Matematikprojekt om Analytisk Geometri og Vektorer Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 19 November 2010
Indhold I Analytisk plan og rum-geometri................. 3 I Hvad er en vektor?.................... 3 II Regneregler for vektorer................. 9 III Produkter af vektorer................... 13 IV Geometriske figurer i planen og rummet........ 18 V Sætningen om længden af en vektor........... 25 VI Projektion af vektor................... 27 VII Anvendelse af analytisk geometri............ 29 II Udregnede eksempler....................... 30 I Opgave 1.035....................... 30 II Opgave 1.036....................... 30 III Opgave 1.038....................... 31 IV Opgave 1.041....................... 32 V Opgave 2.011....................... 33 VI Opgave 2.013....................... 34 1
Figurer 1 Enheds og Basisvektor...................... 4 2 Retningsvektor r for linje l.................... 5 3 Tværvektoren........................... 6 4 Normalvektoren n til linjen l................... 7 5 Stedvektoren............................ 7 6 Vektoraddition af a og b...................... 9 7 Kræfters parallellogram...................... 10 8 Subtraktion af to vektorer..................... 11 9 Forlænge en vektor......................... 12 10 Determinanten for a og b..................... 15 11 Linjer i planen........................... 18 12 En cirkel i planen med centrum C og radius r.......... 21 13 Sekant og tangent til en cirkel................... 23 14 Kuglen i rummet.......................... 23 15 Planen i rummet.......................... 24 16 Længden af en vektor i planen.................. 25 17 Længden af en vektor i rummet.................. 27 18 Projektion af en vektor på en vektor............... 27 19 Projektion af en vektor på en anden vektor, ende mod ende.. 28 2
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 3 I Analytisk plan og rum-geometri I Hvad er en vektor? Tager vi en normal linje i planen, så er denne givet ved to koordinatsæt og beskrives hovedsagligt ud fra dens længde. Linjer bruges derfor normalt til at udtrykke afstande. En linje er sjældent defineret ud fra dens retning, men tager udelukkende en numerisk (skalar) værdi. En linje er ligeledes defineret ud fra et bestemt koordinatsæt og vil derfor ændre karakter, hvis man flyttede denne, selvom man lod længden være den samme. Og her kommer definitionen på en vektor ind. En vektor er defineret ved at have en retning og en størrelse. Ligesom linjen, så kan vektoren repræsentere en bestemt størrelse, en skalar, men vektoren kan ligeledes også repræsentere en bestemt længde. En vektor er ligeledes ikke direkte afhængigt af koordinatsystemet. Man kan derfor flytte en vektor rundt, uden at den ændrer værdi, blot man ikke ændrer ved længden og retningen. Vektorer benyttes til at beskrive ikke-skalare størrelser, såsom kraft, impuls, hastighed 1. Det giver ikke mening at beskrive en kraft blot som 10 Newton. Den skal efterfølges af en retning. Derfor beskrives kræfter med vektorer. Ligeledes giver det ikke mening at give temperatur en retning. Denne er blot en skalar. Man skelner også imellem egentlige og uegentlige vektorer, hvor en 0 vektor er en uegentlig vektor. Vi vil herunder give en række korte forklaringer på begreberne enhedsvektor, basisvektor, retningsvektor, tværvektor, normalvektor og stedvektor. Enhedsvektor En enhedsvektor er en vektor der benyttes til at definere vektorers størrelser ud fra. En enhedsvektor har altid længden 1 og er derfor defineret som e = 1 Sætning 1 (Sætning om enhedsvektor) Hvis vi gives en vektor a med længden a, så vil enhedsvektoren e ensrettet med a være givet ved udtrykket e = a a. Ligeledes vil vektoren være en a a enhedsvektor modsatrettet a. Bevis. Dette følger af at e = a a = 1 a a = 1 a a = 1 hvilket jo fortæller os at længden af enhedsvektoren e er 1. 1 Her skelnes imellem fart og hastighed, som på engelsk speed og velocity
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 4 Basisvektor Basisvektoren kan anses for at være en type enhedsvektor. Ligeledes at en enhedsvektor kan beskrive længden for en mulig større vektor, så kan basisvektoren benyttes til at beskrive længden for koordinatsystemet i planen og rummet. Basisvektorerne er derfor enhedsvektorer langs akserne i koordinatsystemet, som man kan definere andre vektorers længder ud fra. I planen benyttes i og j og i rummet vektoren k. Dette kan gøres lidt tydeligere ved et eksempel. Hvis vi gives en vektor b = ( 14 8 ) kan vi også vælge at beskrive den ud fra b = (14 i + 8 j) Heri ses forskellen. I det første udtryk beskriver vi vektoren ud fra dens koordinatsæt 14 og 8. Men vi kan også vælge at beskrive det som 14 i + 8 j, hvilket betyder at vi først går 14 enhedslængder langs i og 8 enhedslængder langs j. Heri antager vi at vektorer kan lægges sammen. Dette vil vi gøre rede for senere. Heri ses det også at en vektors retning kan defineres på denne måde. For da man bevæger sig langs x-aksen ( i) et vist stykke og derefter langs y-aksen ( j) et vist stykke, så ender man tilsidst med en ny vektor, som både har en retning og en længde. Bevæger man sig længden 1, har man en enhedsvektor. Både enhedsvektoren og basisvektorerne kan ses på figur 1 Figur 1: Enheds og Basisvektor Retningsvektor Ligesom vi tidligere har haft en vektor der beskriver en længde, så kan vi også have en vektor der beskriver en retning. Dette er, ikke overraskende, en
