Basal Statistik for medicinske PhD-studerende Oktober 2007

Transkript

1 Kategoriske data Basal Statistik for medicinske PhD-studerende Oktober 2007 Bendix Carstensen Steno Diabetes Center, Gentofte & Biostatististisk afdeling, Københavns Universitet Kategoriske vaiable Dikotom to kategorier: Respons: Ja / Nej Levende / Død Nominal flere kategorier: Selvstændig / Faglært / Ufaglært / Funktionær Blå / Brune / Grå / Grønne Ordinal flere ordnede kategorier: Ingen < Let < Moderat < Svær 0 10 < < < 51+ Oktober 2007: Kategoriske data 1 Data repræsentation Individer Person Kategori 1 a 2 f 3 c 4 b 5 b 6 d 7 d.. n b Tabel Kategori Antal a 8 b 14 c 4 d 9 e 12 f 3 n Oktober 2007: Kategoriske data 2

2 100 patienter behandles og respons registreres: ptt. udfald i x i Model for x i og x i nødvendig. { 65 = xi Respons 35 = 100 x i Intet respons Oktober 2007: Kategoriske data 3 Sandsynlighed for at en tilfældigt valgt person responderer: p{respons} = p p{intet respons} = 1 p Personer er ikke ens. Variationen kommer fra den tilfældige udvælgelse af patienter. p er ukendt - en parameter som karakteriserer populationen. Observationer: x responderer, n x responderer ikke. Oktober 2007: Kategoriske data 4 Binomialfordelingen: Sum af uafhængige Bernoulli-variable, med samme sandsynlighed, p: x = # 1-taller = x i binom(n, p) Punktsandsynlighed: p{x = x} = Middelværdi: E(X) = n p ( n x ) p x (1 p) n x Spredning: std(x) = var(x) = n p (1 p) Oktober 2007: Kategoriske data 5

3 N=5, p=0.1 N=5, p=0.2 N=5, p=0.3 N=5, p=0.5 N=5, p=0.8 N=5, p= N=10, p= N=10, p= N=10, p= N=10, p= N=10, p= N=10, p= N=20, p= N=20, p= N=20, p= N=20, p= N=20, p= N=20, p= N=50, p= N=50, p= N=50, p= N=50, p= N=50, p= N=50, p= Oktober 2007: Kategoriske data 6 Estimation i binomialfordelingen: Parameter: p = Pr{ positiv } Observation: x ud af n er positive (succes, død,... ). Estimat: ˆp = x n p(1 p) Spredning af estimat: s.e.(ˆp) = n Approximativt 95% konfidensinterval for p: ˆp(1 ˆp) ˆp ± n Oktober 2007: Kategoriske data kvinder fra almen praksis. 39 har astmatisk sygdom i familien. p = p{tilfældigt valgt kvinde har astma i familien} = prævalensen af familiær astma ˆp = = p(1 p) s.e.(ˆp) = = = n % c.i: ± = (0.130; 0.233) Dvs.: Data er foreneligt med prævalenser i populationen i området 13% 23%. Oktober 2007: Kategoriske data 8

4 Eksakt konfidensinterval: N=215, p= N=215, p= Oktober 2007: Kategoriske data 9 Eksakt konfidensinterval: 5 ud af N=20, p= N=20, p= % N=20, p= N=20, p= % ˆp = 5/20 = 0.25 Konfidensinterval: 0.25±1.96 = (0.06; 0.44) Oktober 2007: Kategoriske data 10 Eksakt konfidens interval for 0 ud af N Den nedre grænse er: p L = 0 Den øvre grænse, p U, skal vælges så ssh. for 0 er 2.5%: p 0 U (1 p U ) N = (1 p U ) N = p U = /N Eksempel: Observeres 0 ud af 7 bliver den øvre grænse for et eksakt 95% konfidensinterval: p U = /7 = Oktober 2007: Kategoriske data 11

