DEN GENERELLE SOLOWMODEL = SOLOW-MODELLEN ilbage til lukket økonomi MAKRO 2 2 årsprøve Forelæsning 3 Kapitel 5 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen econkudk/okojacob/makro-2-f09/makro Basal Solowmodel: Ingen vækst i BNP per arbejder i steady state Empirisk problem Nu: Den egentlige Solowmodel: otal-faktorproduktiviteten antages at vokse med en konstant, eksogen rate! Eneste ændring! Dét giver steady state med balanceret vækst og konstant, positiv vækstrate i BNP per arbejder Dermed bliver konvergensen mod steady state også mere interessant, empirisk set Kilden til langsigtet vækst i BNP pr mand i denne model: Eksogen teknologisk vækst Måske ikke dybt, men: - Ikke trivielt, at resultatet er balanceret vækst i steady state, - betryggende for anvendelser, at modellen er i overensstemmelse med en fundamental empirisk regularitet, og - vi kommer til endogen teknologisk vækst Perspektiv: Hvordan skabes udvikling og velstand?
SOLOWMODELLENS MIKROVERDEN er helt som den basale Solowmodels, fx: LUKKE økonomi VARER er output, kapitalydelser og arbejdsydelser med realpriser 1, r t og w t (énsektormodel) AKØRER er forbrugere og virksomheder (stat), essentielt set med samme adfærd, specielt: Én repræsentativ, profitmaksimerende virksomhed beslutter K d t og Ld t givet r t og w t Én forskel: Produktionsfunktionen rummer mulighed for teknologisk udvikling Med Kt d = K t og L d t = L t indsat: Y t = B t Kt α Lt, 0 <α<1 Hele forløbet (B t ) eksogent, B t > 0 for alle t Specialtilfælde: B t = B Dvs:Generalisering PRODUKIONSFUNKIONEN med EKNISKE FREMSKRID Y t = B t K α t L t med et givet forløb (B t ) Y t = K α t (A t L t ) med forløb (A t ), A t B 1 t Med Cobb-Douglas gør det ingen forskel, om vi beskriver den tekniske udvikling ved et forløb (B t ) forfpellerved det tilsvarende forløb for arbejdsproduktivitets-variablen A t Det sidste er det smarteste her Det eksogene forløb (A t ) er givet ved: A t+1 =(1+g) A t, g > 1 A t =(1+g) t A 0, g > 1 Disse tekniske fremskridt kommer som manna fra himlen (kræver ingen indsats af økonomiske ressourcer)
Husk definitionerne: y t Y t /L t og k t K t /L t DividérpåbeggesiderafY t = K α t (A tl t ) med L t for per capita-produktionsfunktionen : Herfra fås: y t = k α t A t DEN FULDSÆNDIGE SOLOW-MODEL r t = αk α 1 t Y t = K α t (A t L t ), (A t L t ) = α Kt A t L t 1, w t =() Kt α L α t A Kt t =() A t, A t L t ln y t = α ln k t +(1 α)lna t ln y t ln y t 1 = S t = sy t, K t+1 K t = S t δk t, K 0 α (ln k t ln k t 1 )+(1 α)(lna t ln A t 1 ) L t+1 =(1+n) L t, L 0 g y t = αgk t +(1 α) g A t = αg k t +(1 α) g A t+1 =(1+g) A t, A 0 Vækst i y t kan komme fra præcis to kilder, og gt y vejede snit af gt k og ga t med vægte α og 1 α er det Parametre: α, s, δ, n, g Ladg>0 ilstandsvariable:, og Hvis, som i balanceret vækst, K t /Y t er konstant, da er g y t =? Fuld model? Ja, givet K 0, L 0 og A 0 bestemmer den (K t ), (L t ), (A t ), (Y t ), (r t ), (w t ), (S t )
