Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.

Transkript

1 Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler, en opstilling, hvor man vha. et par modstande sænker spændingsfaldet over en eller anden brugsgenstand, som i vores tilfælde gøres af en variabel modstand. Vi er interesserede i at undersøge hvordan den afsatte effekt i den variable modstand varierer med modstandens størrelse. Teori: Den opstilling vi er interesserede i at måle på er følgende: Her er V ind indgangsspændingen, som strømforsyningen leverer. 1 og er to faste modstande og er modstanden af den variable modstand (brugsenheden). Tilsvarende er I strømmen gennem den variable modstand. Hvis vi kalder spændingsfaldet over den variable modstand for U er effekten P afsat i denne naturligvis givet ved: P =U I = I Hvor omskrivningen følger af Ohms lov. Ved at benytte additionsformlerne for spændingsfald, strømstyrker og modstande i serie- og parallelkredsløb på ovenstående opstilling finder vi, at den afsatte spænding i den variable modstand er givet ved: P = V t ( + ) Hvor V t er spændingsfaldet over når er uendelig stor og er gangsmodstanden. De to størrelser er givet ved: Vt = Vind = 1 + Det ses, at den afsatte effekt i den variable modstand kan formuleres som en funktion af alene modstandene 1, og samt spændingsfaldet V ind. Ved således at måle disse størrelser, kan den afsatte effekt bestemmes. For fastholdt V ind, 1 og er V t og konstanter og den afsatte effekt bliver således en funktion af. Ved først at differentiere denne funktion med hensyn til : ( +) -( +) t ( ) ( ) dp - =V =V d + + t 4 3

2 Og dernæst sætte denne lig med nul finder vi, at den har et ekstremum i: - V t =0 3 =, fordi Vt 0 ( +) Og det ses let, at dette ekstremum er et maksimum. Maksimumsværdien for funktionen opnås i dette punkt og maksimumsværdien er således: 1 P,max = Vt 4 Fremgangsmåde: Den forsøgsopstilling vi benyttede os af er ikke helt så simpel, som den forrige tegning foregiver. I stedet lavede vi nedenstående opstilling: Øverste del af denne opstilling svarer til en spændingsdeler med de specifikke værdier af 1, og V ind, som er angivet på tegningen. Modstanden på de 100Ω kalder vi i det følgende for 4. Den variable modstand er indrettet således, at summen af de to modstande, man kan lave af den kaldet og er en konstant på ca. 0Ω, vi i det følgende kalder 3. På ovenstående illustration er indskt et amperemeter, der måler den før definerede strømstyrke I. Der er også et voltmeter, med hvilket man kan måle størrelsen V, som vi også har defineret før. Endnu et voltmeter findes i opstillingen (ACH0) som måler spændingsfaldet U 0 over modstanden. Vi havde kun to multimetre, det ene brugte vi som amperemeter i opstillingen og det andet brugte vi som voltmeter og skiftede det frem og tilbage mellem de to positioner, hvor vi havde behov for at måle spændingen. Spændingskilden i det andet kredsløb leverer en potentialforskel vi kalder V e og fra en målt værdi af U 0 kan bestemmes ved: 4 U0 =3- V-U e 0

