Faldmaskine. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 23. november 2008

Transkript

1 Faldmakine Eben Bork Hanen Amanda Laren Martin Sven Qvitgaard Chritenen 23. november 2008

2 Indhold Formål 3 2 Optilling 3 2. Materialer Optilling Ekperiment Data Teori 5 3. Inertimoment Kinetik energi (rotation) Bearbejdning af data 6 4. Optillingen Vinkelhatighed Vinkelaccelerationen α og ω for optillingen Måledata Vurdering 0 5. mak-minmetode Uikkerhedvurdering Konkluion 2 7 Bilag 3 7. Måledata

3 Formål At betemme den makimale vinkelhatighed og vinkelaccelerationen af en ytem, hvor der er kinetik energi både i form af rotation og tranlation. De målte værdier holde op imod de forventede tal, om beregne teoretik. 2 Optilling 2. Materialer Faldmakine tk. metalcylinder (kiveformet) på ca. 2kg tk. metalcylinder på ca. 2kg tk. lod på ca. 2kg med fatgjort nor måleapperat forbundet til pc 2.2 Optilling 3

4 2.3 Ekperiment En nor føre rundt om en trie (radiu r), der kan rotere om en fat vandret ake. På trien montere en cylinder med maen M og radiu R. I den anden ende af noren hænger et lod med maen m. I udgangpoitionen er trie+kive og lod i hvile, noren er trakt og lodret. Loddet lippe og falder. På trien er der monteret et hjul med 6 huller. Hver gang et af hullerne paerer et betemt punkt regitrere tiden t n af LabView. I data filen oplye n t n t n t n 2.4 Data tørrele uikkerhed cylinder mae M 2 2,36kg ±0, 0005kg radiu R 2 2,85cm ±0, 005cm cylinder 2 mae M 2,06kg ±0, 0005kg radiu R 8,90cm ±0, 005cm lille trie radiu r,00cm ±0, 005cm tore trie radiu r 2 2,00cm ±0, 005cm loddet mae m 2,000kg ±0, 0005kg faldhøjde h 88,5cm ±0, 5cm Alle maerne er målt med en vægt med 3 decimaler. Radierne er blevet målt med en kydelære, men faldhøjden er blevet målt med et målebånd. Den tore uikkerhed på faldhøjden kulle at det var vært at måle på noren, hvor langt loddet faldt. Der er vedlagt plot over vore måledata i bilagene. Der er lavet fire målinger for hver optilling og to kontrolforøg for begge trier, hvor der ikke er nogen cylinder på aken. 4

5 3 Teori 3. Inertimoment Inertimomentet er den fyike tørrele om angiver hvor let/vært det er at ændre et legeme rotation om en given ake. Inertimomentet er givet ved I = i m i r 2 i hvor m i er maen af den i te enhed i legemet og r i er denne aftandt til omdrejningaken. For en cylinder er inertimomentet om en ake der er parallel med cylinderen og går gennem den centrum hvor r er radiu af endefladen. I = 2 m r2 3.2 Kinetik energi (rotation) For et legeme der roterer med vinkelhatigheden ω er det kinetike energi givet ved E k,rot = 2 I ω2 hvor I er legemet inertimoment med henyn til omdrejningaken. 5

6 4 Bearbejdning af data 4. Optillingen 4.. Vinkelhatighed For at betemme vinkelhatigheden og vinkelaccelerationen må vi optille et udtryk for die, å vi ud fra måledataerne kan betemme dem. Vi tarter med at e på den mekanike energi i ytemet. Inden forøget tarte hænger lodet en aftand h over gulvet. Vi antager at der ikke virker andre kræfter på ytemet end tyngdekraften, å den amlede mekanike energi er givet ved E mek = E p = mgh hvor m er maen af loddet. Forøget tarter når loddet lippe. Efterhånden om loddet falder, roterer trien ogå. Da noren ikke glider på trien er der en ammenhæng mellem loddet fart v og vinkelhatigheden ω, givet ved v = r ω hvor r er trien radiu. Når loddet har faldet en aftand h er den mekanike energi omat fra potentiel til kinetik energi. Da både loddet tranlaterer og cylinderen rotere, vil den kinetike energi være fordelt mellem dem efter forholdet E k = 2 mv2 + 2 Iω2 hvor I er cylinderen inertimoment om omdrejninaken. For en cylinder er dette inertimomentet givet ved I = 2 MR2, hvor M er den mae og R den radiu. Vi kan å krive følgende ammenhæng og indætte v = rω og I = 2 MR2 E p = E k mgh = 2 mv2 + 2 Iω2 mgh = 2 m(rω) MR2 ω 2 ω 2 2mgh = 2 MR2 + mr 2 () ω = 2mgh 2 MR2 + mr 2 (2) Det er å muligt for o at betemme en teoretik værdi for vinkelhatigheden, efter loddet er faldet en aftand h, givet vi har målt de reterende tørreler. 6

