Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression"

Transkript

1 Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

2 Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives P( Svar Ja) 0 P(Svar Ja) 1 Sandsynligheden for at Svar Nej P( Svar Nej) 1 P(Svar Ja) Odds et for at Svar Ja er P(Svar Ja) P(Svar Ja) Odds(Svar Ja) P(Svar Nej) 1 P(Svar Ja) Logit for Svar Ja Logit(Svar Ja) ln P(Svar Ja) 1 P(Svar Ja) ( Odds(Svar Ja) ) ln < Logit(Svar Ja) < 0 Odds(Svar Ja) <

3 Logistisk regression: Motivation Sammenhængen ml. køn og selvvurdering Køn Dreng % Pige % Total % Er du en god læser Nej Ja Total % % % % % % Afhænger selvvurdering af kønnet? Er de 13.6% signifikant forskellige fra de 9.0%?

4 Lidt mere sandynlighedsregning Sandsynlighed for at Ja til at være en god læser givet at man er en dreng skrives: P( God læser Ja Køn Dreng) Sandsynlighed for at Ja til at være en god læser givet at man er en pige skrives: P( God læser Ja Køn Pige) 1 P(God læser Ja Køn Dreng) Oddset for at være svare Ja til at være god læser givet man er en dreng er ( doven notation) P(Ja Dreng) Odds(Ja Dreng) 1 P(Ja Dreng)

5 Hvis ingen afhængighed Hvis selvvurdering ikke afhænger af kønnet må der gælder følgende: P ( Ja Dreng) P(Ja Pige) P( Ja Dreng) P(Ja Pige) 1 Odds ( Ja Dreng) Odds(Ja Pige) Odds( Ja Dreng) Odds(Ja Dreng) 1 ( Odds(Ja Dreng) Odds(Ja Dreng) ) 0 ln logit (Ja Dreng) logit(ja Pige) 0 Odds-ratio Logit-forskel

6 Omkodning Vi omkoder de dikotome variable til binære variable: Køn Dreng > X 0 Køn Pige > X 1 God læser Nej > Y 0 God læser Ja > Y 1

7 Generel 2x2 tabel Generel tabel: To binære variable X og Y: Y 0 1 X 0 1-p 0 P(Y0 X0) p 0 P(Y1 X0) 1 1-p 1 P(Y0 X0) p 1 P(Y1 X0) Er der en sammenhæng? Hvis p 0 p 1 er X og Y uafhængige.

8 Odds og logit Lad X være binær variabel med P(X1)p. Definition odds: Hvor 0 Odds( X 1) < Odds( X 1) p 1 p Fortolkning: Odds(X1)2 betyder at X1 er dobbelt så sandsynligt som X0 Definition logit: Hvor Logit( X < Logit( X 1) < 1) ln p 1 p ( Odds( X 1) ) ln

9 Hen til Logit og tilbage igen Antag Logit( X 1) α Så er Odds et α ( Logit( X 1 ) e Odds ( X 1) exp ) Og sandsynligheden er P( X 1) α e 1+ e α

10 Odds og odds-ratio De to betingede odds: Odds( Y 1 X p0 0) 1 p 0 og Odds( Y 1 X 1) p1 1 p 1 Odds-ratio: Oddsratio( Y 1) Odds( Y Odds( Y 1 X 1 X 1) 0) p p 1 0 (1 (1 p p 0 1 ) ) Hvis X og Y uafhængige har vi og Odds( Y 1 X 0) Odds( Y 1 X 1) Oddsratio( Y 1) 1

11 Logit og logit-forskelle De to betingede logits: Logit ( Y 1 X 0) Logit-forskel: Logit forskel( Y p0 ln 1 p 1) 0 p1 ln 1 p og Logit( Y 1 X 1 p0 ln 1 p 0 1) ln p1 ln 1 p p p 1 0 (1 p (1 p ) ) Hvis X og Y uafhængige har vi og Logit( Y 1 X 0) Logit( Y 1 X 1) Logit forskel( Y 1) 0

12 Logistisk regression: 2 binære var. Statistisk model: Antag Logit( Y 1 X x) α + βx Bemærk hvordan højresiden ligner lineær regression Vores modelantagelse giver: Logit( Y 1 X 0) α Logit( Y 1 X 1) α + β Dermed er logit-forskellen: Logit( Y 1 X 1) Logit( Y 1 X 0) α + β α β Vi er altså interesseret i undersøge om β 0.

