Matematisk Metode Notesamling

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematisk Metode Notesamling"

Transkript

1 Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok 2 i efteråret 2004 til foråret Forelæsningerne er afholdt af Ian Kiming (kiming@math.ku.dk) og er baseret på Carol Schumacher: Chapter Zero 1 (CZ) og forelæserens egne noter. For uddybende eksempler henvises til CZ. Eventuelle rettelser/kommentarer til denne notesamling kan mailes til mig på Anders.P@math.ku.dk. 1 Carol Schumacher: Chapter Zero - Fundamental Notions of Abstract Mathematics - Addison-Wesley (2001) 1

2 Kapitel 1: Logik og slutninger Definition 1. (CZ 1.2: Udsagn og prædikater) Et udsagn er en sætning, der er enten sand eller falsk men ikke flertydig. En sætning med en fri variabel, der, når den erstattes med en passende værdi, bliver til et udsagn, kaldes et prædikat. Definition 2. (CZ 1.3: Kvantifikation) At kvantifisere et prædikat til et udsagn vil sige at anvende følgende to kvantorer: for alle kaldes alkvantoren der eksisterer kaldes eksistenskvantoren Hvis et udsagn indeholder mere end én fri variabel, kan vi bygge udsagn ved at kvantifisere hver enkelt variabel. Definition 3. (CZ 1.4.1: Matematiske udsagn) Et udsagn på formen Hvis A, så B, hvor A og B er udsagn, kaldes en implikation. A kaldes implikationens hypotese, og B kaldes konklusionen. Hvis A, så B siges ofte A medfører B og skrives A = B. Definition 4. (CZ 1.6: Sammensatte udsagn) Givet to udsagn A og B. Disse kan sammensættes på følgende måder: A og B kaldes konjunktionen mellem A og B og skrives A B. A eller B (eller begge!) kaldes disjunktionen mellem A og B og skrives A B. Ikke A kaldes negationen af A og skrives A. A hvis og kun hvis B kaldes ækvivalensen mellem A og B og skrives A B. Hvis og kun hvis forkortes ofte hviss på dansk eller på engelsk iff. Definition 5. (CZ 1.6.1: Sandhedstabeller) Givet to udsagn A og B. Følgende er en sandhedstabel for udsagnene i CZ Definition og 1.6 ud fra sandhedsværdierne for de to udsagn A og B (1 er sand og 0 er falsk): 2

3 A B A = B A B A B A A B Definition 6. (CZ 1.6.3: Modstrid og tautologi) Et sammensat udsagn, der altid er falsk, ligegyldigt hvad sandhedsværdierne er for de simplere involverede udsagn, kaldes en modstrid. Eksempelvis B B. Et sammensat udsagn, der altid er sandt, kaldes en tautologi. Eksempelvis (A B) (A = B). (Tjek selv eksemplerne efter ved at konstruere sandhedstabeller!). Definition 7. (CZ 1.8: Negation af udsagn) Et negeret udsagn er sandt, netop når det oprindelige udsagn er falsk (og omvendt). Det samme gælder for prædikater. Kvantorer negeres ved, at bliver til og omvendt. Eksempelvis: ( x R : x 3 = x) x R : x 3 x Se desuden noterne Logisk huskeseddel af Ian Kiming (hent filen: lokalt (fra samme mappe som dette dokument) eller fra nettet). Definition 8. (CZ 1.9: Eksistenssætninger) En sætning, der hævder eksistensen af et matematisk objekt, kaldes en eksistenssætning Eksempelvis x R : x 3 = x. For at bevise dette, ville man normalt producere en kandidat (x = 1) og så vise, at denne kandidat opfylder sætningen. Definition 9. (CZ 1.10: Entydighedssætninger) En sætning, der garanterer éntydigheden af et matematisk objekt, kaldes en entydighedssætning. For at bevise en sådan sætning antages det, at der eksisterer to sådanne objekter, og det bevises, at de så må være ens. Definition 10. (CZ 1.11: Eksempler og modeksempler) Et eksempel er en kandidat til et udsagn, der gør udsagnet sandt. Er udsagnet en eksistenssætning (og kun i dette tilfælde!), udgør eksemplet et bevis for denne (forudsat man selvfølgelig har vist, at eksemplet opfylder udsagnet!). Et modeksempel er et eksempel på en kandidat, der modbeviser en sætning. Dvs. et eksempel der viser, at et udsagn ikke gælder for den pågældende kandidat. At finde en sådan kandidat udgør et modbevis for udsagnet. 3

4 Definition 11. (CZ 1.12: Direkte bevis) Når en implikation vises ved at antage, at hypotesen er sand og så vise, at konklusionen også er sand, har man udført et direkte bevis. Definition 12. (CZ 1.13: Bevis ved kontraposition) Man kan vise, at A = B B = A B = A kaldes kontrapositionen til A = B. Dvs. kan man bevise Hvis ikke B, så ikke A, har man bevist Hvis A, så B. Et sådant bevis kaldes bevis ved kontraposition. Definition 13. (CZ 1.14: Bevis ved modstrid) Man kan vise, at A ( A) = (P P ), og A = B (A B) = (P P ). Dvs. hvis man antager, at et udsagn er falsk, og man derefter kan vise, at dette medfører en modstrid (P P ), har man vist, at udsagnet er sandt. Et sådant bevis kaldes et bevis ved modstrid. Se f.eks. beviset for Sætning 23 (CZ 8.4.5). 4