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 5 retningsvektor. En retningsvektor kan have en vilkårlig størrelse, det er blot et krav at den er parallel med den vektor, den beskriver. En retningsvektor kan naturligvis også benyttes til at beskrive en linje og vi vil senere vise hvordan man kan opstille et udtryk for en linje i rummet ved hjælp af en retningsvektor. På figur 2 ser man retningsvektoren r for linjen l. Figur 2: Retningsvektor r for linje l. Tværvektor Hvis man drejer en egentlig vektor r 90 i positiv omløbsretning omkring sit begyndelsespunkt, ved man ende ud med en ny vektor, som kaldes for tværvektoren til r og denne betegnes som ˆr. Ser man på figur 3 ser man at tværvektoren for r med koordinaterne r = ( 5 3 ) har koordinaterne ˆr = ( 3 5 ). Vi kan gøre dette eksempel mere generelt ved at opløse vektor r og tværvektor ˆr i enhedslængder. Disse bliver da r = ( a b ) = (a i + b j) og det bliver da tydeligt at tværvektoren må være givet ved 2 ˆr = ( b i + a j) = ( b a ) Dette gør sig gældende generelt og vi skriver derfor 2 Man kan også bevise denne metode ved at benytte matricen R = [ ] ( ( ) 0 1 a b få R r = = = ˆr[4, 3] 1 0 b) a [ ] 0 1 og dermed 1 0
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 6 Figur 3: Tværvektoren Sætning 2 (Sætning om tværvektor) Vektoren r = ( a b ) vil have tværvektoren ˆr = ( b a ). Normalvektor Normalvektoren n er grundlæggende en slags tværvektor. Normalvektoren er derfor også defineret på samme måde. Har vi, som på figur 2, en retningsvektor r = ( a b ) for en linje l, kan vi finde normalvektoren til denne linje ud fra følgende ( ) b n = ˆr = a og dette ses illustreret på figur 4 Stedvektor Stedvektoren er ligeledes en vigtig del af vektorsystemet. Gives vi en vektor OA med begyndelsespunkt i O = (0, 0) og endepunkt i A kaldes den vektor der udspænder disse to punkter, stedvektoren for punktet A. Vi kan opløse denne vektor i to akseparallelle vektorer OA 1 og OA 2, således at vektoren kan udtrykkes ved OA = OA 1 + OA 2 Man kan se at A har koordinaterne (a 1, a 2 ), så vil vi også kunne beskrive vektoren ud fra dens relation til basisvektorerne OA 1 = a 1 i og OA 2 = a 2 j og
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 7 Figur 4: Normalvektoren n til linjen l. Figur 5: Stedvektoren.
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 8 derfor kan vi sige at OA = a 1 i + a 2 j Dette betyder at vi også kan beskrive vektor OA ud fra dens koordinatatsæt OA = ( a 1 a 2 ). Derfor siger vi at Sætning 3 (Sætning om stedvektor) Stedvektoren OA for punktet A(a 1, a 2 ) har de samme koordinator som A OA = Som en generel formulering kan vi også finde en vilkårlig vektor ud fra to stedvektorer, ved at trække det ene koordinatsæt fra et andet koordinatsæt. Her får vi da en vektor givet ved to punkter. Vi siger at ( a1 Sætning 4 (Vektor givet ved to punkter) Hvis P = (x 1, y 1 ) og Q = (x 2, y 2 ), så er P Q = ( x 2 x 1 ) y 2 y 1 Bevis. Vi antager at indskudsreglen gælder, som siger at OP + P Q = OQ. Da får vi at P Q = OQ ( ) ( ) ( ) x2 x1 x2 x OP = = 1 y 2 y 1 y 2 y 1 og sætningen er bevist. Vektorer i rummet Generelt gælder de forudgående definitioner og sætninger også for vektorer i rummet. Her er blot tilføjet den ekstra dimension, således at en vektor opløst i basisvektorer nu bliver defineret som a 2 ) a 1 a = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) = a 2 a 3 Her kan det fortolkes således at man går a 1 langs i, dernæst a 2 langs j og tilsidst a 3 langs k. Disse tre vektorer vil tilsammen udgøre a. Ligeledes gælder sætningerne og definitionerne af stedvektorer, retningsvektorer og enhedsvektorer. Sætningerne og definitionerne af normalvektorer og tværvektorer kan dog ikke umiddelbart benyttes, da der nu er 3 koordinatakser at tage højde for og sætningerne kun er defineret ud fra to. Dog kan man finde en normalvektor til to andre vektorer i rummet, ved at benytte krydsproduktet. Dette kommer vi ind på senere. Vi vil nu kigge nærmere på de forskellige regneregler for vektorer.
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 9 II Regneregler for vektorer Ligesom der findes regneregler for skalarer, så findes der naturligvis også regneregler for vektorer. Og regnereglerne ligner hinanden rigtig meget, men metoden og især udfaldet, skiller sig ud. Vi vil i dette afsnit kort gøre rede for og bevise regnereglerne for addition, subtraktion og forlængelse/forkortning af vektorer. Alle sætningerne bliver vist både ud fra et analytisk og geometrisk synspunkt. Addition af vektorer Når man adderer to linjer, så sætter man dem blot i forlængelse af hinanden og så er man hjemme. Med vektorer kan man ikke gøre helt det samme, da man også skal medtage vektorers retningsbestemhed. Dette ses illustreret på figur 6. Her ser man den geometriske fortolkning af vektoraddition. Placer Figur 6: Vektoraddition af a og b. enden af b ved a s spids og den resulterende vektor vil da være den vektor der uspændes af a s ende og b s spids. Der er naturligvis også en analytisk fortolkning. Sætning 5 (Addition af vektorer) Hvis vi gives to vektorer a = ( a 1 a 2 ) og b = ( b 1 ) b2 så gælder der at ( ) c = a + a1 + b b = 1 a 2 + b 2
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 10 Bevis. Opløser vi vektorerne i deres enhedskomponenter, således at a = (a 1 i + a 2 j) og b = (b 1 i + b 2 j), kan vi ved hjælp af de generelle regler få a + b = (a 1 i + a 2 j) + (b 1 i + b 2 j) = a 1 i + a 2 j + b 1 i + b 2 j = (a 1 + b 1 ) i + (a 2 + b 2 ) j Og her ses det, at det er det samme som ( a 1 +b 1 a 2 +b 2 ) og sætningen er bevist. En anden geometrisk fortolkning, som tit benyttes indenfor fysikken, er kræfters parallellogram. Denne ses på figur 7. Her er tanken at man forlænger Figur 7: Kræfters parallellogram. hver vektor med den anden vektor og dermed opnår et parallellogram. Herved vil man opnår et parallellogram og der vil den resulterende kraftvektor være fra det ene hjørne, hvor man startede, til det andet. Subtraktion af vektorer Når man subtraherer to vektorer fra hinanden, benytter man samme indgangsvinkel som ved additionen, men der er dog en lille forskel. Som det ses på figur 8 vil man placere vektorernes ender mod hinanden og den nye vektor, der repræsenterer subtraktionen, vil gå fra b til a. Ligesom med addition af vektorer, så findes der også en analytisk bevisførelse for denne regneregel.