Bemærk: r t K t = αk α t (A t L t ) = αy t, w t L t =(1 α)k α t (A t L t ) =(1 α) Y t Dvs igen: Kapitalens andel = α, lønandel=1 α, renprofit =0 Kalibrering af α fortsat α 1/3 Bemærk også: Hvis vi definerer effektivt arbejdsinput som L t A t L t,såer L t+1 =(1+n)(1+g) L t (1 + ñ) L t, og modellen er i matematisk struktur identisk med den basale Solow-model (med L t istdetforl t og ñ istedet for n og med B =1)! Vi kunne i princippet blot oversætte hele analysen af den basale Solow-model, men ANALYSE AF SOLOWMODELLEN Hvis A t L t har indtaget den plads, L t havde i den basale Solow-model, og der ikke er andre ændringer, så må den ny model kunne analyseres i variable: K t k t = k t og ỹ t Y t = y t, A t L t A t A t L t A t som går mod konstante steady-state-værdier I så fald vil kapitalintensiteten k t ikke gåmodenkonstant værdi, men mod at vokse med konstant rate g! Og det samme må så gælde y t! Og hvis både k t og y t går mod konstant at vokse med rate g, såmåkapital-outputforholdet,k t /Y t = k t /y t, gå mod at være konstant! Dette er et hovedkrav for balanceret vækst Så det ser ud til, vi kan få konvergens mod steady state med konsantt vækst i BNP per arbejder (capita) og under balanceret vækst
1 Definér: k t k t A t = K t A t L t, og ỹ t y t A t = 2 Fra Y t = K α t (A tl t ) er: ỹ t = k α t 3 Fra K t+1 K t = S t δk t og S t = sy t fås: K t+1 = sy t +(1 δ) K t Y t A t L t 4 Divider med A t+1 L t+1 =(1+g)(1 + n)a t L t på begge sider: k t+1 = 1 ³ sỹt +(1 δ) k t k t+1 = RANSIIONSLIGNINGEN 1 ³ s k t α +(1 δ) k t Givet k 0 = K 0 /(A 0 L 0 ) fastlægger den ( k t ),ogdermed (ỹ t ) fra ỹ t = k α t Herfra: y t A t ỹ t = A t k α t =(1+g) t A 0 k α t, 5 Indsæt ỹ t = k t α for RANSIIONSLIGNINGEN: 1 ³ k t+1 = s k t α +(1 δ) k t 6 Fratræk k t på begge sider for SOLOW-LIGNINGEN: k t+1 k t = 1 ³ s k t α () k t og så: c t =(1 s)y t, r t = α ³ k t α 1, w t =(1 α)a t k α t
KONVERGENS IL SEADY SAE: RANSIIONSDIGRAMME 1 ³ k t+1 = s k t α +(1 δ) k t, d k t+1 d k t = sα k α 1 t +(1 δ) Foreløbige konklusioner: På langt sigt går k t k t /A t og ỹ t y t /A t mod konstante niveauer, hhv k og ỹ Definerer steady state I steady state må da både k t og y t voksemedsammerate som A t, altså med raten g, og capital-output-forholdet K t /Y t = k t /y t må være konstant Der er altså konvergens mod et forløb, hvor y t vokser med konstant rate, og K t /Y t er konstant lim kt d k t+1 /d k t < 1 n+g +δ +ng > 0 Yderst plausibel betingelse Antages! Vi har ikke fuldt ud godtgjort, at der er balanceret vækst i steady state, men det kommer nu Konvergens mod k ilsvarende: ỹ t ỹ =( k ) α
Solow-ligningen: k t+1 k t = SEADY SAE 1 ³ s k t α () k t med k t+1 k t = k giver: k = ỹ = s! 1 s Steady state-vækstbaner for nøglevariable: Fra k t k t /A t og ỹ t y t /A t :! 1 kt s = A t, yt s = A t Da c t =(1 s)y t : c t = A t (1 s) Fra r t = α Kt A t L t s 1 og w t =(1 α)! 1 r s = α w t = A t (1 α) Kt A t L t s A t : Der er balanceret vækst i steady state: k t, y t og w t vokser med samme konstante rate g, (og dermed er k t /y t og w t /y t konstante) og r t er konstant Projektet gik godt: Vi fik positiv vækst i BNP pr mand i steady state (langsigtsforudsigelsen) og i en realistisk form (balanceret vækst)