5 Konfidensintervaller for p En god approximation til de eksakte konfidensintervaller er 1 : erf = exp ( 1.960/ np(1 p) ) og derefter udregne grænserne: p p + (1 p) erf 1 Denne formel er baseret på en normal-approximation til log-odds, ln(p/(1 p)). Oktober 2007: Kategoriske data 12 F.eks får vi for 5 ud af 20: p = 0.25, erf = exp ( 1.96/ ) = 2.75 dvs. et 95% c.i bliver: p = p + (1 p) erf = (10.8;47.8)% Traditonelt c.i: (6.0; 44.0)% Eksakt c.i: (8.7, 49.1)% Oktober 2007: Kategoriske data 13 Test H 0 : p = p 0 Hvis nulhypotesen er sand: ( x s.e.(ˆp) = s.e. = n) p0 (1 p 0 ) n z = x/n p 0 p0 (1 p 0 )/n N(0,1) N(0,1) er den standardiserede normalfordeling middelværdi 0 og varians 1. Oktober 2007: Kategoriske data 14

6 Ud af 215 havde 39 astma i familien. Er det foreneligt med en prævalens på 15%? z = 39/ /215 = 1.23 Opslag i tabel giver: p{ z > 1.23} = 21.87% Oktober 2007: Kategoriske data 15 Kontinuitetskorrektion Testsandsynligheden approximeres i normalfordelingen, ved at tage sandsynligheden fra x og udefter. Bedre at tage ssh. fra x (eller x 1 2 ). Det giver den korrigerede teststørrelse: z C = x/n p 0 1/2n p0 (1 p 0 )/n Oktober 2007: Kategoriske data 16 I eksemplet fra før med 39 ud af 215 og p 0 = 0.15: z C = 39/ /(2 215) /215 = 1.194, p = 23.26% Oktober 2007: Kategoriske data 17

7 Antagelser: Forudsætninger for at anvende binomialfordelingen: Observationerne er uafhængige, dvs: Viden om en persons status indeholder ikke information om andres. (Afhængighed kan forekomme hvis personer er i familier, og udfaldet er familiært associeret). Effekt af afhængige observationer: n bliver overvurderet. P-værdi for lille. Oktober 2007: Kategoriske data 18 Observationerne er repræsentative, dvs: Personerne skal repræsentere den population der skal generaliseres til. (Problemer hvis udvælgelsen afhænger af forhold som har med udfaldet at gøre). Effekt af manglende repræsentativitet: Afhænger af den konkrete situation. Oktober 2007: Kategoriske data 19 M Kalani, J Apelqvist, M Blombäck, K Brismar, B Eliasson, JW Eriksson, B Fagrell, A Hamsten, O Torffvit & G Jörneskog: Effect of Dalteparin on Healing of Chronic Foot Ulcers in Diabetic Patients With Peripheral Arterial Occlusive Disease. Diabetes Care 26: , 2003 Ulcer outcome in 85 diabetic patients with PAOD and chronic foot ulcers, randomly assigned to treatment. Dalteparin Placebo Healed 14 9 Improved Unchanged 7 9 Impaired 5 5 Amputation 2 8 Total Dalteparin Placebo Better Worse Total Oktober 2007: Kategoriske data 20

8 Sammenligning af 2 grupper Gruppe Resp. 1 2 Ja x 1 x 2 Nej n 1 x 1 n 2 x 2 n 1 n 2 ˆp 1 = x 1 /n 1 ˆp 2 = x 2 /n 2 p 1 (1 p 1 ) s.e.(ˆp 1 ˆp 2 ) = + p 2(1 p 2 ) n 1 n 2 Oktober 2007: Kategoriske data diabetes-patienter med fodsår: Dalteparin (Dal) Placebo (Pl) Gruppe Dalterapin Placebo Udfald: Bedre Værre ˆp Dal = = 67% ˆp Pl = = 47% Oktober 2007: Kategoriske data 22 Forskellen mellem sandsynlighederne er andelen af patienter der har glæde af behandlingen: p Dal p Pl ˆp Dal ˆp Pl = 20% p Dal (1 p Dal ) s.e.(ˆp Dal ˆp Pl ) = + p Pl(1 p Pl ) n Dal n Pl = %c.i. : 20% ± % = (0%;40%) Oktober 2007: Kategoriske data 23