5 Kapitel 2: Mængder og mængdeoperationer Definition 14. (CZ 2.1.2: Intervalnotation) Lad a og b være reelle tal. Vi definerer så: [a; b] = {x R a x b} [a; b) = {x R a x < b} (a; b] = {x R a < x b} (a; b) = {x R a < x < b} [a; b] kaldes det lukkede interval fra a til b. (a; b) kaldes det åbne interval fra a til b. [a; b) og (a; b] kaldes halv-åbne intervaller. Definition 15. (CZ 2.1.3: Den tomme mængde) Den tomme mængde skrives eller {}. Definition 16. (CZ 2.2.1: Delmængde) Givet to mængder, A og S. S A x : (x S x A) Sætning 1. (CZ 2.2.2) For alle mængder X gælder: (i) X og (ii) X X. Bevis. Vi viser begge påstandene: (i) x x X: Venstresiden er falsk for alle x, altså er implikationen sand! (ii) x X x X: Der vil altid være samme sandhedsværdi på begge sider af implikationen, derfor er den sand! Definition 17. (CZ 2.2.7: Mængdelighed) Givet to mængder, A og B. Der gælder så: A = B A B B A Definition 18. (CZ 2.3.1: Komplementærmængde) Givet to mængder, S og U, hvor S U. Da defineres komplemæntærmængden til S: S C := {x U : x / S} som også ofte skrives U\S eller S. 5

6 Definition 19. (CZ 2.3.4: Fælles- og foreningsmængde) Givet to mængder, A og B. Da defineres: A B := {x : x A x B} A B := {x : x A x B} kaldes fællesmængden mellem A og B kaldes foreningsmængden mellem A og B Definition 20. (CZ 2.3.6: Disjunkte mængder) Givet to mængder, A og B. Hvis A B =, kaldes A og B disjunkte. Definition 21. (CZ : Fælles- og foreningsmgd. for samlinger af mgd.:) Lad {B α } være en samling af mængder, hvor B α X. Da defineres: B α = {x α Λ : x B α } B α = {x α Λ : x B α } Sætning 2. (CZ 2.4.2) Lad A,B og C være mængder. Så gælder: Bevis. Se CZ s.48. A (B C) = (A B) (A C) Sætning 3. (CZ 2.4.5) Lad Λ være en vilkårlig indexmængde for en samling af mængder {B α }, og lad A være en mængde. Så gælder: ( ) (i) A B α = (A B α ) (ii) ( ) A B α = (A B α ) Bevis. Vi viser begge påstande: Bevis for (i): x A B α x A x B α x A ( α Λ : x B α ) α Λ : x A x B α α Λ : x A B α x (A B α ) Bevis for (ii): x A B α x A x B α 6

7 x A ( α Λ : x B α ) α Λ : x A x B α α Λ : x A B α x (A B α ) Sætning 4. (CZ 2.4.6) Lad Λ være en vilkårlig indexmængde for en samling af mængder {B α }, og lad A være en mængde. Så gælder: ( ) (i) A B α = (A B α ) (ii) ( ) A B α = (A B α ) Bevis. Kører fuldstændig analogt med beviset for Sætning 5. (CZ 2.4.9) Lad Λ være en vilkårlig indexmængde for en samling {A α } af delmængder af en mængde U. Så gælder: (i) (ii) ( A α)c = ( A α)c = A C α A C α Bevis. Vi viser inklusionen begge veje: Bevis for (i): ( ) C : Antag, at x A α. Dvs. x ligger ikke i A α for et α Λ, altså ligger x i A C α for alle α Λ, som er det samme som A C α. : Antag nu, at x A α, så må x Bevis for (ii): Kører analogt... A C α, dvs. x U\ A α, dvs. x ikke tilhører A C α Definition 22. (CZ 2.5.1: Potensmængden) Hvis A er en mængde, så kaldes mængden af alle delmængder af A for A s potensmængde og skrives P(A). 7

8 Kapitel 3: Induktion Axiom 1. (CZ s.58: Induktionsaxiomet) Lad S være en delmængde af N, der opfylder: 1 S og hvis k S, så er k + 1 S. Så er S = N. Sætning 6. (CZ 3.1.2: Det matematiske induktionsprincip) Lad P 1, P 2, P 3,... være en række af udsagn, et for hvert naturligt tal. Antag, at: P 1 er sand, og hvis P k er sand, så er P k+1 også sand. Så er P n sand for alle n N. Bevis. Se CZ s.60. Sætning 7. (CZ 3.2.2, alternativ version med i 2 ) n i 2 = i=1 n(n + 1)(2n + 1) 6, n N Bevis. Ved induktion efter n. n = 1 : 1 = = 1, altså P 1 sand! n = n 0 : Antag P n0 sand (induktionsantagelsen), dvs. n 0 i=1 i 2 = n 0(n 0 + 1)(2n 0 + 1) 6, n 0 N Vi skal vise, at P n0 P n0 +1. Vi ser på: n 0 +1 i=1 i 2 = ( n0 ) i 2 + (n 0 + 1) 2 i=1 Dette skal ifølge sætningen være lig = n 0(n 0 + 1)(2n 0 + 1) + (n 0 + 1) 2 6 ( ) 2n 2 = (n 0 + 1) 0 + n 0 + (n 0 + 1) 6 (n 0 + 1) ((n 0 + 1) + 1) (2(n 0 + 1) + 1) 6 8

