X] A (her er f R[X] og R er en delring af A). Kernen er de polynomier i R[X], der har α som rod. Disse udgør et ideal i R[X]. Et vigtigt specialtilfælde er A = R, dvs. hvor der indsættes a R i polynomier fra R[X]. Da er evalueringsafbildningen en surjektiv ringhomomorfi R[X] R, idet b R fås ved at evaluere det konstante polynomium b. (Pol.3.1, s.235) Lad a være element i R (kommutativt integritetsområde). En fremstilling a = d 1 d s, d i R kaldes en opløsning af a i faktorerne d i. Opløsningen er irreducibel hvis faktorerne er irreducible og en primopløsning hvis faktorerne er primelementer (Rng. 5.8, s.200) Antag, at G virker på X. Hvis ligningen g.x = x er opfyldt siges x at være fixpunkt for g og g siges at stabilisere x (Grp.7.12, s.113) For et givet element g G betegnes med X g mængden af de elementer x X, der er fixpunkter for g, dvs. X g := {x X g.x = x} (Grp. 7.12, s.113) x X siges at være fixpunkt for virkningen af G (eller G-invariant), hvis det er fixpunkt for alle g G. Det gælder ækvivalent, at x er fixpunkt for virkningen hviss stabilisatorgruppen G X = G, eller, igen ækvivalent, hviss banen G.x kun består af x (etpunktsbane). Mængden af fixpunkter for virkningen betegnes X G = g G X g = {x X G X = G} = {x X G.x = {x}} (Grp. 7.12, s.113) For den trivielle virkning er ethvert punkt et fixpunkt for virkningen. (Grp.7.13, s.113) Fortegn af permutation Frembragt undergruppe Gauss talring Gruppe For en permutation σ af X (endelig) defineres fortegnet, sign(σ) som tallet sign(σ):=( 1) k, hvor k = X m(σ) = (p 1)m p (σ). Her er m(σ) antallet af baner for σ, og m p (σ) er antallet af baner af længde p. Fortegnet for identiteten er 1. For en p cykel er fortegnet ( 1) p 1. En transposition har fortegn -1 (Grp. 2.18, s.62) Undergruppen af en cyklisk gruppe G frembragt af g G betegnes g og er defineret ved g = {e, g, g 2,..., g n 1 } for endelig orden (eller bare...) (Grp. 3.5 s.71) Ringen Z[i] kaldes Gauss talring (Rng. 6.6, s.210) En gruppe er en mængde G forsynet med en komposition G G G, betegnet med (x, y) x y, der (Grp 1.2, s.39, 1.4, s.41) er associativ: x, y, z G : (x y) z = x (y z) har (entydigt) neutralt element e : e x = x e = x og hvor alle elementer har et (entydigt) inverst element: x G x 1 G : x 1 x = x x 1 = e Vi betegner en gruppe med (G, )

6 1 DEFINITIONER 6 Gruppe, kommutativ Gruppe, orden Gruppe, trivielle Grupper, oversigt - Z/n, restklasse - (Z/n), primiske - U, kompl. fort. - C n, cyklisk - S X, permutationer - Mat m,p, add. matrix - Alternerende En gruppe (G, ) kaldes kommutativ eller Abelsk hvis x, y G : x y = y x (Grp 1.2, s.40) En gruppes orden er antallet af elementer i gruppen og betegnes G (Grp 1.2, s.40) G = {e} kaldes den trivielle gruppe. Den er klart kommutativ, og betegnes ofte C 1 (Grp 1.7, s.42) Her en kort oversigt over grupper: Orden 1: Kun den trivielle gruppe Orden 2: Lige/ulige, dvs. paritet - der findes kun den ene. Den kan betegnes C 2 = Z/2 = S 2 = D 1 (Grp 1.10, s.43) Orden 4: To grupper: Cyklisk C 4 og Kleins Vierer V Restklassegrupperne: Z/n har orden n. Kommutativ, [0] er neutralt element, [ x] inverst til [x] (Grp 1.11, s.43) Primiske restklasser betegnes (Z/n) - det er undergruppen af restklasser mod n, der er invertible elementer. Ordenen er ϕ(n) (Grp 1.12, s.43-44) Komplekse fortegn, dvs. {z C z = 1}(Grp 1.13, s.44) Cykliske gruppe: Mængden af z C : z n = 1. Underguppe af U. Betegnes C n (Grp 1.13, s.44) Permutationer: De bijektive afbildninger af X på sig selv med sammensætning som komposition. Den skrives altid multiplikativt. (grp 1.16, s.46) Når X = {1,..., n} skriver vi S n - som kaldes den symmetriske gruppe. Denne har orden n!. Additive matrixgruppe Matricer af størrelse m p (Grp 1.17, s.46) Undergruppen af lige permutationer i den symmetriske gruppe S n kaldes den alternerende gruppe af grad n, og den betegnes med A n (Grp. 2.23, s.64) - GL n, genr. lineære - SL n, spec. lineære - O n, Ortogonale - SO n, spec. orto. - D n, Dieder - Q 8, Kvaternion Den generelle lineære gruppe: de matricer A Mat n, hvor det(a) 0 - dvs. invertible kvadratiske matricer (Grp 1.18, s.46) Den specielle lineære gruppe: n n-matricer med determinant = 1. (Grp. 1.19, s.47) Den ortogonale gruppe: undergruppen af ortogonale matricer i GL n (R) (Grp 1.20, s.47) Den specielle ortogonale gruppe: Undergruppe af ortogonale gruppe med determinant på ±1. For det A = 1 er der tale om orienteringsbevarende flytninger i rummet, for det A = 1 er der tale om spejlinger. For n = 3 er der tale om rotationer i rummet (Grp. 1.20, s.48) Diedergruppen: gruppen af symmetrier for en regulær n-kant, nemlig drejninger og spejlinger. Diedergruppen D n har orden 2n (Grp.1.21, s.48-50) ( ) 1 0, 0 1 ). Den er under- Kvaterniongruppen: Gruppen bestående af de otte matricer ±1 = ± ( ) ( ) ( 0 1 i 0 0 i ±i = ±, ±j = ±, ±k = ± i i 0 gruppe af GL 2 (C) (Grp 1.22,s.50)

7 1 DEFINITIONER 7 - V, Kleins Vierer Homomorfi Kleins Vierer-gruppe: består af de matricer, der udfører en drejning på π om en koordinatakase i R 3, nemlig I 3, , , Den udgør en undergruppe af O 3 (R). (Grp. 1, Opg.9, s.51) Lad G, G være grupper. En (gruppe-)homomorfi er en afbildning ϕ : G G, hvis der for alle x, y G gælder, at ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) (for additiv gruppe: ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y)). (Grp. 5.1, s.89) Er afbildningen injektiv kaldes den en monomorfi (Landin, D.1, s.121) og hvis bijektiv er det en isomorfi. Hvis ϕ er surjektiv, dvs. opfylder ϕ(g) = G kaldes den en epimorfi (Landin, D.3, s.128) Homomorfi, determinant Homomorfi, fortegn for permutation Homomorfi, inklusionsafbildning Homomorfi, kanonisk Homomorfi, potensregel Homomorfi, triviel Hovedideal Højresideklasse Ideal For matricer gælder det(ab) = det A det B, så det : GL n (R) R er en homomorfi. Kernen er den specielle lineære gruppe SL n (R) (nemlig matricer med determinant=1) (Grp.5.5, s.91) Fortegnet for permutationer er en homomorfi, S n {±1}. Den er surjektiv når n > 1. Kernen er A n, så A n er normal undergruppe af S n (Grp.5.5, s.90) Hvis H G er undergruppe, er inklusionsafbildningen x x for x H en injektiv homomorfi. Kernen er den trivielle undergruppe {e} af H (Grp.5.5, s.90) Lad N G være normal undergruppe. Produktet i kvotientgruppen G/N givet ved g 1 N g 2 N = g 1 g 2 N definerer den kanoniske homomorfi, x xn (G G/N). Den er surjektiv, kernen er N. (Grp.5.5, s.90) Lad g G. Da g i+j = g i g j er i g i en homomorfi Z G. Billedet er den cykliske gruppe g. Kernen er {i Z : g i = e. (Grp.5.5, s.90) Den trivielle homomorfi ϕ : H G er givet ved ϕ(g) = e for alle g G. Kernen er K og billedet er {e }. (Grp.5.5, s.90) Andre homomorfier er injektion og projektion... Givet a i den kommutative ring R kaldes idealet Ra := {ra r R} hovedidealet frembragt af a, og det betegnes også (a). De trivielle hovedidealer i R er {0} og R (Rng. 2.5,s.184) Delmængder af formen Hg := {hg h H} for elementer g G og undergruppe H af G kaldes højresideklasser modulo H. Mængden af højresideklasser betegnes H \ G. Hvis A er en (venstre-)sideklasse modulo H, er delmængden A 1 := {a 1 a A} en højresideklasse. Der gælder (gh) 1 = Hg 1. Ved A A 1 defineres en bijektiv afbildning fra mængden af venstresideklasser på mængden af højresideklasser. Antallet af højre- og venstresideklasser er ens, lig med index G : H (Grp. 4.13, s.84) R kommutativ ring. En delmængde a R kaldes et ideal hvis a er en undergruppe mht. addition i R og der for alle a a, r R gælder, at ra a. Det er nok at kræve, at a er stabil under addition, indeholder 0-elementet 0 og for alle a a og r R er

8 1 DEFINITIONER 8 ra a. (Rng.2.2, s.183) De trivielle idealer er {0} og R. Andre idealer kaldes ægte Idempotent element Index Et element λ i en ring Λ kaldes idempotent, hvis λ 2 = λ, dvs. λ(λ 1) = 0 (Rng. 1.16, s.180) Antallet af sideklasser af en gruppe G med undergruppe H kaldes undergruppens index i G, og det betegnes G : H. Mængden af sideklasser modulo H betegnes G/H, og index er altså elementantallet i G/H. Hvis der er uendelig mange sideklasser skrives G : H = (Grp. 4.1, s.79) Hvis index G : H = r er endeligt er der r sideklasser, g 1 H,..., g r H og G er den disjunkte forening, G = g 1 H g r H (Grp. 4.4, s.80) Injektion Integritetsområde Invarians Invertibelt element Involutorisk element Irreducibelt element Irreducibelt polynomium Givet G i, i = 1,..., r er G i relateret til G 1 G r ved injektionen g i (e 1,..., g i,..., e r ), som er en homomorfi (se også projektionen). Den tillader os at betragte G i som undergruppe af produktet. (Grp.6.1, s.99) I ringen Λ siges nulreglen at gælde, hvis λµ = 0 (λ = 0 µ = 0). Hvis Λ ikke er nulringen og nulreglen gælder kaldes Λ et integritetsområde (Rng. 1.11, s.179) Lad H være en undergruppe af G. En delmængde Z X siges at være H-invariant eller H-stabil, hvis der for alle h H, z Z gælder, at h.z Z. Når Z er H-invariant definerer (h, z) h.z en afbildning H Z Z som er en virkning af H på Z. Den siges at fremkomme ved restriktion af den givne virkning af G på X (Grp.7.8, s.111) Et element λ i en ring Λ kaldes invertibelt, hvis der findes λ Λ så λ λ = λλ = 1. I så fald er λ entydigt bestemt og kaldes det inverse element til λ. Et invertibelt element kaldes også en enhed. De invertible elementer i Λ udgør en gruppe mht. multiplikation. Denne gruppe betegnes Λ (Rng. 1.3, s.176) Et element λ i en ring Λ kaldes involutorisk, hvis λ 2 = 1 Λ, dvs. (λ 1)(λ + 1) = 0 (Rng. 1.16, s.180) Et element q R (Kommutativt integritetsområde) kaldes irreducibelt, hvis q ikke er nul eller en enhed og q kun har trivielle divisorer. Ellers er q reducibelt (Rng. 5.2, s.197) Et polynomium f R[X] kaldes irreducibelt hvis flg. betingelser er opfyldt (Pol.2.2, s.232): 1. f er forskelligt fra nulpolynomiet 2. f er ikke en invertivel konstant 3. f har kun trivielle divisorer Isomorfi Isomorfe grupper Kanonisk afbildning En bijektiv (gruppe-)homomorfi kaldes en (gruppe-)isomorfi (Grp. 5.1, s.89) Gruppen G er isomorf med gruppen G hvis der findes en isomorfi ϕ : G G (Grp.5.10, s.93) Den kanoniske afbildning G G/H er afbildningen til et element g G knytter