SRUKUREL POLIIK FOR SEADY SAE Output pr mand og forbrug prmand i steady state: yt = A 0 (1 + g) t s c t = A 0 (1 + g) t (1 s) s Golden rule: s, der maksimerer hele banen c t er s = α Elasticiteter i y t mht s og n+g+δ er α hhv α Politikimplikationer fra steady state i høj grad som i den basale Solowmodel: Fremme af opsparing og kontrol med befolkningsvæksten Problematisering: Aldringsproblemet Dognyparameterg (A 0 svarer til B) Stort g ønskeligt, men hvordan uddrage politikkonklusioner? Endogen vækst ln y t =lna t + EMPIRI FOR SEADY SAE yt s = A t α [ln s ln ()] 1 α Antag alle lande er i steady state i 2000! Antag (heroisk!) A t ens i alle lande i 2000 Sæt (plausibelt) g + δ =0075 Lad y i 00 betegnebnpperarbejderiår2000ilandi Lad s i og n i betegne hhv investeringsrate og årlig befolkningsvækstrate i land i, her opgjort som årsgennemsnit over 1960-2000 Ovenstående peger på regressionsligning på tværs af lande: med γ 1 = ln y i 00 = γ 0 + γ 1 h ln s i ln ³ n i +0075 i, α 1 2 for α 1/3
OLS-estimation på tværs af 86 lande giver: ln y00 i h = 8812 + 147 ln s i ln ³ n i +0075 i, (se=014) R 2 = 055 Kausalitetsproblemerne: Er det i virkeligheden y derpåvirkerogforklarers og n? Eller er der en udeladt faktor, der forklarer såvel y som s og n på en måde, der skaber den observerede korrelation mellem disse? Høj signifikans! Høj R 2! Men estimeret γ 1 passer dårligt med den modelbaserede værdi på 1/2 Eller: =147 α =060! α Pæn sammenhæng mellem teori og empiri, men: Modellen undervurderer kraftigt de strukturelle parametres indflydelse på BNP per arbejder! wwwearthinstitutecolumbiaedu/about/director/pubs/024pdf Empirien beviser ikke gyldigheden af s, n y, men denne udsigelse følger af en teoretisk plausibel model og er ikke i modstrid med empirien Komparativ analyse i Solow-diagrammet: LÆS SELV!
KONVERGENS I SOLOW-MODELLEN Modificeret Solow-ligning og -diagram: k t+1 k t k t = 1 h s k t α 1 () i (1+n)(1+g) KONVERGENSPROCESSEN EMPIRISK Hvad siger modellen mere præcist om konvergensprocessen? Hvordanpasserdettemedempirien? Start fra transitionsligningen: k t+1 = 1 ³ s k t α +(1 δ) k t G ³ k t, og end med formel for vækstraten i y t (gennemsnit fra 0 til ) som funktion af strukturelle parametre og intialt y 0 Gøresvedlinearisering omkring stedy state mm Bemærk: G har en helt bestemt definition, og vi kan finde G 0 ( k t ) Når denne evalueres i steady state: Overensstemmelse med betinget konvergens: o lande med samme α, s, δ, n, g (og A 0 ) G 0 ( k )= 1 [α ()+(1 δ)] Nemt at se: 0 <G 0 ( k ) < 1
Matematisk indskud: Betragt en differentiabel funktion y = f(x), som går igennem et punkt x, ȳ, altsåȳ = f( x) Så gælder: Indskud slut y ȳ = f(x) f( x) = f 0 ( x)(x x) (1) Brug (1) på k t+1 = G ³ k t og husk k = G( k ): k t+1 k = G 0 ³ k ³ k t k Denne giver approksimativt den rigtige dynamik, og den er lineær! Stabilitet mod k,da0 <G 0 ³ k < 1 Brug (1) igen, nu på ln k t : ln k t ln k = 1 k ³ k t k k t k = k ³ ln k t ln k Så kan k t+1 k = G 0 ³ k ³ k t k omskrives til: ln k t+1 ln k = G 0 ³ k ³ ln k t ln k Brug nu ỹ t = k α t ln ỹ t = α ln k t : ln ỹ t+1 ln ỹ = G 0 ³ k (ln ỹ t ln ỹ ) ln ỹ t+1 ln ỹ t = ³ 1 G 0 ³ k (ln ỹ ln ỹ t ) λ (ln ỹ ln ỹ t ) Konvergensegenskaben: Hver periode lukkes andelen λ af resterende gap Konvergensraten er: λ 1 G 0 ³ k = (1 α)(n + g + δ), hvor 0 <λ<1