9 Vi ser derfor på: ((n 0 + 1) + 1) (2(n 0 + 1) + 1) 6 = (n 0 + 1)(2n 0 + 3) + 2n = 2n n 0 + 2n n = 2n2 0 + n 0 + (6n 0 + 6) 6 = 2n2 0 + n (n 0 + 1) Som er lig det ønskede, og derfor er P n0 +1 sand. Derfor er P n ifølge induktionssætningen sand for alle n N. Sætning 8. (CZ 3.3.1: Princippet om fuldstændig induktion) Lad (P n ) være en række af udsagn. Antag, at: P 1 er sand. og hvis P j er sand for alle j k, så er P k+1 også sand. Så er P n sand for alle n N. Med andre ord: For ethvert k N gælder: Af P 1,..., P k kan P k+1 sluttes. Definition 23. Betragt polynomiet f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0, a i Q\{0} degf = n =graden af f. f kaldes reducibelt, hvis der findes polynomier g(x), h(x), så: f(x) = g(x) h(x) og 1 degg < degf f kaldes irreducibelt, hvis f ikke er reducibelt. Sætning 9. (CZ 3.3.3) Ethvert polynomium med rationale koefficienter kan skrives som produkt af irreducible polynomier. Bevis. Lad P n være udsagnet i sætningen. Vi viser sætningen ved fuldstændig induktion efter n: n = 1 : a 1 x 1 + a 0 : klart irreducibelt, altså P 1 sand! n > 1 : Antag P 1,... P k sand (induktionsantagelsen), vise at P k+1 sand. Lad f være et polynomium af grad k + 1. Vi deler op i to tilfælde: 1) f irreducibelt: OK! 9

10 2) f reducibelt: g, h : f = g h Da har vi, at 1 degg <degf. Derfor også 1 degh <degf. Da ligger degg og degh i {1,... k}, og derfor kan g og h skrives som produkter af irreducible polynomier (jævnfør induktionsantagelsen) og er derfor reducible. Så er f = g h det også. Vi har nu vist, at P k+1 er sand, når P 1,... P k er sand. Derfor er P n sand for alle n N. Definition 24. Et naturligt tal kaldes sammensat, hvis der findes a, b N, så n = a b, og 1 < a < n ( n har en ægte divisor a ). Et naturligt tal n > 1 kaldes et primtal, hvis n ikke er sammensat. Sætning 10. Et naturligt tal n > 1 er et produkt af primtal. Bevis. Vi viser sætningen ved fuldstændig induktion efter n, idet vi først omskriver udsagnet en smule: Ethvert naturligt tal n er enten lig 1 eller er et produkt af primtal. Lad dette udsagn være P n. n = 1 : Sandt, da 1=1. n > 1 : Lad n N. Vi skal vise, at af P 1,..., P n kan P n+1 sluttes. Antag P 1,..., P n sande. Vi skal vise P n+1, dvs. at n + 1 er et produkt af primtal. Vi deler op i to tilfælde: 1) (n + 1) primtal: OK! 2) (n + 1) sammensat: dvs. der findes a, b N, så n + 1 = a b og 1 < a < n + 1, dvs. også 1 < b < n + 1. Da P 1,..., P n alle er sande jfr. induktionsantagelsen, fås P a, P b begge sande. Da a > 1, b > 1 fås: a, b begge produkter af primtal, og derfor kan n = a b skrives som produkt af primtal. Se desuden noterne Rekursion af Ian Kiming (hent filen: lokalt (fra samme mappe som denne) eller fra nettet). 10

11 Kapitel 4: Relationer Definition 25. (CZ : Relationer) Lad A og B være mængder. En relation på A og B er en delmængde af A B = {(a, b) : a A og b B}. En delmængde af A A kaldes en relation på A. Vi skriver en relation som, og vi skriver (A, ) for relationen på A. Definition 26. (CZ 4.1.8) Lad (A, ) være givet, og lad x, y, z A. siges at være refleksiv, hvis der for alle x gælder: x x siges at være symmetrisk, hvis der for alle x, y gælder: x y y x siges at være antisymmetrisk, hvis der for alle x, y gælder: x y y x x = y siges at være transitiv, hvis der for alle x, y, z gælder: x y y z x y Definition 27. (CZ 4.2.1: Ordensrelationer) En relation på en mængde A kaldes en partiel ordning, hvis den er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv. En mængde sammen med en partiel ordning kaldes en partielt ordnet mængde, og vi skriver normalt (A, ). Definition 28. (CZ 4.2.3: Totale ordninger) En partielt ordnet mængde A med en partiel ordning kaldes totalt ordnet, hvis a, b A : a b b a I dette tilfælde kaldes en total ordning. Definition 29. (CZ 4.2.5: Tredelingsloven) Lad A være en partielt ordnet mængde under. A siges at overholde tredelingsloven, hvis præcist ét af følgende udsagn gælder: i. a < b ii. a = b iii. a > b Her betyder < følgende: a < b (a b a b). Sætning 11. (CZ 4.2.6: Totale ordninger og tredelingsloven) En partielt ordnet mængde A er totalt ordnet, hvis og kun hvis den overholder tredelingsloven. 11

