Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå, derfor denne introduktion. Hvis du har spørgsmål, forbedringer eller kommentarer er du velkommen til at kontakte mig via email. Addresseinfo etc. kan findes på http://buskefjomp.dk. 1.1 Dokumenthistorie Dato Forfatter Historie 100523 Jes Toft Kristensen Dokument oprettet 1

Indhold 1 Forord 1 1.1 Dokumenthistorie....................................... 1 Symbolliste 3 2 Motivation 4 3 Grader og radianer 4 3.1 Kort om trekanter....................................... 6 4 Definition af cosinus og sinus 6 4.1 Grundformler......................................... 6 4.2 Cosinus og sinus som forhold................................. 7 4.3 Cosinus og sinus med omløb i radianer............................ 7 4.4 Cosinus og sinus med kontinuert omløb........................... 9 4.5 En opgave........................................... 12 5 Eksemple på anvendelse 12 6 Tangens 13 7 Løsning af flyver-problemet 15 8 Inverse funktioner 15 INDHOLD 2

Symbolliste lineære funktioner Funktioner der umiddelbart kan lægges sammen og give samme resultat. Eksempelvis er multiplikation en lineær operation (2 (4 + 5) = 2 4 + 2 5) imens opløftning i potens ikke er en lineær operation ((4 + 5) 2 4 2 + 5 2 ). Ligeledes er sinus, cosinus og tangens ikke lineære funktioner. NB Dette er ikke den fulde definition på linearitet, side 11 origo center for enhedscirklen, har koordinatet (0,0), side 12 periferi yderste kant. Ved cirkler er cirklens periferi således lig med cirkelbuen., side 3 periodicitet er at et fænomen gentager sig periodisk, side 8 radian Længde på cirklens omkreds, side 3 INDHOLD 3

2 Motivation Hvorfor nu alt det her med sinus, cosinus, grader og vinkler? Det korte og affejende svar er at du skal bruge det senere på videregående uddannelser (gymnasiet, htx, universitetet etc.). Det lidt dybere svar er at nærværende stof anvendes til beskrivelse af bevægelser, positioner, fysiske fænomener, vinkler og en masse andre ting. Derfor skal du forstå og kunne anvende vinkelberegninger og forhold, som er hvad sinus og cosinus dybest set dækker over. Det er vigtigt at forstå at sinus/cosinus er et forhold der gælder under bestemte forudsætninger. Dette forhold anvendes så i vid udstrækning som et matematisk værktøj. Men dybest set er det et forhold og ikke andet. Derfor er sinus/cosinus ikke svært, det handler bare om at forstå forholdet det hele bygger på. Men for at det hele ikke skal fortabe sig i gode hensigter vil jeg starte med et eksempel på hvad der kunne beregnes med cosinus og sinus. Forestil dig at du er ude at flyve med dit modelfly. Du kan hele tiden se flyet og det har en indbygget højdemåler. Men hvordan finder du ud af hvor langt flyet er væk? Scenariet er vist i figur 1. Her er flyet og dig indtegnet sammen med vinklen v, flyets højde h og afstanden til flyet d. Phytagoras formler duer ikke idet du ikke kender den stiplede linies længde. Derfor skal du lære noget nyt. Vi vil senere beregne afstanden d, men først skal vi have fundet de rigtige værktøjer. h v d (?) Figur 1: Indledende flyver scenarie. Du kender vinklen v og flyets højde h, men hvordan bestemmer du afstanded d? 3 Grader og radianer Som en lille opvarmning til abstraktionerne kan vi se på hvordan vinkler også kan defineres. Matematikken er for det meste enige om at der er 360 grader rundt på en cirkel 1. Det betyder at den rette vinkel i en retvinklet trekant er 90 grader og at en cirkel kan halveres så vinklen er 180 grader. Disse tre vinkler er vist i figur 2 på næste side. En anden måde at beskrive positioner på en cirkel er vha. radianer. En radian beskriver hvor langt på cirklens periferi man har bevæget sig. På figur figur 3 på den følgende side er både vinkler og radianer vist. Når der måles i radianer har man besluttet at en hel cirkels omløb er fastsat til 2 π og ikke 360 grader. En halvcirkels periferi er således 2 π/2 = π og en kvart cirkels periferi er 2 π/4 = π/4. Som det ses af 1 Nogen steder i geografien bruger man 400 grader for en hel cirkel 4