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 11 Figur 8: Subtraktion af to vektorer. Sætning 6 (Subtraktion af vektorer) Hvis vi gives to vektorer a = ( a 1 a 2 ) og b = ( b 1 ) b2 så gælder der at ( ) a a1 b b = 1 a 2 b 2 Bevis. Opløser vi vektorerne i deres enhedskomponenter, således at a = (a 1 i + a 2 j) og b = (b 1 i + b 2 j), kan vi ved hjælp af de generelle regler få a b = (a 1 i + a 2 j) (b 1 i + b 2 j) = a 1 i + a 2 j b 1 i b 2 j = (a 1 b 1 ) i + (a 2 b 2 ) j Og her ses det, at det er det samme som ( a 1 b 1 a 2 b 2 ) og sætningen er bevist. Forlængelse/forkortelse af en vektor Når man forlænger en vektor, så svarer det til at man tager k antal vektorer og lægger dem i forlængelse af hinanden. Tager vi eksempelvis retningsvektoren r med længden 1, så kan vi forlænge denne vektor med k antal ens vektorer. Dette er at forlænge vektoren. Det betyder at vi tager en vektor a k gange i forlængelse. Når vi skal beregne en forlængelse af en vektor ud, så gør vi det ud fra følgende sætning.
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 12 Figur 9: Forlænge en vektor. Sætning 7 (Forlængelse af en vektor) Hvis vi har en vektor a = ( a 1 a 2 ), så kan vi forlænge denne vektor ved ( ) k a1 k a = k a 2 Bevis. Opløser vi vektor a i dens enhedskomponenter, sådan at a = (a 1 i + a 2 j), kan vi bevise sætningen ved følgende udregning k a = k (a 1 i + a 2 j) = k a 1 i + k a 2 j = (k a 1 ) i + (k a 2 ) j ( ) k a1 og da (k a 1 ) i + (k a 2 ) j = er sætningen bevist. k a 2 Ligeledes har man en sætning om forkortning af en vektor. Denne beregning foretages således Sætning 8 (Forkortning af en vektor) Hvis vi skal forkorte en vektor a med konstanten k, gøres det således a k = ( a1 ) k a 2 k
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 13 Bevis. Hvis vi endnu engang opløser vores vektor i enhedskomponenterne, får vi a = a 1 i + a 2 j og vi kan nu bevise sætningen således og da ( a 1 k ) i + ( a 2 k ) j = a k = a 1i + a 2 j k = a 1i k + a 2j ) k = i + ( a1 k ( a2 ) j k ( a1 ) k a 2 er sætningen er bevist. k Et specialtilfælde af denne regneregel så vi da vi fandt enhedsvektoren, for vektor a. III Produkter af vektorer En af de specielle ting ved vektorer er at man ikke kan multiplicere dem sammen, som man kan med skalarer. Her må man benytte to forskellig metoder. Den ene kaldes et skalar eller prikprodukt og benyttes både i rummet og planen. Den anden metode kaldes vektorproduktet eller krydsproduktet og benyttes kun i rummet. Benytter man dog den samme metode i planen, får man en determinant. Vi vil her kigge nærmere på skalar og vektor produktet. Skalarprodukt Et skalarprodukt imellem to vektorer giver, som navnet ganske antyder, en skalar. Skalarproduktet i planen findes ud fra Sætning 9 (Skalarprodukt) Har vi to vektorer a = (a 1, a 2 ) og b = (b 1, b 2 ), finder vi det skalære produkt (prikproduktet) imellem vektorerne ved ( ) ( ) a1 b1 a b = = (a 1 b 1 + a 2 b 2 ) a 2 a b skal læses som a prik b. Prikproduktet imellem 2 vektorer kan også findes ud fra udtrykket b 2 a b = a b cos v
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 14 Heri ser man en af prikproduktets anvendelser. Hvis vi omskriver den sidste del af sætningen, så får vi at cos v = a b a. Her ser man at hvis skalarproduktet b bliver 0, så vil hele venstresiden af udtrykket være 0 og så vil cos v = 0 eller v = arccos 0 og dette giver vinklen 90. Med andre ord, hvis skalarproduktet er 0, så er vektorerne ortogonale. Dette har vi en sætning om Sætning 10 (Vektorers ortogonalitet) To egentlige vektorer a og b er ortogonale, hvis og kun hvis, deres skalarprodukt giver 0. a b a b = 0 Skalarproduktet i rummet findes ud fra samme princip, men da har man det 3 koordinatsæt med, så derfor bliver udregningen. a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 De samme regler angående vinkler og ortogonalitet gælder også i rummet. Determinant og Vektorprodukt Da vi igennem hele denne opgave har startet med vektorer i planen og så derefter udfoldet emnet til rummet, så vil vi her starte med at arbejde med determinanten i planen. Determinanten er defineret således: Definition 1 (Determinant) Ved determinanten for vektorparret ( a, b) forstås det( a, b) = â b. Udregningen af determinanten foregår derfor ved ( ) ( ) det( a, a2 b1 b) = â b = = a 2 b 1 + a 1 b 2 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 b 2 Generelt vil man benytte en huskeregel, hvor man opstiller koordinaterne i matriceform og dermed lettere kan huske hvad der skal gøres. Det ser således ud det( a, b) = a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1b 2 a 2 b 1 Metoden man læser determinantmatricen på er at man starter i venstre top og ganger dette med værdien i højre bund. Derefter ganger man højre top med venstre bund. Det første trækkes så fra det sidste. Fordelen ved denne metode er, at man også kan benytte samme metode ved 3 3 matricer, som kan benyttes til at finde vektorproduktet (i rummet). Hvor vi før kunne afgøre at et vektorpar var ortogonale, hvis deres skalarprodukt gav 0, kan vi her benytte determinanten til at afgøre hvorvidt et vektorpar er parallelle. Et vektorpar vil netop være parallelle, hvis determinanten giver 0. Der gælder denne sætning
