Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1
Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning Definition 1 Lad I, J være åbne intervaller og F (x, y) : I J R en reel funktion. En løsning til differentialligningen dy dx = F (x, y) er en differentiabel funktion y(x) : I J på et åbent delinterval I I, som indsat giver y (x) = F (x, y(x)), x I Calculus 2-2004 Uge 49.2-2
Eksistens og entydighed [LA] 17 Generel ligning Sætning 32 Antag at F (x, y) er kontinuert og F (x, y) eksisterer og er y kontinuert i I J. For et givet (x 0, y 0 ) I J findes entydigt bestemt et maximalt delinterval I I og en differentiabel funktion y(x) : I J, som er en løsning til differentialligningen dy dx = F (x, y) og opfylder y(x 0 ) = y 0 Calculus 2-2004 Uge 49.2-3
Eksistens og entydighed [LA] 17 Generel ligning Bemærkning 1 Den udvidede ligning dy dx = F (x, y), y(x 0) = y 0 kaldes et begyndelsesværdiproblem. Eksistens- og entydighedssætningen for begyndelsesværdiproblemer har en naturlig og vigtig udvidelse til differentialligningssystemer. Calculus 2-2004 Uge 49.2-4
Eksistenseksempel [LA] 17 Generel ligning Eksempel 1 Differentialligningen dy dx = x3 y + e xy har løsningskurver igennem ethvert (x 0, y 0 ) R R. Løsninger kan ikke umiddelbart udtrykkes ved kendte elementære funktioner. Calculus 2-2004 Uge 49.2-5
Elementære funktioner [LA] 17 Generel ligning Eksempel 2 Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet dy dx = y, y(0) = 1 er eksponentialfunktionen y(x) = e x Calculus 2-2004 Uge 49.2-6
Elementære funktioner [LA] 17 Generel ligning Eksempel 2 - fortsat Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet er de trigonometriske funktioner dy 1 dx = y 2 dy 2 dx = y 1 y 1 (0) = 1, y 2 (0) = 0 y 1 (x) = cos x y 2 (x) = sin x Calculus 2-2004 Uge 49.2-7
Grafisk løsning [S] 7.2 Direction fields... ; [LA] 17 Generel ligning Eksempel 1 - Retningsfelt dy dx = x3 y + e xy y 1 0 1 x Calculus 2-2004 Uge 49.2-8
Logistisk ligning grafisk [S] 7.5 The logistic equation Eksempel For den logistiske ligning dp dt = 0.08P (1 P 1000 ) prøver vi at tilnærme graferne for løsningerne med små tangentstykker. I et givet punkt (t 1, P 1 ) vil en tangent have ligning P = P 1 + 0.08P 1 (1 P 1 1000 )(t t 1) Calculus 2-2004 Uge 49.2-9
Grafisk løsning [S] 7.5 The logistic equation Retningsfelt P 1000 0 100 t Calculus 2-2004 Uge 49.2-10
Logistisk ligning - Eulers metode [S] 7.5 The logistic equation Eksempel 2 For det logistiske begyndelsesværdiproblem dp dt = 0.08P (1 P ), P (0) = 100 1000 prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet i små intervaller. I et givet punkt (P n, t n ) vil differentialet være og dp = 0.08P n (1 P n 1000 )dt P P n + 0.08P n (1 P n 1000 )(t t n) Calculus 2-2004 Uge 49.2-11
Eulers metode [S] 7.5 The logistic equation Eulers metode Tabellæg løsning til dp dt = 0.08P (1 P ), P (0) = 100 1000 n t n P n 1 10.0 172.0 2 20.0 285.9 3 30.0 449.3 4 40.0 647.2 5 50.0 829.9 n t n P n 6 60.0 942.8 7 70.0 985.9 8 80.0 997.0 9 90.0 999.4 10 100.0 999.9 Calculus 2-2004 Uge 49.2-12
Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel For Lotka-Volterra systemet dr dt dw dt = kr arw = rw + brw er hastighedsfeltet i RW -planen givet ved vektorerne ( dr dt, dw ) = (kr arw, rw + brw ) dt Calculus 2-2004 Uge 49.2-13
Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 For Lotka-Volterra systemet k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02, b = 0.00002 dr dt dw dt = 0.08R 0.001RW = 0.02W + 0.0002RW tegnes hastighedsfeltet i RW -planen. Calculus 2-2004 Uge 49.2-14
Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 - figur W 100 0 1000 Hastighedsfeltet R Calculus 2-2004 Uge 49.2-15
