Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i µ (eller σ) - Baseret på t- og F-fordeligere - Forudsætter data på iterval/ratioskala - Forudsætter ormalfordelte geemsit. - Forudsætter variashomogeitet Statistik baseret på ragtal - Tester for forskel i media - Forudsætter data på midst ordialskala med (omtret) samme uderliggede fordelig Statistik af frekvesdata - Forudsætter ku omialskala
Betigelser for parametriske tests Observatioere skal være uafhægige Data på midst itervalskala Geemsittee skal være ormalfordelte. M7, slide 3 Hvis der er mere ed é stikprøve, skal de to stikprøvers uderliggede fordeliger have de samme varias (testes med F- test) Ikke-parametriske tests af forskel i cetral tedes Vægter forskel i media ved hjælp af ragtal Data skal være på midst ordialskal De forskellige stikprøver skal have (omtret) samme uderliggede ui-modale fordelig omkrig de cetrale tedes. M7, slide 4
Hvad er det der testes for? Tests af fordeligers cetrale tedes Parametriske tests: µ ( ) Ikke-parametriske tests: media Tests af fordeligers forløb/spredig M7, slide 5 Parametriske tests: σ (s ) ( F-testet ) Ikke-parametriske tests: D ma = største forskel mellem de kummulerede hyppighedsfordeliger Test af fordeligers forløb Kolmogorov-Smirov test (ikke pesum) f() 8 7 6 5 4 3 0 Vægter de største relative forskel mellem de kummulerede hyppighedsfordeliger D ma kumm P() 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 M7, slide 6 3
Test for variashomogeitet Forudsætig for parametriske tests af µ H 0 : De to stikprøver har es varias (σ =σ =σ ). H : De to stikprøver har forskellig varias (σ σ ). F = ν ν S S ma mi ν = atal frihedsgrader for S ma og ν = atal frihedsgrader for S mi. (Appedi 8 i FCJ 998) M7, slide 7 Tests for forskelle i cetral tedes Atal stikprøver Parametriske Ikkeparametriske (uafhægige obs) (afhægige obs) K (uafhægige obs) K (afhægige obs) T-test for forskel i teoretisk middelværdi Studet s t-test t-test for afhægige stikprøver (-way ANOVA) (-way ANOVA) (Sig-testet) χ -sample test Ma-Whitey U-test Wilcoo test (Sig-testet) Kruskall-Wallis test (Friedma s test) M7, slide 8 Tests agivet i paretes er ikke pesum! 4
t-test for teoretisk middelværdi. Tester om e stikprøves geemsit afviger sigifikat fra e teoretisk middelværdi (µ). µ µ tν = = s SE( ) v = Sadsylighedsfordelige for de værdier geemsittee vil atage, hvis = µ og SE( ) agiver spredige af geemsittee: f() 0 5 0 s() = stadardafvigelse på ekeltobservatioere 0 3 4 5 6 7 8 9 0 - værdi af ekeltobservatioer s( )=SE ( ) = stadardafvigelse af geemsittee Sadsylighede for at H 0 er sad, svarer til det areal af t-fordelige, som ligger lægere borte fra geemsittet ed de hypoteteiske µ (oe-tailed hypotese) eller til dette areal (two-tailed hypotese). M7, slide 9 (oe-sample t-test) µ (hypotetisk værdi) Eksempel: Overstiger kviksølvsidholdet i fisk græseværdie på ppm? X=.45, s =0.34, =40 SE( X)=(0.34/40) ½ =0.0579 H 0 : µ ppm, H : µ> ppm (NB! oe-tailed), α=5% µ tν = = s v = µ SE ( ).45 t 39 = =.505 0.0570 SE ( ) = 0.0579 Appedi : 0.0>p>0.005. H 0 forkastes H accepteres: Græseværdie på ppm er overskredet M7, slide 0 (oe-sample t-test) µ.45 5