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 15 Sætning 11 (Determinant) Determinanten for et vektorpar ( a, b) er givet ved det( a, b) = a b sin v hvor v er drejningsvinkel fra den første vektor til den anden, her a til b. Determinanten siged at have samme fortegn som vinklen v. Der gælder her den bemærkning at det( a, b) det( b, a) Dette hænger sammen med vinklers omløbsretning. Vi siger, at i et højredrejet koordinatsystem, vil den positive omløbsretning altid være mod uret. Dette kan ses illustreret på figur 10. Derimod vil det gælde at Figur 10: Determinanten for a og b. det( a, b) = det( b, a) Som det også ses af figur 10, så vil vektorparret også tilsammen udspænde et parallelogram. Og arealet kan netop beregnes ved hjælp af determinanten. Dette vil så være den numeriske værdi af determinanten A parallelogram = det( a, b) = â b = a b sin v Det sidste vi vil komme ind på i forbindelse med determinanten, er at man også kan benytte determinanten til at beregne et areal af den trekant, som de to vektorer også udspænder. Vi ved fra den klassiske geometri at arealet for et parallelogram beregnes ved udtrykket A parallelogram = h g
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 16 hvor h er højden og g er grundlinjen. Vi ved ligeledes at arealet for en trekant beregnes ved A trekant = 1 2 h g Vi kan nu benytte den samme metode i forhold til vektorer og determinanter og derfor logisk slutte at hvis arealet af et parallelogram er givet ved A parallelogram = det( a, b) så må arealet af en trekant være givet ved A trekant = 1 2 det( a, b) dette viser sig også at være rigtigt. Vi vil nu kigge nærmere på vektorproduktet. Vektorprodukt Vektorproduktet er, beregningsmæssigt set, relateret til determinanten. Man kan i alt fald benytte den samme metode til at finde vektorproduktet. Der gælder denne definition af vektorproduktet Definition 2 (Vektorprodukt) Vektorproduktet af to vektorer a og b betegnes som a b. Herved forstås en vektor der opfylder 1. a b er ortogonal på både a og b 2. ( a, b, a b) udgør et højresystem. 3. a b = a b sin v, hvor v er vinklen imellem a og b. Hvis a eller b er nulvektoren, så defineres a b = 0. Vektor produktet kaldes også for krydsproduktet. For at beregne et vektorprodukt ud fra to givne vektorer a = (a 1, a 2, a 3 ) og b = (b 1, b 2, b 3 ), må man opstille et system med tre determinantpar. Der gælder da følgende sætning Sætning 12 (Koordinaterne til a b) Koordinaterne til vektorproduktet mellem a = (a 1, a 2, a 3 ) og b = (b 1, b 2, b 3 ) findes ved ( ) a a b = 2 b 2 a 3 b 3, a 3 b 3 a 1 b 1, a 1 b 1 a 2 b 2
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 17 At skulle huske alt dette i hovedet kan godt være lidt af en opgave. Derfor kan man opstille systemet i en 3 3 matrix, sammen med enhedsvektorerne for rummet, i, j, k. a i j k b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 2 a 3 b 2 b 3 i a 1 a 3 b 1 b 3 j + a 1 a 2 b 1 b 2 k = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i (a 1 b 3 a 3 b 1 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k Måden man finder determinanterne i en 3 3 matrix er ved at strege den række og kolonne ud som enhedsvektoren, man ønsker at finde determinanten til, står over / ved siden af. Derved vil der være 2 2 tal tilbage og disse skriver man så ned sammen med enhedsvektoren. Man kan straks se at der er forskel på det første og den andet eksempel, men hvis kan kigger efter vil man se at determinantparrene vil være de samme. Der er dog et enkelt sted hvor man skal være særligt vågen. I det første eksempel vil nummer 2 determinant a 3 b 3 a 1 b 1 give (a 3b 1 a 1 b 3 ), hvorimod den i vores sidste eksempel giver (a 1 b 3 a 3 b 1 ). Man vil dog hurtigt opdage at den eneste forskel er fortegnet 3 og resultatet bliver derfor det samme. Vi mener at den sidste metode er den letteste at huske fordi man her finder determinaterne på samme måde, hele vejen. Ellers må man finde nummer 2 determinant, ved at skriver rækkerne ind bagfra først. Vektorproduktet kan, som determinanten i planen, også benyttes til at afgøre hvorvidt to vektorer er parallelle eller finde arealet af et parallelogram, som de to vektorer udspænder. Men da man her ikke opnår en enkelt værdi som man gjorde med determinanten, men ender ud med et koordinatsæt til en ny vektor, må man blot finde længden af vektorproduktet, for at finde arealet. A parallelogram = a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) 2 + ( (a 1 b 3 a 3 b 1 )) 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) 2 og ligesom med determinanten, kan man også her finde arealet af den trekant, som de to vektorer a og b udspænder ved A trekant = 1 2 a b = 1 2 (a2 b 3 a 3 b 2 ) 2 + ( (a 1 b 3 a 3 b 1 )) 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) 2 + + 3 Dette hænger sammen med matricen +, som bruges til at finde kofaktorer. + + Vi udelader blot + tegnet foran den første determinantdel.