9 data c ; proc freq data = a ; input resp $ grp $ ; table grp * resp / chisq measures nopercent nocol ; cards ; run ; B Dal B Dal B Dal... B Dal B Dal B Dal W Dal W Dal... data c ; W Dal input resp $ grp $ antal; W Dal cards ; B Pl B Dal 29 B Pl W Dal 14 B Pl B Pl 20 B Pl W Pl ; B Pl run ; W Pl W Pl proc freq data = c ; W Pl table grp * resp / chisq measures nopercent nocol ;... run ; W Pl W Pl W Pl ; run ; Oktober 2007: Kategoriske data 24 Eksempel i SAS Analyst: Indtast data i regnearket som: resp grp count B Dal 29 W Dal 14 B Pl 20 W Pl 22 Vælg Statistics Table Analysis. Put responsvariablen, her resp i column. I Tables vælges både row og col percents. Oktober 2007: Kategoriske data 25 Frequency Row Pct Col Pct B W Total Dal Pl Total Statistic Value ASE Somers D C R Somers D R C C R = Column response given Row ( = 19.82) R C = Row response given Column ( = 20.29) ASE = Asymtotic Standard Error Oktober 2007: Kategoriske data 26

10 Odds (for respons) i de to grupper er defineret som: odds 1 = p 1 1 p 1 odds 2 = p 2 1 p 2 Odds er forholdet mellem antal responser og non-responser i hver af grupperne. Odds-ratio, OR, er forholdet mellem odds i de to grupper: OR = p 1 1 p 1 / p2 1 p 2 Hvor mange gange større er forholdet mellem response og non-response i gruppe 1 i forhold til gruppe 2. Oktober 2007: Kategoriske data 27 Estimat for OR: ˆ OR = Resp. Gr. 1 Gr. 2 Ja a b Nej c d a + c b + d a/(a + c) c/(a + c) / b/(b + d) d/(b + d) = a / b c d = ad bc Spredning skal udregnes på den naturlige logaritme: s.e.[ln( OR)] ˆ 1 = a + 1 b + 1 c + 1 d Oktober 2007: Kategoriske data 28 Konfidensinterval skal udregnes for den naturlige logaritme og transformeres tilbage: ln( ˆ OR) ± 1.96 s.e.[ln( ˆ OR)] Test: OR ˆ } exp(1.96 {{ s.e.[ln( OR)]) ˆ } error factor ln( ˆ OR) s.e.[ln(or)] N(0,1) Oktober 2007: Kategoriske data 29

11 Relativ risiko. RR response = p 1 p 2 Estimat for RR: ˆ RR response = a / b a + c b + d Spredning skal udregnes på den naturlige logaritme: s.e.[ln( RR ˆ 1 response )] = a 1 a + c + 1 b 1 b + d Oktober 2007: Kategoriske data 30 OBS: RR er ikke symmetrisk: RR response 1 RR non-response OBS: OR er symmetrisk: OR response = 1 OR non-response Oktober 2007: Kategoriske data 31 OR og RR fra SAS output The FREQ Procedure Table of grp by resp grp resp Frequency Row Pct B W Total Dal Pl Total Oktober 2007: Kategoriske data 32