9 1 DEFINITIONER 9 den ækvivalensklasse, der indeholder g, dvs. g gh (Grp. 4.4, s.80) Karakteristik Kerne Λ ring. Hvis et-elementet mht. addition i Λ har endelig orden p siges Λ at have karakteristik p. Hvis 1 Λ har uendelig orden siges Λ at have karakteristik 0 (Rng. 1.10, s.178) (karakteristik 1 findes kun for 0-ringen) Lad G, G være grupper og ϕ : G G en homomorfi. For hver undergruppe H af G er ϕ 1 (H ) en undergruppe af G. Specielt gælder det for ϕ 1 (e ). Denne kaldes kernen for homomorfien ϕ (og fortæller noget om, hvor injektiv ϕ er) (Grp.5.3, s.89) For en ringhomomorfi er kernen ϕ 1 (0) - den er et ideal i R. En ringhomomorfi er injektiv hviss ϕ 1 (0) = (0) (Rng. 3.3, s.189) Kongruens modulo x, y Z siges at være kongruente modulo n (x y mod p), hvis n (y x). Kongruens er en ækvivalensrelation og udgør en klassedeling. (Tal 6.1,s.29) Lad H være en undergruppe af G. Ækvivalente elementer siges at være kongruente modulo H, dvs. x x( mod H) x 1 x H (Grp. 4.4, s.80) Konjugering Gruppen G virker på sig selv ved konjugering idet vi for g, x G sætter g x := gxg 1. Ved denne virkning svarer til hvert element g G den bijektive afbildning x gxg 1. Den kaldes konjugering med g og er en gruppeautomorfi. (Grp.7.17, s.115) Ækvivalensrelationen svarende til denne virkning er, at x x hviss der findes g G så x = gxg 1. Ækvivalente elementer siges at være konjugerede, og banerne (ækvivalensklasserne) kaldes konjugeretklasser i gruppen G (Grp. 7.17, s.116) Antallet af elementer i G, der er konjugerede til et givet x G er lig med index G : C(x) (fra baneformlen). Når G er endelig er elementantallet i en konjugeretklasse divisor i G (Grp. 7.17, s.116) Kvadratisk tal - norm - Diskriminant Kvadratisk talring Et tal ξ C kaldes et (helt) kvadratisk tal hvis det er rod i et normeret andengradspolynomium med heltalskoefficienter, X 2 + bx + c Z[X], eller ækvivalent hermed hvis der findes en fremstilling ξ 2 = c bξ af ξ 2 som heltalslinearkombination af 1 og ξ. Et kvadratisk tal kan være reelt eller imaginært. Det er et helt tal, når diskriminanten D er et kvadrattal, ellers et irrationalt tal. Den anden rod i polynomiet er det konjugerede kvadratiske tal(rng.6.2, s.207) Normen N(ξ) er givet ved N(ξ) = ξξ (Rng. 6.2, s.208) Diskriminanten D(ξ) er givet ved D(ξ) = (ξ ξ ) 2 (Rng. 6.2, s.208) Delmængden af komplekse tal Z[ξ] := {x + yξ x, y Z} er en delring af C og for α Z[ξ] er fremstillingen α = x + yξ med x, y Z entydig. Alle tal α i delringen Z[ξ] er kvadratiske tal og vi har (x+yξ) = x+yξ, N(x+yξ) = x 2 bxy + cy 2, D(x + yξ) = y 2 D. Konjugering, dvs. afbildningen α α er en involutorisk automorfi af ringen Z[ξ] En delring R C, der er af formen R = Z[ξ] med passende irrationalt kvadratisk tal ξ kaldes en kvadratisk talring. Den kaldes reel eller imaginær eftersom tallet ξ

10 1 DEFINITIONER 10 er reelt eller imaginært (Rng. 6.4, 6.5, s ) - Enheder For den kvadratiske talring R = Z[ξ] er normen en multiplikativ homomorfi N:R Z. For α R gælder at N(α) = 0 hviss α = 0. α er en enhed i R hviss N(α) = ±1 (Rng. 6.7, s.211) Hvis D< 0 er enhederne i R kun ±1 med følgende to undtagelser: D=-3, hvor de er {1, ζ, ζ 2,..., ζ 5 } og D=-4, hvor de er {1, i, i 2, i 3 } (Rng.6.9, s.212) Kvotientgruppe Sideklasserne modulo en given undergruppe H deler gruppen G i lige store delmængder. Hvis H er en normal undergruppe, er der en naturlig komposition i mængden af sideklasser, og med denne komposition bliver mængden G/H af sideklasser selv en gruppe, som kaldes kvotientgruppen (Grp. 4.1, s.79) Når N er en normal undergruppe i G er kvotienten G/N, altså mængden af sideklasser modulo N, en gruppe med komposition *, der opfylder for g 1, g 2 G : (g 1 N)(g 2 N) = g 1 g 2 N. Den kaldes kvotientgruppen af G modulo N. Når G er multiplikativt skrevet, skrives også G/N multiplikativt. Produktet af sideklasser er altså givet ved foranstående udtryk. Hvis G er en kommutativ, additivt skrevet gruppe, skrives kompositionen også additivt. Sum af sideklasser er her fastlagt ved (g 1 +N)+(g 2 +N) = (g 1 +g 2 )+N (Grp. 4.15, s.85) Kvotientmængde Kvotientring Legeme Maksimalideal Nilpotent element Orden, element p-gruppe Permutation Permutation, disjunkt For en given ækvivalensrelation i X kaldes mængden af ækvivalensklasser for kvotientmængden af X, og den betegnes X/. Elementer af en kvotientmængde A kaldes repræsentanter for A (Tal 6.5, s.31) Lad a være et ideal i den kommutative ring R. a er en undergruppe, og vi kan be- tragte kvotientgruppen R/a. Mængden R/a af sideklasser modulo a, [r] = r + a med addition og multiplikation givet ved [r] + [s] = [r + s] og [r][s] = [rs] en kommutativ ring med nulelement [0] og etelement [1]. Den kaldes kvotientringen (Rng.2.7, s.185) Et kommutativt skævlegeme kaldes et legeme (en divisionsring) (Rng. 1.11, s.179) Et ideal m i kommutativ ring R kaldes et maksimalideal, hvis m er maksimalt blandt de ægte idealer, dvs. for alle idealer a R: m a R a = m eller ækvivalent m a R a = R (Rng. 2.9, s.185) Et element λ i en ring Λ kaldes nilpotent, hvis λ N = 0 for passende N (Rng. 1.16, s.180) g G (cyklisk gruppe) har endelig orden n N hvis n er mindste tal så g n = e. Ellers har g orden uendelig. Ordenen af g betegnes g (Grp. 3.4, s.71) En p-gruppe er en gruppe, hvis orden er en potens p r af et primtal p (Grp. 7.21, s.118) En bijektiv afbildning σ : X X af en mængde X på sig selv kaldes en transformation eller permutation af X. Med sammensætning som komposition udgør disse afbildninger en gruppe, kaldet den fulde transformations- eller permutationsgruppe, S X eller Perm(X). Der benyttes for kompositionen og den identiske afbildning kaldes id X. Når X = {1,..., n} taler vi om den symmetriske gruppe S n af grad n. Denne har orden n!. I almindelighed kan S X identificeres med S n. (Grp 2.1, s.53) To permutationer µ, σ kaldes disjunkte, hvis mængden af elementer, der flyttes af µ

11 1 DEFINITIONER 11 er disjunkt med mængden, der flyttes af σ. Ækvivalent hermed er de to disjunkte, hvis hvert x X er fixpunkt for mindst en af de to permutationer. Disjunkte permutationer kommuterer. (Grp. 2.8, s.56) Permutation, Et element x X vil af en permutation enten blive flyttet eller være et fixpunkt, fixpunkt så σ(x) = x. (Grp. 2.8, s.56). Et fixpunkt har banelængde 1. Permutation, lige/ulige PID = Hovedidealområde Polynomium En permutation af X (endelig) kaldes lige, hvis den kan skrives som et produkt af et lige antal transpositioner, og ulige, hvis den kan skrives som produkt af et ulige antal transpositioner. Lige svarer til fortegn 1, ulige til fortegn -1 (Grp. 2.21, 2.22, s.63-64) Integritetsområdet R kaldes et hovedidealområde hvis alle idealer i R er hovedidealer. (Z er PID, polynomiumsringen L[X] er PID) (Rng.5.5, s.199) Ved et polynomium med koefficienter i R forstås en følge f = (f 0, f 1,...) af elementer f i R, således at kun endelig mange f i er forskelligt fra nulelementet i R. f i kaldes den i te koefficient. Polynomiet angives oftest på formen f = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n. Her er X i en pladsholder, og udtrykket er synonymt med (a 0, a 1, a 2,..., a n ). Leddet a i X i kaldes polynomiets led af grad i. a 0 kaldes konstantleddet. Vi udelader sædvanligvis nul-koefficientled og skriver ikke 1-koefficienter. f kaldes konstant hvis det har formen (a 0, 0, 0,...). Nulpolynomiet er det konstante polynomium (0, 0,...). Det største tal i, hvor a i 0 kaldes graden af polynomiet, og den tilhørende koefficient kaldes den ledende koefficient. Det er en konvention at tillægge nulpolynomiet graden. Graden af et polynomium skrives deg(f). Et polynomium kaldes normeret, når den ledende koefficient er et-elementet i R. Mængden af polynomier med koefficienter i R betegnes R[X] (Pol.1.1, s.225) - sum og produkt - heltalskoefficienter For to polynomier f = (f 0, f 1,...), g = (g 0, g 1,...) i R[X] defineres sum s = f + g og produkt p = fg som følgerne s = (s 0, s 1,...) og p = (p 0, p 1,...) bestemt ved s i = f i + g i og p i = j+k=i f jg k (Pol.1.5, s.227). Der gælder, at deg(f + g) max{deg(f),deg(g)}, deg(f g) deg(f)+deg(g) (her med lighed hvis et af polynomierne er normeret - eller hvis R er et integritetsområde) (Pol. 1.7, s.228) Givet f(x) Z[X]. En konstant d Z er divisor i f(x) når der findes en faktorisering af formen f(x) = dg(x) hvor g(x) Z[X]. Det indtræffer hviss d er en største fælles divisor for koefficienterne i f(x). Hvis den største fælles divisor er 1 kaldes f primitivt (Pol.4.2, s.243) Polynomiumsringen Med standardkompositioner er R[X] en kommutativ ring, og de konstante polynomier er en delring, der kan identificeres med den givne ring R. R[X] kaldes polynomiumsringen i den ene variabel X (Pol.1.5, s.227) Polynomiumsfunktioner For et fast polynomium f kan vi evaluere for forskellige α. Afbildninger R R af formen α f(α) kaldes polynomiumsfunktioner. De ligger i funktionsringen F(R, R) af alle afbildninger R R. Afbildningen R[X] F(R, R) der knytter polynomiumsfunktionen til et polynomium f R[X] er en ringhomomorfi.

12 1 DEFINITIONER 12 Billedringen bestående af alle polynomiumsfunktioner betegnes P ol(r, R). Et polynomium f ligger i kernen for homomorfien netop når den tilhørende polynomiumsfunktion er nulfunktionen, dvs. netop når hvert α R er rod i f. Hvis R er et integritetsområde med uendelig mange elementer er kun 0-polynomiet i kernen, så homomorfien er injektiv. I så fald kan polynomiumsringen R[X] identificeres med ringen P ol(r, R) af polynomiumsfunktioner R R (Pol.3.9, s.238) Polynomiumskvotient Polynomiumskvotienten er A = R[X]/I af polynomiumsringen R[X] modulo et givet ideal I. A er altid en kommutativ ring. Lad I være hovedidealet (d) frembragt af et givet normeret polynomium d = X n + d n 1 X n d 1 X + d 0. Idealet I = (d) består da af alle polynomier af formen qd hvor q R[X]. Elementerne i kvotientringen A = R[X]/(d) er ækvivalensklasser af polynomier: to polynomier f, g er ækvivalente hvis differencen f g har formen qd med q R[X] (Pol.5.1, s.249) - adjunktion af rod Potens R er en delring af A = R[X]/(d). d har i A det specielle element ξ som rod. For et givet polynomium d R[X] giver konstruktionen altså en ring A, der har R som delring og hvori d har en rod. Man siger, at ringen A fremkommer af R ved formelt at adjungere en rod i polynomiet d (Pol.5.5, s.250) g G (cyklisk gruppe). Potensen g n med eksponent n Z defineres ved g n = g g (n > 0 gange). For n = 0 sættes g 0 = e, og endelig for n < 0: g n = (g 1 ) n. Der gælder, at (Grp 3.2, s.69) 1. g 1 = g 2. g p+n = g p g n 3. g pn = (g p ) n 4. (gh) n = g n h n når gh = hg Primelement Primideal Primiske tal Et element p R (kommutativt integritetsområde) kaldes kaldes et primelement hvis p ikke er nul eller en enhed og p opfylder betingelsen for alle a, b R: p ab p a eller p b. (Rng. 5.2, s.197) Et ideal p i kommutativ ring R kaldes et primideal, hvis p er et ægte ideal og der for alle a, b R gælder ab p a p eller b p (Rng. 2.9, s.185) Tallene a 1, a 2,..., a n er primiske hvis deres største fælles divisor er 1 (Tal 3, s.14) Tallene a 1, a 2,..., a n er primiske hvis det for alle i j gælder, at (a i, a j ) = 1 (Tal 3, s.14) Primring Primtal Produktgruppe Λ ring. Delmængden {n1 Λ n Z} er en delring og kaldes primringen (Rng. 1.10, s.178) Et primtal er et helt tal p > 1, der kun har trivielle divisorer (Tal 3.2, s.13) For to givne grupper G 1, G 2 betragtes produktmængden G := G 1 G 2 bestående af par (g 1, g 2 ). I produktmængden defineres koordinatvis komposition ved (g 1, g 2 )(h 1, h 2 ) := (g 1 h 1, g 2 h 2 ). Produktmængden med denne komposition er en gruppe og kaldes produktgruppe eller det direkte produkt af G 1 og G 2. Det neutrale element i G er

13 1 DEFINITIONER 13 e = (e 1, e 2 ) og det inverse element til (g 1, g 2 ) er parret (g 1 1, g 1 2 ). (Grp. 3.19, s.76) Udvidet (Grp.6.1, s.99): G 1 G r består af alle r-sæt (g 1,..., g r ). Men koordinatvis komposition (g 1,..., g r )(h 1,..., h r ) := (g 1 h 1,..., g r h r ) er produktmængden en gruppe. Ordenen opfylder G 1 G r = G 1 G r Lad H 1,..., H r være undergrupper af G. Definer en afbildning H 1 H r G ved (h 1,..., h r ) h 1 h r. Hvis denne afbildning er en gruppeisomorfi siges G at være det direkte produkt af undergrupperne H i, og vi skriver somme tider H 1 H r = G (Grp.6.1, s.99). Bemærk, at afbildningen er en homomorfi hviss h i h j = h j h i. Dette er altså en nødvendig betingelse for, at G kan være det direkte produkt af undergrupperne H i. Dette er altid opfyldt for en kommutativ gruppe (Grp.6.2, s.100) Projektion Pytagoræiske talsæt Relation Relation, egenskaber Givet G i, i = 1,..., r er G i relateret til G 1 G r ved projektionen (g 1,..., g r ) g i, som er en homomorfi (se også injektionen) (Grp.6.1, s.99) Heltalsløsninger til x 2 + y 2 = z 2 kaldes pytagoræiske talsæt. En løsning er primitiv, hvis x, y er primiske, og essentielt ens hvis man kan komme fra den ene til den anden ved at skifte fortegn på nogle af tallene x, y, z eller ved at ombytte x og y. (Rng.6.22, s.222) En relation i mængden X er en delmængde R X X. At (x, y) R skrives xry. (Tal 6.2, s.29) Relationen R kan være (Tal 6.2, s.29) Reflexiv: xrx Irreflexiv: x Rx (NB ikke negation af reflexiv) Symmetrisk: xry yrx Asymmetrisk: xry yrx x = y Transitiv: xry yrz xrz Total: xry yrx x = y Ækvivalensrelation: Reflexiv, symmetrisk og transitiv Ordensrelation: Asymmetrisk og transitiv Rest Restklasse Restklasse, invertibel Restklasse, primisk Lad d N og r, q, a Z. Et tal af formen r = a qd siges at være rest af a ved division med d. Hvis 0 r < d kaldes r den principale rest. Hvis d/2 < r d/2 kaldes r den numerisk mindste rest (Tal 3.5, s.14) Mængden Z/nZ af restklasser består af de n restklasser [0], [1],..., [n 1] (Tal 6.6, s.32) En restklasse A mod n kaldes invertibel, hvis der findes en restklasse A, så A A = 1 - den inverse restklasse er i så fald entydig og betegnes A 1. Enhver primisk restklasse er invertibel og omvendt. (Tal 6.11, s.34) En restklasse modulo n kaldes en primisk restklasse hvis den har formen [a] hvor a er primisk med n. (Tal 6.11, s.34). Mængden af primiske restklasser som delmængde