Vi står med differensligningen: ln ỹ t+1 ln ỹ t = λ (ln ỹ ln ỹ t ) ln ỹ t+1 =(1 λ)lnỹ t + λ ln ỹ Matematisk indskud: Fra x t+1 = ax t + b fås succesivt: x 1 = ax 0 + b x 2 = ax 1 + b = a 2 x 0 + ab + b Form: x t+1 = ax t + b a 1 λ og b λ ln ỹ x 3 = ax 2 + b = a 3 x 0 + a 2 b + ab + b x t = b(1 + a + a 2 + + a t 1 )+a t x 0 Løsning - har i lært i matematik: Bliver her til: x t = b 1 at 1 a + at x 0 Her bruges: S = 1+a + a 2 + + a t 1 as = a + a 2 + + a t 1 + a t (1 a)s =1 a t S = 1 at 1 a ln ỹ t = h 1 (1 λ) ti ln ỹ +(1 λ) t ln ỹ 0 Derfor: x t = b 1 at 1 a + at x 0 Indskud slut
For t = : ln ỹ = h 1 (1 λ) i ln ỹ +(1 λ) ln ỹ 0 ln ỹ ln ỹ 0 = h 1 (1 λ) i (ln ỹ ln ỹ 0 ) ln y ln y 0 1 (1 λ) = ln A ln A 0 + (ln A 0 +lnỹ ln y 0 ) Indsæt (ln A ln A 0 ) / = g og ỹ fra steady state Fører til konvergensligningen: µ ln A 0 + ln y ln y 0 = g + 1 (1 λ) α 1 α [ln s ln(] ln y 0 ln y ln y 0 1 (1 λ) = g+ 1 (1 λ) ln A 0 1 (1 λ) α + [ln s ln(] 1 α Antag at g og A 0 er ens i alle lande! Regression: g i,0 = β 0 β 1 ln y i 0 + β 2 h ln s i ln(n i +0075 i, hvor β 1 = 1 (1 λ) og β 2 = α β 1 Estimeret (ved OLS) på 90 lande over 1960-2000: g i 00,60 = 0063 (se=0013) 0006 (se=00015) ln yi 60 h + 0020 ln s i ln(n i +0075 i, adj R 2 =040 (se=00025) ln y 0 Denne er intuitiv forståelig! Omskriv lidt:
Dette ser meget godt ud: Signifikante parametre og fin R 2 osv Konflikter ikke afgørende med antagelsen om samme g og A 0 i alle lande Men: Vi har to endogeniseringer af konvergensraten: 1 Fra teorien: λ = (1 α)(n + g + δ) λ omkring 5% 2 Fra empirien: β 1 = 1 (1 λ) λ =1 (1 β 1 ) 1 Giver med estimeret β 1 =0, 006 og =40et λ på 0,7% Modellen overvurderer kraftigt konvergens-hastigheden! At konvergere med en hast svarende til Solow-modellens teoretiske udsigelse er at konvergere meget hurtigt! Både mht steady state og mht konvergens klarer Solowmodellen sig godt empirisk, men begge steder med et problem omkring størrelsesordener KONKLUSIONER, SOLOWMODELLEN Økonomisk politiske implikationer stort set de samme som udledt fra den basale Solow-model Modellens steady state udviser balanceret vækst med konstant og positiv vækstrate i BNP per arbejder Hermed skaber modellen overensstemmelse med fundamentale stylized facts Den underliggende forklaring, eksogen teknologisk vækst, dog ikke så dyb Modellens stady state-udsigelse klarer sig godt empirisk dog med klar tendens til, at modellen undervurderer graden, hvormed investeringsrate og befolkningsvækstrate påvirker indkomst per arbejder Modellens konvergens-udsigelse (udsigelsen om vækstprocessen udenfor steady state) klarer sig også godt empirisk, men med klar tendens til, at modellen overvurderer konvergenshastigheden