12 Estimates of the Relative Risk (Row1/Row2) Type of Study Value 95% Conf. Limits Case-Control (Odds Ratio) Cohort (Col1 Risk) Cohort (Col2 Risk) Sample Size = 85 OR = = (29 22)/(20 14) RR B = = (29/43)/(20/42) RR W = = (14/43)/(22/42) 1/ = Oktober 2007: Kategoriske data 33 OR eller RR Mortalitet efter appendictomi Gruppe Udfald Hospital A Hospital B Død 2 3 Overlever / RR + = = 0.59 OR + = = 0.59 / RR = = 1.00 OR = = 1.71 Oktober 2007: Kategoriske data 34 OR eller RR 1-års mortalitet efter lungecancer: Gruppe Udfald Hospital A Hospital B Død Overlever / RR + = = 0.98 OR + = = 0.64 RR = 5 98/ 3 90 = 1.53 OR = = 1.56 Oktober 2007: Kategoriske data 35

13 Test: p 1 = p 2 Gruppe Respons 1 2 Ja x 1 x 2 Nej n 1 x 1 n 2 x 2 n 1 n 2 ˆp 1 = x 1 /n 1 ˆp 2 = x 2 /n 2 Under nulhypotesen, dvs. hvis p 1 = p 2 = p er sand: ˆp = x 1 + x 2 n 1 + n 2 Oktober 2007: Kategoriske data 36 dvs.: s.e.(ˆp 1 ˆp 2 ) = Teststørrelsen bliver derfor: ( p(1 p) p(1 p) 1 + = + 1 ) p(1 p) n 1 n 2 n 1 n 2 z = ˆp 1 ˆp 2 s.e.(ˆp 1 ˆp 2 ) N(0,1) Oktober 2007: Kategoriske data 37 Test: OR = 1 eller RR = 1 Samme hypotese som p 1 = p 2! Observeret, O Gruppe 1 2 Forventet, E Gruppe 1 2 (a+b)(a+c) (a+b)(b+d) J a b a + b N N (c+d)(a+c) N c d c + d N a + c b + d N a + c b + d χ 2 P = (O E) 2 = z 2 E (c+d)(b+d) N Oktober 2007: Kategoriske data 38

14 SAS output fra Proc Freq Statistics for Table of grp by resp Statistic DF Value Prob Chi-Square Likelihood Ratio Chi-Square Continuity Adj. Chi-Square Mantel-Haenszel Chi-Square Phi Coefficient Contingency Coefficient Cramer s V Oktober 2007: Kategoriske data 39 Oversigt over 2 2-tabellen Gruppe Respons 1 2 Ja a b a + b Nej c d c + d a + c b + d N Model: ˆp 1 = a/(a + c) ˆp 2 = b/(b + d) a bin(a + c,p 1 ) b bin(b + d, p 2 ) Oktober 2007: Kategoriske data 40 Tre forskelige mål for afhængighed: p1 (1 p 1 ) p 1 p 2 s.e.(p 1 p 2 ) = a + c OR = p 1/(1 p 1 p 2 /(1 p 2 ) RR = p 1 p 2 s.e.(ln[rr]) = Én nulhypotese H 0 : s.e.(ln[or]) = + p 2(1 p 2 ) b + d 1 a + 1 b + 1 c + 1 d 1 a 1 a + c + 1 b 1 b + d p 1 = p 2 p 1 p 2 = 0 OR = 1 RR = 1 Forudsætning: Alle forventede tal > 5. Oktober 2007: Kategoriske data 41

15 Oversigt over 2 2-tabellen Proc Freq Statistics for Table of grp by resp Statistic DF Value Prob Chi-Square Likelihood Ratio Chi-Square Continuity Adj. Chi-Square Statistic Value ASE Somers D C R Somers D R C Oktober 2007: Kategoriske data 42 Estimates of the Relative Risk (Row1/Row2) Type of Study Value 95% Conf. Limits Case-Control (Odds Ratio) Cohort (Col1 Risk) Cohort (Col2 Risk) Sample Size = 85 Oktober 2007: Kategoriske data 43 Tynde tabeller Hvis nogen forventede tal er mindre end 5, f.eks. (DGA, tabel 10.14): Obs. (O) Exp. (E) Delinquent Delinquent Spectactles Yes No Total Yes No Yes No Total Oktober 2007: Kategoriske data 44