12 Bevis. Vi viser implikationen begge veje: : i) Antag a < b: Da har vi: a < b (a b b a); SANDT! ii) Antag a = b: Da har vi: a = b (a b b a); SANDT! iii) Antag b < a: Da har vi: b < a (a b b a); SANDT! : Antag (a b b a). Vi har da: (a b b a) (a < b a = b) (b < a b = a) a < b a = b b < a som jo er tredelingsloven. Definition 30. (CZ : Grænser og infimum/supremum) Lad A være en partielt ordnet mængde, og lad K A, K, x A. Da definerer vi: x er en øvre grænse for K, hvis y K : x y. K kaldes så opadtil begrænset. x er en nedre grænse for K, hvis y K : x y. K kaldes så nedadtil begrænset. x er en mindste øvre grænse for K, hvis der gælder, at x er en øvre grænse for K, og for alle øvre grænser u : x u. x kaldes så supremum for K og skrives sup K. x er en største nedre grænse for K, hvis der gælder, at x er en nedre grænse for K, og for alle nedre grænser l : x l. x kaldes så infimum for K og skrives inf K. Sætning 12. (CZ : Unikt supremum) Lad A være en partielt ordnet mængde, og lad K være en ikke-tom delmængde af A. Hvis K har en mindste øvre grænse, er den unik. Bevis. Lad A være en partielt ordnet mængde, og lad K være en ikke-tom delmængde af A. Antag nu, at x 1 og x 2 er mindste øvre elementer for K. Da gælder: y K : x 1 y x 2 y Givet en vilkårlig øvre grænse u for K, er x 1 u og x 2 u. Da er x 1 < u eller x 1 = u, og x 2 < u eller x 2 = u. Da x 1 < u og x 2 < u ikke kan lade sig gøre, da de er mindste øvre grænser, er x 1 = x 2. Definition 31. (CZ : Supremums- og infimumsegenskab) En partielt ordnet mængde, i hvilken enhver ikke-tom opadtil begrænset mængde har en mindste øvre grænse, siges at have supremumsegenskaben. En partielt ordnet mængde, i hvilken enhver ikke-tom nedadtil begrænset mængde har en største nedre grænse, siges at have infimumsegenskaben. 12

13 Lemma 1. (CZ ) Lad A være en partielt ordnet mængde og lad K A. Definer: L k = {x A : x er en nedre grænse for K} Antag, at x = inf K. Det samme gælder analogt for U k = {x A : x er en øvre grænse for K}, hvor x = inf U k = sup K. Bevis. L k er opadtil begrænset, da k K : k er øvre grænse for L k. [ ] Bevis: l Lk : da er l nedre grænse for K. Dvs. l og k vilkårlige k øvre grænse for L k Da x = sup L k har vi, at x k. Dvs. x er en nedre grænse for K, dvs. x L k. Lad z L k Da x = sup L k, har vi z x. Derfor er x = inf K. Beviset for U k kører analogt. Sætning 13. (CZ ) Lad A være en partielt ordnet mængde. Da gælder: A har supremumsegenskaben A har infimumsegenskaben Bevis. Vi viser implikationen begge veje: : Antag, at (A, ) har supremumsegenskab. Lad K A være en ikketom nedadtil begrænset mængde. Da findes L k. L k er opadtil begrænset jfr. CZ Da L k A, findes sup L k og dermed også inf K (ifølge CZ ). : Antag, at (A, ) har infimumsegenskab. Lad K A være en ikke-tom opadtil begrænset mængde. Da findes U k. U k er nedadtil begrænset jfr. CZ Da U k A, findes inf U k og dermed også sup K (ifølge CZ ). Definition 32. (CZ 4.3.1) Lad S være en mængde og lad Ω være en samling af delmængder af S. E- lementerne i Ω siges at være parvist disjunkte, hvis for alle elementer A, B Ω, enten A = B eller A B =. Definition 33. (CZ 4.3.3: Partioner) En samling af ikke-tomme delmængder Ω af en mængde S siges at være en 13

14 partition på S, hvis der gælder, at elementerne i Ω er parvist disjunkte, og deres foreningsmængde er hele S. Der gælder med andre ord: i. givet A, B Ω, enten A = B eller A B =, og ii. A = S A Ω Definition 34. (CZ 4.3.6) Lad A være en mængde og Ω P(A). Hvis a 1 og a 2 er elementer i A, siger vi, at a 1 relaterer til a 2, hvis der findes et element R Ω, der indeholder både a 1 og a 2. Denne relation, Ω, kaldes relationen på A associeret med Ω. Definition 35. (CZ 4.3.9) Lad A være en mængde, og lad være en relation på A. Ethvert a A giver os en delmængde af A: T a = {x A : a x} Alle disse delmængder udgør en samling af delmængder af A, Ω : Ω = {T a : a A} Ω kaldes samlingen af delmængder af A associeret med. Korollar 1. (CZ : Ækvivalensrelationer) Lad A være en mængde, og lad Ω være en partition på S. Da er Ω refleksiv, symmetrisk og transitiv. Ω kaldes så en ækvivalensrelation. Bevis. Vi viser refleksivitet, symmetri og transitivitet: refleksiv: Lad s A. Da har vi, at s B B Ω : (s B s B). B Ω Da har vi, at s Ω s. symmetrisk: Lad a, b A. a Ω b B Ω : (a B b B) B Ω : (b B a B) b Ω a. transitiv: Givet a, b, c A, hvor a Ω b, hvilket vil sige: B Ω : (a B b B) og b Ω c, hvilket vil sige: C Ω : (b C c C) Da har vi, at b B b C b B C B C B = C. Dvs. a B, b B, c C a Ω c. 14