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 18 Vi har her antaget at vektoren har en længde der kan findes, ved ovennævnte metode. Vi vil senere bevise denne sætning. IV Geometriske figurer i planen og rummet I planen og i rummet arbejder vi ofte med en række forskellige figurer. Her skal figurer ikke blot forstås som en tegning, men en geometrisk enhed der repræsenterer både størrelser og retninger. Vi vil her komme ind på linjen, cirklen, kuglen og planen. Linjen i planen Linjen i planen er en punktmængde, som bevæger sig lineært, dvs. den stiger/falder ensartet. En linje kan feks. repræsentere en udvikling på en graf eller en afstand i planen. Størrelsen af en linje er en skalar. Linjen i planen er bestemt ud fra en hældning og et startpunkt. En linje der kun er bestemt ud fra et startpunkt er ens over alle y-værdier. Linjen i planen kan udtrykkes Figur 11: Linjer i planen. ud fra 3 forskellige ligninger. De er hver især brugbare til forskellige måder at finde et udtryk for en linje på. y = ax + b Dette er den simpleste måde at udtrykke en ligning for en linje på. Her er a hældningen for linjen og b er startpunktet. Ser man på figur 11 vil linjen l altid give y = 4 til alle x-værdier. Denne har derfor hældningen 0. En anden måde man kan udtrykke linjen ved, minder meget om den første.
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 19 Sætning 13 (Linjens ligning ud fra to punkter og en hældning) Hvis vi har en linje som går igennem punkterne P 1 = (x 1, y 1 ) og P 2 = (x 2, y 2 ) og har hældningen a, kan linjens ligning findes ved y y 0 = a(x x 0 ) y = a(x x 0 ) + y 0 Hældningen i dette udtryk kan findes, hvis man kender to punkter P 1 = (x 1, y 1 ) og P 2 = (x 2, y 2 ), ved a = y 2 y 1 x 2 x 1. Herefter sætter man blot a og et af punkterne ind i udtrykket, som (x 0, y 0 ) og man får herved en ligning for linjen. Sætning 14 (Linjens ligning ud fra en normalvektor og et punkt) Har vi en linje med normalvektoren n = ( a b ) som går igennem punktet P 0 = (x 0, y 0 ), kan linjens ligning findes ud fra a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 Hvis man eksempel kender retningsvektoren for linjen og et punkt, kan man finde et udtryk for linjen ved n = ˆr = ( a b ) og P 0 = (x 0, y 0 ). Disse sætter man ind i udtrykket a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 og man ender ud med en ligning for linjen på formen ax + by + c = 0, som man kan omforme til y = ax + b. En geometrisk beskrivelse af linjens retningsvektor og normalvektor har vi tidligere givet og disse kan ses på hhv. figur 2 og 4. En helt anden måde man kan beskrive en linje i planen ved, antager at man ser på linjen som udtryk for hvordan en partikel bevæger sig. En sådan måde at beskrive en partikel på kaldes en parameterfremstilling og er givet ved Sætning 15 (Parameterfremstilling for en linje) Hvis vi antager at en partikel bevæger sig i planen i en retning beskrevet ved retningsvektoren r = ( r 1 r 2 ) og at den til tiden t er i punktet P 0 = (x 0, y 0 ), så vil parameterfremstillingen for den linje som partiklen bevæger sig ved, være givet ved ( ) ( ) ( ) x x0 r1 l : = + t y y 0 Denne metode kaldes ofte at parametrisere en linje. Den benyttes ofte i fysikken, når man kender en partikels retning og et punkt hvor den har været til tiden t. Herved kan kan finde en udtryk der fortæller hvor partiklen vil være henne til en vilkårlig tid t. 4 4 Man kan også finde partiklens position til tiden t < 0, selvom en negativ tid sjældent giver fysisk mening. r 2
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 20 Linjen i rummet Når vi skal beskrive linje i rummet støder vi på et særligt stort problem. En linje i rummet kan nemlig altid have mindst to forskellige normalvektorer. Og derfor kan vi ikke finde et udtryk for en linje ud fra et punkt og en normalvektor. Det viser sig at den måde vi kan finde et udtryk for en linje i rummet også er en parameterfremstilling. Denne har det samme udtryk og de samme forudsætninger, som den i planen. Forskellen er blot den ekstra dimension. Sætning 16 (Parameterfremstilling for en linje i rummet) Hvis en partikel i rummet til tiden t findes i punktet P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) og har r 1 retningsvektoren r = r 2 vil dens bevægelse kunne beskrives med parameterfremstillingen r 3 x x 0 r 1 l : y = + t z Denne paramterfremstilling kan også formuleres som tre ligningssystemer x = x 0 + t r 1 l : y = y 0 + t r 2 z = z 0 + t r 3 y 0 z 0 r 2 r 3 og man vil kunne finde t ved at løse tre ligninger med én ubekendt eller finde retningsvektoren koordinater eller startkoordinaterne, ved at løse tre ligninger med tre ubekendte. Kender man startpunktet P 0 for partiklen og dens retning, givet ved r, vil man kunne finde partiklens position til tiden t. Cirklen En cirkel er generelt kun interessant i planen. Den kan beskrives som et midtpunkt, hvortil der findes en punktmængde omkring den, som ligger lige langt fra midtpunktet. Midtpunktet kalder vi for centrum og den omkringliggende punktmængde kaldes for cirkelperiferien. Dette kan ses på figur 12. Hvis man kigger på figuren ser man at afstanden fra centrum C(a, b) til radius r er givet ved længden af punkterne CP. Disse er givet ved (x a) 2 + (y b) 2 = r ( (x a)2 + (y b) 2 ) 2 = r 2 (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 som netop er cirklens ligning. Vi kan da sige følgende
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 21 Figur 12: En cirkel i planen med centrum C og radius r. Sætning 17 (Cirklens ligning) En cirkel med centrum C(a, b) og radius r vil have en ligning udtrykt ved (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Denne kan så omformes til et nyt udtryk, ved at faktorisere ligningn x 2 + a 2 2ax + y 2 + b 2 2by = r 2 x 2 + ax + y 2 + by + c = r 2 Her har vi taget ledende a 2 og b 2 og samlet dem under c. Ligeledes har vi samlet 2ax og 2by under hhv. ax og by. Cirklens sekant For at finde skæringen imellem en linje og en cirkel (sekanten), indsætter man linjens ligning ind i cirklens. Dette kunne være cirklen med centrum i C(0, 0) og radius r = 6. Den vil da være givet ved ligningen x 2 + y 2 = 36 og linjen med ligningen y = 2x + 4. For at finde ud af om linjen er en sekant til cirklen, indsætter vi ligningen for linjen ind i cirklens ligning. Derved får vi x 2 + (2x + 4) 2 = 36 5x 2 + 16x + 16 = 36 5x 2 + 16x 20 = 0 Løser man denne andengradsligning for man at x = 4.2 og x = 1. For at finde y-koordinaterne sætter vi vores x-værdier ind i linjens ligning og får y = 2 4.2 + 4 = 4.4 y = 2 1 + 4 = 6