16 Fisher s eksakte test: Fasthold marginalerne. P-værdien er sandsynligheden for: den observerede tabel samt mere ekstreme tabeller: Ensidet test: Tabeller med mere skæv fordeling mellem grupperne end den observerede, i samme retning væk fra uafhængighed. Tosidet test: Alle tabeller med mindre sandsynlighed end den observerede. Oktober 2007: Kategoriske data 45 Spectactle Juvenile Non- cum. wearers delinquents delinquents Total ssh. ssh. Yes No Yes No Yes No Yes No Yes No Yes No Yes No Total Oktober 2007: Kategoriske data 46 Eksempel The FREQ Procedure Table of spect by del spect del Frequency Row Pct Col Pct J N Total N Y Total Oktober 2007: Kategoriske data 47

17 Statistics for Table of spect by del Statistic DF Value Prob Chi-Square Likelihood Ratio Chi-Square Continuity Adj. Chi-Square WARNING: 75% of the cells have expected counts less than 5. Chi-Square may not be a valid test. Fisher s Exact Test Cell (1,1) Frequency (F) 8 Left-sided Pr <= F Right-sided Pr >= F Table Probability (P) Two-sided Pr <= P Oktober 2007: Kategoriske data 48 R C-tabeller Caffeine consumption (mg/day) >300 Total Married Divorced Single Oktober 2007: Kategoriske data 49 Er fordelingen af koffein-konsumption den samme i de forskellige civilstandsgrupper? Er civilstandsfordelingen den samme for de forskellige niveauer af koffein-konsumption? Det er det samme spørgsmål, og det samme som: Er der uafhængighed i tabellen? Er inddelingen af de 3888 kvinder efter de to kriterier uafhængige? Oktober 2007: Kategoriske data 50

18 R C-tabeller: udregninger χ 2 -test ved sammenligning af O, observerede, og E, forventede v.h.a. Pearsons s χ 2 : χ 2 P = (O E) 2 E χ 2 ((r 1) (c 1)) Oktober 2007: Kategoriske data 51 R C-tabeller: udregninger i SAS data cm ; input civ $ kaf $ antal ; cards ; Married DivWid 0 36 Single Married DivWid Single Married DivWid Single Married > DivWid > Single > ; run ; Oktober 2007: Kategoriske data 52 proc freq data = cm ; weight antal ; table kaf * civ / chisq expected norow nocol nopercent ; table kaf * civ / nopercent ; run ; Oktober 2007: Kategoriske data 53

19 Table of civ by kaf civ kaf Frequency Expected >300 Total DivWid Married Single Total Oktober 2007: Kategoriske data 54 Statistics for Table of kaf by civ Statistic DF Value Prob Chi-Square <.0001 Likelihood Ratio Chi-Square <.0001 Mantel-Haenszel Chi-Square <.0001 Phi Coefficient Contingency Coefficient Cramer s V Sample Size = 3888 Oktober 2007: Kategoriske data 55 Uafhængighedstest hvad kan de bruges til? Man får en P-værdi. Signifikant test: Beskriv den observerede afhængighed teststørrelsen siger ikke noget om hvordan afhængigheden ser ud. Beskriv tabellen med procenter etc. Ikke signifikant test: Teststørrelsen siger ikke nødvendigvis at uafhængigheden er fuldstændig. Beskriv tabellen med procenter etc. Oktober 2007: Kategoriske data 56

20 Table of civ by kaf civ kaf Frequency Row Pct Col Pct >300 Total DivWid Married Single Total Oktober 2007: Kategoriske data 57 Antal fra tabeller Married DivWid Single > Married DivWid Single >300 Oktober 2007: Kategoriske data 58 Procenter fra tabeller Married DivWid Single > Married DivWid Single >300 Oktober 2007: Kategoriske data 59