7 4..2 Vinkelaccelerationen Vinkelaccelerationen kal dog ogå betemme. Da vi har antaget at tyngekraften er den enete kraft, der virker på vore ytem, må vinkelaccelerationen være kontant. Der gælder derfor ω(t) = α t + ω 0 hvor α er vinkelhatigheden og ω 0 = 0 da ytemet er i hvilet til at tarte med. Der gælder deuden følgende ammenhæng mellem aftanden, om loddet er faldet, og vinklen θ om trien har roteret. (t) = r θ(t) hvor r er radiu af trien. Da trien accelerere med kontant vinkelacceleration gælder θ(t) = 2 α t2 + ω 0 t + θ 0 da ytemet er i hvile til tart er ω 0 = 0 og θ 0 = 0. Holde dette ammen med ligning () 4..3 α og ω for optillingen ω(t) 2 = 2mgh(t) 2 MR2 + mr 2 (αt) 2 = 2mgr 2 αt2 2 MR2 + mr 2 mgr α = (3) 2 MR2 + mr 2 Det er nu muligt at beregne den teoretike værdi af vinkelaccelerationen og vinkelhatigheden (efter faldhøjden h) for optillingen. For alle fire forøg er faldhøjden og maen af loddet h = 88, 5cm m = 2, 000kg 7

8 Data ω α r = cm R = 2, 85cm 80 rad M = 2, 36kg R = 2.85cm M = 2, 36kg r = cm R = 8, 9cm M = 2, 06kg R = 8, 9cm M = 2, 06kg 4.2 Måledata 44 rad 63, 8 rad 6, 7 rad 84 rad rad 2 23, 0 rad 2 43, 0 rad 2 Af måledataerne fremtille to plot for hvert forøg. Det førte har antalet af målinger hen af x-aken og t n t n op ad y-aken og den anden har tiden han af x-aken og t n t n op ad y-aken. Det e at ω(t) = θ t = θ t 2 t ω θ = t 2 t Da der er 6 målinger for hver gang trien har foretaget en omdrejning ( θ = 2π, gælder 6 ω n rπ = t 3 n t n hvor r er radiu af trien. Det førte plot vil atå være vinkelhatigheden v. trækningen loddet er faldet og det andet vil være vinkelhatigheden v. tiden. Ved hjælp af gnuplot kan en funktion fitte til vore måledata. Af ligning (2) e det at funktionen til plot må være af formen f(x) = a x (-) kylde at n= er førte måling og ikke n=0. den variable x er å aftanden loddet har faldet. Da vinkelhatigheden er kontant, må α v. t kunne fitte med en lineær funktion af typen f(x) = a x + b 8

9 hvor a = α. Plottene fitte å i paende intervaller. dv. i et interval hvor man er ikker på at noren er trakt og loddet falder med kontant acceleration. For at finde vinkelhatigheden efter loddet har faldet højden h, benytte n = 3 h 3h = rπ rπ Data ω(h) ω α α r = cm R = 2, 85cm f(h) = 8, 2028 h (0,0528%) α = 69 rad (0,529%) 2 M = 2, 36kg ) = 66 rad f( 3 88,5cm cm π R = 2, 85cm f(h) = 20, 532 h (0,35%) α = 27 rad (0,227%) 2 M = 2, 36kg f( 3 88,5cm ) = 32 rad 2cm π r = cm R = 8, 9cm f(h) = 6, h (0,0636%) α = 22, 7 rad (0,24%) 2 M = 2, 06kg f( 3 88,5cm ) = 6 rad cm π R = 8, 9cm f(h) = 9, h (0,0983%) α = 4, 9 rad (0,203%) 2 M = 2, 06kg ) = 58 rad r = cm kontrol f( 3 88,5cm 2cm π α = 778 rad 2 (0,802%) kontrol α = 442 rad 2 (0,442%) 9

10 5 Vurdering Ført beregne den teoretike uikkerhed ved mak-min metoden. Ligger den målte værdi fra forøget indenfor dette interval, kan afvigelen forklare med måleuikkerhed på vore data. Ligger værdierne udenfor, kan det kylde at der er faktorer vi ikke har taget højde for, da den teoretike værdi blev beregnet. 5. mak-minmetode Ført betemme uikkerheden på vore teoretike værdier. Dette gøre ved makmin metoden. 2(m + m)g(h + h) ω = (M M)(R 2 R)2 + (m m)(r r) ω 2 (m + m)g(r + r) α = (M M)(R 2 R)2 + (m m)(r r) α 2 Uikkerhedintervallerne kan å betemme ω reel [ω ω, ω + ω] α reel [α α, α + α] Data ω ω-interval α α-interval r = cm R = 2, 85cm ± [79, 8] ±2 [82, 86] M = 2, 36kg R = 2, 85cm ± [43, 45] ±2 [234, 238] M = 2, 36kg r = cm R = 8, 9cm ±0.24 [63.6, 64.0] ±0.6 [22.8, 23.2] M = 2, 06kg R = 8, 9cm ±0.23 [6.4, 6.9] ±0.9 [42.8, 43.2] M = 2, 06kg 0