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 22 Altså er linjen rent faktisk en sekant til cirklen, da den skærer cirklen i to punkter ( 4.6, 4.4) (1, 6). Vi vil nu kort opstille en række generelle regler for beregninger af sekanter. 1. Hvis der findes 2 løsninger, skærer linjen cirklen i to punkter og er en sekant. 2. Hvis der findes 1 løsning, er linjen en tangent. 3. Hvis der ikke findes nogle løsninger, ligger linjen udenfor cirklen. Cirklens tangent Vi har lige gjort rede for hvordan man kan undersøge om en linje er en tangent til cirklen. Vi vil nu kort beskrive hvordan man finder tangent til en cirkel. Sætning 18 (Tangenten til en cirkel) Hvis vi gives en cirkel med normalvektoren n = ( a b ) og punktet P (x 0, y 0 ), da vil tangentens ligning være givet ved. a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 Et eksempel. Hvis vi har en cirkel med centrum i C(4, 3) og punktet P (5, 5) i cirkelperiferien. Vi vil nu finde en tangent til denne cirkel. For at finde en tangent, benytter vi sætningen om cirklens tangent. Normalvektoren finder vi ved at finde vektoren CP. Denne vil da være n = CP = ( ) 5 4 5 3 = ( 1 2 ). Da vil ligningen for tangenten være givet ved 1(x 5) + 2(y 5) = 0 y = 1 2 x + 15 2 Både cirklens tangent og sekant kan ses afbilledet på figur 13 Kuglen Kuglen (i rummet) er nært beslægtet med cirklen. Man kunne argumentere for at en kugle er en cirkel drejet 180 om sig selv. Dog findes der naturligvis en mere korrekt måde at beskrive kuglen på. Definition 3 (Kuglen) En kugle i rummet består af alle de punkter der har en fast afstand radius r fra ét punkt centrum C. Når man generelt taler om kuglen, så taler man om kugleoverfladen. En kugle er naturligvis givet ved et analytisk udtryk som vi har følgende sætning om
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 23 Figur 13: Sekant og tangent til en cirkel. Figur 14: Kuglen i rummet.
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 24 Sætning 19 (Kuglens koordinater) Hvis vi har et givent punkt i rummet C(a, b, c) og et vilkårligt punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ), da vil kuglens ligning være givet ved: Først bemærker vi at kuglens radius er givet på samme måde som cirklens. Ergo vil CP = r CP 2 = r 2 og da vil kuglens ligning være (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = r 2 Bemærk at kuglens ligning ligner cirklens ligning rigtig meget. Den eneste reelle forskel er det ekstra koordinatsæt for z dimensionen. En grafisk repræsentation af en kugle ser man på figur 14 Planen Figur 15: Planen i rummet. En plan er ligesom kuglen, defineret ud fra en ligning. Og denne ligning minder, ikke overraskende, utroligt meget om ligningen for en linie i planen. Sætning 20 (Planen i rummet) Hvis vi har en plan som indeholder punktet P (x 0, y 0, z 0 ) og har normalvektoren n = b, vil planen være givet ved ligningen a c a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 25 Dette er den generelle formulering, når man ønsker at finde ligningen. Generelt vil denne formulering reduceres til udtrykket ax + by + cz + d = 0. Planen er meget interessant geometrisk, da den ikke kun kan være et objekt i det tre-dimensionale rum, men i sig selv også kan indeholde et koordinatsystem. Ligesom man kan anskue det to-dimensionale koordinatsystem som en række af et-dimensionale systemer (linjer), så kan man også anskue det tre-dimensionale system som en masse planer stablet ovenpå hinanden. En plan kan indeholde punkter, have skæringer imellem plan og linie, imellem planer og være tangenten til en kugle i rummet. V Sætningen om længden af en vektor En vektors længde findes ved at benytte sig af Pythagoras sætning om længderne af en retvinklet trekant. Dette ses illustreret på figur 16. Derfor siger vi følgende: Figur 16: Længden af en vektor i planen. Sætning 21 (Længden af en vektor i planen) Længden af vektoren a i planen givet ved punkterne A(x 1, y 1 ) og B(x 2, y 2 ) vil være givet ved a = AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 26 Bevis. Vektorens længde findes vha. Pythagoras sætning som siger at a 2 + b 2 = c 2 som kun gør sig gældende for retvinklede trekanter. Og vi kan netop opløse vektor a i dens komponenter a 1 i og a 2 j. Dermed får vi en retvinklet trekant og vi kan derfor udtrykke vektorens længde ved a = a 1 + a 2 = a 2 1 + a 2 2 a = a 2 1 + a 2 2 og sætningen er hermed bevist. Sætning 22 (Længden af en vektor i rummet) Hvis vi har en vektor a i rummet, givet ved A(x 1, y 1, z 1 ) og B(x 2, y 2, z 2 ), vil den have længden a = AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 eller skrevet på en anden måde a = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 Bevis. I rummet kan vi ikke lige umiddelbart benytte Pythagoras, da vi har den ekstra koordinat med. Men vi benytter det samme princip. Vektoren i rummet kan beskrives ud fra de tre basisvektorer. For at gennemføre beviset har vi delt rummet omkring vektoren OA op i to rum, på hver sin side. Vi vil nu behandle hvert sit rum som en retvinklet trekant. Da OAB er retvinklet får vi og da OBC er retvinklet OA 2 = OB 2 + BA 2 = OB 2 + OE 2 OB 2 = OC 2 + CB 2 = OC 2 + OD 2 Ved at kigge på både OA og OB for vi at OA 2 = OC 2 + OD 2 + OE 2 og da OC 2 = a 2 1, OD 2 = a 2 2 og OE 2 = a 2 3 kan vi nu finde at længden af vektor a 2 må være givet ved a 2 = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 a = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 og sætningen er dermed bevist.