21 Procenter fra tabeller med SAS goptions hsize=10cm vsize=10cm ; proc gchart data=cm; vbar civ / sumvar=antal subgroup=kaf ; run; Oktober 2007: Kategoriske data 60 proc freq data=cm ; weight antal ; table civ * kaf / out = ud outpct ; run ; proc print data= ud ; run ; civ kaf... PCT_ROW PCT_COL DivWid DivWid DivWid DivWid > Married Married Married Married > Single Single Single Single > proc gchart data=ud; vbar civ / sumvar=pct_row subgroup=kaf; label pct_row="%" ; run; Oktober 2007: Kategoriske data 61 2 k-tabel med ordnede kategorier Skonummer CS < Ialt Ja Nej Ialt χ 2 test for uafhængighed: 9.28 med 5 frihedsgrader; P = Konklusion: Ingen sammenhæng! Oktober 2007: Kategoriske data 62

22 Table of sko by cs sko cs Frequency N Y Total Total Statistic DF Value Prob Chi-Square Oktober 2007: Kategoriske data 63 Kejsersnit som funktion af skonummer. P(kejsersnit) Skonummer Oktober 2007: Kategoriske data 64 Trend test Regression af p i = P {CS} på skonummer, s i : p i = α + βs i Estimer α og β (afskæring og hældning). Test om hældningen er 0. Kejsersnitseksempel: χ 2 trend = P = Oktober 2007: Kategoriske data 65

23 Trend test SAS proc freq data = a ; table sko * cs / nopercent nocol trend ; run ; Table of sko by cs sko cs Frequency Row Pct N Y Total Oktober 2007: Kategoriske data Total Statistics for Table of sko by cs Cochran-Armitage Trend Test Statistic (Z) One-sided Pr > Z Two-sided Pr > Z Sample Size = 351 Bemærk at = Dette er χ 2 -testet med 1 d.f. Oktober 2007: Kategoriske data 67 Trend test forudsætninger Forudsætningen er at data faktisk er velbeskrevet ved en ret linje. Opdeling af χ 2 -testet i test for linearitet og test for trend: χ 2 total (5) = χ2 lin (4) + χ2 trend (1) χ 2 : 9.29 = f: 5 = p: Det samlede test skjuler en signifikant trend. Oktober 2007: Kategoriske data 68

24 Testet for linearitet bidrager med lidt til teststørrelsen, men med mange frihedsgrader. Husk altid at udregne test for linearitet. Det er jo blot simpel subtraktion. Oktober 2007: Kategoriske data 69 Vigtig forudsætning: Observationerne skal være uafhængige. Hvis der er flere observationer på samme objekt er de enkelte observationer ikke uafhængige. Et ofte forekommende tilfælde af dette er: Parrede data: Samme prøve set af to (eller flere) observatører. Samme prøve målt med to forskellige metoder. To personer fra samme matchede sæt. Oktober 2007: Kategoriske data 70 Parrede data To læger skal stille en pos. / neg. diagnose på de samme patienter: Læge 1 Læge 2 Antal ptt. + + a + b + c d Er der overensstemmelse mellem lægernes diagnose? Er sandsynligheden for en positiv diagnose den samme? Oktober 2007: Kategoriske data 71

25 Opsummering af data Tabel over antal par af resultater (her patienter): Læge 1 + Læge 2 Andel positive diagnoser: a + c N a + b N + a b c d differens: b c N Oktober 2007: Kategoriske data 72 McNemar s test Læge 2 Læge a b c d Hvis de to læger har samme sandsynlighed for positiv diagnose må c b. McNemar s test sammenligner b og c: (b c) 2 b + c χ 2 (1) Oktober 2007: Kategoriske data 73 McNemar s test med kontinuitetskorrektion: OBS: ( b c 1) 2 χ 2 (1) b + c Afhænger kun af b og c. (Diskordante observationer, dvs. observationer hvor lægerne er uenige). Test for ens diagnose-sandsynligheder: P 1 {+} = P 2 {+} ikke test for overensstemmelse. Oktober 2007: Kategoriske data 74