14 1 DEFINITIONER 14 af Z/n betegnes (Z/n) Ring En ring (Λ, +, ) er en mængde Λ med to kompositioner Λ Λ Λ, nemlig en addition (x, y) x + y og en multiplikation (x, y) xy, som opfylder at med additionen er Λ en kommutativ gruppe, at multiplikationen er associativ og har neutralt element, og at multiplikationen er distributiv mht. additionen. Formelt haves for alle λ, µ, ν Λ: λ + µ = µ + λ (λ + µ) + ν = λ + (µ + ν) λ + 0 = λ λ + ( λ) = 0 (λµ)ν = λ(µν) 1λ = λ1 = λ λ(µ + ν) = λµ + λν, (λ + µ)ν = λν + µν Hvis multiplikationen er kommutativ siges ringen at være kommutativ (Rng. 1.2, s.175) Ringe, eksempler Ringhomomorfi Nulringen = {0} (Rng.1.5, s.176) - har karakteristik 1, ej integritetsområde, ej legeme (Rng. 1.12, s.179) Talringe: Z Q R C. ZZ = {±1}, Q = Q \ {0}, R = R \ {0}, C = C \ {0} (Rng. 1.6, s.176). Har 1 som et-element, karakteristik 0, primring Z, er integritetsområder, Q, R, C er legemer (Rng. 1.12, s.179) Restklasseringe: Z/n. (Z/n) er de invertible restklasser (Rng. 1.7, s.177) - karakteristik n (Rng. 1.12, s.179) Funktionsringe: Elementvis addition og multiplikation (Rng. 1.7, s.177). Karakteristik 0 (Rng. 1.12, s.179). Karakteristik 0. Når dimension > 1 er det ikke et integritetsområde (Rng. 1.12, s.179) Matrixringe: Kvadratiske matricer (Rng. 1.9, s.177) Lad R, R være kommutative ringe. En afbildning ϕ : R R kaldes en ringhomomorfi hvis der for alle x, y R gælder ϕ(x+y) = ϕ(x)+ϕ(y) og ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) og hvis ϕ(1 R ) = 1 R. En bijektiv ringhomomorfi kaldes en ringisomorfi (Rng. 3.1,s.189). Ringhomomorfier afbilder idealer i idealer (Rng. 3.3, s.189) Hvis S R er inklusionsafbildningen x x en injektiv homomorfi, S R. Kernen er det trivielle ideal (0) i S (Rng. 3.4, s.189) Lad a være ideal i R. Den kanoniske afbildning R R/a er afbildningen r [r]. Den er en homomorfi af kommutative grupper og er en ringhomomorfi, som kaldes den kanoniske homomorfi. Den er surjektiv, og kernen er det givne ideal a (Rng. 3.4, s.190) For hver ring R er afbildningen k k1 R en ringhomomorfi Z R. Billedet er primringen i R, kernen er et hovedideal (n) i Z med n 0. Hvis n = 0 er homomorfien injektiv. n er karakteristikken af R (Rng. 3.4, s.190) Rod Givet en kommutativ ring A som indeholder R som delring, og givet α A. Til et givet polynomium f R[X], f = a 0 + a 1 X + + a n X n kan vi knytte elementet

15 1 DEFINITIONER 15 f(α) A ved ligningen f(α) := a 0 + a 1 α + + a n α n. Hvis f(α) = 0 siges α at være rod i eller nulpunkt for f. (Pol.3.1, s.235) S Sideklasse Delmængden S består af de invertible elementer i S. Den udgør en gruppe (Grp 1.5, s.41) Delmængder af en fast (multiplikativt skrevet) gruppe G med undergruppe H af formen gh := {gh h H} kaldes sideklasser af G modulo H. En delmængde A af G er altså en sideklasse, hvis der findes et element g G, så A = gh. To forskellige elementer g, g kan godt bestemme samme sideklasse. Mængden af sideklasser modulo H betegnes G/H. (Grp. 4.1, s.79) Sideklassen gh er en ækvivalensklasse, der indeholder g, og den kan betegnes [g]. Mængden af sideklasser G/H er således kvotienten af G med hensyn til ækvivalensrelationen. (Grp. 4.4, s.80) Simpel gruppe Skævlegeme Stabil delmængde Stabilisatorgruppe = isotropigruppe Sylow-p-undergruppe Symmetriske gruppe Tabelnotation En gruppe G kaldes simpel, hvis G ikke er den trivielle gruppe og hvis de to trivielle undergrupper G, {e} er de eneste normale undergrupper (Grp.8.13, s.130) Hvis alle elementer 0 Λ (ring) er invertible og Λ ikke er nulringen, kaldes Λ et skævlegeme. (Rng. 1.11, s.179) Givet en mængde S med komposition *. En delmængde H S kaldes stabil under *, hvis det for alle elementer x, y H gælder, at x y H. (Grp. 1.5, s.41) Antag at G virker på X. Lad G x := {g G g.x = x} for givet x X være mængden af de elementer g, der stabiliserer x. G x er en undergruppe af G og kaldes stabilisatorgruppen eller isotropigruppen for x (Grp.7.12, s.113) Lad G være en endelig gruppe, p primdivisor i G, så G = n 0 p ν, hvor p ikke går op i n 0. En undergruppe S af G af orden p ν kaldes en Sylow-p-undergruppe. Potensen p ν er den største potens af p, der går op i G. Sylow-p-undergrupperne er altså undergrupper, der er p-grupper af denne største mulige orden. Når S er en Sylow-p-undergruppe er også enhver konjugeret undergruppe gsg 1 en Sylow-pundergruppe (Grp.8.2, s.125) S n er den symmetriske gruppe af permutationer på n elementer med sammensætning som komposition (Landin, Def.10,11, s.74-75) Tabelnotationen for den symmetriske gruppe S n er σ = ( ) x1 x 2... x n y 1 y 2... y n (Grp. 2.2, s.53) Transformationsgruppe Mængden P (A) af alle permutationer på den ikke nødvendigvis endelige mængde A udstyret med sammensætning som komposition er en gruppe. Den kaldes den fulde transformationsgruppe (Landin, D.17,18, s.83) Translation Transposition Gruppen G virker på sig selv ved translation, idet vi for g, x G sætter g.x := gx (Grp.7.6, s.111) En cykel af længde 2 kaldes en transposition. En transposition er sin egen inverse. En p cykel er et produkt af p transpositioner (a 1... a p ) = (a 1 a p ) (a 1 a 2 ). (Grp 2.9, s.57)

16 1 DEFINITIONER 16 UFD = Faktoriel ring Undergruppe Integritetsområdet R kaldes en faktoriel ring hvis betingelserne i sætning 5.11, s.201 er opfyldt. (Vis en af dem, normalt (i):irreducible opløsninger eksisterer for alle elementer og er entydige) (Rng. 5.12, s.202) Givet en gruppe (G, ). En delmængde H af G kaldes en undergruppe, hvis (Grp 1.6, s.42) H er stabil Det neutrale element e ligger i H For alle x H : x 1 H Undergruppe, normal En undergruppe H af G siges at være en normal undergruppe, hvis den opfylder en af følgende tre ækvivalenser (Grp. 4.13, s.84) (og vi skriver da H G) 1. g G : gn = Ng 2. g G : gng 1 = N 3. g G : gng 1 N Sideklasserne af G bestemt ved H skrives G/N = {xn x G} = {Nx x G} Hvis G er en kommutativ gruppe er alle undergrupper af G normale Virkning Lad G være gruppe med neutralt element 1. G virker på en mængde X, hvis der er givet en afbildning G X X, betegnet (g, x) g.x så for x X, g, h G: 1.x = x g.(h.x) = (gh).x Hvis G virker på X siges X at være en G-mængde. For givet g G kan vi knytte afbildningen X X bestemt ved x g.x. Den betegnes ρ g eller g X, dvs. ρ g (x) = g X (x) := g.x. Afbildningen ρ 1 = 1 X =id X. For alle g G er ρ g bijektiv med invers (ρ g ) 1 = ρ g 1 (Grp. 7.2, s.109) Vi kan opfatte g ρ g som en afbildning G Perm(X). Den er en gruppehomomorfi: ρ : G Perm(X) Homomorfien ρ kaldes virkningens repræsentation af G. Når virkningen af G på X er givet repræsenteres hvert g G som en permutation ρ g af X. Hvis der omvendt er givet en homomorfi ρ defineres ved g.x := ρ g (x) en virkning af G på X (Grp. 7.2, s.109) Virkning, trivielle Virkning på potensmængde Virkning på produktmængde Virkning på X Y Den trivielle virkning af G på X er bestemt ved g.x := x for alle g G, x X. Givet virkning af G på X virker G på potensmængden P(X) idet vi for A X definerer g.a := {g.a a A} (Grp.7.8, s.111) Givet virkning af G på X virker G på produktmængden X X ved definitionen g.(x 1, x 2 ) := (g.x 1, g.x 2 ) (Grp.7.8, s.111) G virker på X Y af alle afbildninger ζ : Y X ved definitionen (g.ζ)(y) := g.(ζ(y)). Betragtes i stedet Y X af afbildninger η : X Y fås en virkning ved definitionen

17 2 SÆTNINGER 17 (g.η)(x) := η(g 1.x) (Grp. 7.8, s.111) Ækvivalens under virkning Ækvivalensklasser Ækvivalensrelation, venstre og højrestabil ϕ-ækvivalens Antag, at G virker på X. To elementer x, x X kaldes G-ækvivalente (x x) hvis der findes et element g G så x = g.x. Der er tale om en ækvivalensrelation. Ækvivalensklasserne kaldes baner. Givet x X er banen gennem x delmængden G.x givet ved G.x := {g.x g G}. Elementantallet i en bane kaldes banens længde. Mængden af baner kaldes banerummet og betegnes X/G (det er altså kvotienten af X mht. G-ækvivalens) (Grp.7.12, s ) Givet en ækvivalensrelation i X. Delmængden [a] := {x X x a} udgør en ækvivalensklasse, og mængden af ækvivalensklasser udgør en klassedeling af X. To elementer a, b ligger i samme ækvivalensklasse, hviss a b, dvs. [a] = [b]. Omvendt angiver en klassedeling af X en ækvivalensrelation, hvis ækvivalensklasser netop er de givne klasse. (Tal 6.5, s.30) Lad G være en (multiplikativt skrevet) gruppe og en ækvivalensrelation herpå. er venstrestabil hviss a b x G : xa xb. er højrestabil hviss a b x G : ax bx. Hvis er både venstre- og højrestabil, siges at være stabil (Landin, D.29, s.104) Lad ϕ S n være en permutation og lad x, y X (en mængde med n elementer). x er ϕ-ækvivalent med y hviss der findes et heltal h, så ϕ h (x) = y. Vi skriver da x ϕ y. Der er tale om en ækvivalensrelation (Landin, D.12, s.75) 2 Sætninger Abelsk gruppe Lad G være en endelig abelsk gruppe og lad m være den maksimale orden for elementerne i G. Da har hvert element i G en orden, der er divisor i m (Grp. 6.8, s.103) Lad G være en endelig abelsk gruppe og lad g 0 være et element af maksimal elementorden m. Da findes en undergruppe K af G så G er det direkte produkt af undergrupperne g 0 og K, dvs. g 0 K G (Grp. 6.9, s.103) Enhver gruppe af orden p 2, hvor p er et primtal, er abelsk. En sådan gruppe G er isomorf med enten C p 2 eller med C p C p (Grp. 7.25, s.119) Abelske grupper, struktursætningen Lad G være en endelig abelsk gruppe af orden n. Da gælder (Grp.6.10, s.104) G er isomorf med et produkt af cykliske grupper, G = C m1 C mr hvor m i > 1 for alle i Ordenerne m 1,..., m r kan vælges så m i+1 er divisor i m i. Dermed er m 1,..., m r entydigt bestemt. Ordenerne kan også vælges så hvert m j er en primtalspotens. Så er m-erne med multiplicitet også entydigt bestemt Abelsk gruppe, antal Struktursætningen fortæller, hvor mange abelske der findes af endelig orden n. Lad n = p ν1 1 pνs s. Da er enhver abelsk gruppe G isomorf med et produkt, G = C m1 C mr, hvor hvert m er en primtalspotens. De mulige fremstillinger svarer dermed til det antal måder hvorpå hvert p ν i i kan skrives som potenser af p i, dvs. de måder ν i kan skrives som sum af positive eksponenter. (Grp.6.11, s.106)