13 Odds og Odds-ratio Hvis Logit( Y 1 X x) α + βx Så er Odds er Odds( Y 1 X x) e α +βx Odds-ratio et er α + β Odds( Y 1 X 1) e OR ( Y 1) α Odds( Y 1 X 0) e e β Da e 0 1 passer β 0 stadig med ingen sammenhæng.

14 Estimation: Likelihood-funktionen Definer Likelihood funktionen L( α, β ; data). L(α, β ; data) siger, hvor troelig (likely) data er under vores model for givne valg af α og β.

15 Estimation Lad αˆ og βˆ betegne estimaterne af de sande, men ukendte parametre α og β. Parametrene α og β estimeres ved maximum-likelihood metoden: Vi vælger αˆ og βˆ så L ( αˆ, βˆ ; data) er størst mulig (ordnes af SPSS). Vi kalder αˆ og βˆ maximum-likelihood (ML) estimater.

16 Estimaternes fordeling. Antag β er den sande værdi og βˆ er et ML estimat. For hver data-indsamling får vi lidt forskellige estimater af β pga. af tilfældig variation i data. Hvis vi har indsamlet data nok, så gælder der ˆ β ~ N ( ˆ) ) 2 β, SE( β Normal-fordeling med middelværdi β og varians (SE( βˆ )) 2 Dvs. βˆ i gennemsnit estimerer korrekt (central). Standard fejlen SE( βˆ ) afhænger af mængden af data.

17 Konfidensinterval for β ˆ ( ˆ, ( ) ) Da β ~ N β SE β 2 gælder følgende: P ( β 1.96 SE( β ) < ˆ β < β SE( β )) 0.95 P ( ˆ β 1.96SE( β ) < β < ˆ β SE( β )) 0. 95

18 Konfidensinterval for β Vi har altså at det sande β er indeholdt i intervallet [ ˆ β 1.96SE ( ˆ) β ; ˆ β SE( ˆ)] β med 95% sandsynlighed. Sandsynligheden gælder vel at mærke et endnu ikke udført eksperiment. Når data er indsamlet og konfidensintervallet er udregnet, så inderholder konfidensintervallet enten β ellers så gør det ikke. Derfor hedder det et 95% konfidens-interval og ikke et 95% sandsynligheds-interval.

19 Konfidens-interval for logit-forskel Et 95% konfidens-interval for logit-forskel β: [ ˆ β 1.96SE ( ˆ) β ; ˆ β SE( ˆ)] β Husk: Logit-forskel ln(odds-ratio), dvs. Odds-ratio exp(logit-forskel). Et 95% konfidens-interval for odds-ratio: [ e ˆ β 1.96SE( ˆ β ) ; e ˆ β SE( ˆ β ) ]

20 Signifikanstest Hypoteser H 0 : β 0 (uafhængighed) H 1 : β 0 (afhængighed) Teststørrelse: 2 Z ( ˆ β SE( ˆ) β ) 2 (Wald teststør.) Under H 0 gælder: Z 2 ~ χ 2 ( 1) Store værdier af Z 2 er ufordelagtige for H 0.

21 Hypotesetest og Konfidensintervaller Betragt følgende hypoteser H 0 : β K H 1 : β K Lad [a,b] være et 95% konfidens-interval for β. Hvis K er udenfor intervallet [a,b], så kan vi afvise H 0 på signifikansniveau α Hvis K ligger i intervallet [a,b], kan vi ikke afvise H 0 på signifikansniveau α 0.05.