3 Data: Ved at indstille den variable modstand på forskellige værdier og flytte voltmetret frem og tilbage mellem de to målepositioner målte vi forskellige samhørende værdier af størrelserne I, V og U 0, som er definerede i de forrige afsnit. Vi førte først en måleserie, hvor vi startede ved den mindst mulige værdi for og jævnt regulerede denne opad, indtil vi opnåede den maksimale værdi for i alt 0 målinger. Dernæst førte vi en anden måleserie, hvor vi begyndte med lidt større end og justerede den ned med mindst muligt mellemrum til en værdi lidt lavere end værdien for i alt målinger (som konkleret i teori-afsnittet er det nemlig her, at det mest interessante forekommer). Usikkerhederne på de målte størrelser estimerede vi fra hvor meget multimetrene stod og skiftede mellem forskellige værdier, mens vi foretog den enkelte måling. esultaterne af de i alt 4 (!) målinger med anslåede absolutte usikkerheder er angivet her: Nr. I [A] V [V] U 0 [V] Nr. I [A] V [V] U 0 [V] 1 0,60±0,006 0,365±0,00 3,570±0,00 1 0,101±0,005 7,560±0,00,933±0,00 0,63±0,006 0,45±0,00 3,460±0,00 0,106±0,005 7,355±0,00,93±0,00 3 0,10±0,006,610±0,00 3,411±0,00 3 0,108±0,005 7,70±0,00 3,006±0,00 4 0,158±0,005 4,86±0,00 3,330±0,00 4 0,113±0,005 7,059±0,00 3,067±0,00 5 0,131±0,005 6,059±0,00 3,189±0,00 5 0,10±0,005 6,736±0,00 3,131±0,00 6 0,108±0,005 7,100±0,00 3,043±0,00 6 0,16±0,005 6,45±0,00 3,148±0,00 7 0,097±0,004 7,60±0,00,99±0,00 7 0,131±0,005 6,04±0,00 3,166±0,00 8 0,087±0,004 8,097±0,00,778±0,00 8 0,136±0,005 5,996±0,00 3,1±0,00 9 0,078±0,004 8,491±0,00,616±0,00 9 0,141±0,005 5,770±0,00 3,4±0, ,071±0,004 8,807±0,00,464±0, ,145±0,005 5,588±0,00 3,4±0, ,065±0,004 9,116±0,00,7±0, ,151±0,005 5,78±0,00 3,44±0,00 1 0,06±0,004 9,43±0,00 1,995±0,00 3 0,155±0,005 5,113±0,00 3,50±0, ,057±0,004 9,484±0,00 1,83±0, ,159±0,005 4,944±0,00 3,6±0, ,056±0,004 9,543±0,00 1,506±0, ,170±0,005 4,434±0,00 3,33±0, ,053±0,004 9,674±0,00 1,5±0, ,174±0,005 4,53±0,00 3,37±0, ,050±0,004 9,78±0,00 0,910±0, ,178±0,005 4,051±0,00 3,360±0, ,049±0,004 9,857±0,00 0,643±0, ,183±0,005 3,89±0,00 3,365±0, ,047±0,004 9,919±0,00 0,3±0, ,190±0,005 3,505±0,00 3,38±0, ,046±0,004 9,989±0,00 0,133±0, ,0±0,006,977±0,00 3,400±0,00 0 0,045±0,004 10,00±0,00 0,196±0, ,1±0,006,49±0,00 3,439±0, ,19±0,006,190±0,00 3,437±0,00 4 0,37±0,006 1,355±0,00 3,445±0,00 I vores formler indgår over disse målte størrelse også nogle størrelser, der ikke varieres fra måling til måling. Det drejer sig om modstandene 1,, 3 og 4 på omtrent henholdsvis 56Ω, 0Ω, 0Ω og 100Ω samt spændingsforskellene V ind på omkring 15V og V e på omkring 5V. For at få nogle bedre værdier for disse størrelser samt en omtrentlig usikkerhed på værdierne, har vi foretaget nogle målinger.

4 For de to spændingsforskelle tilsluttede vi simpelthen voltmetret til spændingskilden, foretog en enkelt måling og estimerede usikkerheden til det sidste ciffer. esultaterne heraf var: Vind = 15,0 ± 0,01V = 15,0V ± 0,07% Ve = 5,057 ± 0,001V = 5,057V ± 0,0% Hver af de fire modstande satte vi i parallelforbindelse med et voltmeter og sluttede dem i serieforbindelse med et amperemeter til den gule kasse dvs. en variabel spændingsforsyning. Derefter foretog vi omtrent fire samhørende værdier af strømmen I gennem modstanden og spændingsfaldet U over modstanden ved at variere den spænding den gule kasse leverede. Disse resultater er: 1 I [A] U [V] I [A] U [V] 0,019±0,0001 0,70±0,00 0,0174±0,0001 3,908±0,00 0,0307±0,0001 1,707±0,00 0,0350±0,0001 7,841±0,00 0,0570±0,0001 3,180±0,00 0,050±0, ,73±0,00 0,0711±0,0001 3,965±0,00 0,0601±0, ,494±0,00 0,0913±0,0001 5,095±0, I [A] U [V] I [A] U [V] 0,0159±0,0001 3,458±0,00 0,0586±0,0001 5,980±0,00 0,0309±0,0001 6,703±0,00 0,031±0,0001 3,77±0,00 0,0463±0, ,056±0,00 0,0187±0,0001 1,905±0,00 0,0540±0, ,70±0,00 0,0757±0,0001 7,7±0,00 0,0983±0, ,009±0,00 0,150±0,0001 1,448±0,00 Databehandling: Vores første mål er at bestemme værdier af 1,, 3 og 4 med usikkerheder fra målingerne på de fire modstande. Vi antager at sammenhængen mellem de målte værdier af U og I er på formen: U =I +C Hvor er værdien af modstanden og C er en konstant, som vi kan tilskrive en indre modstand i spændingskilden, som vi ikke er yderligere interesseret i. De bedste b på de fire forskellige har vi fundet vha. formel 8.11 i Taylor. Vha har vi set, at C er en meget lille størrelse, således at der omtrentligt gælder: U = I Dvs. at en maksimumsværdi for usikkerheden i kan fås fra de relative usikkerheder i U og I vha. 3.8 i Taylor, hvis vi vælger den måling, hvor den relative usikkerhed på U er størst og den måling, hvor den relative usikkerhed på I er størst. Værdierne for sammen med usikkerhederne er således: Nr. Modstand [Ω]