Mere ed stikprøve: Hvorda tester vi om e forskel er reel? - F.eks. Effekt af daglægde på kocetratio af stess-homo i mus X afhæger af: - Effekt af behadlig sigal -Variatio ml. idivider støj - Variatio mellem måliger støj M7, slide Udsat for behadlig ( timer dagslys) Udsat for behadlig (4 timer dagslys) Uafhægige stikprøver: Udersøger forskelle I respos mellem forskellige grupper af uafhægige observatioer X afhæger af: - Effekt af behadlig sigal -Variatio ml. idivider støj - Variatio mellem måliger støj M7, slide Udsat for behadlig ( timer dagslys) Udsat for behadlig (4 timer dagslys) 6
Afhægige stikprøver: Udersøger forskelle i respos ide for de samme observatiosehed X afhæger af: - Effekt af behadlig sigal -Variatio ml. idivider støj - Variatio mellem måliger støj M7, slide 3 Udsat for behadlig ( timer dagslys) Udsat for behadlig (4 timer dagslys) Uafhægige stikprøver Testee vægter forskel i stikprøveres cetrale tedes i forhold til fordeligeres spredig Afhægige stikprøver Testee baseret på værdier af differecer mellem koblede observatioer Stikprøve Stikprøve Behadlig Behadlig Differece 3 3 4 3 3 = D = D = D 3 = D Media Media 0 D D M7, slide 4 D 7
Tests for uafhægige stikprøver t-test for uafhægige stikprøver (Studet s t-test) Agiver sadsylighede for at to stikprøvers geemsit repræseterer de samme middelværdi: H 0 : De to stikprøver har de samme middelværdi (µ =µ =µ). H : De to stikprøver har ikke de samme middelværdi (µ µ ). Betigelser, som skal være opfyldte: Uafhægige observatioer og data på midst itervalskala: De to fordeligeres geemsit skal være ormalfordelte De to stikprøvers fordeliger skal have de samme varias (σ =σ =σ ) M7, slide 5 (Studet s t-test) 8
9 t-test for uafhægige stikprøver (Studet s t-test) Usikkerhede omkrig e differece: + + + = ) ( ) ( ).(. s s E S ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( SE t SE t = = ν ν µ µ ) ( ; ) ( ) ( ) ( + = + + + = s s t ν ν M7, slide 6 (Studet s t-test) Eksempel: kropslægde hos atugler M7, slide 7 (Studet s t-test)
Eksempel: kropslægde hos atugler H 0 : og er lige lage H : og er ikke lige lage α=5% s haer 364 3.7 9 huer 377 79. 3 Huer 0 8 Haer 0 8 6 6 f() 4 f() 4 0 35 359 366 374 38 389 396 404 0 338 344 350 356 36 368 374 380 386 39 Kropslægde (mm) kropslægde (mm) M7, slide 8 (Studet s t-test) t-test for uafhægige stikprøver: s haer 364 3.7 9 huer 377 79. 3 Test for variashomogeitet: H 0 : σ =σ =σ ; H : σ σ ; α=5% (Hvis H 0 forkastes, må data ete trasformeres [om muligt] eller e ikke-parametrisk test vælges i stedet) S 79. F ν ν = F 3,8 = =.350 3.7 S ma mi Appedi 8, kritiske værdier: F 30,8 =.44, F 40,8 =.38: Iterpolatio: F 3,8 =.44+(.38-.44) ([40-3]/[40-30]) =.38 + (-0.06) (9/0) =.43 P>0.05 H 0 accepteres: De to stikprøvers varias ka betragtes som es: Betigelser for t-testet er overholdt. M7, slide 9 (Studet s t-test) 0