22 SPSS Output Model: Logit( Y 1 X x) α Model: Logit( Y 1 X x) α + βx β SE(β) Ζ 2 p-værdi α e β 95% konf-int. for exp(β)

23 Kategorisk forklarende variabel Eksempel: Sammenhængen ml. læsehastighed og selvvurdering? Sætningslæsning Hurtig % Langsom % Usikker % Total % Er du en god læser Nej Ja Total % % % % % % % % Odds for Ja givet hastighed 1199/ / / Logit for Ja givet hastighed ln(14.99) ln(2.56) 0.94 ln(1.81) 0.59

24 Uafhængighed I den ideelle verden: Hvis der er uafhængighed skal de tre mulige Odds i tabellen være ens: Odds(God Ja Hastighed Hurtig) Odds(God Ja Hastighed Langsom) Odds(God Ja Hastighed Usikker) Vi sammenligner par af Odds vha et Odds-ratio. Her er der k (k-1) 3 26 mulige Odds-ratios!

25 Sammenligning af mange Odds Vi vælger en reference-kategori, fx. Læsehastighed Hurtig. Vi sammenligner nu Odds for hver kategori med Odds for reference-kategorien, vha. et Odds-ratio. På den måde har vi kun (k-1) Odds-ratios. Uafhængighed i den ideelle verden: Alle Odds er ens og dermed er alle (k-1) Odds-ratios 1. Tilsvarende er alle logit-forskelle 0.

26 Logistisk Regressionsmodel Model: Logit(Ja Hastighed) α + β Hastighed Logit(Ja Hurtig) α + β Hurtig Logit(Ja Langsom) α + β Langsom Logit(Ja Usikker) α + β Usikker Overparametriseret! (hvorfor?) For reference-kategorien sæt β Hurtig 0.

27 Logit-forskelle Logit(Ja Langsom) - Logit(Ja Hurtig) (α + β Langsom ) - α β Langsom Logit(Ja Usikker) - Logit(Ja Hurtig) (α + β Usikker ) - α β Usikker Dvs. β Langsom og β Usikker er de to logit-forskelle af interesse.

28 Hypotesetest Uinteressant hypotse (hvorfor?) H 0 : β Langsom 0 H 1 : β Langsom 0 Interessant hypotese (hvorfor?) H 0 : β Langsom β Usikker 0 H 1 : β Langsom 0 og/eller β Usikker 0 Teststørrelse: Wald ~ χ 2 (df ) df antal parametre involveret i H 0.

29 SPSS *Klik* Fortæl SPSS hvilke forklarende variable der er kategoriske og hvilken kategori er reference-kategorien.

30 SPSS Output NB! Bemærk hvordan SPSS koder den afhængige variabel. SPSS opskriver modellen som Logit(Y1 ). I dette tilfælde vil det sige Logit(Ja ). H 0 : β Lansom β Usikker 0 To parametre i H 0 : β Lansom og β Usikker. β Lansom β Usikker H 0 : β Usikker 0

31 Alternativ: Dummy-variable For hver kategori introducer en binær variabel: x Hurtig x Langsom og x Usikker. x Hurtig 0 altid x Langsom 1 hvis Hastighed Langsom x Langsom 0 hvis Hastighed Langsom x Usikker 1 hvis Hastighed Usikker x Usikker 0 hvis Hastighed Usikker

32 Dummy-variable: Nu Som Tabel Hastighed x Langsom x Usikker Hurtig 0 0 Langsom 1 0 Usikker 0 1

33 Dummy-variable Model: Eksempel: Usikker Usikker Langsom Langsom Hurtig Hurtig x x x Hastighed Ja Logit β β β α ) ( Langsom Usikker Langsom Hurtig Langsom Ja Logit β α β β β α ) (

34 Logistisk Regression: Generel Form Med en omkodning til binære dummy-variable kan den logistiske regression skrives på den generelle form: + i ix i X Y Logit β α ) 1 ( i i i i i i x x x x e e X Y P i i i i i i β α β α β α β α exp 1 exp 1 ) 1 (

35 Skala forklarende variabel Eksempel: Afhængig variabel: Er du en god læser (Ja/Nej) Forklarende variable: Antal rigtige i test (0 20) Plot: Andel Ja er for hver score.