15 Definition 36. (CZ : Ækvivalensrelationer) Er relation på en mængde A, der er refleksiv, symmetrisk og transitiv, kaldes en ækvivalensrelation. Lemma 2. (CZ ) Lad der være givet A med ækvivalensrelationen og a, b A. Der gælder så: T a = T b a b Bevis. Vi viser implikationen begge veje: : Antag T a = T b. b T b = T a b T a a b : T a T b : Antag a b. Lad x T a. a x x a. x a a b x b x T b T a T b T b T a : Antag a b. Lad x T b. a b b x a x x T a T b T a Sætning 14. (CZ : Ækvivalensrelationer og partitioner) Givet S med ækvivalensrelationen. Da udgør Ω = {T s } s S en partition på S, dvs.: i) x S T x = S ii) x, y S : (T x = T y T x T y = ) Bevis. Vi viser begge sætningens påstande: i) : Klart, at x ST x S. : y S. y y y T y y x S T x ii) Antag T x T y. z S : (z T x z T y ), dvs. x z y z. Dvs. vi har: x z y z x y. Derfor er T x = T y ifølge Lemma. Definition 37. (CZ : Ækvivalensklasser) Lad ækvivalensrelationen på S være givet. Da kaldes T x, x S for æ- kvivalensklassen for x under. Ω = {T x } x S kaldes så mængden af ækvivalensklasser for, eller bare ækvivalensklasserne for. Et par simple eksempler på regning med supremum og ækvivalensrelationer kan ses i pdf-filen eksempler1.pdf (hent filen: lokalt (fra samme mappe som dette dokument) eller fra nettet). 15

16 Kapitel 5: Funktioner Definition 38. (CZ 5.1.1) Lad A og B være to ikke-tomme mængder. En funktion f : A B er en relation mellem A og B hvorom der gælder: (i) (ii) a A b B : (a, b) f (a, b) f (a, c) f b = c Hvis a A, skrives b B, for hvilket (a, b) f, som b = f(a). Definition 39. (CZ 5.1.8) En funktion, f : A B, siges at være: Injektiv, hvis der til ethvert b B findes højest ét a A, for hvilke b = f(a) Surjektiv, hvis der til ethvert b B findes mindst ét a A, for hvilke b = f(a) Bijektiv, hvis den er både injektiv og surjektiv. Definition 40. (CZ 5.2.1) Lad f : A B og g : B C være funktioner. Så kan en ny funktion g f : A C defineres ved g f(a) = g(f(a)) og kaldes sammensætningen af g og f. Definition 41. (CZ (+5.2.7)) Lad f : A B være en bijektiv funktion. Da defineres funktionen: f 1 := {(f(a), a) : a A} Definition 42. (CZ 5.3.1) Lad f : A B være en funktion, og lad S B. Mængden f 1 (S) = {a A : f(a) S} A kaldes urbilledet eller originalmængden til S ved f. Sætning 15. (CZ 5.3.6) Lad f : A B være en bijektiv funktion, og lad {S α } være en samling af delmængder af B, og lad S B. Så gælder: ( ) (i) f 1 S α = ( f 1 (S α ) ) ( ) (ii) f 1 S α = ( f 1 (S α ) ) (iii) f 1 ( S C) = ( f 1 (S) ) C 16

17 Bevis. Vi viser (i) og (iii): Bevis for (i): : Vi regner: x f 1 ( S α ) f(x) S α α Λ : f(x) S α α Λ : x f 1 (S α ) x ( f 1 (S α ) ) : Kører analogt, bare den modsatte vej (dvs. der gælder bi-implikationer). Bevis for (ii): Kører analogt med beviset for (i) (husk at vende til ). Bevis for (iii): : x f 1 ( S C) f(x) S C f(x) / S x ( f 1 (S) ) C : Kører analogt, bare den modsatte vej (dvs. der gælder bi-implikationer) Definition 43. (CZ 5.3.7) Lad f : A B være givet. Lad T A. Mængden f(t ) = {b B : t T : f(t) = b} = {f(t) : t T } kaldes billedet af T ved f. Sætning 16. (CZ ) Lad f : A B være givet, og lad {T α } være en samling af delmængder af A. Så gælder: ( ) (i) f T α = (f(t α )) (ii) ( ) f T α = (f(t α )) Vi nøjes med en del af beviset: 17

18 Bevis for (ii). Vi viser inklusionen begge veje: ( ) : Lad x f T α. Vi skal vise, at x (f(t α )). ( ) x f T α vil sige, at a T α : f(a) = x Dvs.: x = f(a), a T α, α Λ a T α : f(a) = x vil sige, at α Λ : a T α Dvs.: x f(t α ), α Λ. Dvs.: x (f(t α )). : Kører analogt... Beviset for (i) kører analogt med beviset for (ii) (med og byttet om). Et par simple eksempler på regning med afbildninger kan ses i pdf-filen eksempler2.pdf (hent filen: lokalt (fra samme mappe som dette dokument) eller fra nettet). 18