Eulers metode [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 - Eulers metode For Lotka-Volterra systemet k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02, b = 0.00002 dr dt dw dt = 0.08R 0.001RW = 0.02W + 0.0002RW prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet. I et givet punkt (R n, W n ) vil differentialet være dr = (0.08R n 0.001R n W n )dt dw = ( 0.02W n + 0.0002R n W n )dt Calculus 2-2004 Uge 49.2-16
Eulers metode [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 - Eulers metode Tabellæg løsning til R = 1000 og W = 75 månedsvis: n R n W n 0 1000 75 1 1005 75 2 1010 75 3 1015 75 4 1020 75 5 1025 75 6 1030 75 n R n W n 7 1035 75 8 1040 75 9 1045 75 10 1050 75 11 1055 75 12 1060 75 13 1065 76 n R n W n 14 1069 76 15 1074 76 16 1079 76 17 1083 76 18 1087 76 19 1091 76 20 1095 76 Calculus 2-2004 Uge 49.2-17
Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel Vi viser nu hastighedsfelter for forskellige lineære systemer. figur 1 To positive egenværdier figur 2 En positiv og en negativ egenværdi figur 3 En egenværdi med multiplicitet 2 figur 4 Ingen reelle egenværdier Calculus 2-2004 Uge 49.2-18
Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Figur 1 To positive egenværdier y 2 y 1 Calculus 2-2004 Uge 49.2-19
Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Figur 2 En positiv og en negativ egenværdi y 2 y 1 Calculus 2-2004 Uge 49.2-20
Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Figur 3 En egenværdi med multiplicitet 2 y 2 y 1 Calculus 2-2004 Uge 49.2-21
Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Figur 4 Ingen reelle egenværdier y 2 y 1 Calculus 2-2004 Uge 49.2-22
Ligevægt og stabilitet [LA] 18 Stabilitet Definition 1 En differentialligning dy dx = F (y) kaldes et autonom system. En konstant løsning y(x) = b, F (b) = 0 kaldes en ligevægt. En ligevægt kaldes (lokal) stabil, hvis enhver løsning y(x) som kommer tilstrækkelig tæt på b, vil konvergere mod b for x gående mod uendelig. I modsat fald kaldes ligevægten ustabil. Der er en oplagt udvidelse til differentialligningsystemer. Calculus 2-2004 Uge 49.2-23
Ligevægt og stabilitet [LA] 18 Stabilitet Bemærkning 1 I en omegn af en ligevægt y(x) = b, F (b) = 0 kan det autonome begyndelsesværdiproblem dy dx = F (y), y(x 0) = b + ɛ tilnærmes med den lineære ligning hvor y(x) b + z(x). dz dx = F (b)z, z(x 0 ) = ɛ Calculus 2-2004 Uge 49.2-24
Ligevægt og stabilitet [LA] 18 Stabilitet Bemærkning 2 For en ligevœgt y(x) = b, F (b) = 0 for det autonome system gœlder F (b) < 0: Stabil ligevœgt. F (b) > 0: Ustabil ligevœgt. F (b) = 0: Ingen konklusion. dy dx = F (y) Calculus 2-2004 Uge 49.2-25
Ligevægt og stabilitet [LA] 18 Stabilitet Bemærkning 2 - figur y y Fasediagram y = F (y) Calculus 2-2004 Uge 49.2-26
Logistisk stabilitet [LA] 18 Stabilitet Eksempel 1 Den logistiske ligning dp dt = kp (1 P K ) har ligevægts løsninger og P (t) = 0, P (t) = K F (P ) = 2k K P + k F (0) = k > 0: 0 Ustabil ligevœgt. F (K) = k: K Stabil ligevœgt. Calculus 2-2004 Uge 49.2-27
Logistisk stabilitet [LA] 18 Stabilitet Eksempel 1 - figur P P Fasediagram P = kp (1 P K ) Calculus 2-2004 Uge 49.2-28
Lotka-Volterra stabilitet [LA] 18 Stabilitet Eksempel 2 For Lotka-Volterra systemet, a, b, k, r > 0, dr dt dw dt = kr arw = rw + brw er der to ligevægtsløsninger (R, W ) = (0, 0), (R, W ) = (r/b, k/a) Calculus 2-2004 Uge 49.2-29
Lotka-Volterra stabilitet [LA] 18 Stabilitet Eksempel 2 - fortsat I (R, W ) = (0, 0) er den lineære approximation som giver en ustabil ligevægt. dr dt = kr dw = rw dt Calculus 2-2004 Uge 49.2-30
Lotka-Volterra stabilitet [LA] 18 Stabilitet Eksempel 2 - fortsat I (R, W ) = (r/b, k/a) er den lineære approximation for ( R, W ) = (R r/b, W k/a) d R dt = ar b W d W = bk dt a R som har en ustabil ligevægt. Man kan vise, at løsningskurverne t (R(t), W (t) for det oprindelig system er deformationer af cirkler omkring ligevægtspunktet. Der er altså en cyklisk udvikling i modellen. Calculus 2-2004 Uge 49.2-31