36 Logistisk Regressionsmodel Model: Logit(Ja Scorex) α + βx Sandsynlighed: P( Ja Score x) e 1+ e α + βx α + βx Plot: Logit(Ja Scorex)

37 Logistiske funktion e 1+ x e x e 1+ e x x

38 Fortolkning Logit-forskel: Logit( Ja Score x ( α + β ( x + 1) ) ( α + βx) α + βx + + 1) Logit( Ja β α βx β Score x) Så hver gang score stiger med 1 stiger logit med β. Odds-ratio: Odds( Ja Score x + 1) Odds( Ja Score x) e e ( x+ ) α + β 1 α + βx e β Så hver gang score stiger med 1 ændres Odds et med en faktor e β.

39 Hypotesetest H 0 : β 0 H 1 : β 0 Ingen logit-lineær sammenhæng mellem selvvurdering og test-score. Der er en logit-lineær sammenhæng mellem selvvurdering og test-score. Teststørrelse: Wald ˆ β SE ( β ) Hvis vi afviser H 0 siger vi at β er signifikant.

40 SPSS Output Estimerede model: Logit( Ja Score x) x Fortolkning: Odds et for at svare Ja ændres med en faktor exp(β) 1,208, hver gang scoren stiger med 1.

41 Modelkontrol: Ikke logit-lineær Udvid model med ikke-lineært led, fx: Logit(Ja Scorex) α + β 1 x + β 2 x 2 Hvis β 2 ikke er signifikant, så er en logit-lineær model passende.

42 Modelkontrol: Hosmer-Lemeshows χ 2 -test Ide: Sammenlign observerede antal Ja er og forventede antal Ja er i den tilpassede model. O x observerede antal personer med score x, der svarer Ja. N x antal personer med score x. E x forventede antal personer med score x, der svarer Ja. E x N x P( Ja Score x) N x e 1+ e α + βx α + βx

43 Modelkontrol: Hosmer-Lemeshows χ 2 -test Teststørrelse: 2 χ ( E O ) x E x x x 2 Hvis vores værdier af a og b er korrekte gælder χ 2 ~ χ 2 Hvor df antal led i summen ( df ) antal parametre i modellen Hvis χ 2 er for stor tror vi ikke på modellen. Hvis den tilsvarende p-værdi er < 0.05 er modelkontrollen kikset.

44 SPSS Output Data inddelt i 10 grupper. Modellen har to parametre. Dvs. df Da p-værdien > 0.05 kan vi ikke afvise at modellen er passende.

45 Multipel Logistisk Regression Ide: Mere end en forklarende variabel. Model: Logit( Ja Køn, Hastighed) α + β + β Køn Hastighed Reference-kategorier: Dreng og Hurtig Dvs: β Dreng 0 og β Hurtig 0 Logit(Ja Dreng,Hurtig) α+β Dreng +β Hurtig α+0+0 α Logit(Ja Pige,Langsom) α+β Pige +β Langsom

46 Logit-forskelle Logit(Ja Køn,Langsom) - Logit(Ja Dreng,Hurtig) (α+β Køn +β Langsom ) - (α+β Køn +β Hurtig ) β Langsom. Dvs. β Langsom beskriver logit-forskellen mellem hurtig og langsom læser uanset kønnet. Logit(Ja Pige,Hastighed) - Logit(Ja Dreng,Hastighed) (α+β Pige +β Hastighed ) - (α+β Dreng +β Hastighed ) β Pige. Dvs. β Pige beskriver logit-forskellen mellem piger og drenge uanset læsehastigheden.