18 2 SÆTNINGER 18 Der gælder desuden, at G(p i ) = p ν i i for alle i. (Grp.6.11, s.106) Afbildning, af delmængder Givet f : X Y, A, A X, B, B Y. Der gælder (Tal 2, Opg.14, s.11) f 1 (B B ) = f 1 (B) f 1 (B ) f 1 (B B ) = f 1 (B) f 1 (B ) f 1 (Y \ B) = X \ f 1 (B) f(a A ) = f(a) f(a ) f(a A ) f(a) f(a ) A f 1 (f(a)) f(f 1 (B)) B med lighed for B f(x) Afbildning, sammensat Givet f : X Y, g : Y Z. Der gælder (Tal 2, Opg.12, s.11) Hvis f og g er injektive, er g f injektiv Hvis g f er injektiv, er f injektiv Hvis f og g er surjektive, er g f surjektiv Hvis g f er surjektiv, er g surjektiv Aritmetikkens fundamentalsætning Baneantal Baneformlen Binomialkoefficient Burnsides baneformel Cayleys sætning Ethvert helt a > 1 har en primopløsning a = p 1 p s. Primopløsningen er entydig (op til en permutation af faktorerne) (Tal 3.16, s.18). Vi kan også skrive a = r i=1 pα i i med p i forskellige. (Tal 3.17, s.18-19) Lad τ være en transposition og σ være være en vilkårlig permutation af den endelige mængde X. Da gælder for baneantallene ligningen m(τ σ) = m(σ) ± 1 (Grp 2.19, s.62) Givet virkning af G på X. Betragt vilkårligt x X. Den ved g g.x bestemte afbildning G X er da konstant på hver sideklasse modulo stabilisatorgruppen G x, og den inducerer en bijektiv afbildning G/G x G.x af mængden af venstresideklasser modulo stabilisatorgruppen G x på banen G.x. For længden af banen gælder formlen G.x = G : G x, dvs. banens længde er lig med index af stabilisatorgruppen G x. Når G er endelig er hver banes længde divisor i G (Grp.7.15, s ) ( ) n0 p Lad n 0 N og p primtal. Da gælder kongruensen ν p ν n 0 ( mod p) (Grp.8.6, s.126) Lad der være givet en virkning af en endelig gruppe G på mængden X. Antallet af baner, dvs. tallet X/G er da bestemt ved X/G = 1 G g G Xg, hvor X g = {x X g.x = x} (dvs. fixpunkterne) (Grp. 7.26, s.119) Lad G være en gruppe og lad Perm(G) være gruppen af alle permutationer af G. Lad G virke på sig selv ved translation. Da er den tilhørende repræsentation en injektiv gruppehomomorfi, ρ : G Perm(G) (Grp.7.7, s.111)

19 2 SÆTNINGER 19 Enhver gruppe er isomorf med en undergruppe af en fuld transformationsgruppe (Landin, S.4, s.126) Lad G være en endelig gruppe af orden n. Så er G isomorf med en permutationsgruppe af grad n, mere præcist med en undergruppe af gruppen af permutationer af G selv (Scherk, S.8.3) Cykelsætningen Cyklisk gruppe Cyklisk gruppe, orden Lad σ være en permutation af X, lad B 1,..., B m være banerne for σ og γ 1,..., γ m være de tilhørende cykler. Da kan σ skrives som sammensætning af disjunkte cykler, σ = γ 1 γ m. (Grp. 2.12, s.59) Denne fremstilling af σ kaldes cykelfremstillingen En uendelig cyklisk gruppe er isomorf med Z. En endelig cyklisk gruppe er isomorf med Z/nZ (Scherk, S.6.1, s.65) Lad G være en cyklisk gruppe og g G. Da er delmængden g := {..., g 2, g 1, e, g, g 2,...} bestående af alle potenser af g en undergruppe af G. Hvis g har uendelig orden så gælder for alle i, j Z at g i = g j hviss i = j, og da er g uendelig. Hvis g har endelig orden så er g i = g j hviss i j( mod n). Da er de n potenser forskellige og g = {e, g,..., g n 1 } (Grp 3.5, s.71) Antag, at g har endelig orden n. Da gælder for alle k Z, at g k = e hviss n k (Grp. 3.6, s.72) Hvis G er endelig er g også endelig, og g G (Grp. 3.7, s.72) Lad g være et element i G (cyklisk) af endelig orden. Da har potensen g t orden n/d, hvor d = (t, n) er største fælles divisor for t og n. Yderligere gælder, at g t = g d. (Grp. 3.15, s.74) Lad g og h være elementer i G af endelige ordener, n og m. Antag, at gh = hg. Da har gh endelig orden, og ordenen er divisor i nm. Hvis g, h er primiske, har gh orden nm. Ellers har gh orden mindre end nm (Grp. 3.17, s.75) Betragt et par g = (g 1, g 2 ) i produktmængden G := G 1 G 2. g i = (g i 1, g i 2). Vi har, at g i = e (g i 1, g i 2) = (e 1, e 2 ) g i 1 = e 1, g i 2 = e 2. Antag, at g 1, g 2 har endelige ordener k 1, k 2. Det følger da, at g i = e hviss k 1 i og k 2 i. Ordenen af parret g = (g 1, g 2 ) er derfor det mindste fælles multiplum af k 1 og k 2 (Grp. 3.19, s.76) En cyklisk gruppe G med orden n har et antal frembringere svarende til ϕ(n) (Grp.3, opg.10, s.77) Der findes præcis en gruppe af orden qp, hvor q < p er to primtal og p 1( mod q), nemlig den cykliske gruppe C qp (Grp.8.11, s.130) Der findes præcis to grupper af orden 2p hvor p er et ulige primtal, nemlig den cykliske gruppe C 2p og diedergruppen D p (Grp.8.12, s.130) Lad G være cyklisk med frembringer x. Da gælder (Landin, S.11, s.72) 1. Hvis x har endelig orden n, så gælder G = x = n. 2. Hvis G har endelig orden n, så gælder G = x = n 3. G er endelig hviss der findes forskellige heltal i, j så x i = x j, og G er uendelig hviss x har uendelig orden.

20 2 SÆTNINGER 20 Lad G = x og lad y G med y = x m. Hvis G = n er y en frembringer for G hviss n og m er primiske. Hvis G = er y en frembringer for G hviss y = x eller y = x 1 (Landin, S.12, s.73) Alle cykliske grupper er abelske. Cyklisk gruppe, primtalsorden Cyklisk gruppe, produktgruppe En gruppe G hvis orden er et primtal p er cyklisk. For hvert element g e i G gælder, at G = g (Grp. 4.8, s.81) Lad G 1 og G 2 være cykliske grupper af ordener n 1 og n 2 (endelige). Da er produktgruppen G 1 G 2 cyklisk hviss n 1 og n 2 er primiske (Grp. 3.20, s.76) Lad G være uendelig cyklisk gruppe og H {e} en vilkårlig gruppe. Da er G H ikke cyklisk (Grp. 3, opg. 12, s.77) Cyklisk gruppe, undergrupper Lad G cyklisk, G = g. Da gælder (Grp. 3.16, s.74) 1. Enhver undergruppe H af G er ligeledes cyklisk 2. Hvis G er uendelig og H {e}, så er H også uendelig 3. Hvis G har endelig orden n, så er H s orden divisor i n, og for enhver divisor i n findes præcis een undergruppe af orden d, nemlig den cykliske undergruppe g n/d Direkte produkt Lad G være en gruppe, og H, K undergrupper af G. Da er følgende ækvivalente (Grp.6.4, s.101): G er det direkte produkt af H og K (dvs. H K G bestemt ved (h, k) hk er en isomorfi) H og K er normale, og der gælder H K = {e} og HK = G Direkte produkt og Lad n = n 1 n r være et produkt af parvis primiske tal. Lad G være kommutativ kommutativ gruppe af orden n. Da er hver delmængde H i := {g G g n i = e} en undergruppe af G og G er det direkte produkt af disse: H 1 H r G (Grp.6.5, s.101) Standardanvendelsen er på primopløsningen n = p ν1 1 pν r r. Når G er kommutativ og af orden n er p i netop primdivisorerne i G. Undergruppen H i består af de g hvor g pν i i = e. For et sådant element er ordenen en potens p µ i, µ ν i. Så H i består af de g G, hvis orden er en potens af p i, og den betegnes også G(p i ). Det gælder, at G er det direkte produkt af G(p i )-erne. (Grp.6.6, s.102) Lad G være kommutativ og ϕ : G G være surjektiv homomorfi. Lad endvidere G 0 være en undergruppe af G. Antag, at restriktionen G 0 G er bijektiv. Da er G det direkte produkt af G 0 og kernen for ϕ, dvs. G 0 ϕ 1 (e) G (Grp. 6.7, s.102) Divisionssætningen Givet d N. Da findes for alle a Z entydigt bestemte q, r Z så a = qd + r med 0 r < d (Tal 3.4, s.14) Lad a, b, n Z, n 0, og lad d = (a, n). Da gælder n ab n d b. Specielt gælder, at hvis a og n er primiske, dvs. (a, n) = 1, så n ab n b. (Tal 3.11, s.16)

21 2 SÆTNINGER 21 Lad n = n 1 n r være et produkt af parvis primiske tal N. Så gælder for alle a Z, at n a n i a for i = 1,..., r (dvs. hver faktor går op i a) (Tal 3.12, s.17) For et primtal p gælder p ab p a eller p b (Tal 3.13, s.17) Division med rest Elementer og hovedidealer Lad der være givet et normeret polynomium d R[X]. Til hvert polynomium f R[X] findes da entydige polynomier q, r R[X] så f = qd + r og deg(r) < deg(d) (Pol. 2.1, s.231) Egenskaber ved elementer modsvarer egenskaber ved de tilhørende hovedidealer (Rng.5.4, s.198): u enhed (u) = R a associeret med a (a ) = (a) d divisor i a a (d) (a) (d) d triviel divisor i a (d) = (a) eller (d) = R q irreducibelt q 0 og (q) er maksimalt blandt ægte hovedidealer p primelement p 0 og (p) primideal Elementorden Eulers sætning Fortegn, hovedsætning Gauss sætning Gauss talring Gauss talring Et vilkårligt element g i en endelig gruppe G har en orden som er divisor i G. Der gælder altid, at g G = e (Grp. 4.7, s.81) For hvert primtal p 1( mod 4) har ligningen x 2 + y 2 = p heltalsløsninger (x, y) (Rng. 6.20, s.220) For permutationer µ, σ af X (endelig) gælder ligningen for fortegnene: sign(µσ)=sign(τ)sign(σ) (Grp. 2.20, s.63) Hvis R er UFD (faktoriel ring), så er også polynomiumsringen R[X] UFD (Pol.4.11, s.247) Gauss talring, Z[i], er PID og dermed UFD (s.217) I Gauss talring falder de sædvanlige primtal i 3 typer (Rng. 6.20, s.220) : 1. Primtallene q 3( mod 4) 2. Primtallene p 1( mod 4) 3. (Speciel type): primtallet 2 = (1 + i)(1 i) = i(1 + i) 2 - Løsninger (normer) Gruppe Lad k være et naturligt tal med sædvanlig primopløsning, k = 2 l q n 1 1 qn r r p m 1 1 p m s s hvor q i 3( mod 4) og p j 1( mod 4). Ligningen x 2 + y 2 = k har da løsninger (x, y) Z Z hviss eksponenterne n 1,..., n r er lige. I så fald er antallet af løsninger givet ved 4(m 1 + 1) (m s + 1) (Rng. 6.21, s. 221) Lad G være en gruppe. Da gælder (Scherk, S.5.1, s.55) 1. Det neutrale element er entydigt 2. Det inverse element til et givet element er entydigt

22 2 SÆTNINGER g G : (g 1 ) 1 = g 4. g, h G : (gh) 1 = h 1 g 1 5. Forkortningsregler: For alle g, h, k G gælder gh = gk h = k, hg = kg h = k Grupper, resultater Der findes kun een gruppe af orden 3, nemlig den cykliske e a b e e a b a a b e b b e a Der findes kun een gruppe af orden 2 (nemlig ±1, el. lige-ulige) (Grp 1.10, s.43) C d er undergruppe af C n hviss d n (Grp 1, Opg.6, s.51) G gruppe, H G består af elementer h hvor gh = hg for alle g G. Da er H en undergruppe af G, som kaldes G s centrum(grp 1, Opg.12, s.51) Hvis det for alle elementer g G (gruppe) gælder, at g 2 = e, er G kommutativ (Grp 1, Opg.13, s.51) Der er præcis to grupper af orden 4, nemlig den cykliske og Kleins Vierer-gruppe (Grp 1, Opg.20, s.52) Permutationsgruppen S n har orden n! Homomorfi For en gruppehomomorfi, ϕ : G G gælder ϕ(e) = e, ϕ(x 1 ) = ϕ(x) 1. (Grp.5.2, s.89) Lad f : G H være en gruppehomomorfi. Da gælder (Scherk, S.5.2, s.57-58) 1. f(1 G ) = 1 H 2. f(g 1 ) = f(g) 1 for alle g G 3. Hvis f er bijektiv er f 1 : H G også en homomorfi Kernen, ϕ 1 (e ) er en normal undergruppe af G og ϕ er injektiv hviss ϕ 1 (e ) = {e} (altså, hvis kernen kun består af det neutrale element). (Grp. f5.4, s.90) Homomorfisætningen Lad κ : G G være en given surjektiv gruppehomomorfi med kernen N. Lad desuden ϕ : G G være en vilkårlig gruppehomomorfi og antag, at ϕ(n) = {e }. Da findes en og kun en homomorfi ϕ : G G, sådan at der for alle g G gælder, at ϕ(κ(g)) = ϕ(g). (Grp 5.6, s.91). Man bruger udtrykket, at ϕ forsvinder på N om forudsætningen ϕ(n) = {e }. Bemærk, at standard- anvendelsen er på den kanoniske homomorfi κ : G G/N, givet ved g gn, hvor N er en normal undergruppe af G. Hvis forudsætningerne er opfyldt findes præcis en homomorfi ϕ : G/N G, så ϕ([g]) = ϕ(g), hvor [g] = gn. ϕ siges da at være induceret af ϕ (Grp.5.7, s.92) Lad κ : R R være surjektiv ringhomomorfi med kernen a. Lad ϕ : R R være en vilkårlig ringhomomorfi. Antag, at ϕ forsvinder på a, dvs. ϕ(a) = {0}. Da findes præcis en ringhomomorfi ϕ : R R så der for alle r R gælder at ϕ(κ(r)) = ϕ(r)