19 Kapitel 8: Konstruktion af de reelle tal Axiom 2. (CZ s.180: Axiom I: Legemsaxiomerne) Lad R være en mængde med de binære operatorer + og, og lad x, y, z R. Vi antager så: +/ kommutative: x + y = y + x og x y = y x. +/ associative: (x + y) + z = x + (y + z) og (xy)z = x(yz). Additiv identitet: Der findes et element 0, så x + 0 = x. Multiplikativ identitet: Der findes et element 1, så 1 x = x. Additiv invers: Der findes et element ( x), så x + ( x) = 0. Multiplikativ invers: Der findes et element 1 x, så x 1 x = 1, x R\{0}. Multiplikation distribuerer over addition: x(y + z) = xy + xz. Enhver mængde med ovenstående egenskaber kaldes et legeme. Definition 44. (CZ 8.2.1: Subtraktion og division) Lad x, y R. Vi definerer - og som følger: x y = x + ( y) og x y = x 1 y Sætning 17. (CZ 8.2.2) Lad x R. Der findes præcis ét y R, så x + y = 0. Bevis. Vi skal altså vise eksistens og entydighed af et sådant element: Eksistens: y = x tilfredsstiller x + y = 0. Entydighed: Antag y R med x + y = 0. y = y + 0 = 0 + y = (x + ( x)) + y = ( x) + (x + y) = ( x) + 0 = x. Sætning 18. (CZ 8.2.4) x R : x 0 = 0 Bevis. Lad y = x 0. Vi har, at = 0. Dvs. y = x 0 = x (0 + 0) = (x 0) + (x 0) = y + y, altså y = y + y. Vi ved, at 0 = y + ( y) = (y + y) + ( y) = y + (y + ( y)) = y + 0 = y, altså y = 0. 19

20 Sætning 19. (CZ 8.2.5) x R : x = ( 1) x Bevis. Vi ved, at 1 + ( 1) = 0, og at x + ( x) = 0, altså x (1 + ( 1)) = x 0 = 0 = x 1 + x ( 1) = 1 x + ( 1) x = x + ( 1) x. Af har vi, at der netop findes ét y R, så x + y = 0, nemlig y = x. Derfor er ( x) = ( 1) x. Axiom 3. (CZ s.183: Axiom II: Ordensaxiomet) Der findes en delmængde R + af R, så R + er lukket mht. + og, dvs.: x, y R + : x + y R + x y R + Desuden gælder for alle a R kun ét af følgende: i) a R + ii) a = 0 iii) a R +. Vi kalder R + for de positive tal og komplementet til R + {0} for de negative tal og kalder mængden af disse for R. Lemma 3. (i) ( 1) ( 1) = 1 (ii) x, y R : ( x) ( y) = x y Bevis. Vi viser begge lemmaets påstande: (i): Vi ved fra 8.2.5, at ( 1) = ( 1) ( 1). (ii): Antag: add. inv. {}}{{}}{ ( 1) + ( ( 1)) = 0 = ( ( 1)) + ( 1) ; 1 + ( 1) = 0 }{{} ( x) ( y) = ( 1) = ( 1) ( 1) }{{} add. inv. x=( 1) x {}}{ = (( 1) x) (( 1) y) (komm.mult.) = (x ( 1)) (( 1) y) (ass.mult.) = x (( 1) ( 1) y) (i) = x (1 y) (mult.ident.) = x y 20

21 Definition 45. (CZ 8.3.4) Vi definerer relationen på R som følger: x, y R : y x R + {0} x y Sætning 20. (CZ 8.3.5) (R, ) er totalt ordnet. Bevis. Vi skal vise refleksivitet, antisymmetri, transitivitet og den totale ordning: refleksiv: Vise, at x R : x x R + {0}. x x = x + ( x) = 0 R + {0}. antisymmetrisk: Vise, at x, y R : (x y y x x = y). Antag: y x R + {0} og x y R + {0}. Antag nu y x R +, da har vi (y x) / R + (Axiom II) Men (y x) = x y ((x y) + (y x) = x + ( y) + y + ( x) = 0) Altså: Hvis y x R +, så x y / R +. Antag nu ovenstående. Da x y / R +, følger x y = 0. Dvs. x + ( y) = 0, dvs. x + ( y) + y = 0 + y = y. x = x + 0 = y Altså y x = 0 MODSTRID!, da vi antog y x R +! Da y x R + {0}, fås y x = 0, altså y = x. transitiv: x y y x R + {0} y z z y R + {0} } (y x) + (z y) R + {0} (da R + lukket mht. +/ ) Men da (y x) + (z y) = x z, har vi, at x z R + {0}. Dvs. x z. total: Lad x, y være vilkårlige. Vi skal vise: x y eller y x. Vi har fra Axiom II: x y R + Da haves: y x x y = 0 Da haves: y x, da x y = 0 R + {0} (x y) R + Hvis (x y) R +, haves y x R +, da (x y) = y x. Derfor er x y. 21