47 Interaktion / Vekselvirkning Hvad nu hvis logit-forskellen mellem piger og drenge faktisk afhænger af hastigheden at der er en interaktion? Indfør interaktionsled β Køn,Hastighed. Model: Logit(Ja Køn,Hastighed) α + β Køn + β Hastighed + β Køn,Hastighed

48 Interaktion / Vekselvirkning Parametere der refererer til en eller flere referencekategorier sættes lig nul: β Dreng,Hurtig 0 β Pige, Hurtig 0 β Dreng, Langsom 0 β Pige, Langsom 0 β Dreng, Usikker 0 β Pige, Usikker 0

49 Logit Tabel Tabel over Logit(Ja Køn, Hastighed) Køn Dreng Pige Læsehastighed Hurtig α α+β Pige Langsom α+β Langsom α+β Pige +β Langsom +β Pige,Langsom Usikker α+β Usikker α+β Pige +β Usikker +β Pige,Usikker Bemærk: Hver celle har et individuelt logit. Vi kalder denne model den mættede model.

50 Logit-forskelle logit(ja pige,hurtig) logit(ja dreng,hurtig) β Pige logit(ja pige,usikker) logit(ja dreng,usikker) β Pige + β Pige,Usikker. Dvs. β Pige,Usikker er forskellen i logit-forskellen mellem hurtige og usikre læsere. logit(ja Dreng,Usikker) logit(ja Dreng,Hurtig) β Usikker logit(ja Pige,Usikker) logit(ja Pige,Hurtig) β Usikker + β Pige,Usikker. Dvs. β Pige,Usikker er forskellen i logit-forskellen mellem hurtige og usikre læsere.

51 Hypotse H 0 : β Pige,Langsom β Pige,Usikker 0 Dvs. der er ingen interaktion mellem Køn og Hastighed. H 1 : β Pige,Langsom 0 og/eller β Pige,Usikker 0 Dvs. der er interaktion mellem Køn og Hastighed.

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lktion Lidt sandsynlighdsrgning Lidt mr om signifikanstst Logistisk rgrssion Lidt sandsynlighdsrgning Lad A vær n hændls (t llr flr mulig udfald af t ksprimnt ) Fx A Dt rgnr i morgn P(A)

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

Multipel Lineær Regression

Multipel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk model Specificer

Læs mere

Logistisk Regression - fortsat

Logistisk Regression - fortsat Logistisk Regression - fortsat Likelihood Ratio test Generel hypotese test Modelanalyse Indtil nu har vi set på to slags modeller: 1) Generelle Lineære Modeller Kvantitav afhængig variabel. Kvantitative

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression: Definitioner For en binær (0/) variabel Y antager vi P(Y)p P(Y0)-p Eksempel: Bil til arbejde vs alder

Læs mere

Statistik Lektion 4. Variansanalyse Modelkontrol

Statistik Lektion 4. Variansanalyse Modelkontrol Statistik Lektion 4 Variansanalyse Modelkontrol Eksempel Spørgsmål: Er der sammenhæng mellem udetemperaturen og forbruget af gas? Y : Forbrug af gas (gas) X : Udetemperatur (temp) Scatterplot SPSS: Estimerede

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Logistisk regression

Logistisk regression Logistisk regression Test af antagelsen om lineære effekter Modelkonstruktion og modelsøgning Hvilke variable og hvilke interaktioner skal inkluderes i regressionsmodellerne? 1 Logistiske regressionsmodeller

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

Opsamling Modeltyper: Tabelanalyse Logistisk regression Generaliserede lineære modeller Log-lineære modeller

Opsamling Modeltyper: Tabelanalyse Logistisk regression Generaliserede lineære modeller Log-lineære modeller Opsamling Modeltyper: Tabelanalyse Logistisk regression Binær respons og kategorisk eller kontinuerte forklarende variable. Generaliserede lineære modeller Normalfordelt respons og kategoriske forklarende