23 2 SÆTNINGER 23 (Rng. 3.5, s.190) Standardanvendelsen er på den kanoniske homomorfi κ : R R/a hvor a er et givet ideal i R. Så findes præcis ϕ : R/a R så ϕ([r]) = ϕ(r) hvor [r] = r + a. Denne siges at være induceret af ϕ (Rng. 3.6, s.190) Hovedidealsætningen Idealer Lad L være et legeme. Da er hvert ideal i polynomiumsringen L[X] et hovedideal. Med andre ord findes for hvert ideal I i L[X] et polynomium d L[X] så I = (d), dvs. I = {qd q L[X]} (Pol. 2.6, s.234) Idealerne i Z er delmængderne af formen Z/n, n 0 (Rng.2.3, s.183) I et legeme L findes kun trivielle idealer (så alle idealer er hovedidealer). I funktionsringe fremkommer idealer ofte ved at betragte funktioner, der er lig med nul på visse delmængder. (Rng. 2.4, s.183) Integritetsområde Et skævlegeme er et integritetsområde. Et legeme er også et integritetsområde. Karakteristikken for et integritetsområde er enten 0 eller et primtal I et integritetsområde gælder forkortningsreglen: λµ = λν µ = ν for λ 0 (Rng. 1.12, s.179) For et integritetsområde R er flg. 3 betingelser ækvivalente (Rng. 5.11, s.201): 1. (a) Irreducible opløsninger eksisterer for alle elementer og (b) irreducible opløsninger er entydige 2. (a) Irreducible opløsninger eksisterer for alle elementer og (c) hvert irreducibelt element i R er et primelement 3. Primopløsninger eksisterer for alle elementer Antag for integritetsområdet R, at der er givet en funktion ν : R Z som er nedad begrænset og opfylder, at for hvert a 0 og hver ikke-triviel divisor a i a er ν(a ) < ν(a). Da eksisterer irreducible opløsninger for alle elementer i R (Rng. 5.14, s.202) - polynomier Antag, at R er et integritetsområde. Da gælder for alle polynomier f, g i R[X], at deg(f g)=deg(f)+deg(g). Polynomiumsringen R[X] er også et integritetsområde og de invertible polynomier er netop de konstanter, der er invertible i R (Pol.1.8, s.228) Z[X] er integritetsområde med invertible polynomier ±1 Q[X] er integritetsområde med invertible polynomier som konstanter 0 Polynomier med koefficienter i et legeme L, L[X], er et integritetsområde (invertible = konstanter 0) Specielt er R[X],C[X] og F p [X] (p primtal) integritetsområder Restklasseringen Z/4 er ikke et integritetsområde, da 2 2 = 0 (Pol.1.9, s ) Isomorfisætningen Lad ϕ : G G være en gruppehomomorfi. Den inducerede homomorfi [g] ϕ(g) er da en isomorfi: G/ϕ 1 (e ) ϕ(g) af kvotienten af G modulo kernen, på billedgruppen ϕ(g) (Grp.5.8, s.92) Der findes en entydig isomorfi: σ : G/ ker(η) H så σ ν ker(η) = η. Her er ν ker(η) afbildningen fra G i G/ker(η) (Landin, S.8, s.132).

24 2 SÆTNINGER 24 Lidt generaliseret: Lad η : G H være en homomorfi. Så findes en entydig isomorfi σ, så i σ ν ker(η) = η, hvor i er inklusionsafbildningen i : (σ ν ker(η) )[G] H (Landin S.9, s.133) Lad ϕ : R R være en ringhomomorfi. Den inducerede homomorfi [r] ϕ(r) er da en ringisomorfi R/ϕ 1 (0) ϕ(r) af kvotientringen af R modulo kernen på billedringen ϕ(r) (Rng. 3.7, s.190) Isomorfisætning, Noethers første Lad H og N være undergrupper af G, N antaget normal. Da er (Grp.5.13, s.94) delmængden HN := {hn h H, n N} en undergruppe af G N en normal undergruppe af HN H N en normal undergruppe af H og der findes en naturlig isomorfi H/(H N) HN/N Dette medfører ligningen H : H N = HN : N, som er ækvivalent med HN = HN : N N Lad S være en delring af R og lad a være et ideal i R. Da gælder (Rng. 3.9, s.191) Summen S + a bestående af alle elementer s + a for s S, a a er en delring af R a er et ideal i S + a S a er et ideal i S Der findes en naturlig ringisomorfi S/(S a) (S + a)/a Isomorfisætning, Noethers anden Lad ϕ : G G være homomorfi med kerne K. Da gælder (Grp.5.15, s.94-95): H ϕ(h) definerer en bijektiv afbildning af de undergrupper H af G der omfatter K på mængden af alle undergrupper af ϕ(g). Den inverse afbildning er bestemt ved L ϕ 1 (L) for undergrupper L af ϕ(g) Under denne bijektive afbildning gælder for en undergruppe N af G, der indeholder kernen K N, at N er normal i G hviss ϕ(n) er normal i ϕ(g) Når N er normal i G og K N findes en naturlig isomorfi G/N ϕ(g)/ϕ(n) Denne anvendes oftest på den kanoniske homomorfi G G/K, hvor K er normal undergruppe af G. Billedet består af sideklasserne hk, h H og kan identificeres med kvotientgruppen H/K. Da er samtlige undergrupper i G/K af formen H/K. De normale undergrupper af G/K er undergrupperne i N/K hvor K N er normal i G. (Grp. 5.17, s.96) Lad ϕ : R R være en ringhomomorfi og lad a 0 være kernen for ϕ. Da gælder (Rng. 3.10, s.191) Ved a ϕ(a) defineres en bijektiv afbildning fra mængden af de idealer a i R der omfatter a 0 på mængden af alle idealer i ϕ(r) Den inverse afbildning er bestemt ved a ϕ 1 (a ) for idealer a i ϕ(r)

25 2 SÆTNINGER 25 For hvert ideal a i R med a 0 a findes en kanonisk ringisomorfi R/a ϕ(r)/ϕ(a) Denne anvendes oftest på den kanoniske surjektive homomorfi R R/a 0 hvor a 0 er et givet ideal i R. For et ideal a i R med a 0 a består billedet af sideklasserne a +a 0 for a a. Billedet kan identificeres med den additive kvotientgruppe a/a 0 som er et ideal i R/a 0. Isomorfien er her R/a R/a 0 a/a 0 (Rng.3.11, s.191) Isomorfier i g i inducerer en isomorfi Z/nZ g (Grp.5.9, s.92). Dermed er en cyklisk gruppe G af orden n isomorf med Z/nZ. exp : C C er homomorfi med med 2πiZ og inducerer en isomorfi C/2πiZ C og t e it inducerer en isomorfi: R/2πZ U. (Grp.5.9, s.92-93). Determinant er homomorfi med kerne SL n (R). Den inducerer en isomorfi GL n (R)/SL n (R) R (Grp.5.9, s.93) Kerne Klasseformlen Kernen af en homomorfi f er en undergruppe af G og billedet er en undergruppe af H. En homomorfi er injektiv hviss dens kerne er triviel (Scherk, S.6.3, s.70) For enhver gruppe G gælder G = Cent(G) + j G : C(x j), hvor der i summationen er valgt eet element fra hver konjugeretklasse uden for centret. (Grp.7.22, s.118) G = O x G x, hvor O x er banerne gennem x, og G x er stabilisatoren for x (Scherk, F.9.1, s.106) (Bruges normalt til at beregne G x ) X = r i=1 O x = r i=1 G / G x (Scherk, F.9.2, s.107) G = Z(G) + r j=1 C α j = Z(G) + r j=1 G / Z α j (Scherk, S.9.1, s.107) Kongruens, Euler Konjugerede elemter, antal Konjugerede permutationer Lad n N og lad a Z være primisk med n. Da gælder kongruensen a ϕ(n) 1( mod n), hvor ϕ er Eulers ϕ-funktion (Grp. 4.9, s.81) Antallet af elementer i G, der er konjugerede til et givet x G er lig med index G : C(x) (fra baneformlen). Når G er endelig er elementantallet i en konjugeretklasse divisor i G (Grp. 7.17, s.116) To permutationer af en endelig mængde X er konjugerede hviss de har samme cykeltype (Grp.7.18, s.116) Antallet heraf er i S n er givet som følger: Lad cykeltypen være 1 m1 2 m2 3 m3. Da n! er antallet 1 m 1 2 m 2 3 m 3 m 1!m 2!m 3! (Fra opgave grp 7.11, s argument: så og så mange på første- anden- etc. pladsen, og tag hensyn til ombytning) Kvadratisk talring Lad α og δ 0 være to tal i den kvadratiske talring R = Z[ξ]. Hvis δ i R er divisor i α, så gælder i Z, at N(δ) er divisor i N(α). Det gælder også, at når δ er divisor i α, så er δ en triviel divisor hviss N(δ) i Z er en triviel divisor i N(α) dvs. hviss enten N(δ) = ± N(α) eller N(δ) = ±1 (Rng.6.12, s. 214) I en kvadratisk talring R = Z[ξ] eksisterer irreducible oplsøninger for alle elementer (Rng. 6.13, s.215) Antag, at π = x + yξ hvor x, y er primiske hele tal. Hvis ± N(π) er et primtal så er π et irreducibelt element i R. Hvis π er et primelement i R, så er ± N(π) et primtal (Rng. 6.14, s.215)

26 2 SÆTNINGER 26 Lad p være et primtal. Da er p irreducibelt i R hviss den diofantiske ligning x 2 bxy + cy 2 = ±p ikke har løsninger (x, y) Z Z. Yderligere er p et primtal i R hviss kongruensen z 2 bz+c 0( mod p) ikke har løsninger z Z (Rng. 6.14, s.215) - Faktorielle - Forgrening Antag, at den kvadratiske talring R = Z[ξ] er faktoriel. Da gælder for hvert primtal p, at den diofantiske ligning x 2 bxy + cy 2 = ±p har løsninger hviss kongruensen z 2 bz + c 0( mod p) har løsninger (Rng. 6.17, s.217) Antag, at den kvadratiske talring R = Z[ξ] er faktoriel. For hvert sædvanligt primtal p vil primopløsningen af p i R være en af flg. 3 typer (Rng. 6.19, s.219) 1. Primtallet p er et primelement i R 2. Primtallet p har i R en primopløsning p = ±ππ hvor det konjugerede element π ikke er associeret med π 3. (Speciel type) Primtallet p har i R en primopløsning p = ±ππ hvor det konjugerede element π er associeret med π Desuden vil hvert primelement π i R være associeret med et af primelementerne nævnt under de tre typer. Kvotientgruppe Lagranges indexsætning Lad N være en normal undergruppe i G. Der findes da netop en komposition * i mængden G/N af sideklasser modulo N, således at der for alle elementer g 1, g 2 G gælder at (g 1 N) (g 2 N) = g 1 g 2 N. Med denne komposition er G/N en gruppe, hvis neutrale element er sideklassen N = en (Grp. 4.14, s.84) Sideklasserne modulo en given undergruppe H udgør en klassedeling af G. Der gælder (Grp. 4.2, s.79) 1. To elementer x, x G ligger i samme sideklasse hviss x 1 x H. 2. Hver sideklasse har samme elementantal som H 3. Antallet af sideklasser er bestemt ved formlen G = G : H H Det følger, at for en undergruppe H af en endelig gruppe G gælder, at undergruppens orden H og index G : H er divisorer i G (Grp. 4.3, s.80) Legeme - og normering af polynomium Maksimalidealer Λ ring med p elementer, p primtal. Da er Λ et legeme og isomorft med Z/p (Rng. 1.14, s.180) Vi kan normere et givet polynomium d 0 i L[X] hvor L er et legeme. I et legeme gælder sætningen om division med rest blot d 0 (Pol.2.4, s.232) Maksimalidealerne er hovedidealerne (p) hvor p er et primtal (Rng.2.11, s.186) Et ideal m i R er et maksimalideal hviss kvotientringen R/m er et legeme (Rng.2.12,s.187) Et maksimalideal er et primideal (Rng. 2.13, s.187) Monomorfi Lad G være en gruppe med neutralt element e, lad H være en mængde med binær komposition og lad σ : G H være en monomorfi. Med restriktionen til σ(g) er σ(g) en gruppe med neutralt element σ(e) og med inverse elementer σ(x 1 ) = (σ(x)) 1 (Landin S.1, s.121)