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 27 VI Figur 17: Længden af en vektor i rummet. Projektion af vektor Somme tider vil man gerne undersøge en vektors længde, men i en retning af en anden vektor. Hertil viser projektionen af en vektor sig at være nyttig. Metoden er at man projicerer den ene vektor a ortogonalt ned på den anden vektor b. Dette ses afbilledet på figur 18. Somme tider ser det pænere ud og Figur 18: Projektion af en vektor på en vektor. er også mere overskueligt, hvis man i stedet placerer vektorerne ende mod
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 28 ende. Dette ses på figur 19. Figur 19: Projektion af en vektor på en anden vektor, ende mod ende. Det er naturligvis ikke nok bare at kunne beskrive projektionen geometrisk, selvom den tydeligører hvad der foregår. Vi bliver også nødt til at have en analytisk metode. Den er beskrevet i denne sætning. Sætning 23 (Projektion af vektor på vektor) Hvis vi får givet 2 egentlige vektorer, a og b, så vil projektionen a b være givet ved a b ab = b b 2 hvor a b naturligvis er skalaproduktet og b er længden af vektor b. Bevis. Vi har været så snedige at tegne vektoren c på figur 19, således at vi kan behandle projektionen som ab + c = a eller c = a a b Da a b er parallel med b, vil vi også kunne definere a b som k b, hvor k er en passende længde. Da b og c begge er ortogonale, er deres skalarprodukt jo derfor 0. Derfor kan vi sige 0 = b c = b ( a a b ) = b ( a k b) = a b k b 2
I. ANALYTISK PLAN OG RUM-GEOMETRI 29 hvor vi her har tilladt os at udnytte at b 2 = b 2. Vi kan nu isolere for k og får dermed a b k b 2 = 0 k b 2 a b = a b k = b 2 Sætter vi nu k ind i vores oprindelige udtryk a b = k b får vi naturligvis ab = a b b 2 b som er det udtryk vi ville bevise. VII Anvendelse af analytisk geometri Når man skal undersøge hvor forskellig viden kan bruges henne i praksis, bliver man nødt til at skelne imellem to verdener. Der findes den verden indenfor faget/fagene 5, hvor matematikken benytter sin egen særlige logiske fremstilling og bevisførelse og så den verden hvor man tager de matematiske resultater og metoder til sig, men ikke i samme grad benytte samme bevismetode. Indenfor matematikken selv er det afgøre hvornår to forskellige objekter tager den samme værdi. Dette kan eksempelvis bruges i videre bevisførelse, eksempler og beregninger af værdier. Indenfor fysikken kan beregningen af to linjers skæring afgøre om hvorvidt to objekter med forskellig hastighed og retning vil ramme ind i hinanden indenfor en given tid eller i det hele taget. Praktisk set kan man benytte matematikken forskellige steder. Man benytter matematikken til at lave modeller der kan forudsige forskellige hændelser. Hvis en rumfærges/komets bevægelse i luften er givet ved en ret linje 6 og jorden er givet ved en kugle, så vil man kunne lave en beregning på objektets bevægelse og skærer dette kugleoverfladen, vil det betyde at færget/kometen vil ramme jordoverfladen. Som vi tidligere nævnte, så kan skæringen imellem to linjer især benyttes til at beregne hvis, hvor og hvornår to objekter vil ramme ind i hinanden. Vektorer benyttes i mange videnskaber til at beregne størrelser af kræfter, bevægelsesretninger og lignende værdier som ikke kan beskrives udelukkende med en skalar. Mere avanceret kan man benytte vektorersbevægelse omkring en kugleoverflade til at lave en beregning på errosion omkring en kugle. Dette kan eksempel benyttes hvis man vil bygge en havnemole med en rund ende. 5 Dette kunne være matematik, fysik, kemi etc. 6 Ret usandsynligt, men et simplificeret eksempel
II. UDREGNEDE EKSEMPLER 30 Overordnet vil vi betegne et skæringspunkt, matematisk set, som det sted hvor to geometriske objekter 7 kan antage den samme værdi. II Udregnede eksempler Vi har her udregnet en række opgaver fra et vejledende eksamenssæt. I Opgave 1.035 Vi ønsker, at kuglens ligning har følgende form: (a x) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = r 2 Vi omskriver til: (x + 4) 2 + (y + 2) 2 + (z 1) 2 = 9 x 2 + 8x + y 2 + 4y + z 2 2z + 21 = 9 x 2 + 8x + y 2 + 4y + z 2 2z + 21 = 30 Lægger også 21 til på højre side af lighedstegnet På baggrund af ovenstående ligning for kuglen kan flg. udledes: Kuglens radius er altså givet ved 30 og koordinatsættet for centrum er givet ved (4,2,-1) II Opgave 1.036 7 Linjer, planer, cirkler og kugler