180 90 360 Figur 2: Cirkel med de tre vinkler, 90, 180 og 360 grader indtegnet figuren kan man omsætte direkte fra grader til radianer og omvendt ved følgende funktioner hvor g er i grader og r er radianer. f grad rad (g) = f rad grad (r) = g 360 2 π = r (1) r 360 = g (2) 2 pi 2*pi/2 = pi 180 grader 90 grader 2*pi/4 = pi/2 360 grader 2*pi radius = 1 Figur 3: Enhedscirkel med radianer og grader indtegnet for 90, 180 og 360 grader. En eksakt værdi for π er defineret ved 22 7 = π. En dybere forklaring er at π er det konstante forhold mellem en cirkels periferi og radius, således at: 2 r π = O (3) hvor r er radius i cirklen og O er cirklens omkreds. Det betyder også at en enhedscirkel, med en radius på 1, har en omkreds på 2π. Se yderligere information her http://en.wikipedia.org/wiki/pi 5

3.1 Kort om trekanter For lige at slå fast ud fra figur 4 I denne tekst betragter vi den retvinklede trekant fra der hvor den lille pindemand står. hypotenusen er den længde/side der står modsat den rette vinkel. katete 1 er den længde/side der ligger ved observatøren. Derfor kaldes denne også for den hosliggende katete/side. katete 2 er den længde/side der står modsat observatøren. Derfor kaldes denne den modstående katete/side (meget kreativt). vinklen a dannes mellem hypotenusen og den hosliggende side (katete 1). hypotenuse katete 2 (modstaaende) a katete 1 (hosliggende) Figur 4: Grundlæggende om trekanter 4 Definition af cosinus og sinus Cosinus og sinus er som sagt et forhold. Mere specifikt er cosinus forholdet mellem den hosliggende side divideret med den hypotenusen i en trekant ved en given vinkel a. Mere specifikt er dette vist til venstre i figur 5 på den følgende side (her er definitionen også vist for sinus til højre). 4.1 Grundformler Opstillet matematisk kan målene i figuren beskrives ved følgende: cos(a) = hos hyp sin(a) = mod hyp Det vil altså sige at ved en bestemt vinkel a er der et fast forhold mellem hypotenusen og den hosliggende side i en trekant eller mellem den modstående side og hypotenusen. Som i alle andre formler kan vi reducere/ombygge på denne for at isolere de ønskede variable. Dette betyder at hvis vi kender 2 af informationerne i (a) eller (b) på figur 5 på næste side kan vi finde den sidste. Det er dette som gør cosinus og sinus beregninger til et meget effektivt værktøj. (4) 3.1 Kort om trekanter 6

Cosinus Sinus hyp hyp mod a a hos Figur 5: Forhold for cosinus og sinus vist 4.2 Cosinus og sinus som forhold På figure figur 6 er der vist forskellige trekanter, hypotenuser og hosliggende sider for cosinus. Fælles for dem alle er at hypotenusen i alle tilfælde har længden 1. Afhængigt af hvordan vinklen a varieres opnåes forskellige længder for den hosliggende side og modstående side. På figuren er vinklerne 25, 85 og 10 grader indtegnet. Læg specielt mærke til at den hosliggende side i (b) på figuren er meget kort pga. den høje vinkel. Det modsatte ses i (c) i figuren hvor den hosliggende side er lang i forhold til den modstående side. De præcise tal er angivet i tabel 1. hyp = 1 mod hyp = 1 mod hyp = 1 a a a hos hos hos mod (a) (b) (c) Figur 6: Eksempler på trekanter med vinklen a, den hosliggende og hypotenusen angivet i tabel 1 (a) (b) (c) [enh] Hypotenuse 1 1 1 [længde] Vinkel a 25 85 10 [grader] Hosliggende 0.906 0.087 0.985 [længde] Modstående 0.423 0.996 0.17365 [længde] Tabel 1: Størrelser for eksempler på trekanter 4.3 Cosinus og sinus med omløb i radianer Ved at fastholde længden på 1 for hypotenusen indtegnes en enhedscirkel (defineret ved at radius, her hypotenusen, er 1). Vist på figur 7 på den følgende side er der en enhedscirkel med vinklen a og akser for 4.2 Cosinus og sinus som forhold 7

cosinus og sinus indtegnet. (modstaande) sin(a) a cos(a) (hosliggende) Figur 7: Cosinus og sinus indtegnet i enhedscirkel ud fra radianer. Her regnes vinklen i radianer og er således ikke længere en direkte vinkel, men et tal for hvor langt på et omløb på enhedscirklens periferi der er foretaget. Man kan dog frit konvertere imellem grader og radianer som tidligere beskrevet. Bemærk at lommeregnere typisk forventer radianer som input til sinus og cosinus funktioner og at 30 radianer IKKE er det samme som 30 grader, derfor omregning. Det ses af figuren at den hosliggende side er lang ved lave vinkler (kort omløb) og derefter bliver mindre og mindre. Det modsatte gælder så for den modstående side (sinus), der bliver længere og længere jo større a bliver. Dette er vist i figur 8 på næste side for cosinus, der som vist er aftagende. Samtidig kan det også ses at cosinus aldrig bliver længere end længden 1, hvilket er radius i cirklen. 4.3 Cosinus og sinus med omløb i radianer 8