t-test for uafhægige stikprøver: s haer 364 3.7 9 huer 377 79. 3 t ν t 49 ( ) = ;( ν = + ) ( ) s + ( ) s + + = (364 377) = 3.56 (9 )3.7 + (3 )79. 9 + 3 9 + 3 9 3 Appedi : p<0.0 H 0 forkastes H accepteres: Der er forskel i kropslægde på haer og huer: huer er lægere ed haer M7, slide 0 (Studet s t-test) Ma-Whitey s U-test Agiver sadsylighede for at uafhægige stikprøver har samme mediaværdi. Data skal være på midst ordialskala Fordeligere skal være uimodale De ekelte observatioer skal være idbyrdes uafhægige M7, slide (Ma-Whitey s U-test)
Ma-Whitey s U-test Beregigsprocedure /: ) Erstat værdier med ragtal (de laveste værdier tildeles de laveste ragtal). Ved sammefaldede værdier (ties), tildeles de sammefaldede værdier det geemsitlige ragtal for gruppe ) Summér ragtallee for hver stikprøve (kaldes R og R ) 3) Bereg teststørrelsere U og U :. U ( + ) = ( + ) + R = + R M7, slide (Ma-Whitey s U-test) U Ma-Whitey s U-test Beregigsprocedure /: 4) U fides som de midste af U og U. 5) Hvis eller er midre ed 0, fider ma om de fude værdi af U er lavere ed de tabulerede værdi, som vil føre til forkastelse af H 0. De observerede værdi af U skal være lavere ed tabelværdie for at føre til forkastelse af H 0. 6) Hvis eller er større ed 0, approimeres z (opslag i appedi ): U z = ( + +. M7, slide 3 (Ma-Whitey s U-test) )
Eksempel: Bytteudyttelse hos losser: Udyttelse: 0% 0% 5% 75% 00% M7, slide 4 (Ma-Whitey s U-test) H 0 : og m. afkom udytter edlagte byttedyr lige itesivt. H : og m. afkom udytter ikke edlagte byttedyr lige itesivt. (Two-tailed), α=0.05 Udyttelse: m. uger 0% 4 5 5% 3 75% 5 0 00% 8 0 I alt: 8 8 To stikprøver, data på ordialskala, uafhægige observatioer: Ma-Whitey s U-test M7, slide 5 (Ma-Whitey s U-test) 3
Ma-Whitey s U-test Udyttelse: f() F() ragtal 0% 4 5 9 9 5 5% 3 4 3,5 75% 5 0 5 8 6 00% 8 0 8 36 7,5 : : + : I alt: 8 8 36 Ragtal (rt) ved ties: rt() = F(-)+[+f()]/ rt(5%) = 9 + [ + 4]/ = 9 +.5 =.5 M7, slide 6 (Ma-Whitey s U-test) Ma-Whitey s U-test ragsum: Udyttelse: f() F() ragtal 0% 4 5 9 9 5 0 5 5% 3 4 3,5,5 34,5 75% 5 0 5 8 6 80 0 00% 8 0 8 36 7,5 495 0 : : + : R : R : I alt: 8 8 36 606,5 59,5 Check for korrekt rakig: R +R = ½( + ) (+ + ) 606.5+59.5 =½ 36 37 666 = 666 OK! M7, slide 7 (Ma-Whitey s U-test) 4
Ma-Whitey s U-test ragsum: Udyttelse: f() F() ragtal 0% 4 5 9 9 5 0 5 5% 3 4 3,5,5 34,5 75% 5 0 5 8 6 80 0 00% 8 0 8 36 7,5 495 0 : : + : R : R : I alt: 8 8 36 606,5 59,5 U = ( )+ ½ (+ ) R : 4+36 59.5= 00.5 U = ( )+ ½ (+ ) R : = 4+406 606.5= 3.5 Check for korrekt bereget U: U +U = : 00.5+3.5=8 8 4=4 OK! M7, slide 8 (Ma-Whitey s U-test) Ma-Whitey s U-test U = 3.5, =8, =8 Da >0, ka vi ikke beytte appedi 6... - til gegæld ka vi approimere z- fordelige: 8 8 U 3.5 = z z = = 3.368 ( + + ) 8 8(8+ 8+ ) appedi : P<0.0 H 0 forkastes H accepteres: og m. afkom udytter ikke edlagte byttedyr lige itesivt: spiser midre af deres edlagte bytte ed med afkom. M7, slide 9 (Ma-Whitey s U-test) 5