27 2 SÆTNINGER 27 Normal undergruppe p-grupper Lad N < G. N er en normal undergruppe af G, N G hviss x, y, x, y G : xn = x N yn = y N xyn = x y N (Landin, L.1., s.113) Enhver ikke-triviel p-gruppe har et ikke-trivielt centrum (Grp. 7.23, s.118) I enhver gruppe G af orden p n, hvor p er et primtal, findes en kæde af normale undergrupper: {1} = G 0 G 1 G n = G, hvor G i har orden p i (Grp. 7.24, s.118) Permutation og cykler Lad X endelig mængde. Da gælder (Grp. 2.24, s.64-65) 1. Enhver lige permutation σ af X kan fremstilles som produkt af 3-cykler. 2. Givet a, b X (a b) kan der i fremstillingen vælges 3-cykler af formen (abx) for x X \ {a, b}. 3. Er X = {x 1,..., x n } en nummerering af X-elementerne, kan der i fremstillingen vælges 3-cykler af formen (x i x i+1 x i+2 ), i = 1,..., n 2. Permutationer, hovedsætning Lad X være en endelig mængde. Da gælder (Grp 2.14, s.59) 1. Alle permutationer σ af X kan fremstilles som produkt af transpositioner 2. For givet a X kan der vælges transpositioner af formen (ax) for x X \{a}. 3. Er X = {x 1,..., x n } en nummerering af elementerne, kan der i fremstillingen anvendes transpositioner af formen (x j x j+1 ) for j = 1,..., n 1 (transposition af naboer) Permutation, lige/ulige PID En permutation µ af X (endelig) er lige hviss den har fortegnet 1 og ulige hviss den har fortegn -1. De lige permutationer udgør en undergruppe - den alternerende gruppe, A n - i gruppen af alle permutationer. Hvis X har mindst to elementer er det præcis halvdelen af permutationerne, der er lige. (Grp. 2.22, s.64) Antag for integritetsområdet R at der er givet en funktion ν : R Z som er nedad begrænset og opfylder, at for hvert d 0 og hvert a findes q så ν(a qd) < ν(d). Da er R et PID og kaldes en Euklidisk ring(rng.5.6, s.199) Antag at R er et PID. Da gælder (Rng. 5.7, s.199): - og irreducibilitet - og maksimalideal - og legeme Et element p R irreducibelt hviss det er et primelement. Hovedidealet (p) frembragt af et sådant element er et maksimalideal Kvotientringen R/(p) er et legeme PID er UFD Polyas formel Polynomier Et PID er et UFD (Rng. 5.15, s.203) Antag at gruppe G er endelig og virker på den endelige mængde X. Lad F være en virlkårlig endelig mængde (X er pladser, F er farver), og betragt virkningen af G på F : F X af afbildninger η : X F. Da gælder F/G = 1 G g G F m(g X ), hvor m(g X ) er antal baner for den til g svarende permutation g X = ρ g af X (Grp.7.28, s se bemærkningen og eksemplet i 7.29 og 7.30) Hvis p primtal er divisor i f(x)g(x) (f, g Z[X]) så er p i Z[X] divisor i en af

28 2 SÆTNINGER 28 faktorerne (Pol.4.3, s.244) - Gauss lemma Lad h(x) være primitivt polynomium i Z[X]. Da gælder for ethvert polynomium ϕ(x) Q[X] med rationale koefficienter, at hvis produktet ϕ(x)h(x) har hele koefficienter, så har ϕ(x) hele koefficienter. (Pol.4.5, s.244) Lad h(x) være polynomium med hele koefficienter. Antag, at der er givet en faktorisering h(x) = ϕ(x)ψ(x) med ϕ(x), ψ(x) Q[X]. Da findes rationalt tal d/s 0 så at i ligningen h(x) = ( s d ϕ(x))( d s ψ(x)) har begge faktorer hele koefficienter (Pol.4.7, s.245) Et konstant polynomium i Z[X] er irreducibelt hviss konstanten er ±p, p primtal. Et polynomium h(x) Z[X] af positiv grad er irreducibelt i Z[X] hviss h(x) er et primitivt polynomium og irreducibelt i Q[X] (Pol.4.8, s.245) - Eisenstein Lad h(x) = c n X n + c n 1 X n c 0 være et primitivt polynomium i Z[X]. Antag, at der findes et primtal p så p går op i c n 1,..., c 0 og at p 2 ikke går op i c 0. Da er h(x) irreducibelt i Z[X] og i Q[X] (Pol. 4.9, s.246) f(x) er irreducibelt hviss f(x + 1) er irreducibelt (Pol. 4.10, s.246) Polynomiumskvotient - og legeme - og endelige legemer Betragt kvotientringen A = R[X]/(d) med delringen R og d = X n + d n 1 X n 1 + +d 1 X +d 0. Lad ξ = X A betegne ækvivalensklassen af X modulo hovedidealet (d). Da har hver ækvivalensklasse α A en fremstilling α = r 0 +r 1 ξ+ +r n 1 ξ n 1 med entydigt bestemte elementer r 0,..., r n 1 i delringen R. Yderligere gælder i kvotientringen A ligningen ξ n = d 0 d 1 ξ d n 1 ξ n 1 (Pol.5.3, s.249) Lad f være et irreducibelt polynomium i L[X]. Da er hovedidealet (f) et maksimalideal i L[X] og følgelig er kvotientringen A = L[X]/(f) et legeme (Pol. 5.8, s.252) Lad p være primtal og betragt legemet F p (restklasseringen Z/p). Lad d F p [X] være normeret polynomium af grad n 1. Adjunktion af rod i d giver kvotientringen A = F p [X]/(d) hvor hvert element har entydig fremstilling. Der er p muligheder for hvert r i så der er p n elementer i kvotientringen A. Hvis d er irreducibelt er A et legeme. For alle n 1 findes irreducible polynomier af grad n i F p [X] så for enhver primtalspotens p n findes et endeligt legeme med p n elementer. Antallet af elementer i et endeligt legeme er altid en primtalspotens, og to endelige legemer med samme antal elementer er altid isomorfe (Pol. 5.9, s.252) Primelement Primidealer Et primelement er irreducibelt (Rng. 5.3, s.198) Primidealerne i Z er hovedidealerne (p) hvor p = 0 eller p er et primtal (Rng.2.11, s.186) Et ideal p i R er et primideal hviss kvotientringen R/p er et integritetsområde (Rng.2.12,s.187) Et maksimalideal er et primideal (Rng. 2.13, s.187) Primiske tal a, b Z er primiske hviss der findes x, y Z, så 1 = xa + by (Tal 3.9, s.16)

29 2 SÆTNINGER 29 Hvis a er primisk med b og primisk med c, så er a primisk med bc. (Tal 3.10, s.16) Hvis ab er et kvadrattal og a, b er primiske, er a, b begge kvadrattal (Tal 3, opg.12, s.21) Primopløsning, entydighed Primtal Primopløsninger er entydige i flg. forstand: Er p1,..., p s og q 1,..., q t primelementer i R og er produktet p 1 p s associeret med q 1 q t, så er s = t og efter en passende permutation af q j erne er q i associeret med p i for alle i (Rng.5.9, s.200) Hvis 2 p 1 er et primtal, er p et primtal (Tal 2, Opg.9, s.11) ( ) p Lad p være primtal. Da er alle binomialkoefficienterne, 1 i p 1 delelige i med p (Tal 3, Opg.10, s.21) p primtal. p k p k (Fermats lille sætning) (Tal 3, Opg.10, s.21, Grp. 4.10, s.82) Der er uendelig mange primtal af formen 4d 1 (Tal 3, Opg.15, s.21) Lad p være ulige primtal. Da gælder (p 1)! 1 mod p (Wilsons sætning) (Tal 6, Opg.10, s.37) x 2 1 mod p med p primtal har løsning hviss p 1 mod 4 (Tal 6, Opg.10, s.37) Pytagoræiske talsæt For et naturligt tal k > 1 med primoplønsningen k = p m 1 1 p m s s hvor m j 1 gælder, at den diofantiske ligning x 2 + y 2 = k 2 har primitive løsninger hviss alle primfaktorerne opfylder p j 1( mod 4). Er dette opfyldt er der præcis 2 s 1 essentielt forskellige primitive løsninger (x, y) (Rng. 6.22, s.222) Restklassesætning, Lad n = n 1 n r være produkt af parvis primiske naturlige tal. Da gælder for hvert kinesisk sæt (a 1,..., a r ) af hele tal, at x a 1 mod n 1,..., x a r mod n r har løsninger x Z og løsningerne udgør een restklasse mod n. Dvs. der findes en veldefineret afbildning Z/n Z/n 1 Z/n r bestemt ved at [x] n for x Z afbildes i ([x] n1,..., [x] nr ), og denne afbildning er bijektiv. (Tal 6.14, s.35) Restklasse, primisk Alle rester i en primisk restklasse er primiske med n. De er af formen [r] hvor 0 r < n og (r, n) = 1 (Tal 6.11, s.34) Idet A, B er restklasser mod n, defineres X AX + B. Hviss A er en primisk restklasse, er denne afbildning bijektiv (Tal 6. Opg.6, s.36) Restklasse, regneregler For to restklasser A, B mod n defineres sum og produkt ved: Vælg a A og b B, og sæt A + B = [a + b] og A B = [ab]. (Tal 6.8, s.32). Der gælder (Tal 6.9, s.33) A + B = B + A (kommutation) A + (B + C) = (A + B) + C (association) A + 0 = 0 + A = A (neutralt element) A + ( A) = ( A) + A = 0 (inverst element) AB = BA (kommutation) A(BC) = (AB)C (association)

30 2 SÆTNINGER 30 A1 = 1A = A (neutralt element) A(B + C) = AB + AC (distribution) Hvis A = [a] og a er primisk med n, så findes restklasse A så AA = A A = 1 (inverst element) Rod Polynomiet f R[X] har a R som rod hviss det kan skrives på formen f = q (X a) hvor q R[X] (Pol.3.4, s.236) Hvert polynomium f 0 af grad n i R[X] har en fremstilling f = f (X a 1 ) (X a k ) hvor 0 k n og a i R, og f R[X] er et polynomium uden rødder i R. Hvis R er et integritetsområde er fremstillingen entydig (bortset fra permutation af førstegradsfaktorerne) og a i erne er samtlige rødder i f fra R. Specielt er antallet af rødder fra R i f endeligt og højst lig med graden af f (Pol.3.5, s.236) Et bestemt element a R kan være multipel rod (dvs. forekomme flere gange blandt a i erne). Hvis f kan skrives på formen f = q (X a) ν siges a at være ν-dobbelt rod eller at have multiplicitet ν (Pol. 3.6, s.237) - rational rod Sideklasser Lad f(x) = a 0 + a 1 X + + a n X n være polynomium med hele koefficienter a i med a n 0. Antag at f har rational rod skrevet som uforkortelig brøk r/s. Da er r divisor i a 0 og s divisor i a n (Pol. 4.6, s.245) Lad H < G og K v og K h være hhv. venstre og højre sideklasssemængde i G givet ved H = {x x G, x e}. Da gælder (Landin, S.31, s ): 1. For alle A K v findes et x G så A = xh. For alle A K h findes x G så A = Hx. 2. For alle y G gælder yh K v og Hy K h 3. xh = yh hviss x 1 y H, Hx = Hy hviss yx 1 H Endvidere (Landin S.32, s ) 1. Der findes en en-til-en korrespondance mellem K v og K h 2. For alle x, y G finde en en til en korrespondance mellem xh og yh og mellem Hx og Hy 3. For alle x, y G findes en en-til-en korrespondance mellem xh og Hy 4. Hvis H er endelig har alle venstre- og højre-sideklasser for H samme antal elementer 5. Hvis antallet af elementer i K v (K h ) er endeligt, så er antallet af elementer i K h (K v ) også endeligt, og K v = K h 6. Hvis G er endelig og hvis j er index for H i G, så er G = j H 7. Hvis G er endelig og H < G, så går H op i G (Lagrange) 8. Hvis G er endelig og x G så gælder at x går op i G

31 2 SÆTNINGER 31 Simple grupper De eneste simple grupper af ulige orden er de cykliske grupper C p, hvor p er et ulige primtal (Feit-Thompson) (Grp.8.13, s.130) De simple endelige kommutative grupper er grupperne C p (Grp.8.14, s.130) hvor p er et primtal Den symmetriske gruppe S n for n 3 er ikke simpel (Grp.8.15, s.131) Diedergruppen D n for n 2 er ikke simpel (Grp. 8.15, s.131) En p gruppe er kun simpel, hvis den har orden p (Grp.8.15, s.131) En gruppe af orden n 0 p ν hvor p er primtal og 1 < n 0 < p er ikke simpel (Grp.8.16, s.131) Den alternerende gruppe A n er simpel for n 5 (Grp.8.17, s.131) Største fælles divisor Lad a, b Z med (a, b) (0, 0) og lad d = (a, b) (største fælles divisor). Da er de fælles divisorer for a, b netop divisorerne i d. Der gælder, at der findes x, y Z så d = ax + yb. (Tal 3.7, s.15) Lad a have primopløsningen a = r i=1 pα i i og b have primopløsningen b = r i=1 pβ i i. Da er (a, b) = r i=1 pmin{α i,β i } i (Tal 3.17, s.19) Lad a, b N og d = (a, b) og lad m være mindste fælles multiplum. Da er dm = ab (Tal 3, Opg.6, s.20) Lad a, n Z, (a, n) (0, 0). Det mindste positive tal i Za+Zn := {xa+yn x, y Z} er største fælles divisor of a, n (Tal 3, Opg.7, s.20) Sylows sætninger Lad p være primdivisor i ordenen G. Da gælder: (Grp. 8.7, s.127) 1. Der eksisterer Sylow-p-undergrupper af G 2. Sylow-p-undergrupperne af G er indbyrdes konjugerede og enhver p-undergruppe af G er indeholdt i en Sylow-p-undergruppe 3. Antallet af Sylow-p-undergrupper er kongruent med 1 modulo p og divisor i G Følgende to betingelser er ækvivalente (Grp.8.8, s.128): 1. Der findes præcis en Sylow-p-undergruppe i G 2. Der findes i G en normal Sylow-p-undergruppe Lad G = n med n = p ν1 1 pν r r. Antag for alle i, at G har en normal Sylow-p i - undergruppe S i. Da er G lig med produktet af sine Sylow-undergrupper: S 1 S r = G (Grp.8.10, s.129) Symmetriske gruppe Lad S n være permutationsgruppen på n-mængden A og S n være gruppen af permutationer på n-mængden B. Da er S n og S n isomorfe (Landin, S.2, s.124) (og som korollar er A n og A n isomorfe - og det gælder endda den fulde transformationsgruppe)