1 Cosinus for 0 <= a <= pi/2 x akse y akse 0.8 Laengde af cosinus 0.6 0.4 0.2 0 0pi 0.1pi 0.2pi 0.3pi 0.4pi 0.5pi a [radianer] Figur 8: Cosinus i intervallet 0 til π/2 = 1.57 radianer 4.4 Cosinus og sinus med kontinuert omløb Men der findes jo også vinkler der er større end 90 grader. Dette svarer til at omløbet fortsatte over de π/2 radianer. Dette er vist i figur 9 på den følgende side hvor omløbet er fortsat den halve cirkel rundt. Her ses det at cosinus aftager jo tættere på de π/2 vi kommer, men begynder at bliver længere (omend negativ) jo tætter vi kommer på de 180 grader (π).. Fortsættes omløbet rundt kontinuerligt fremkommer bestemte kurver, nemlig cosinus og sinus svingninger. Disse er vist i figur 10 på side 11. Her ses det at sinus starter lavt men stiger indtil 0.5π hvorefter den aftager. Efter 2π gentager kurverne sig, dette er hvad man kalder periodicitet af sinus og cosinus. 4.4 Cosinus og sinus med kontinuert omløb 9

0.5 * pi= pi/2 0.75*pi = 3*pi/4 0.25*pi = pi/4 a pi (modstaande) sin(a) cos(a) (hosliggende) (a) Omløb for cosinus 1 Cosinus for 0 <= a <= pi x akse y akse 0.5 Laengde af cosinus 0 0.5 1 0pi 0.125pi 0.25pi 0.375pi 0.5pi 0.625pi 0.75pi 0.875pi 1pi a [radianer] (b) Længde af cosinus med omløb af a Figur 9: Cosinus længde for omløb af halvcirkel 4.4 Cosinus og sinus med kontinuert omløb 10

1 Cosinus Sinus x akse y akse 0.5 Laengde 0 0.5 1 0pi 0.5pi 1pi 1.5pi 2pi 2.5pi 3pi 3.5pi 4pi a [radianer] Figur 10: Cosinus- og sinus-svingninger ud fra omløb a 4.4 Cosinus og sinus med kontinuert omløb 11

4.5 En opgave Proev nu at vende tilbage til figur 9 på side 10 og indtegn sinus i (b) af figuren. Start med de angivne reference punkter (0.25 π og 0.75 π) og udmål længderne, divider herefter længderne med den længde af den røde streg i (a) du måler, så skulle du gerne kunne tegne direkte ind i (b). Tjek herefter med figur 10 på foregående side om du ramte rigtigt. Prøv også at måle og indtegne din egen tabel som i tabel 1 på side 7 og indsæt i grundformlerne ((4)) for at finde ubekendte. 5 Eksemple på anvendelse For at anvende sinus og cosinus skal vi vende tilbage til grundformlerne angivet i (4). Vores tidligere eksempler har vist at hvis hypotenusen saettes til 1 bliver længder ud fra vinkler meget nemme at beregne. Eksempel cos(a) = hos cos(a) = hos (5) hyp = 1 altså giver cosinus os et direkte udtryk for længden af den hosliggende side. De cosinus og sinus funktioner der er på din lommeregner kan du opfatte som en stor tabel, der kan omsætte et vilkårligt input i radianer (omløbet a) til enten en hosliggende sidelængde (cosinus) eller en modstående sidelængde (sinus). Grunden til at introducere sin() og cos() funktionerne er at omløbene som vist i figur 10 på foregående side ikke er lineære og samtidig ikke helt nemme at beregne præcist 2. Derfor er det nemmest at opfatte sin() og cos() som opslagsfunktioner, eller som en nem måde at aftegne og måle på i figur 9 på side 10 Hvis hypotenusen ikke har en længde på en kan vi omformulere grundformlerne og stadig finde den hosliggende sides længde. den samme reduktion kan foretages for sinus. Til bestemmelse af hypotenusen kan man bruge følgende cos(a) = hos cos(a) hyp = hos (6) hyp cos(a) = hos hyp hyp = hos cos(a) (7) Som en lille kuriositet kan det bemærkes at phytagoras formler har en vis relation til sinus og cosinus formlerne. Det er nemlig givet at summen af kateterne kvadrat er lige hypotenusens kvadrat som egentilgt bare er Hvis hypotenusen har længden 1 får vi en lidt anden formel, nemlig hyp 2 = hos 2 + mod 2 (8) 1 = hos 2 + mod 2 (9) Prøv at indtegne et vilkår omløb af a i figur 7 på side 8 og mål derefter hypotenusen, den modstående og den hosliggende. Indsæt derefter i (8) og regn efter (du kan bare måle direkte på papiret - det gælder stadig). 2 Der anvendes en såkaldt rækkeudvikling for at få præcise værdier for sinus og cosinus, de er nærmere beskrevet her: http: //en.wikipedia.org/wiki/trigonometric_functions#series_definitions 4.5 En opgave 12