26 Estimation af differens Læge 1 + Læge 2 + a b a + b c d c + d a + c b + d N ˆp 1 = a + c N ˆp 2 = a + b N Oktober 2007: Kategoriske data 75 Differens mellem sandsynligheder for pos. diagnose: ˆp 2 ˆp 1 = a + b N s.e.( ˆp 2 ˆp 1 ) = 1 N a + c N b + c = b c N (b c)2 N Bruges til at konstruerere approximative konfidensintervaller for p 1 p 2. Men det har ikke noget med sammenligning af de to læger at gøre! Oktober 2007: Kategoriske data 76 Odds-ratio for pos. diagnose mellem lægerne Læge 2 Læge a b a + b c d c + d a + c b + d N Odds-ratio (OR) mellem læge 1 og 2: OR = p 1/(1 p 1 ) p 2 /(1 p 2 ) = p 1(1 p 2 ) (1 p 1 )p 2 Oktober 2007: Kategoriske data 77

27 P {+, } = p 1 (1 p 2 ) c/n P {,+} = (1 p 1 )p 2 b/n OR = P {+, }/P {,+} = c/n b/n = c b s.e.[ln(or)] = 1 b + 1 c Bruges til at konstruerere konfidensintervaller for OR. Oktober 2007: Kategoriske data 78 Eksakte grænser Læge 2 Læge a b a + b c d c + d a + c b + d N Betinget af uenighed [dvs. enten (+, ) eller (,+)] er c binom(c + b, θ) Det giver muligheder for eksakte grænser for θ. Oktober 2007: Kategoriske data 79 Differens i antal diskordanser (c b): N(p 1 p 2 ) = (c + b) (θ (1 θ)) p 1 p 2 = c + b (2θ 1) N Forhold mellem antal diskordanser (c/b): OR = p 1(1 p 2 ) (1 p 1 )p 2 = θ 1 θ Eksakte grænser for θ kan umiddelbart oversættes til eksakte grænser for p 1 p 2 hhv. OR. Oktober 2007: Kategoriske data 80

28 Eksempel: Dyrkning af tuberkelbaciller. Spytprøver fra 50 tuberkulosepatienter dyrkes i substrat A hhv. B. En positiv prøve vil sige at man får vækst af tuberkelbaciller: A B Antal ptt Er substraterne lige effektive, dvs. har de samme sporingssandsynlighed? Oktober 2007: Kategoriske data 81 Tuberkelbaciller (fortsat) Substrat A + Substrat B Oktober 2007: Kategoriske data 82 Sporingssandsynlighed for A: p A = = 64% % c.i.: 0.64 ± = (0.507; 0.773) Sporingssandsynlighed for B: p B = = 44% % c.i.: 0.44 ± = (0.304; 0.576) Oktober 2007: Kategoriske data 83

29 Differens mellem sporingssandsynligheder: 95% c.i.: 0.20 ± p A p B = 20% (2 12)2 50 = (0.064; 0.336) McNemar s test: χ 2 (1) = (2 12) = 100 = 7.14, p = Oktober 2007: Kategoriske data 84 McNemar s test med kontinuitets-korrektion: χ 2 (1) = ( ) = 81 = 5.78, p = Oktober 2007: Kategoriske data 85 McNemars s test i SAS data g ; input A $ B $ antal ; cards ; ; run ; proc freq data = g ; weight antal ; table A * b / nopercent agree ; run ; Table of A by B A B Frequency Oktober 2007: Kategoriske data 86

30 Row Pct Col Pct + - Total Total Statistics for Table of A by B McNemar s Test Statistic (S) <-- Ingen kontinuitetskorrektion! DF 1 Pr > S Sample Size = 50 Oktober 2007: Kategoriske data 87