K uafhægige stikprøver Kruskall-Wallis test Sammeliger mediaværdiere for mere ed uafhægige stikprøver Data skal være på midst ordialskala De k stikprøver skal have (omtret) de samme uimodale fordeligstype M7, slide 30 (Kruskall-Wallis test) Kruskall-Wallis test:fremgagsmåde. Erstat de observerede værdier med ragtal (laveste værdi får det laveste ragtal osv.). Summér ragtallee for hver stikprøve (= R i for de i te stikprøve) 3. Bereg teststørrelse K = k Ri K N( N + ) i= i 3( N + ) 4. Da K ν χ ν (ν = k-) fides p ved opslag i appedi 3. M7, slide 3 (Kruskall-Wallis test) 6
Eksempel: Koditio hos trafikdræbte atugler M7, slide 3 (Kruskall-Wallis test) Koditio-score: ) Meget mager: ige uderhudsfedt overhovedet ) Mager: små rade af uderhudsfedt her og der 3) Ikke mager: små fedtpartier rudt omkrig 4) God stad: store tykke fedtpartier 5) Fed: tykt fedtlag over hele kroppe 6) Meget fed: marcipagris Eksempel: Koditio hos atugler KONDITION mar-maj jui-aug sep-ov dec-feb meget mager 4 0 0 mager 5 3 ikke mager 5 god stad 6 3 fed 4 6 6 meget fed 0 0 3 i = 0 5 00% 80% 60% 40% 0% 0% mar-maj jui-aug sep-ov dec-feb M7, slide 33 (Kruskall-Wallis test) meget fed fed god stad ikke mager mager meget mager 7
Eksempel: Koditio hos atugler KONDITION mar-maj jui-aug sep-ov dec-feb meget mager 4 0 0 mager 5 3 ikke mager 5 god stad 6 3 fed 4 6 6 meget fed 0 0 3 i = 0 5 H 0 : koditioe hos atugler er de samme hele året. H : koditioe hos atugler varierer i løbet af året. α=0.05 4 uafhægige stikprøver og data på ordialskala: Kruskall-Wallis test M7, slide 34 (Kruskall-Wallis test) Kruskall-Wallis test: KONDITION mar-maj jui-aug sep-ov dec-feb rakig: X A B C D f() F() ragtal meget mager 4 0 0 5 5 3 mager 5 3 0 5 0,5 ikke mager 5 0 35 5,5 god stad 6 3 47 4,5 fed 4 6 6 7 64 56 meget fed 0 0 3 4 68 66,5 3 4 N: i = 0 5 68 ) Beregig af ragtal: Ragtal (rt) ved ties: rt() = F(-)+[+f()]/ rt(mager) = 5 + / = 0.5 M7, slide 35 (Kruskall-Wallis test) 8
Kruskall-Wallis test: KONDITION Stikprøve rakig: Sum af ragtal: X A B C D f() F() ragtal A B C D meget mager 4 0 0 5 5 3 3 0 0 mager 5 3 0 5 0,5 0,5 5,5 3,5 0,5 ikke mager 5 0 35 5,5 5,5 306 8 5 god stad 6 3 47 4,5 83 4,5 49 5 fed 4 6 6 7 64 56 4 56 336 336 meget fed 0 0 3 4 68 66,5 0 0 66,5 00 3 4 N: R R R 3 R 4 i = 0 5 68 355 459 8 7 ) Summatio af ragtal: Kotrol for korrekt rakig: ΣRi=½ N(N+) 355+459+8+7 = ½ 68 69 346 = 346 OK! M7, slide 36 (Kruskall-Wallis test) Kruskall-Wallis test: KONDITION Stikprøve rakig: Sum af ragtal: X A B C D f() F() ragtal A B C D meget mager 4 0 0 5 5 3 3 0 0 mager 5 3 0 5 0,5 0,5 5,5 3,5 0,5 ikke mager 5 0 35 5,5 5,5 306 8 5 god stad 6 3 47 4,5 83 4,5 49 5 fed 4 6 6 7 64 56 4 56 336 336 meget fed 0 0 3 4 68 66,5 0 0 66,5 00 3 4 N: R R R 3 R 4 i = 0 5 68 355 459 8 7 3) Beregig af K: K = k Ri N( N + ) i= i 3( N + ) M7, slide 37 (Kruskall-Wallis test) 9
Kruskall-Wallis test: k i= R i = i mar-maj jui-aug sep-ov dec-feb 870.7 A B C D i 0 5 R i 355 459 80,5 7,5 R i / i 050,08 0534,05 38,44 34704,5 = k Ri K N( N + ) i= i K = 870.7 3(68 + ) 5.56 68 69 = M7, slide 38 (Kruskall-Wallis test) 3( N + ) df = k df = 3 Kruskall-Wallis test: K= 5.56, df=3: Appedi 3: p<0.0 H 0 forkastes, H accepteres: koditioe hos atugler varierer i løbet af året. (uglere er fedest om vitere og magrest om sommere) M7, slide 39 (Kruskall-Wallis test) 0
Tests for afhægige stikprøver 0 D = D = D 3 3 = D 3 = D D M7, slide 40 (Tests for afhægige stikprøver) t-test for afhægige prøver Tester om geemsittet af differecere mellem parrede observatioer er forskellig fra 0. H 0 : Middelværdi af differece = µ -µ = 0 0 D t ν t ν d ( µ µ = ) SE( d ) Samlet formel: = d i d i t = ν ( d i ) d SE(d ) ν= -; = atal observatiospar) M7, slide 4 (t-tests for afhægige stikprøver) d = i i i d = SE s ( d ) ( d ) = d i s ( d ) ( ) d i d i = D
t-test for afhægige prøver Tester om geemsittet af differecere mellem parrede observatioer er forskellig fra 0. H 0 : Middelværdi af differece = µ -µ = 0 0 D t Samlet formel: ν = d i d i t = ν ( d i ) d SE(d ) d = i i i Forudsætiger: Data på midst itervalskala Observatios-parree skal være idbyrdes uafhægige De geemsitlige differece ( d) skal være ormalfordelt* (*d i behøver ikke at være ormalfordelt!) ν= -; = atal observatiospar) M7, slide 4 (t-tests for afhægige stikprøver) D Eksempel: Effekt af opvækstvilkår for kropshøjde par af eæggede tvilliger (alle kvider) bortadopteret som spæde til forskellige familier uder heholdsvist gode og midre gode sociale kår. Som vokse måles deres kropshøjde. H 0 : Social baggrud har ige betydig for kropshøjde H : Social baggrud har betydig for kropshøjde α=5% M7, slide 43 (t-tests for afhægige stikprøver)
Eksempel: Effekt af opvækstvilkår for kropshøjde Kropshøjde (cm) par r. Gode Dårlige 7,9 67,5 59,4 55,3 3 7,3 68,7 4 63, 60,4 5 69,8 67,0 6 7,3 73, 7 7,8 68,5 8 67,4 66,6 9 78,5 78,6 0 80,4 76,6 6,5 6,4 64,7 6,8 gst.= 69,5 67, Σ = Opvokset uder dårlige sociale kår (cm) 85 80 75 70 65 60 55 50 -Hvis e del af de samlede variatio ka forklares ud fra e koblig (afhægighed) mellem de parrede observatioer, vil dette give sig udslag i e positiv sammehæg år talparree plottes mod hiade. -Der vil være e systematisk forskel på de parrede observatioer, hvis hovedparte af observatioere ligger ete over eller uder liie =y 50 55 60 65 70 75 80 85 Opvokset uder gode sociale kår (cm) M7, slide 44 (t-tests for afhægige stikprøver) Eksempel: Effekt af opvækstvilkår for kropshøjde Kropshøjde (cm) par r. Gode Dårlige d d 7,9 67,5 4,4 9,36 59,4 55,3 4, 6,8 3 7,3 68,7 3,6,96 4 63, 60,4,7 7,9 5 69,8 67,0,8 7,84 6 7,3 73, -0,8 0,64 7 7,8 68,5 3,3 0,89 8 67,4 66,6 0,8 0,64 9 78,5 78,6-0, 0,0 0 80,4 76,6 3,8 4,44 6,5 6,4,, 64,7 6,8,9 3,6 gst.= 69,5 67, Σ = 7,6 95,7 M7, slide 45 (t-tests for afhægige stikprøver) t ν = d i d i ( d i ) 7.6 t = = 4.655 95.77.6 7.6 Appedi : p<0.0 H 0 forkastes H accepteres: Kropshøjde er afhægig af sociale kår: kvider opvokset uder gode sociale kår er højere ed kvider fra dårlige kår. 3