6 Tangens For at gøre diskutionen om cosinus og sinus komplet kan vi ikke undgå at nævne tangens-funktionen. Den kvikke læser har måske opdaget allerede nu at flyver-problemet fra indledningen ikke kan løses med sinus og cosinus alene. Problemet er at begge grundformler anvender længden af hypotenusen, der er ukendt i figur 1 på side 4. Altså skal vi finde noget andet. Der eksistere heldigvis et 3. forhold i disse trekantsberegninger som vi kan anvende, nemlig tangens. Denne defineres på samme som cosinus og sinus, men nu som en vinkel der angiver et forhold imellem den modstående og hosliggende side. tan(a) = mod hos Variablen a er stadig angivet i radianer. Det specielle ved tangens er dog at længden skal måles som en tangent til enhedscirklen, som vist i figur 11 på næste side. Her er tangens vist og læg mærke til at det er den tangerende blå linie der måles afstand på. De cyan-farvede fuldt-optrukne linier fortsætter altså udover enhedscirklen indtil de rammer den lodrette tangent. De cyan-farvede fuldt-optrukne linier er samtidig projiceret ned på de hosliggende og modstående sider med stiplede linier. Det er afstanden fra der hvor den stiplede linie og indtil origo Dette er igen et forhold der gælder for enhedscirklen som kan udvides til at beregne på alle længder, typisk vha. omskrivning af grundformlen i (10). Samtidig kan tangens funktionen igen opfattes som et tabel-opslag så man undgår at måle selv. Specielt tangens er dette vigtigt for idet det eksempelvis ses at ved omløbslængden for c bliver hjæxlpe-linien og tangens liniens skæring meget højt ude af papiret. Faktisk går tangens mod en uendelig værdi for omløb af π/2 og 4/3π (90 og 270 grader). Her bliver hjælpe-linien og tangenten paralelle hvorved de aldrig skærer hinanden, derfor en uendelig værdi 3. (10) 3 Der er nu ikke noget specielt problematisk i dette, hvis en trekant har to vinkler på 90-grader må det nødvendigvis være en firkant... 13

c b tangens (modstaande) a (hosliggende) Radius = 1 (enhedscirkel) Figur 11: Tangens indtegnet for forskellige omløb af a, b og c 14

7 Løsning af flyver-problemet Med tangens kendt kan vi nu løse flyver-problemet fra indledningen. På figur 1 på side 4 kan du se hvilke informationer der er ukendte og kendte. Vi ønsker at bestemme den hosliggende side d hvor vi kender højden h der er 70m og vinklen v der er 45 grader 4. Cosinus- og sinus-relationerne kan vi ikke bruge idet vi ikke kender længden af hypotenusen (den stiplede linie). Derfor er der kun tangens-relationen tilbage. Denne er vist i (10) og omskrevet her til at indeholde vores navne for variable tan(v) = h d (11) hvor vi ønsker at isolere og bestemme d. Ved hjælp af funktionen i (1) kan vi omregne fra grader til radianer, hvor vi når frem til at 45 grader er 0.7854 radianer = π/4 (regn gerne efter og/eller indtegn i figur 9 på side 10 ). d = h tan(v) (12) d = 70m tan(0.7854) (13) d = 70m 1 (14) d = 70m (15) Altså kan vi bestemme flyets afstand vha. vinkel-relationer. Det er det nye værktøj du har lært. Men kan du nu beregne hypotenusen (der er flere måder at gøre det på, ingen er mere rigtig end den anden? 8 Inverse funktioner Skal I bruge inverse funktioner? Hvis ja, saa husk at disse heller ikke er linær, og sådan set bare kan beregne en vinkel ud fra et forhold ( ) ( ) ( ) hos mod mod a = cos 1, a = sin 1, a = tan 1 (16) hyp hyp hos (igen er funktionen på lommeregneren bare et opslags-værktøj i stedet for at kigge i en bog) 4 Vinklen i tegningen er ikke 45 grader, men ignorer dette 15