22 Definition 46. (CZ 8.3.9: Numerisk værdi) Lad x R. Vi definerer den numeriske værdi x som følger: { x hvis x R+ {0} x = x hvis x / R + {0} Sætning 21. (CZ : Regneregler for numerisk værdi) Lad a, b R. Der gælder så følgende regler, som vi gengiver uden bevis: 1. a = max {a, a} 2. a 0 3. a b = a b 4. a = a 5. a + b a + b 6. a b a b 7. Lad ɛ > 0 være givet. Der gælder: a b < ɛ a ]b ɛ; b + ɛ[ Axiom 4. (CZ s.187: Axiom III: Supremumsaxiomet) R har supremumsegenskaben Korollar 2. (CZ 8.4.2) R har infimumsegenskaben Bevis. Følger trivielt af CZ Sætning (Kapitel 4). Sætning 22. (CZ 8.4.3) Lad B R være en ikke-tom opadtil begrænset mængde, og lad b R være en øvre grænse for B. Følgende udsagn om b er ækvivalente: i) b er største øvre grænse for B, dvs. b = sup B. ii) ɛ > 0 x B : x b < ɛ iii) ɛ > 0 x B : x ]b ɛ; b + ɛ[ Bevis. Vi skal vise: (i) (ii), (ii) (iii), (iii) (i). I så fald haves: ((i) (ii)) ((ii) (iii)) (i) (iii). Bevis for (i) (iii): (vi beviser med lukkede intervaller!) Antag b = supb og lad ɛ R + være vilkårlig. Da er b ɛ < 0. 22

23 Da b var mindste øvre grænse for B, er b ɛ ikke en øvre grænse for B. Dvs. der gælder ikke x B : x b ɛ Med andre ord: For alle u, v R gælder: ( x B : x b ɛ) x B : (x b ɛ) (u v) v < u jævnfør tredelingsloven for, hvilket vil sige x B : x > b ɛ Da b = sup B er specielt b en øvre grænse for B, dvs. x B : x b. Dermed fås: x b + ɛ, da b + ɛ > b Sætning 23. (CZ 8.4.5: Den Archimediske egenskab ved R) x R n N : n > x Bevis. Ved modstrid: Antag n N x R : 1 n x. Dvs. x er øvre grænse for B := {1 n n N}. Betragt b = sup B. Af sætning CZ følger, at ɛ > 0 y B : y ]b ɛ; b + ɛ[. Se på ɛ = 1 > 0. Altså: m N : m 1 ]b 1; b + 1[. Da er specielt b < m = (m + 1) 1 MODSTRID! (m B og b = sup B). 23

24 Skæringssætningen Sætning 24. (Tom Lindstrøm: Kalkulus, Sætning 5.2.1) Lad f : [a; b] R være kontinuert, så f(a) og f(b) har modsat fortegn. Da findes c ]a; b[, så f(c) = 0. Bevis. Vi ved: (f(a) < 0 f(b) > 0) eller (f(a) > 0 f(b) < 0). Vi kan nøjes med at betragte første tilfælde. I andet tilfælde kan da funktionen g = f betragtes. Antag altså f(a) < 0, f(b) > 0. Betragt en mængde A := {x [a; b] f(x) 0}. Vi har a A, x b for x A. Dvs. A er en ikke-tom opadtil begrænset delmængde af R. Altså kan c := supa betragtes. Påstand: f(c) = 0. Vi skal vise, at 1) f(c) 0 og 2) f(c) 0. Bevis for 1): Af CZ Sætning følger: Til ethvert n N findes x n A, så x n c < 1 n. Følgen x n konvergerer altså mod c. Af Sætning (Kalkulus) følger, at da f er kontinuert i c og x n konvergerer mod c, så konvergerer f(x n ) mod f(c). Vi har f(x n ) 0 da x n A. Bevis ved modstrid: Antag f(c) > 0. Da nu 1 2 f(c) > 0, og da f(x n) f(c), n, findes n 0 N, så f(c) f(x n0 ) < 1 2 f(c). Dvs. f(c) f(x n0 ) < 1 2 f(c) (da f(c) > 0 og f(x n 0 ) 0). Altså 0 < 1 2 f(c) < f(x n 0 ). MODSTRID! Derfor har vi, at f(c) 0. Bevis for 2): Vi ved nu, at f(c) 0. Altså er c < b, dvs. b c > 0. Altså findes n 0 N, så 1 n 0 < b c. Da fås 1 n < b c for n n 0, dvs. c + 1 n < b for n n 0. Da følgen c + 1 n, n n 0 konvergerer mod c, har vi, at følgen f ( c + 1 n), n n 0 konvergerer mod f(c). 24

25 Da c + 1 n, n n 0 er strengt større end c, følger c + 1 n / A. (c er supremum for A) Altså er f(c + 1 n ) > 0 for n n 0. Da f(c + 1 n ) f(c), fås heraf f(c) 0. Da vi nu har, at f(c) og f(c) 0, er f(c) = 0, og sætningen er bevist. Korollar 3. (Tom Lindstrøm: Kalkulus, Korollar 5.2.2) Lad g : [a; b] R og h : [a; b] R være to kontinuerte funktioner, sådan at g(a) < h(a) og g(b) > h(b). Da findes der et c ]a; b[ så g(c) = h(c). Med andre ord, de to funktioner har et skæringspunkt i intervallet ]a; b[. Bevis. Da g og h er kontinuerte, er f = g h det også. Vi ser, at f(a) = g(a) h(a) < 0 og f(b) = g(b) h(b) > 0, så ifølge Skæringssætningen findes et punkt c ]a; b[ så f(c) = 0. Men så er også g(c) h(c) = 0 g(c) = h(c), og sætningen er bevist. 25