5 1 55,8±0,8% 4,61±0,6% 3 16,97±0,6% 4 99,79±0,% Fra teori-afsnittet ved vi, at V t er givet ved: Vt = Vind 1 + Og da vi nu kender de indgående størrelser og deres usikkerheder, kan vi beregne V t og dens usikkerhed: Vt=1,17±0,03V=1,17V±0,% Fra samme sted ved vi, at er givet ved: 1 = 1 + Og her fås værdien så: =44,7±0,3 Ω=44,7 Ω ±0,7% Da vi nu kender størrelserne af 3, 4, V e med usikkerheder og har målt 4 værdier af U 0 med usikkerheder kan vi fra formlen: 4 U0 =3- V-U e 0 eregne de 4 tilhørende værdier af med usikkerheder. Tilsvarende kan vi, idet vi kender, V t og de forskellige værdier af alle med usikkerheder beregne P med usikkerheder vha. formlen: P = Vt + ( ) esultaterne er: Nr. [Ω] P [W] 1 -,6±1,5 6,9±1,4 0,8±1,4 0,05±0, ,±1,4 0,50±0,04 4 4,5±1,4 0,758±0, ,6±1,4 0,88±0, ,±1,4 0,798±0, ,6±1,3 0,763±0, ,3±1,3 0,70±0, ,0±1,3 0,681±0, ,1±1,3 0,650±0, ,4±1,3 0,61±0, ,9±1,3 0,58±0, ,7±1,3 0,564±0, ,6±1,3 0,538±0, ,1±1,3 0,50±0,004

6 16 195,1±1,3 0,503±0, ,4±1,3 0,491±0, ,±1,3 0,477±0, ,3±1,3 0,473±0, ,9±1,3 0,475±0, ,±1,3 0,765±0,006 79,3±1,3 0,764±0, ,7±1,4 0,787±0, ,±1,4 0,804±0, ,7±1,4 0,80±0, ,4±1,4 0,84±0, ,9±1,4 0,86±0, ,9±1,4 0,88±0, ,4±1,4 0,88±0, ,4±1,4 0,86±0, ,4±1,4 0,84±0, ,5±1,4 0,8±0, ,6±1,4 0,818±0, ,7±1,4 0,768±0, ,1±1,4 0,763±0, ,4±1,4 0,70±0, ,5±1,4 0,69±0, ,5±1,4 0,63±0, ,±1,4 0,56±0, ,9±1,4 0,9±0, ,±1,4 0,31±0,07 4 3,7±1,4 0,3±0,08 Den første måling kan tydeligvis ikke bruges til ret meget, idet dens værdier er en fysisk mening. For de resterende 41 målepunkter har vi i GnuPlot plottet P som funktion af begge angivet med usikkerheder. Derved får vi grafen:

7 'x.txt' Af ovenstående tabel har vi samlet følgende punkter, hvor P antager den største værdi: Nr. [Ω] P [W] 5 46,6±1,4 0,88±0, ,9±1,4 0,88±0, ,4±1,4 0,88±0,007 Vi kan hermed konklere, at P har maksimum i intervallet mellem =40,0Ω og =48,0Ω og at den på dette interval antager værdien 0,88±0,007W. Ud fra grafens facon kan vi konklere, idet grafen er ret flad omkring maksimumsværdien, at det bedste b for maksimumsstedet er midt i intervallet I teori-afsnittet har vi vist, at maksimumspunktet burde ligge i: = =44,7 ± 0,3Ω Hvilket ligger nogenlunde midt i ovennævnte interval. I teori-afsnittet har vi også fået vist, at maksimumsværdien for P er: 1 ( ) 1 P,max=V t = 1,17V =0,89W ,7Ω Hvilket passer aldeles fremragende med den eksperimentelt bestemte værdi. Ud fra de målte værdier af I og V, som vi hidtil slet ikke har benyttet, kan den afsatte effekt P simpelthen beregnes som: P =I V Og som: V = I

8 Vi har beregnet disse værdier for de 4 målepunkter og sammenlignet dem grafisk med punkterne fundet med den anden metode. esultatet ses i grafen nedenfor, hvor de røde punkter er de gamle værdier med usikkerheder, og de grønne punkter er de nye værdier. 0.9 'x.txt' 0.8 'y.txt' Det ses, at de nye beregninger beskriver samme sammenhæng mellem P og, dog ligger de nye værdier generelt en anelse lavere end de gamle. Idet beregningerne fra den første metode stemte fuldstændig overens med de teoretisk forventede værdier, antager vi at denne metode også er den mest præcise sammenlignet med den anden, som undervurderer værdierne for P.