11 5.2 Uikkerhedvurdering De målte værdier fra forøget holde nu op mod intervallerne fundet ved mak-min metoden. Data ω-målt ω-interval α-målt α-interval r = cm R = 2, 85cm M = 2, 36kg R = 2, 85cm M = 2, 36kg r = cm R = 8, 9cm M = 2, 06kg R = 8, 9cm 66 rad [79, 8] 69 rad 2 [82, 86] 32 rad [43, 45] 27 rad 2 [234, 238] 6 rad [63.6, 64.0] 22, 7 rad 2 [22.8, 23.2] 58 rad [6.4, 6.9] 4, 9 rad 2 [42.8, 43.2] M = 2, 06kg Det e at alle værdierne ligger udenfor intervallerne. Det er derfor andynligt at der er noget vi ikke har taget højde for i vore beregninger. Nogle af die faktorer vil vi dikutere her længere nede, men ført er vi på hvor tor den procentuelle afvigele er fra de teoretike værdier. Data %-afvigele ω %-afvigele α-målt r = cm R = 2, 85cm M = 2, 36kg R = 2, 85cm M = 2, 36kg r = cm % = 7, 78% % = 8, 5% % = 8, 33% % = 8, 05% R = 8, 9cm 6 63,8 00% = 4, 39% 22, % =, 3% 63,8 23 M = 2, 06kg 58 6,7 R = 8, 9cm 00% = 6% 6,7 M = 2, 06kg Vi er på hvilke uikkerhedfaktorer der eller er i forøget. 4, % = 2, 56% Vi antog at det kun var tyngdekraften, om virkede på ytemet, hvilket ikke temmer overen med virkeligheden, hvor der vil være friktion i aken leje. Vi havde heller ikke taget henyn til optillingen inertimoment uden cylindervægt på. Den idte e tydeligt af vore kontrolforøg, hvor vi lod loddet falde uden at der var cylindervægt på.

12 Da vi beregnede inertimomenter for cylinderne tog vi ikke højde for at der var hul gennem dere centrum, hvilket betyder at de i virkeligheden har en lille mule højere inertimoment end beregnet. Die tre faktorer vil alle betyde at vore teoretike værdier ville være lavere. Det er dog kun friktionen der vil betyde at vinkelaccelerationen ikke er kontant, og denne vil være ydert minimal, hvi aken er murt. På trod af en lille afvigele er det derfor alligevel ud til at virkeligheden temmer overen med fyikken principper. 6 Konkluion I projektet anvendte vi en faldmakine til at bekrive og efterprøve fyike love om roterende legemer og mekanik energi i et lukket ytem. Et lod forbundet til en nor, om blev viklet om en trie på en ake, hvorpå der var monteret en cylinder med et inertimoment. I forøget lod vi loddet falde en trækning, hvorved det potentielle energi blev omdannet til kinetik energi i form af en tranlatorik og en roteret bevægele. På baggrund af nogle målte tørreler optillede vi en teoretik værdi for aken vinkelacceleration og den vinkelhatighed, når loddet havde faldet en trækning h. Ved forøget opamlede vi data på en computer, å vi kunne beregne om virkeligheden temte overen med vore beregninger. Af dataplot ne kunne vi e at bevægelen temte rimelig godt overen med vore teoretike bekrivele. (Vinkelaccelerationen var kontant og vinkelhatigheden var en kvadratrodfunktion af faldhøjden.) De målte værdier lå dog under vore teoretike beregninger, men dette kylde muligvi at vi ikke havde taget højde for elve optillingen inertimoment. Afvigelen var på under 0 %. Vi konkluderer derfor at vore teori bekriver optillingen rimelig godt. 2

13 7 Bilag 7. Måledata Cylinder med lille trie. n : t n t n t : t n t n 3

14 Cylinder med tor trie. n : t n t n t : t n t n 4

15 Skive med lille trie. n : t n t n t : t n t n 5

16 Skive med tor trie. n : t n t n t : t n t n 6

17 Kontrol med lille trie. n : t n t n t : t n t n 7

18 Kontrol med tor trie. n : t n t n t : t n t n 8