26 Appendix: Resterende pensum Euklids elementer Første del af Euklids elementer er gennemgået ud fra et scan af danske noter (hent filen: lokalt (fra samme mappe som dette dokument) eller fra nettet). Samtlige definitioner og forudsætninger er gennemgået, såvel som beviserne for sætning 1-6. Konstruktion af R ved hjælp af Cauchy-følger Der er gennemgået frem til men ikke med Theorem 7 (side 17) ud fra noterne Contruction of the real numbers af Ian Kiming (hent filen: lokalt (fra samme mappe som dette dokument) eller fra nettet). 26

27 Indeks på R, 21 ækvivalensklasser, 15 ækvivalensrelation, 14 antisymmetrisk relation, 11 Archimediske egenskab ved R, 23 bijektiv, 16 billede, 17 Cauchy-følger, 26 delmængde, 5 direkte bevis, 4 disjunkte mængder, 6 disjunktion, 2 division, 19 eksempel, 3 eksistenssætning, 3 entydighedssætning, 3 Euklids elementer, 26 fællesmængde, 6 foreningsmængde, 6 fuldstændig induktion, 9 funktion, 16 implikation, 2 induktion, 8 infimum, 12 infimumsegenskab, 12, 13, 22 injektiv, 16 intervaller, 5 invers funktion, 16 irreducible polynomier, 9 komplementærmængde, 5 konjunktion, 2 kontraposition, 4 kvantorer, 2 legeme, 19 legemsaxiomerne, 19 logik, 2 mængdelighed, 5 mængder, 5 modeksempel, 3 modstrid, 3, 4 negation, 2, 3 numerisk værdi, 22 ordensaxiomet, 20 ordensrelation, 11 originalmængde, 16 partiel ordning, 11 partition, 14 parvist disjunkte elementer, 13 potensmængde, 7 prædikat, 2 primtal, 10 reducible polynomier, 9 refleksiv relation, 11 regneregler for numerisk værdi, 22 rekursion, 10 relationer, 11 sammensætning, 16 sammensat tal, 10 sandhedstabel, 3 skæringssætningen, 24 slutninger, 2 subtraktion, 19 supremum, 12 supremumsaxiomet, 22 supremumsegenskab, 12, 13, 22 surjektiv, 16 symmetrisk relation, 11 tautologi, 3 tomme mængde, 5 total ordning, 11 total ordning på R, 21 transitiv relation, 11 Tredelingsloven, 11 udsagn, 2 urbillede, 16 27

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

83 - Karakterisation af intervaller

83 - Karakterisation af intervaller 83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde

Læs mere

Elementær Matematik. Mængder og udsagn

Elementær Matematik. Mængder og udsagn Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder 2. udgave. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder 2. udgave. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder 2. udgave Jesper Lützen Juli 2019 ii Indhold Introduktion ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?..................

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Matematiske metoder - Opgavesæt

Matematiske metoder - Opgavesæt Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Matematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming

Matematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7

Læs mere

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Konstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit

Konstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit Keeping it real Konstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit Speciale 10. januar 2018 Pernille Andersen Rikke Bod Lund Matematisk Institut Skjernvej 4A 9220 Aalborg

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Note om endelige legemer

Note om endelige legemer Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på

Læs mere

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,

Læs mere

Opgaver i logik, torsdag den 20. april

Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur 6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 27. oktober 2004 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Udsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013

Udsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013 Udsagnslogik Anker Mørk Thomsen 6. december 2013 Logiske Udsagn Sætningstyper Spørgende (interrogative): Hvor længe bliver du i byen? Befalinger (imperative): Gå tilvenstre efter næste sving? Ønsker (optative):

Læs mere

Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018

Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018 Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 23. august, 2016, 9.00-13.00 Dette eksamenssæt består af 11 nummerede sider med 16 opgaver. Alle opgaver er multiple

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,

Læs mere

2. Gruppen af primiske restklasser.

2. Gruppen af primiske restklasser. Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative

Læs mere

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f

Læs mere

DM72 Diskret matematik med anvendelser

DM72 Diskret matematik med anvendelser DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007 ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som

Læs mere

K 7 - og K 4,4 -minors i grafer

K 7 - og K 4,4 -minors i grafer Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske Fag K 7 - og K 4,4 -minors i grafer Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske

Læs mere

Matematik Camp Noter og Opgaver

Matematik Camp Noter og Opgaver Matematik Camp 2018 Noter og Opgaver Freja Elbro Simon Skjernaa Erfurth Jonas Rysgaard Jensen Benjamin Muntz Anders Jess Pedersen Eigil Fjeldgren Rischel Nikolaj Jensen Ulrik Indhold Indhold i 1 Introduktion

Læs mere

Matematik 2AL, vinteren

Matematik 2AL, vinteren EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011 Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 29. maj 2017. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

Lokalt ekstremum DiploMat 01905

Lokalt ekstremum DiploMat 01905 Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Uendelighed og kardinalitet

Uendelighed og kardinalitet Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere