Perspektivtegning set gennem matematikerens briller Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Matematiklærerdag, 26.4.07
Intro: Der skete noget i billedkunsten... lige omkring året 1400 før (Kaufmann Haggadah, initial word panel of psalm, Spanien, 14. årh.) efter (Rafael, Skolen i Athen, 1509-1510) Italien Giotto (1267 1337), Brunelleschi (1377 1446; verdens første peepshow ), Donatello (1386 1446), Cennini (1370 1440), Alberti (1404 1472), da Vinci (1452 1519) Tyskland Dürer (1471 1528) Holland Vredeman de Vries (1527 1604) England Brook Taylor 1 (1685 1731, Linear Perspective) Og matematik havde en finger med i billederne! 1 Taylor-udvikling!
Simple projektioner ikke perpektiviske og deres matematiske beskrivelse 1. Ortogonalprojektion, specielt Plan, opstalt, snit 2. Skæv projektion - også kaldet Military projection 1. F 1 (x, y, z) = (x, y), F 2 (x, y, z) = (x, z), F 3 (x, y, z) = (y, z) 2. F m (x, y, z) = (cx sy, sx + cy + z) 2 ; kombination af R ϕ (x, y, x) = (cx sy, sx + cy, z) drejning med vinklen ϕ med den projektion P(x, y, z) = (x, y + z), som identificerer dybde y og højde z. 2 c = cos ϕ, s = sin ϕ
Hvilke punkter identificeres under projektionerne bliver usynlige? Et lille projekt 1. akseparallele linier: z = const, y = const, x = const 2. Løs ligningssystemet cx sy = a sx + cy + z = b Løsning: (x, y, z) = (cb sa, sb + ca, 0) + z ( s, c, 1). Linie med begyndelsespunkt (billedpunktet (a, b) drejet) og retningsvektor ( s, c, 1). Løsninger ( forsvindingslinier ) svarende til forskellige billedpunkter er parallele linier. Matrixregning er en hjælp, men ikke nødvendigt!
Perspektivtegning Analytisk bestemmelse af billedpunkter Udgangspunkt: Objekter i større afstand (dybde) skal synes mindre! Definition En perspektivisk afbildning er en centralprojektion af rummet fra øjepunktet ind på billedplanen. Matematisk modellering: øjepunktet O i Origo (0, 0, 0) billedplan i afstand (= dybde) d: y = d Originalpunkt P: (x, y, z) og billedpunkt Q: (x, y, z ) på ret linie t(x, y, z) gennem Origo. y = d t Q = d dx dz y Q: ( y, d, y ) Glem 2. koordinaten i billedpunktet: Q: ( dx y, dz y ) Facit: C(x, y, z) = ( dx y, dz y )
Forsvindingspunkter grafisk Billede af jerbanespor... Forsvindingspunkter i billedet af en bygning Forsvindingspunkter ligger på horizontlinie Forvsindingspunkter: Java Applet Varianter: 1-punkts, 2-punkts, 3-punkts perspektiv.
Forsvindingspunkter analytisk Theorem Billedet af en linie l, der ikke er parallel med billedplanen, konvergerer mod et forsvindingspunkt F l. Parallele linier har samme forsvindingspunkt. Bevis. Linie l med parameterfremstilling (a, d, b) 3 +t(x, y, z) = (a + tx, d + ty, b + tz), y>0 C(l) består af punkterne (d a+tx d+ty, d b+tz d+ty ) = (d a t +x d t +y, d b t +z d t +y ) t : (d x y, d z y ) 3 liniens spor S l
Perspektivlærens hovedsætning Theorem Billedet af en linie l, der ikke er parallel med billedplanen, er en (billed)linie, bestemt af liniens spor S l 4 og liniens forsvindingspunkt F l Brook Taylor, 1719: This Theorem being the principal Foundation of all the Practice of Perspective, the Reader would do well to make it very familiar to him. Bevis. C((a, d, b) + t(x, y, z)) = C(a + tx, d + ty, b + tz) = (d a+tx d+ty, d b+tz d+ty ) = d ty d+ty (a, b) + d+ty (d x y, d z y ). Bemærk: Summen af koefficienterne giver 1. Billedet: liniestykket mellem spor og forsvindingspunkt. 4 skæringspunktet med billedplanen
Perspektivisk inddeling af en linie Centralprojektion er ikke lineær Punkterne på originallinien: (a, d, b) + k(x, y, z) overføres i d ky d+ky (a, b) + d+ky (d x y, d z y ) Forholdstal: ky d+ky Eksempel: y = d: 0, 1 2, 2 3, 3 4,...
Litteratur Bøger og internet K. Andersen, Geometri bag perspektivet, Matematiklærerforeningen, 1993 E. Vestergaard, Matematik i perspektiv, Abacus, 1995 J. d Amelio, Perspective Drawing Handbook, Courier Dover, 2003 Vestergaards Matematiksider Origins of Perspective Mathematics of Perspective Drawing The Geometry of 3-D Drawing Basic Perspective Drawing Bildnerische Gestaltung: Perspektive Mathematik und Kunst - Perspektive und darstellende Geometrie