32 3 OPSKRIFTER 32 Antag, at ν = (i 1,..., i r ) S n er en r-cykel. Så er ανα 1 en r-cykel, (α(i 1 ),..., α(i r )) (Scherk, L.8.1, s.93) En konjugeretklasse i S n består af alle permutationer af en given type (Scherk, S.8.1, s.93) Tælleformlen Lad der være givet en virkning af G på X. Da gælder X = X G + j G : G x j, hvor X G er antal fixpunkter for virkningen, og hvor der i summationen er valgt et enkelt x j fra hver bane, der ikke er en etpunktsbane (Grp. 7.20, s ) Leddene på højresiden er divisorer i G og leddene i summen er større end 1. Hvis der findes fixpunkter for virkningen, og et primtal p går op i X, så findes der mindst p fixpunkter (Grp. 7.21, s.118) Undergrupper, resultater For undergrupper H, K af G gælder (Grp. 4.11, s.82) 1. Fællesmængden H K er en undergruppe. 2. Produktet HK er en foreningsmængder af sideklasser modulo K. 3. Elementantallet i HK opfylder HK = H : H K K 4. Hvis K H gælder G : K = G : H H : K Snittet K af en familie C af undergrupper af G er igen en undergruppe (Scherk, L.6.1, s.67) Ækvivalensrelation og undergruppe Hvis er venstre-(højre-)stabil og K er klassdelingen af G under, så er klassen H K givet ved H = {x x G, x e} en undergruppe af G. Hvis er venstrestabil er x y hviss x 1 y H. Hvis er højrestabil er x y hviss yx 1 H (Landin, S.28, s.105). Til hver af disse svarer sideklasser af G bestemt ved H 3 Opskrifter Angiv n ikke-isomorfe grupper af orden q: 1. q lige? Så brug D q/2 - den er ikke abelsk 2. Brug produkt af cykliske grupper (primopløs) 3. Slå op i tabel 4. Eksempel: n = 3, q = 260 giver D 130, og da q = kan vi tage C 2 C 2 C 5 C 13 og C 4 C 5 C 13 (C 4 har element af orden 4, C 2 C 2 kun af orden 2) Højeste elementorden i S n : 1. Primopløs n! og gang sammen så summen af indgående faktorer = n og primiske. 2. Eksempel: S 9. 9! = Kan bruge 2 7 = 14 og 4 5 = 20, så max elementorden er 20 Højeste elementorden i A n :

33 3 OPSKRIFTER Primopløs n!/2 og gang sammen så summen af indgående faktorer = n og primiske. Husk, at hver cykel skal kunne skrives som produkt af et lige antal transpositioner. 2. Eksempel: A 9. 9!/2 = Kan IKKE bruge 2 7 = 14 - da tocykel er ulige. Kan heller ikke bruge 4 5 = 20 (4-cykel er også ulige), så max elementorden er 3 50 = 15 Cykelorden: Mindste fælles multiplum af disjunkte cykelordener Reducibilitet af polynomier: 1. i R[X] - hvis ulige grad er der mindst en reel rod, så reducibel 2. i R[X] er de normerede irreducible polynomier netop førstegradspolynomierne X a og andengradspolynomierne (X a) 2 + b 2, b 0 (Rng.5.16, s.204) 3. i Q[X] er alle polynomier X n 2, n N irreducible (Rng.5.16, s.204) 4. i Q[X] - se om Eisenstein (4.9) kan anvendes 5. i Z n [X] - se om der findes rod - da reducibel 6. Eksempel: f[x] = X 3 + 3X 2 + X + 24 er reducibel i R[X], Eisenstein giver 3 3, 3 6, 3 9, men 3 2 går ikke op i 24, så irreducibel i Z[X] og Q[X]. I Z 5 [X] fås f(0) = 4, f(1) = 4, f(2) = 1, f(3) = 1, f(4) = 0, så 4 er rod, dvs. f(x) = (X 4)g(X) = (X + 1)g(X) Orden af restklasse [q] i (Z/n) : 1. q n? Forhåbentlig ikke. 2. Primopløs n. 3. Bestem orden af q i hver faktor (check også højere potenser) 4. Find mindste fælles multiplum. 5. Eksempel: q = 17, n = = Orden i Z/2 = 1, i Z/3 = 2, i Z/7 = 6, og i Z/11 = 10. Mfm=30. Antal permutationer af given type i S n : 1. Skriv cykeltypen 1 m 1 2 m 2 3 m3 2. Antal = n! 1 m 1 2 m 2 3 m 3 m 1!m 2!m 3! Antal konjugerede i S n : Dem med samme cykeltype (NB - går ikke i A n ) Simple grupper? Tænk Sylow og prøv at vise at der er en ikke-triviel normal undergruppe. Da er gruppen ikke simpel. Primopløsning i Gauss talring: 1. Se side n 3( mod 4)? Da er n et primelement 3. n = ππ, n 1( mod 4). Da er n et primelement (svarer til n = N(π))

34 4 GRUPPETABEL 34 4 Gruppetabel I den følgende tavle kan man uden videre substituere Z/n for C n. x i kolonnen abelsk angiver abelsk gruppe - og c angiver cyklisk. For de ikke-cykliske grupper er angivet en frembringer. DC n er den såkaldte dicykliske gruppe, og grupper navngivet na, nb etc. er særlige grupper. Orden Gruppe Abelsk / Frembringer Cyklisk 1 {1} = C 1 x/c 2 C 2 x/c 3 C 3 x/c 4 C 4 x/c V = C 2 C 2 x 5 C 5 x/c 6 C 6 = C 3 C 2 x/c S 3 = D 3 a = (123),n = (23) 7 C 7 x/c 8 C 8 x/c C 4 C 2 x/c (C 2 ) 3 x/c D 4 a = (1234), n = (24) Q 8 = DC 8 a = (1234)(5678), n = (1537)(2846) 9 C 9 x/c C 3 C 3 x/c 10 C 10 = C 5 C 2 x/c D 5 a = (12345), n = (25)(34) 11 C 11 x/c 12 C 4 C 3 x/c C 3 V = C 3 C2 2 x A 4 (123),(12)(34) D 6 DC 12 a = (123)(45)(67), n = (13)(4657) 13 C 13 x/c 14 C 14 = C 7 C 2 x/c D 7 a = ( ), n = (13)(4657) 15 C 15 = C 5 C 3 x/c 16 C 16 x C 8 C 2 x C 4 C 4 x C 4 C2 2 x C2 4 x D 8 a = ( ), n = (28)(37)(46) DC 16 a = ( )(9ABCDEF G) n = (195D)(2G6C)(3F 7B)(4E8A) 16A a = ( ), n = (28)(37)(46) 16B a = ( ), n = (26)(48) 16C a = (1234), d = (13)(5768) 16D a = (1234)(56), d = (13)(5678) 16E a = (1234)(5678), d = (1638)(2547) n = (17)(28)(35)(46)

35 5 ASCHES WORDS 35 Orden Gruppe Abelsk / Frembringer Cyklisk 17 C 17 x 18 C 18 = C 9 C 2 x C3 2 C 2 x S 3 C 3 D 9 a = ( ), n = (29)(38)(47)(56) 18A (123), (456), (23)(56) 19 C 19 x 20 C 20 = C 5 C 4 x C 5 C2 2 x DC 20 a = (12345)(67)(89), n = (29)(38)(47)(56) 20A a = (12345), e = (2354) 21 C 21 = C 7 C 3 x 21A a = ( ), g = (235)(476) 22 C 11 C 2 x D 11 a = ( AB) n = (2B)(3A)(49)(58)(67) 23 C 23 x 24 C 8 C 3 x C 6 C 4 = C 4 C 3 C 2 x C 3 C2 3 x D 4 C 3 S 3 C 4 D 6 C 2 = S 3 C2 2 = DC 12 C 2 DC 8 C 3 A 4 C 2 D 12 a = (1234)(567), n = (24)(67) DC 24 a = (1234)(567)(89AB), n = (1A38)(294B) S 4 (1234),(123) 24A a = (135246)(78), f = (176285)(34) 24B a = (18945C)(3AB672) f = (1278)(3C96)(45AB) 24C a = ( )(9ABCDEF G) (HIJKLMNO) h = (193B5D7F )(2H4J6L8N) (AM COEIGK) 60 C 60 x/c D 30 A C 120 x/c D 60 S 5 5 Asches words Permutationer: Ordenen af en permutation er mfm af længderne af dens cykler (s.9) To permutationer med samme cykelstruktur har samme orden (men ikke omvendt) (s.10)

36 5 ASCHES WORDS 36 Grupper Kan skrive (a 1 a 2 a n ) som (a 1 a n ) (a 1 a 2 ) (s.12) s har samme fortegn som s 1 da de har samme cykeltype (s.13) H < G, K < G. Så er H K H K = H K (s.20) Enhver undergruppe af en cyklisk gruppe er cyklisk (s.22) Hvis G = a, G = n, er der for hver divisor d i n præcis en undergruppe af orden d, nemlig a n/d (s.23) Frembringerne for gruppen G = a, G = n er elementerne af formen a s, hvor s og n er primiske (s.24) Venstresideklasserne er af formen x H (H < G) - det er mængden af alle elementer af formen x h hvor h er element i H (s.25) (specielt er x H = H ). Det er en ækvivalensrelation. Lagrange: G : H H = G (s.26) For en normal undergruppe er venstre- og højresideklasserne ens (altså, mængden af...) (s.26) Virkning Virkningstabel - her G = p, p = (123)(45), X = {1, 2, 3, 4, 5} (s.30) i p p p p p Baner: Orb(x) - giver inddeling af X i ækvivalensklasser. De elementer y = g x for et eller andet g G. I tabellen er Orb(1) = {1, 2, 3}, Orb(4) = {4, 5} (s.31). Stabilisatoren: Stab(x) - de gruppeelementer, der fixer et punkt x. I tabellen er Stab(1)={i, p 3 ),Stab(2)={i, p 3 ), Stab(3)={i, p 3 ), Stab(4)={i, p 2, p 4 ), Stab(5)={i, p 2, p 4 ) (s.31). Der gælder Orb(x) Stab(x) = G (s.32) i * * * * * p p 2 * * p 3 * * * p 4 * * p 5 Søjler: Stab(x) Fix(g) er mængden af punkter x X hvor g x = x. I tabellen er Fix(i) = {1, 2, 3, 4, 5}, Fix(p 2 ) = {4, 5}, Fix(p 3 ) = {1, 2, 3}, Fix(p 4 ) = {4, 5} og de sidste to tomme. Se på rækkerne (s. 33) Der gælder: x X Stab(x) = g G Fix(g) (s.33)

37 5 ASCHES WORDS 37 1 G Burnsides lemma for antallet af baner for en gruppevirkning: N = 1 g G Fix(x) (s.34) En gruppe af orden p (primtal) må have et element af orden p (s.38) Konjugering G x X Stab(x) = a, b er konjugerede, hvis der findes g G så b g = g a b = g a a 1. I ord, hvis vi først tager a og derefter g herpå fås samme resultat som først at tage g og derefter b herpå. (s.40) To permutationer i S n er konjugerede hvis de har samme cykeltype. En simpel måde er beskrevet på s Konjugering er ikke relevant for abelske grupper - her alle elementer kun konjugerede med sig selv - og banerne for gruppevirkningen er alle af længde 1. (s.42) Konjugerede elementer er ækvivalente (s.42) Konjugering er en gruppevirkning på gruppen selv. Banerne kaldes konjugeretklasser. For ikke-abelske grupper er nogle baner længere end 1 (s.42) Antallet af elementer i en konjugeretklasse går op i gruppens orden: N = G Stab(x) - Her kaldes Stab(x) for centralisatoren for x i G - skriver C G(x) eller bare C(x). Den består af alle elementer g så g x g 1 = x g x = x g - altså elementer, der kommuterer med x (s.42-43) Hvis g konjugerer x med y vil alle elementerne i venstresideklassen g C(x) også konjugere x med y - og det er samtlige konjugatorer. Og g C(x) = C(y) g C(y) = g C(x) g 1 (s.43) Hvis a, b G og a, b konjugerede, så er også enhver fælles potens af de to konjugerede (s.45) Den konjugerede til produktet af to elementer er produktet af deres konjugerede. Så konjugering er en homomorfi (s.46) To undergrupper af G, H, K er konjugerede, hvis der findes g G så K = g H g 1, dvs. hvis hvert element i K kan skrives som g h g 1 for et passende h H. F.eks. hvis x, y i samme konjugeretklasse, så er C(x), C(y) konjugerede (s.46) Lad X være mængden af alle undergrupper af G. Så kan vi definere en virkning af G på X ved g H = g H g 1 med g G og hvor H er en undergruppe af G. Undergrupper, der tilhører samme bane kaldes konjugerede undergrupper. Hvis H er en undergruppe af G er Stab(H) under denne virkning normalisatoren for H, N(H) (den er en undergruppe og indeholder H) For G endelig er antallet af konjugerede undergrupper der er konjugerede med H givet ved G : N(H) og antallet går op i G (s.47) Normale undergrupper Hvis normalisatoren N(H) = G siger vi, at H en normal undergruppe af G. Den er kun konjugeret med sig selv. (s.47) Hvis N er en normal undergruppe af G gælder g N = N g for alle g G. Det betyder IKKE, at alle elementer i G kommuterer med alle elementer i H men at alle elementer af formen g n, n N kan skrives n g for et eller andet element n N. N er foreningen af konjugeretklasser (s.47) En undergruppe med index 2 i G er normal i G (s.48)

38 5 ASCHES WORDS 38 Sylow Sylow-p-undergruppe af G er en undergruppe med orden p m hvor m er den største potens hvor p m går op i G (s.48) Sylow 1: For hver endelig gruppe G og hvert primtal p der går op i G findes der mindst en Sylow-p-undergruppe (s.48) Sylow 2: Hvert par af Sylow-p-undergrupper i G er konjugerede (s.48) Sylow 3: Antallet af Sylow-p-undergrupper i G er af formen 1 + kp hvor k Z (s.49) Hvis k = 0 er Sylow-p-undergruppen kun konjugeret med sig selv og dermed normal (s.49) Homomorfi θ homomorfi mellem G 1 og G 2 : , a n θ(a) n, θ(x 3 y 1 zx 2 ) = θ(x) 3 θ(y) 1 θ(z)θ(x) 2 (s. 57) Homomorfier bevarer konjugering (i billedet) (s.57) Homomorfier bevarer undergrupper: H < G θ(h) < θ(g) (s.57) Homomorfier bevarer normalitet: H G θ(h) θ(g) (s.58) Ker(θ) er en undergruppe af G 1 (s.58) - endda en NORMAL undergruppe (s.59). Hvis Ker(θ) = {i} er homomorfien injektiv (s.59) Sideklasserne til Ker er ens venstre og højre. Deres elementer har alle samme billede under θ, og der er en bijektiv sammenhæng mellem θ(g 1 ) og mængden af sideklasser af Ker(θ) (s.59) Enhver virkning er relateret til en homomorfi blabla (s.60) Kvotientgruppe