II. UDREGNEDE EKSEMPLER 31 Vi omskriver kuglens ligning (x 3) 2 + (y 2) 2 + (z 5) 2 = 22 x 2 6x + y 2 + 4y + z 2 10z + 38 = 22 x 2 6x + y 2 + 4y + z 2 10z + 38 = 16 Vi bestemmer nu vektoren CQ for kuglen. Vi ved at CQ skal være normalvektor til tangensplanen og vi bestemmer derfor normalvektoren til planen Ud fra ligningen til planen α kan vi se at planens normalvektor er givet ved 1 n α = 2 2 III Opgave 1.038 Vi laver en parameterfremstilling for linjen l igennem P x 4 1 y = 1 + t 1 z 6 1 Vi opstiller herefter et ligningssystem for parameterfremstillingen x = 4 + t l : y = 1 t z = 6 + t Vi kan nu indsætte de fundne udtryk for x, y, z i ligningen for den rette linje og kommer dermed frem til ax + by + cz + d = 0 2(4 + t) ( 1 t) + (6 + t) + 3 = 0 Ved at solve for t finder vi at t = 9 2
II. UDREGNEDE EKSEMPLER 32 Idet vi har fundet frem til denne t-værdi kan vu nu konkludere at P (4, 1, 6) er et punkt på linjen for t = 9 2. Projektion af P på planen. Vi søger et projektionspunkt Q i planen α, som har den korteste afstand til P. Vektoren P Q vil således være n α. På baggrund af ligningen for α ved vi at 2 n α = 1 1 Vi kan nu opstille en parameterfremstilling for linjen l vha. n α og P 0 x 4 2 y = 1 + t 1 z 6 1 Vi laver nu et ligningssystem x l : y z = 4 + 2t = 1 t = 6 + t Indsætter nu i ligningen for α og bestemmer t ved solve funktionen i LM t = 3 Denne t-værdi indsættes nu i parameterfremstillingen og det ses at 4 3 2 2 Q = 1 3 ( 2) = 2 6 3 1 3 Projektionspunktet Q er altså P ( 2, 2, 3). IV Opgave 1.041 For at finde ud af om en vinkel imellem to vektorer er spids eller stump udregner vi et skalarprodukt imellem dem a 5 8 c 4 = 12 2 = 66 11 2
II. UDREGNEDE EKSEMPLER 33 Eftersom skalarproduktet er negativt fortæller det os at vinklen er stump. Herved ved vi også at diagonalen der udgår fra skæringen imellem a og c 4 er den længste i det parallellogram som de to vektorer udspænder. Vi tager derfor et vektorprodukt imellem de to vektorer for at bestemme den vektor der angiver længden af diagonalen. a 5 8 c 4 = 12 2 11 2 = 53 98 131 For at finde længden af vektor a c 4 benytter vi reglen om en vektors længde og får ( 53)2 + ( 98) 2 + ( 131) 2 = 171.971 Længden af den længste diagonal i parallellogrammet bliver da 172 V Opgave 2.011 Vi opstiller først to retningsvektorer 1 1 0 EH = 6 ( 6) = 12 4 4 0 4 1 5 EF = 5( 6) = 11 3 4 1 Vi bestemmer derefter normalvektoren n ved et vektorprodukt 0 5 12 n = 12 11 = 0 0 1 60 Vi har nu en normal vektor og vi vælger punktet E, så vi får planens ligning til at være β = 12(x 1) + 0(y + 6) + 60(z 4) = 0 β = 12x 252 + 60z = 0 β = 12x + 60z = 252
II. UDREGNEDE EKSEMPLER 34 Ligningen for planen β er hermed bestemt til β = 12x + 60z = 252 Eftersom β ligger i xy-planen må β være parallel med vandret, hvormed vinklen bliver 0. VI Opgave 2.013 Vi ved at kuglens radius r = 6, fordi en plan er givet ved z = 6 og denne plan tangerer netop kuglen. Vi ønsker nu at bestemme punktet y 0. Vi bestemmer først vektor OP : 2 0 2 OP = y 0 0 = y 0 4 0 4 Vi kan nu bestemme y 0 da denne vektors længde er det samme som kuglens radius. 6 = 2 2 + (y 0 ) 2 + 4 2 = 4 4 Da 4 ikke har nogen interesse for os 8, vil længden af vektoren da være OP = 4. Vi opstiller nu parameterfremstillingen for l x 0 2 l : y = 0 + t 4 z 0 4 eller x l : y z = 2t = 4t = 4t Vi ved at planen og linjen skærer hinanden i z = 6, eftersom planen er givet ved denne ligning. Vi bestemmer derfra t ud fra parameterfremstillingen for z 6 = 4t t = 1.5 8 Vi kan ikke have en vektor med en negativ længde
II. UDREGNEDE EKSEMPLER 35 Den fundne t værdi sætter vi ind i linjens parameterfremstilling for at bestemme skæringspunktet x 2 1.5 3 y = 4 1.5 = 6 z 4 1.5 6 Linjen og planen skærer da hinanden i punktet (3, 6, 6).
Litteratur [1] Jens Carstensen, Jesper Frandsen og Jens Studsgaard. Mat B til A (stx). Systime, 2. udgave, 2008. [2] Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk. Vektorer, geometri og differentialregning. Gyldendal, 1. udgave, 1999. [3] Niels Vigand Pedersen. Lineær Algebra. Københavns Universitet, 2. udgave, 2009. [4] Ken Riley, Michael Hobson og Stephen Bence. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press, 3. udgave, 2008. 36