Wilcoo s test Vægter forskel i media mellem parrede observatioer Forskellee ide for parree skal være kvatisérbare (midst på ordet metrisk skala) Forskellee mellem parree skal være kvatifiserbare (midst på ordet metrisk skala) Uderliggede fordelig skal være kotiuert De to stikprøver skal have de samme uderliggede fordeligstype M7, slide 46 (Wilcoo s test) Procedure for Wilcoo s test ) Udreg differece for hvert talpar (d= - ) ) Erstat de umeriske værdier af d med ragtal 3) Markér ragtal for egative differecer med og for positive med + 4) Summér de positive og egative ragtal hver for sig til hv. R + og R - 5) Brug teststørrelse T (= mi[r +,R -] ) til opslag i appedi 7, hvis <34. 6) Hvis >33 ka z-fordelige approimeres: M7, slide 47 (Wilcoo s test) z = ( + ) / 4 T ( + )( + ) / 4 4
Eksempel: effekt af atiprædatoradfærd for fødeidtagelse hos musvitter Forsøgdesig: X = atal besøg ved foderautomat kl 9 00-0 00. >0 dage i voliere: tilvæig, ige forstyrrelse Dag : besøgsrate oteres kl 9 00-0 00 Dag : ekspoerig af flyvede spurvehøgattrap kl 9 5 og 9 45 (stor rædsel) Dag 3: besøgsrate oteres kl 9 00-0 00 H 0 : der er ige forskel i besøgsrate ved foderautomat på dag og dag 3 H : der er forskel i besøgsrate ved foderautomat på dag og dag 3 (Two-tailed), α=0.05 M7, slide 48 (Wilcoo s test) Eksempel: effekt af atiprædator-adfærd For fødeidtagelse hos musvitter Besøg/time Mejse # dag dag 3 8 33 3 3 6 0 4 3 8 5 3 8 6 5 7 34 5 8 34 40 9 38 37 0 7 0 5 7 4 0 5 (liie defiteret ved =y) 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 Afhægige data på ratioskala, me ormalfordelte differecer ka ikke tages for givet. For at være sikre vælger vi derfor Wilcoo s test M7, slide 49 (Wilcoo s test) besøgsrate dag 3 45 40 35 30 5 0 5 besøgsrate dag 5
Wilcoo s test: Besøg/time Mejse # dag dag 3 d Id I 8 3 3 33 3 3 6 0 6 6 4 3 8 4 4 5 3 8 3 3 6 5 3 3 7 34 5 9 9 8 34 40-6 6 9 38 37 0 7 5 5 0 5 5 5 7 4 3 3 ) Bereg differece, d M7, slide 50 (Wilcoo s test) Wilcoo s test: Besøg/time ragtal Mejse # dag dag 3 d Id I rt rt+ rt- 9 38 37 33 3 8 3 3 4.5 4.5 5 3 8 3 3 4.5 4.5 6 5 3 3 4.5 4.5 7 4 3 3 4.5 4.5 4 3 8 4 4 7 7 0 7 5 5 8.5 8.5 0 5 5 5 8.5 8.5 3 6 0 6 6 0.5 0.5 8 34 40-6 6 0.5 0.5 7 34 5 9 9 ) Bereg ragtal (rt) og summér op til R + og R -. M7, slide 5 (Wilcoo s test) R+ R- 67.5 0.5 =T =mi(r+,r-) 6
Wilcoo s test: T = 0,5 N= Appedi 7: 0.0<p<0.05 H 0 forkastes; H accepteres: Der er forskel i besøgsrate ved foderautomat på dag og dag 3 (musvittere reducerer deres besøgsrate efter besøg af spurvehøg) M7, slide 5 (Wilcoo s test) Sig test (svagere alterativ): Besøg/time Mejse # dag dag 3 d Id I 8 3 3 33 3 3 6 0 6 6 4 3 8 4 4 5 3 8 3 3 6 5 3 3 7 34 5 9 9 8 34 40-6 6 9 38 37 0 7 5 5 0 5 5 5 7 4 3 3 positive og egativ differecer M7, slide 53 (sig [biomial-] test) 7
Sig test (svagere alterativ): H 0 : p=q=0.5, H : p q Observeret: : Forvetet: 6:6 k! P( ) = p!( k )! ( p) ( k ) k- P() Σ P() P(two-tailed) = 0.003=0.0063 - I dette tilfælde gav sig-testet faktisk e lavere p-værdi ed Wilcoo s test. Dette skyldes at de ee egative differece, som eksisterede havde e relativ høj umerisk værdi. Er betigelsere for Wilcoo s test opfyldte, vil dette test oftere resultere i e lavere p-værdi ed sig-testet. 0 0,000 0,000 0,009 0,003 0 0,06 0,093 3 9 0,0537 0,0730 4 8 0,08 0,938 5 7 0,934 0,387 6 6 0,56 0,68 7 5 0,934 0,806 8 4 0,08 0,970 9 3 0,0537 0,9807 0 0,06 0,9968 0,009 0,9998 0 0,000,0000 M7, slide 54 (sig [biomial-] test) 8