39 Indeks (A/B), 14 (G, ), 5 (a, b), 4 A n, 3, 6 C 1, 6 C 2, 6 C n, 6 D 1, 6 G/H, 15 H \ G, 7 R[X], 11 SL n, 6 S, 15 S 2, 6 S X, 6 X G, 5 X g, 5 Λ, 8 n, 10 hagb, 5, 9 ϕ, 5 ϕ-ækvivalens, 17 g x, 9 g.x, 16 m p (σ), 3 Ækvivalens, 17 Permutation, 17 Ækvivalensklasser, 17 Ækvivalensrelation, 13 og undergruppe, 32 Stabilitet, 17 Abelsk gruppe, 6 Antal, 17 Simpel, 31 Struktursætningen, 17 Abelske grupper, 17 Additive matrixgruppe, 6 Adjunktion af rod, 12 Afbildning Af delmængder, 18 Kanonisk, 8 Sammensat, 18 Alternerende gruppe, 3, 6, 27 Alternerende permutationer Normal undergruppe, 7 Antal konjugerede elementer, 25 Aritmetikkens fundamentalsætning, 18 Associerede elementer, 3 Asymmetrisk relation, 13 Automorfi, 3 Bane, 3, 17 Klassedeling, 3 Længde, 3, 17 Baneantal, 3, 18 Baneformel Burnsides, 18 Baneformlen, 18 Banerum, 17 Billede, 3 Binomialkoefficient, 18 Brøklegeme, 3 Burnsides formel, 18 Cayleys sætning, 18 Cent(G), 3 Centralisator, 3 Centrum, 3, 22 Cykel, 3 Bane, 3 Fortegn, 5 Transposition, 15 Cykelfremstilling, 19 Cykelnotation, 4 Cykelsætningen, 19 Cykeltype, 4 Cykler Fremstilling af permutation, 27 Cyklisk gruppe, 4 Elementorden, 10 Frembringer, 5 Isomorfi, 19 Orden, 19 Potens, 12 Produktgruppe, 20 Simpel, 31 som gruppe med primtalsorden, 20 Undergrupper, 20 D n, 6 deg(f), 11 Delmængde Stabil, 15 Delring, 4 Determinant Homomorfi, 7 Diedergruppen, 6 Direkte notation, 4 Direkte produkt, 12 39

40 INDEKS 40 Kommutativ gruppe, 20 Normale undergrupper, 20 Disjunkte permutationer, 10 Division med rest Polynomier, 21 Divisionsring, 10 Divisionssætningen, 20 Divisor, 4 Polynomier, 4 Største fælles, 31 Divisorer Største fælles, 4 Trivielle, 4 Eisensteins irreducibilitetskriterium, 28 Elementer og hovedidealer, 21 Elementorden, 10, 21 Endelige legemer, 28 Enhed, 4, 8 Epimorfi, 7 Euklidisk ring, 27 Euler ϕ, 5 Eulers kongruenssætning, 25 Eulers sætning, 21 Evalueringsafbildning, 5 Faktoriel ring, 16 Faktoropløsning, 5 Feit-Thompsons sætning, 31 Fermat Lille sætning, 29 Fixpunkt, 5, 11 Forkortningsregel Integritetsområde, 23 Forsvinding, 22 Fortegn af cykel, 5 Hovedsætning, 21 Permutation, 5 Transposition, 5 Frembragt undergruppe, 5 Frembringer, 4, 5 Fulde transformationsgruppe, 15 Fundamentalsætning Aritmetikkens, 18 G-ækvivalens, 17 G-mængde, 16 Gauss lemma, 28 Gauss sætning, 21 Gauss talring, 5 Forgrening, 21 Normer, 21 PID og UFD, 21 Generelle lineære gruppe, 6 GL n, 6 Gruppe, 5 A n, 3, 6 3. orden, orden, 22 Abelsk, 6 Alternerende, 3, 6 Centrum, 22 Cyklisk, 4 Dieder-, 6 Egenskaber, 21 Fulde transformations-, 15 Generelle lineære, 6 Kleins Vierer-, 7 Kommutativ, 6, 17 Kvaternion-, 6 Orden, 6 Orden n fak., 22 Ortogonale, 6 Produktgruppe, 12 Restklasse-, 6 Resultater, 22 Simpel, 15, 31 Specielle lineære, 6 Specielle ortogonale, 6 Sylow-p-undergruppe, 15 Symmetrisk, 6 Symmetriske, 10, 15 Trivielle, 6 Gruppeautomorfi, 3 Gruppehomomorfi, 7, 22 Gruppeisomorfi, 8 Grupper Abelske, 17 Isomorfe, 8 Oversigt, 6 Gruppevirkning, 16 H-invarians, 8 H-stabilitet, 8 Højresideklasse, 7 Højrestabil ækvivalensrelation, 17 Homomorfi, 7, 22 Billede, 3 Determinant, 7 Evalueringsafbildning, 5 Induceret, 22 Injektion, 8 Inklusionsafbildning, 7 Kanonisk, 7, 22 Kerne, 9

41 INDEKS 41 Kerne er normal undergruppe, 22 Og fortegn for permutation, 7 Potens, 7 Projektion, 13 Triviel, 7 Homomorfisætningen, 22 Hovedideal, 7 Hovedidealer og elementer, 21 Hovedidealområde, 11 Hovedidealsætningen, 23 Hovedsætning Fortegn, 21 Permutationer, 27 Ideal, 7 Ægte, 8 og homomorfi, 14 Triviel, 8 Idealer i hele tal, 23 Idempotent element, 8 Index, 8 Lagranges sætning, 26 Injektion, 8 Inklusionsafbildning, 7, 14 Integritetsområde, 8 Forkortningsregel, 23 Karakteristik, 23 og opløsninger, 23 og primideal, 28 og skævlegeme, 23 Polynomier, 23 Invarians, 8 Inverst element, 8 Invertibel restklasse, 13 Invertibelt element, 8 Involutorisk element, 8 Irreducibel faktoropløsning, 5 Irreducibel oplønsning, 23 Irreducibelt element, 8 Irreducibelt polynomium, 8 Irreflexiv relation, 13 Isomorfe grupper, 8 Isomorfi, 8 Cyklisk gruppe, 19 Isomorfier, 25 Isomorfisætning Noethers anden, 24 Noethers første, 24 Isomorfisætningen, 23 Isotropigruppe, 15 Kanonisk afbildning, 8 Kanonisk homomorfi, 7, 14 Karakteristik, 9 Integritetsområde, 23 Kerne, 9, 25 Normal undergruppe, 22 Kinesisk restklassesætning, 29 Klassedeling, 17 Baner, 3 Klasseformlen, 25 Kleins Vierergruppe, 7 Koefficient, 11 Kommutativ gruppe, 6, 17 Antal, 17 Direkte produkt, 20 Simpel, 31 Struktursætningen, 17 Kommutativ ring, 14 Kongruens Eulers sætning, 25 Kongruens modulo, 9 Konjugerede elementer Antal, 25 Konjugerede permutationer, 25 Konjugering, 9 Centralisator, 3 Kvadratisk tal, 9 Diskriminant, 9 Konjugeret, 9 Norm, 9 Kvadratisk talring, 9, 25 Forgrening, 26 Kvadrattal, 29 Kvaterniongruppen, 6 Kvotientgruppe, 10, 26 Kvotientmængde, 10 Repræsentant, 10 Kvotientring, 10 Længde af bane, 3, 17 Lagranges indexsætning, 26 Legeme, 10 Endeligt, 28 og maksimalideal, 26 og normering af polynomium, 26 og polynomiumskvotient, 28 og ring med primtalsorden, 26 Lige permutation, 11, 27 Undergruppe, 27 Mønstre Polyas formel, 27 Maksimalideal, 10 og legeme, 26

42 INDEKS 42 og PID, 27 og primideal, 26, 28 Maksimalidealer i hele tal, 26 Mat m,p, 6 Matrixgruppe Additive, 6 Monomorfi, 7, 26 Multiplum, 4 Mindste fælles, 31 Nilpotent element, 10 Noethers anden isomorfisætning, 24 Noethers første isomorfisætning, 24 Normal undergruppe, 16, 27 for p-gruppe, 27 Kerne, 22 Normale undergrupper Direkte produkt, 20 Normering af polynomium Legeme, 26 Notation (A/B), 14 (G, ), 5 A n, 3, 6 C 1, 6 C 2, 6 C n, 6 D 1, 6 G/H, 15 H \ G, 7 R[X], 11 SL n, 6 S, 15 S 2, 6 S X, 6 S n, 10 X G, 5 X g, 5 Λ, 8 hagb, 5 g x, 9 g.x, 16 m p (σ), 3 Cent(G), 3 Cykel-, 4 D n, 6 deg(f), 11 GL n, 6 Kongruens, 9 Mat m,p, 6 O n, 6 Pol(R,R), 12 Q 8, 6 S n, 6 sign(σ), 5 SO n, 6 Største fælles divisor, 4 V, 7 Nulreglen, 8 O n, 6 Orden Cyklisk gruppe, 19 Element, 10, 21 Gruppe, 6 Primtal og cyklisk gruppe, 20 Ordensrelation, 13 Ortogonale gruppe, 6 Oversigt over grupper, 6 p-gruppe, 10, 27 og normale undergrupper, 27 Permutation, 10 Bane, 3 Cykler, 27 Disjunkte, 10 Fixpunkt, 11 Fortegn, 5 Fortegn og homomorfi, 7 Hovedsætning, 27 Lige/ulige, 11, 27 og transpositioner, 27 Permutationer Konjugerede, 25 Permutationsgruppe, 6 PID, 11, 27 og irreducibilitet, 27 og maksimalideal, 27 PID er UFD, 27 Pol(R,R), 12 Polyas formel, 27 Polynomier Division med rest, 21 Divisor, 4 Heltalskoefficienter, 11 Integritetsområde, 23 Polynomium, 11 Eisensteins irreducibilitetskriterium, 28 Evalueringsafbildning, 5 Gauss lemma, 28 Hovedidealsætningen, 23 Irreducibelt, 8 Multipel rod, 30 Normering i legeme, 26 Primitivt, 11 Rational rod, 30

43 INDEKS 43 Rod, 14, 30 Polynomiumsfunktioner, 11 Polynomiumskvotient, 12 Adjunktion af rod, 12 og legeme, 28 Struktur, 28 Polynomiumsring Gauss sætning, 21 Polynomiumsringen, 11 Potens, 12 Primelement, 12 Irreducibelt, 28 Primideal, 12 og integritetsområde, 28 og maksimalideal, 26, 28 Primidealer i hele tal, 28 Primisk restklasse, 13, 29 Primiske restklasser, 6 Primiske tal, 12, 20, 28 og kvadrattal, 29 Parvis, 21 Primitivt polynomium, 11 Primopløsning, 5, 18 Entydighed, 29 Primring, 12 Primtal, 29 Definition, 12 og produkt, 21 Primtalsorden giver cyklisk gruppe, 20 Produkt Direkte, 12 Produktgruppe, 12 af cykliske grupper, 20 Projektion, 13 Pytagoræiske talsæt, 13, 29 Q 8, 6 Rational rod, 30 Reducibelt element, 8 Reflexiv relation, 13 Regneregler Restklasser, 29 Relation Ækvivalensrelation, 13 Asymmetrisk, 13 Definition, 13 Egenskaber, 13 Irreflexiv, 13 Ordensrelation, 13 Reflexiv, 13 Symmetrisk, 13 Total, 13 Transitiv, 13 Repræsentant, 10 Repræsentation, 16 Rest, 13 Numerisk mindste, 13 Principal, 13 Restklasse, 13 Invertibel, 13 Kinesisk sætning om, 29 Primisk, 13, 29 Regneregler, 29 Restklassegrupper, 6 Restriktion, 8 Resultater for undergupper, 32 Ring, 14 Enhed, 8 Idempotent element, 8 Involutorisk element, 8 Kommutativ, 14 Nilpotent element, 10 Ringhomomorfi, 14 Inklusionsafbildning, 14 Kanonisk, 14 Ringhomorfi og ideal, 14 Ringisomorfi, 14 Rod, 14, 30 Multipel, 30 Multiplicitet, 30 Rational, 30 S n, 6 Sammensat afbildning, 18 Sideklasse, 15 Højre-, 7 Sideklasser, 30 sign(σ), 5 Simpel gruppe, 15 Cyklisk, 31 Kommutativ, 31 Simple grupper, 31 Skævlegeme, 15 SO n, 6 Specielle lineære gruppe, 6 Specielle ortogonale gruppe, 6 Stabil ækvivalensrelation, 17 Stabil delmængde, 15 Stabilisatorgruppe, 15 Struktursætningen for endelige abelske grupper, 17 Sylow-p-undergruppe, 15 Sylows sætninger, 31

44 INDEKS 44 Symmetrisk relation, 13 Symmetriske gruppe, 6, 10, 15, 31 Tælleformlen, 32 Tabelnotation, 15 Total relation, 13 Transformationsgruppe, 15 Transitiv relation, 13 Translation, 15 Transposition, 15 Fortegn, 5 Triviel homomorfi, 7 Triviel virkning, 16 Trivielle gruppe, 6 UFD, 16 Gauss sætning, 21 Ulige permutation, 11, 27 Undergruppe, 16 af cyklisk gruppe, 20 Kerne er normal, 22 Lige permutationer, 27 Normal, 16 og ækvivalensrelation, 32 Resultater, 32 V, 7 Venstrestabil ækvivalensrelation, 17 Virkning, 16 Bane, 17 Baneformlen, 18 Banelængde, 17 Banerum, 17 Cayleys sætning, 18 Fixpunkt, 5 Potensmængde, 16 Produktmængde, 16 Repræsentation, 16 Stabilisator, 15 Tælleformlen, 32 Translation, 15 Triviel, 16 Virkning på X Y, 16 Wilsons sætning, 29