Læs mere

Program. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen)

Program. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen) Faculty of Life Sciences Program Logistisk regression Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Odds og odds-ratios igen Logistisk regression Estimation og inferens Modelkontrol Slide 2 Statistisk Dataanalyse

Læs mere

Statistik Lektion 16 Multipel Lineær Regression

Statistik Lektion 16 Multipel Lineær Regression Statistik Lektion 6 Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination

Læs mere

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller Statkstk II 3. Lekton Multpel Logstsk regresson Generelle Lneære Modeller Defntoner: Repetton Sandsynlghed for at Ja tl at være en god læser gvet at man er en dreng skrves: P( God læser Ja Køn Dreng) Sandsynlghed

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Statistiske principper

Statistiske principper Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis

Læs mere

Module 4: Ensidig variansanalyse

Module 4: Ensidig variansanalyse Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2

Læs mere

Økonometri 1. Dummyvariabler 13. oktober Økonometri 1: F10 1

Økonometri 1. Dummyvariabler 13. oktober Økonometri 1: F10 1 Økonometri 1 Dummyvariabler 13. oktober 2006 Økonometri 1: F10 1 Dagens program Dummyvariabler i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 7.3-7.6) Dummy variabler for kvalitative egenskaber med flere

Læs mere

Synopsis til eksamen i Statistik

Synopsis til eksamen i Statistik Synopsis til eksamen i Statistik Kandidatuddannelsen i Folkesundhedsvidenskab Københavns Universitet december 2010 Eksamensnummer: 12 Antal anslag: 23.839 (svarende til 9,9 normalsider) - 1 - Indholdsfortegnelse

Læs mere

Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression. Inferens Modelkontrol Prædiktion

Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression. Inferens Modelkontrol Prædiktion Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression Inferens Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineær Regression Data: Sæt af oservationer (x i, x i,, x ki, y i, i,,n y i er den afhængige variael x i, x i,,

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

Eksamen i statistik 2010 Kandidatuddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Eksamen i statistik 2010 Kandidatuddannelsen i folkesundhedsvidenskab D E T S U N D H E D S V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Eksamen i statistik 2010 Kandidatuddannelsen i folkesundhedsvidenskab Eksamensnummer: 16, 23

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) 02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Log-lineære modeller. Analyse af symmetriske sammenhænge mellem kategoriske variable. Ordinal information ignoreres.

Log-lineære modeller. Analyse af symmetriske sammenhænge mellem kategoriske variable. Ordinal information ignoreres. Log-lineære modeller Analyse af symmetriske sammenhænge mellem kategoriske variable. Ordinal information ignoreres. Kontingenstabel Contingency: mulighed/tilfælde Kontingenstabel: antal observationer (frekvenser)

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

Test og sammenligning af udvalgte regressionsmodeller Berit Christina Olsen forår 2008

Test og sammenligning af udvalgte regressionsmodeller Berit Christina Olsen forår 2008 Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING OG PROBLEMSTILLING... 2 1.1 OVERVÆGT SOM CASE... 2 2 ANALYSEFORBEREDELSER... 4 2.1 HEPRO-UNDERSØGELSEN... 4 2.2 DEN AFHÆNGIGE VARIABEL VIGTIGHED AF ÆNDRINGEN AF VÆGT...

Læs mere

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol Økonometri: Lektion 5 Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol 1 / 35 Veksekvirkning: Motivation Vi har set på modeller som Price

Læs mere

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm. Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

Morten Frydenberg 26. april 2004

Morten Frydenberg 26. april 2004 Introduktion til Logistisk Regression Morten Frydenberg, Inst. f. Biostatistik RESUME: 2 2. gang: 2002 Institut for Biostatistik, Århus Universitet MPH. studieår Specialmodul 4 Cand. San. uddannelsen.

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Vi vil analysere effekten af rygning og alkohol på chancen for at blive gravid ved at benytte forskellige Cox regressions modeller.

Vi vil analysere effekten af rygning og alkohol på chancen for at blive gravid ved at benytte forskellige Cox regressions modeller. Løsning til øvelse i TTP dag 3 Denne øvelse omhandler tid til graviditet. Et studie vedrørende tid til graviditet (Time To Pregnancy = TTP) inkluderede 423 par i alderen 20-35 år. Parrene blev fulgt i

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

9. Chi-i-anden test, case-control data, logistisk regression.

9. Chi-i-anden test, case-control data, logistisk regression. Biostatistik - Cand.Scient.San. 2. semester Karl Bang Christensen Biostatististisk afdeling, KU kach@biostat.ku.dk, 35327491 9. Chi-i-anden test, case-control data, logistisk regression. http://biostat.ku.dk/~kach/css2014/

Læs mere

INDLEDNING...2 DATAMATERIALET... 2 KARAKTERISTIK AF POPULATIONEN... 4

INDLEDNING...2 DATAMATERIALET... 2 KARAKTERISTIK AF POPULATIONEN... 4 Indholdsfortegnelse INDLEDNING...2 DATAMATERIALET... 2 KARAKTERISTIK AF OULATIONEN... 4 DELOGAVE 1...5 BEGREBSVALIDITET... 6 Differentiel item funktionsanalyser...7 Differentiel item effekt...10 Lokal

Læs mere

Sammenhængen mellem elevernes trivsel og elevernes nationale testresultater.

Sammenhængen mellem elevernes trivsel og elevernes nationale testresultater. Sammenhængen mellem elevernes trivsel og elevernes nationale testresultater. 1 Sammenfatning Der er en statistisk signifikant positiv sammenhæng mellem opnåelse af et godt testresultat og elevernes oplevede

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.

Læs mere

1 Multipel lineær regression

1 Multipel lineær regression 1 Multipel lineær regression Regression med 2 eksponeringsvariable Fortolkning og estimation AnovaTabel og multipel R 2 Ensidet variansanalyse: Dummy kodning Kovariansanalyse og effektmodifikation Tosidet

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for i dag: Kvantitative metoder Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 1. februar 007 Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL.13.1-) Opsamling fra sidste gang To eksempler To-dimensionale

Læs mere

Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet

Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 32 Konsekvenser af Heteroskedasticitet Antag her (og i resten) at MLR.1 til MLR.4 er opfyldt. Antag MLR.5 ikke er opfyldt, dvs. vi har heteroskedastiske

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

Statistik og skalavalidering. Opgave 1

Statistik og skalavalidering. Opgave 1 Statistik og skalavalidering Opgave 1 Opgavens formål: Denne opgave har, ligesom det vil være tilfældet for de fleste andre øvelsesopgaver på dette kursus, flere forskellige formål. For det første et praktisk/teknisk

Læs mere

Estimation og konfidensintervaller

Estimation og konfidensintervaller Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006 Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske

Læs mere

Eksamen i Statistik og skalavalidering

Eksamen i Statistik og skalavalidering Eksamen i Statistik og skalavalidering 2009-studieordning Til aflevering d. 22. december 2010 Efterårssemestret 2010, Kandidatuddannelsen i Folkesundhedsvidenskab Opgaven er udarbejdet af: Eksamensnummer

Læs mere

1 Multipel lineær regression

1 Multipel lineær regression Indhold 1 Multipel lineær regression 2 1.1 Regression med 2 eksponeringsvariable......................... 2 1.2 Fortolkning og estimation................................ 3 1.3 AnovaTabel og multipel R

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Logistisk regression. Basal Statistik for medicinske PhD-studerende November 2008

Logistisk regression. Basal Statistik for medicinske PhD-studerende November 2008 Logistisk regression Basal Statistik for medicinske PhD-studerende November 2008 Bendix Carstensen Steno Diabetes Center, Gentofte & Biostatististisk afdeling, Københavns Universitet bxc@steno.dk www.biostat.ku.dk/~bxc

Læs mere

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder 2 Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 12. februar 2007 Kvantitative metoder 2: F3 1 Program for i dag: Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL.13.1-2) Opsamling

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Test nr. 6 af centrale elementer 02402

Test nr. 6 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 6 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

MPH specialmodul Epidemiologi og Biostatistik

MPH specialmodul Epidemiologi og Biostatistik MPH specialmodul Epidemiologi og Biostatistik Kvantitative udfaldsvariable 23. maj 2011 www.biostat.ku.dk/~sr/mphspec11 Susanne Rosthøj (Per Kragh Andersen) 1 Kapitelhenvisninger Andersen & Skovgaard:

Læs mere

Dagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22

Dagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22 Dagens Emner Likelihood teori Lineær regression (intro) p. 1/22 Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 ) = ( 1 2πσ 2)n/2 e 1 2σ 2 P n (x i µ) 2 er tætheden som

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

Uge 13 referat hold 4

Uge 13 referat hold 4 Uge 13 referat hold 4 Gruppearbejde 1a: Er variablen kvotient inkluderet på en hensigtsmæssig måde? Der er to problemer med kvotient: 1) Den er trunkeret ved 6.9 og 10.0, løsningen er at indføre dummyer

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

Fokus på Forsyning. Datagrundlag og metode

Fokus på Forsyning. Datagrundlag og metode Fokus på Forsyning I notatet gennemgås datagrundlaget for brancheanalysen af forsyningssektoren sammen med variable, regressionsmodellen og tilhørende tests. Slutteligt sammenfattes analysens resultater

Læs mere

Økonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006

Økonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006 Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 8. september 006 Opsamling af statistiske resultater om den simple lineære regressionsmodel (W kap..5). Den multiple lineære regressionsmodel (W

Læs mere

Velkommen til kurset. Teoretisk Statistik. Lærer: Niels-Erik Jensen

Velkommen til kurset. Teoretisk Statistik. Lærer: Niels-Erik Jensen 1 Velkommen til kurset Teoretisk Statistik Lærer: Niels-Erik Jensen Plan for i dag: 1. Eks: Er euro'en skæv? 4. Praktiske informationer 2. Eks: Regressionsmodel (kap. 1) 5. Lidt om kursets indhold 3. Hvad

Læs mere

Appendiks Økonometrisk teori... II

Appendiks Økonometrisk teori... II Appendiks Økonometrisk teori... II De klassiske SLR-antagelser... II Hypotesetest... VII Regressioner... VIII Inflation:... VIII Test for SLR antagelser... IX Reset-test... IX Plots... X Breusch-Pagan

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på

Læs mere

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H

Læs mere

Introduktion til overlevelsesanalyse

Introduktion til overlevelsesanalyse Faculty of Health Sciences Introduktion til overlevelsesanalyse Cox regression Susanne Rosthøj Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab Københavns Universitet sr@biostat.ku.dk Kursushjemmeside:

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Uafhængighedstestet

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Uafhængighedstestet Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Uafhængighedstestet Eksempel: Bissau data Data kommer fra Guinea-Bissau i Vestafrika: 5273 børn blev undersøgt da de var yngre end 7 mdr og blev

Læs mere

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2 Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition

Læs mere

Faculty of Health Sciences. Logistisk regression: Kvantitative forklarende variable

Faculty of Health Sciences. Logistisk regression: Kvantitative forklarende variable Faculty of Health Sciences Logistisk regression: Kvantitative forklarende variable Susanne Rosthøj Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab Københavns Universitet sr@biostat.ku.dk Sammenhæng

Læs mere

Simpel og multipel logistisk regression

Simpel og multipel logistisk regression Faculty of Health Sciences Logistisk regression Simpel og multipel logistisk regression 16. Maj 2012 Analyse af en binær responsvariabel. syg/rask, død/levende, ja/nej... Ud fra en eller flere forklarende

Læs mere

To-sidet varians analyse

To-sidet varians analyse To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere