Fysik i billard. Erik Vestergaard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fysik i billard. Erik Vestergaard"

Transkript

1 Fysik i billard Erik Vestergaard

2 2 Erik Vestergaard Erik Vestergaard, Billeder: Forside: istock.com/aviad Desuden egne illustrationer

3 Erik Vestergaard Indledning Denne note er ment som et tillæg til artiklen Nogle træk af billardspillets mekanik af Jens Højgaard Jensen side fra Fysisk Tidsskrift, 1968, udgivet af Selskab for Naturlærens udbredelse. Selv om der er tale om en artikel, der blan andet er rettet til anvendelse i gymnasiet, er der tale om en teoretisk tung artikel og symbolikken er også noget gammeldags. Derfor er dette tillæg på sin plads. Kun de indledende aspekter af artiklen vil blive omtalt. Desuden vil jeg uden særlig megen forklaring henvise til formler, som hidrører fra teorien for stive legemers bevægelse. En god reference her er Mekanik af Gunnar hristiansen, Erik Both og Preben Østergaard Sørensen, udgivet af Institut for Fysik, Danmarks Tekniske Universitet, I 1835 udgav den berømte fysiker Gaspard-Gustave oriolis ( ) faktisk en bog, der havde det sigte at give billardspilleren en praktisk vejledning til spillet. 2. Mekanik for partikelsystemer I mange af de formler, man bliver præsenteret for i mekanik i gymnasiet, er det stiltiende forudsat, at man har at gøre med en partikel, dvs. man antager at genstanden ingen udstrækning har og at al massen er placeret i et punkt. I mange sammenhænge duer formlerne da også fint, selv om genstanden har en udstrækning, men der er også situationer, hvor antagelserne om at genstanden kan betragtes som en partikel, ikke er brugbar. Lad os sige, at man ønsker at finde den kinetiske energi for en bold, som kastes gennem luften. Da er det ikke tilstrækkeligt bare at lade som om boldens masse er placeret i massemipunktet i mien af bolden. Hvis bolden roterer, vil noget af boldens kinetiske energi nemlig være i form af rotationsenergi, og den vil der ikke blive taget hensyn til, hvis bolden betragtes som en partikel. Det er derfor man her er nø til at betragte partikelsystemer. Det kan være i form af en række enkeltpartikler eller i form af en kontinuert massefordeling. En bold er et eksempel på sidstnævnte. Stive legemers bevægelse er teorien, der tager hensyn til genstandenes udstrækning. Ordet stive går på at genstanden er en genstand, som ikke ændrer form. Eksempler på objekter, som kan beskrives i teorien er: ylindre eller kugler, der ruller på et skråplan, en stang, der roterer om en akse, etc. Massemipunktssætningen 1 For et stift legeme med massen M gælder følgende: M a = F (1) ydre hvor a er massemipunktets acceleration og på legemet. F ydre er summen af de ydre kræfter Bevis: Se [2] side 3-22 til side 3-24.

4 4 Erik Vestergaard Bemærkning 2 Massemipunktssætningen minder meget om Newtons 2. lov for en partikel. Grunden til at der kun står de ydre kræfter i formlen er, at de indre kræfter går ud, når de lægges sammen. Hvis systemet for eksempel består af to kugler, som støder sammen, så vil den ene kugle påvirke den anden med en kraft, men ifølge Newtons 3. lov om Aktion og reaktion vil den anden kugle da påvirke den første kugle med en lige så stor og modsat rettet kraft. De kaldes indre kræfter og går ud i beregningerne, når de lægges sammen. Ydre kræfter er derimod kræfter som er påtrykt udefra. Med massemipunktssætningen kan man finde bevægelsen af massemipunktet (= tyngdepunktet). Hvis man for eksempel kaster et bolræ i luften, så vil bolræets massemipunkt følge en parabelbane (antaget uden luftmodstand) uanset hvor tovlig bolræet roterer i sin bevægelse. I dette tilfælde er tyngdekraften den ydre kraft. Hvis man er interesseret i et stift legemes rotation i forhold til massemipunktet, så skal man studere impulsmomentsætningen, som vi snart kommer til. 3. Impulsmoment og kraftmoment Vi skal definere et par nye begreber, nemlig impulsmomentet og kraftmomentet. Indførelsen af dem letter behandlingen af rotation. Man kunne have benyttet de sædvanlige fysiske love på hver enkelt massedel i et stift legeme, men det ville være alt for uoverskueligt. Det er her de nye begreber kommer til sin ret. Vi skal dog først definere impulsmomentet med hensyn til et fast punkt O for en enkelt partikel med masse m: (2) LO = r p Egenskaberne for krydsproduktet giver os at L O er vinkelret på både radiusvektor r og impulsvektoren p= m v. L O O O r P p O r F P

5 Erik Vestergaard 5 På lignende vis defineres kraftmomentet med hensyn til O ved: (3) τ O = r F Vi ser at kraftmomentvektoren er vinkelret på såvel radiusvektor som kraftvektoren. Dette fører os nu til en meget vigtig sætning. Impulsmomentsætningen 3 (For partikel om fast punkt O) Når man differentierer impulsmomentvektoren, så får man kraftmomentvektoren: dl0 (4) = τ0 Bevis: Se [2] side 5-2. Impulsmomentsætningen kan generaliseres til partikelsystemer (se [2], side 5-6): Impulsmomentsætningen 4 (For partikelsystem om fast punkt O) Når man differentierer det totale impulsmoment om det faste punkt O, så får man summen af de ydre kræfters kraftmoment. dl0 (5) = τ0,ydre Bidraget fra de indre kræfter går ud, ligesom de gjorde i tilfældet med massemipunktssætningen. De indre kræfters bidrag behøver man altså ikke tage hensyn til. I praktiske opgaver er det ofte meget mere bekvemt at regne impulsmomenter og kraftmomenter i forhold til massemipunktet frem for i forhold til et fast punkt. Heldigvis gælder impulsmomentsætningen også her (se [2] side 5-10). Impulsmomentsætningen 5 (For partikelsystem om massemipunktet ) Når man differentierer det totale impulsmoment om massemipunktet, så får man summen af de ydre kræfters kraftmoment i forhold til massemipunktet. dl (6) = τ,ydre Endvidere kan man vise følgende sammenhæng mellem impulsmomentet om O og impulsmomentet om massemipunktet (se [2] side 5-10): L = L + r P (7) O P= M v er systemets samle- hvor r er stedvektoren fra O til massemipunktet og de impuls.

6 6 Erik Vestergaard 4. otation Et stift legeme roterer omkring en fast akse. I dette afsnit skal vi se, hvordan hastighedsvektoren for et punkt P på dette legeme smart kan opskrives som et krydsprodukt mellem en radiusvektor og en vinkelhastighedsvektor. På figuren nedenfor har vi en skive, som roterer omkring en akse, som går igennem centrum og står vinkelret på skiven. otationen er beskrevet ved en vinkelhastighed ω, som eventuelt kan være en funktion af tiden. Vinkelhastigheden angiver, hvor mange radianer der drejes pr. sekund. Vi definerer en vinkelhastighedsvektorω, som skal have en længde, som er lig med ω og retning parallel med rotationsaksen. Hvilken af de to mulige retninger afgøres derved at ( r, v, ω ) skal udgøre en højreskrue. Bemærk at symbolet betyder at en vektor peger ud af papiret, mens symbolet betyder af vektoren peger ind i papiret. Set langs aksen otationsakse r P v r P v Øvelse 6 a) Vis at farten af punktet P er lig med v=ω r. b) Vis at v=ω r. Hjælp: Vis at højresiden i ligningen har den rigtige længde og den rigtige retning. Faktisk behøver radiusvektor ikke være lig med P for at v =ω r holder. Ligningen holder også for r = AP, hvor A er et vilkårligt punkt på rotationsaksen. Situationen er vist på figuren på næste side. Øvelse 7 Vis at v=ω r, når r = AP. Hjælp: Benyt indskudsreglen for vektorer og skriv AP som en sum: AP= A+ P. Benyt derefter almindelige regneregler for krydsproduktet. Bemærk at et led går ud!

7 Erik Vestergaard 7 r P v A Overfor har vi egentlig slet ikke udnyttet, at punktet P befinder sig på en skive, så ovenstående smarte uryk for hastighedsvektoren kan bruges for ethvert stift legeme, som roterer om en fast akse. 5. ulning og glidning Man kan vise at enhver bevægelse kan opløses i en rotation samt en translation. En translation er blot en parallelforskydning, hvor alle punkter på legemet har samme hastighed. Når et legeme roterer, vil de punkter, der befinder sig længst væk fra rotationsaksen opleve den største fart. De enkelte punkters hastighed vil også typisk have forskellig retning. ullende kugle, ren rulning v r Q 3 Q 3 Q 3 v Q Q 4 Q 2 Q 2 Q4 Q = Q 1 Q 1 Q 1 Translation otation Samlet bevægelse Et go eksempel er en billardkugle, der ruller på et vandret bord. Vi forestiller os at kuglen kommer fremad, så der er en translation til stede. Massemipunktets hastighed betegnes v. Vi forestiller os endvidere, at kuglen ikke blot glider, men også roterer. Dermed har vi en sammensat bevægelse. Men selv det kan foregå på mange måder. Der er et begreb, som hedder ren rulning, og det er karakteriseret ved at kuglen kommer nøjagtigt så langt fremad som det oprindelige røringspunkt Q ruller op på kuglen.

8 8 Erik Vestergaard Q Q s Øvelse 8 Vis at ren rulning er karakteriseret ved at v = ω. Hjælp: Det kan gøres ved først at vise at s= θ og derefter differentiere, idet det bemærkes, at ω= dθ. Tilbage til figuren med opløsning af bevægelsen i en translation og en rotation. Figuren illustrerer faktisk tilfældet med ren rulning. Hastighederne af fire forskellige punkter på randen af kuglen er vist. Det særlige ved ren rulning er, at hastigheden af det punkt, som berører bordet har hastighed 0. Man kan sige, at punktet bliver lagt ned på bordet! Øvelse 9 Overvej hvordan opløsningen af bevægelsen af den rullende billardkugle ser ud i nedenstående situationer, idet du tegner en figur analog til den på forrige side. a) Kuglen roterer fremefter, men glider samtidig fremad på underlaget. b) Kuglen roterer fremefter, men med ekstra høj rotation - højere end det der svarer til ren rulning. c) Kuglen bevæger sig fremefter, men har backspin. Af ovenstående haves: Hastighedens opsplitning 10 Et stift legemes bevægelse er fuldstændig bestemt af massemipunktets hastighed v og vinkelhastigheden ω : (8) v = v +ω r 6. Inertimoment Til at hjælpe bestemmelsen af impulsmomenter har man indført begrebet inertimoment. Det betegnes med I. Har man at gøre med en helt generel bevægelse i rummet, så bliver tingene rigtig komplicerede, men i tilfældet med en såkal plan bevægelse, hvor legemets massemipunkt bevæger sig i et plan og vinkelhastigheden ω er vinkelret på denne, bliver tingene hånerbare. Da kan inertimomentet angives som et tal. Man har da følgende sammenhæng, hvor I er inertimomentet med hensyn til en akse, som går igennem massemipunktet og er parallel med ω : (9) L = I ω

9 Erik Vestergaard 9 Som et eksempel kan nævnes at en kugle har følgende inertimoment omkring en akse 2 2 gående igennem centrum: I = M, hvor M er kuglens masse og er dens radius. 5 Bemærkning 11 Man kan sige at begreberne kraft, impuls og masse benyttes under udregning af massemipunktets bevægelse, mens begreberne kraftmoment, impulsmoment og inertimoment benyttes til at redegøre for rotationsproblemer. Og en bestemmelse af position, hastighed og acceleration vil i et rotationsproblem bliver erstattet af bestemmelsen af vinkel, vinkelhastighed og vinkelacceleration. Inertimomentet er et mål for en genstands modstand mod at ændre vinkelhastighed, altså modstand mod en vinkelacceleration. På samme måde kan massen opfattes som et mål for en genstands modstand mod at ændre hastighed, altså at accelerere. 7. Et par analyser af situationer fra billard Vi skal ud fra massemipunktssætningen og impulsmomentsætningen udlede nogle interessante egenskaber for en billardkugles bevægelse. Førstnævnte sætning kan sige noget om hastigheden af massemipunktet, hvorimod sidstnævnte tager sig af rotationen. For at det ikke skal blive alt for kompliceret, vil vi kun kigge på det tilfælde, hvor billardkuglen foretager en retlinjet bevægelse på billardbordet. Det viser sig, at gnidningsmodstanden mellem kugle og billardbordet styrer rotationen. Men forekommer der ren rulning? Vi skal snart besvare dette spørgsmål. dv 1 M (10) = Fydre (11) τ ydre d( ω ) 5 = 2M Øvelse 12 Vis at (10) fås af massemipunktssætningen (1). Vis dernæst, at (11) fås af impulsmomentsætningen. Hjælp: Benyt (6) og (9) samt den oplysning at inertimomentet for en 5 2 kugle omkring en akse gående igennem kuglens centrum er lig med I = M. 2 etlinjet bevægelse Vi skal nu kigge på det tilfælde, hvor billardkuglen foretager en retlinjet bevægelse. Det vil af symmetrigrunde foregå, hvis kuglen kuglens vinkelhastighed ω står vinkelret på massemipunktets hastighed v til starttidspunktet (Overvej!).

10 10 Erik Vestergaard Set oppefra v Eksempel 13 Lad os se på hvad ligningerne (10) og (11) bliver til, hvis vi er i ovenstående situation og yderligere antager at kuglen roterer li langsommere, end det ville være tilfældet, hvis der var tale om ren rulning med den samme translatoriske fart. I dette tilfælde vil der foregå en kombination af rulning og glidning og der vil være en bagudrettet gnidningskraft af størrelsen Fgnid =µ Fn =µ M g. F gnid r v Da gnidningskraften er den eneste ydre kraft, der virker, bliver ligningerne (10) og (11) i ovenstående situation til følgende, idet vi nu regner i størrelser med fortegn: dv (12) = µ g (13) d( ω ) 5 = µ g 2 Øvelse 14 Vis (12) og (13). Hjælp: Forklar herunder hvorfor gnidningskraften er bagudrettet. Husk at vinkelhastighedsvektoren ω går ind i papiret på figuren. Hvis to vektorer er modsat rettede, skal du sætte et minus på, når du går over til at regne i størrelser med fortegn. Er vektorerne derimod ensrettede, så skal fortegnet være positivt.

11 Erik Vestergaard 11 Betragter man det rent kvalitativt, så urykker bevægelsesligningerne (12) og (13), at translationsfarten vil aftage, mens vinkelhastigheden vil vokse i den videre bevægelse, når tiden går. Noget af den kinetiske energi stammende fra translationen bliver altså omsat til rotationsenergi. Gnidningskraften sørger automatisk for det! Medmindre der er tale om ren rulning, så vil der imidlertid også være et tab af kinetisk energi. Tabet vil gå til indre energi i kugle og underlag på grund af glidningen! Øvelse 15 edegør for hvorfor ovenstående påstand er korrekt. Vi kan trække mere information ud af bevægelsesligningerne: Vi ser, at hastigheden hvormed vinkelhastigheden ganget med radius vokser med tiden og hastigheden hvormed translationsfarten aftager, forholder sig som 5 til 2: (14) d( ω) 5 = dv 2 Det kan afbildes i et koordinatsystem med translationsfarten på 1. aksen og vinkelhastigheden ganget med radius på 2. aksen: v B Hældning = 5/2 A v Vi forestiller os her en billardkugle, som har en translationsfart og en vinkelhastighed ganget med, som svarer til punktet A på figuren. Når tiden forløber vil kuglen bevæge sig ad linjen gennem A med hældning 5 2 op til linjen v = ω, som svarer til ren rulning (overvej!). Se eventuelt opgave 1 i enden af noten for en konkret talopgave i forbindelse med denne problematik. Øvelse 16 Gentag argumenterne i eksempel 13 blot for tilfældet, hvor billardkuglen roterer hurtigere, end det ville være tilfældet, hvis der var tale om ren rulning underforstået med den samme translationsfart. Vis at så skifter højresiderne i (12) og (13) fortegn! Hvad betyder det for bevægelsen? Kan du give et eksempel i et ( ω, v )-diagram?

12 12 Erik Vestergaard Stød med billardkø Lad os kigge på det interessante tilfælde, hvor man støder med køen til billardkuglen. For at problemet ikke skal blive for komplekst, vil vi antage, at køen under stødet holdes i et lodret plan gennem kuglens centrum, samt at køen holdes vandret deri. Af symmetrigrunde er det klart, at kuglen vil bevæge sig lineært. Set oppefra h F stød r For at kunne beskrive situationen entydigt, mangler vi oplysning om den højde h, hvori køen rammer kuglen (se figur) samt om den kraft, der frembringer stødet. Hvad angår sidstnævnte, antager vi, at kuglen ligger stille og derefter i et kort tidsrum t bliver påvirket af en kraft F stød ( t ), som er en funktion af tiden. Når vi i det følgende refererer til start-tidspunktet for bevægelsen, vil vi mene det tidspunkt, hvor stødet er ful gennemført og billardkuglen forlader køen. Translationsfarten til dette tidspunkt vil vi betegne med v,start og vinkelhastigheden i rotationen til starttidspunktet vil vi betegne med ω start. For at analysere selve stødprocessen vil vi opstille bevægelsesligningerne (10) og (11) i dette konkrete tilfælde. Vi ser bort fra gnidningsmodstandens bidrag til den ydre kraft. Det kan vi tillade os, da langt det største bidrag kan antages at komme fra stødkraften. dv 1 (15) = Fstød M d( ω ) 5 (16) = ( r Fstød ) 2M

13 Erik Vestergaard 13 Øvelse 17 Løs følgende opgaver med hensyn til ligning (16): a) Vis, at r Fstød = Fstød ( h ). Hjælp: Matematikken siger, at længden af krydsproduktvektoren er lig med arealet af det parallelogram, de to vektorer udspænder. b) Vis at vektoren r F stød peger ind i papiret på ovenstående figur, såfremt h> og ud af papiret, hvis h<. Øvelse 18 Vis, at bevægelsesligningerne (15) og (16) ved integration giver anledning til følgende: 1 v = F ( t) (17),start stød M 0 t 5 (18) start stød 2M 0 t ω = F ( t) ( h ) Det veages, at vinkelhastigheden regnes positiv ind i papiret på ovenstående figur. Lad os kigge på forholdet mellem ω start og og går udenfor integralet i tælleren: v. Faktoren ( h ) er en konstant,start ω v,start = 5 2M t start 0 1 M F ( t) ( h ) stød t 0 F stød ( t) (19) = 5 ( h ) Fstød ( t) 2M 1 M t 0 F stød t 0 ( t) 5 h = 2 Eksempel 19 Lad os antage, at vi har udført et stød, så translationsfarten v,start ved start, altså farten umiddelbart efter stødet, er en given ken værdi. Hvis stødet foregik i højden h kan vinkelhastigheden ved start, ω start, da beregnes af (19). Af hensyn til senere afbildning lader vi lige radius af kuglen stå på venstre side af lighedstegnet: (20) ω start = v,start 5 2 h

14 14 Erik Vestergaard Det er oplagt, at 0 h 2. Lad os antage, at vi støe ret højt i kuglen, for eksempel i højden h= 1,8. Da fås af (20): 5 h 5 1,8 2 2 (21) ω start = v,start = v,start = 2,0 v,start Vi kan afbilde punktet i vores sædvanlige ( ω, v )-diagram : 2 h v v A Hældning = 5/2 7/5 v,start v 0 v Ifølge forrige delafsnit med etlinjet bevægelse vil billardkuglen efter stødet følge den røde linje med hældning 5 2 ned til linjen ω= v, Vi ser at v vokser og ω aftager. Når denne linje er nået, vil der forekomme ren rulning. Øvelse 20 I eksempel 19 har vi set, hvad der kvalitativt sker, når 7 5 < h 2. Du skal benytte metoden fra dette eksempel til at overveje hvad der kvalitativt sker, når kuglen rammes i forskellige andre højder h. Altså vokser eller aftager v og vokser eller aftager ω? Kan der forekomme ren rulning fra starten? Kan v eller ω blive negative? a) h= 7 5 b) h< 7 5 c) 0 h< Øvelse 21 Vis at en starttilstand i det skraverede område af ( ω, v ) -diagrammet umuligt kan forekomme. Hjælp: Man kan først bruge 0 h 2 og (20) til at vise, at der gælder følgende ulighed: 5 2 v,start ωstart 5 2 v,start.

15 Erik Vestergaard 15 Vore krav til stødet ovenfor gør det faktisk umuligt at støde til kuglen, så kuglen først løber frem og derefter tilbage igen! Det ville nemlig kræve, at v på et tidspunkt blev negativ, og det kan kun forekomme, hvis man starter et sted i det blåt skraverede område i ( ω, v ) -diagrammet (Overvej!). En sådan starttilstand er ifølge øvelse 21 en umulighed. Slækker man imidlertid på kravet om at stødet skal være vandret, så kan den ønskede bevægelse frembringes ved at støde skråt ned i kuglen i en højde, som er mindre end. Derved kan kuglen opnå et tilstrækkeligt stort backspin i forhold til den fremadrettede translationsfart til, at der stadig vil være li backspin tilstede efter en del er benyttet til at opbremse kuglens fremadrettede bevægelse. Opgaver Opgave 1 En billardkugle har radius = 2,8 cm og forlader køen med en translationsfart på v = 1,65 m/s og en rotation med vinkelhastighed ω= 40 s 1 (radianer pr. sekund!). otationsaksen er fra start vinkelret på translationshastigheden, så bevægelsen forløber lineært. Vi er i samme situation som i eksempel 13. a) Inegn startpunktet A for bevægelsen i et ( ω, v )-diagram ligesom det blev gjort på side 11. b) Bevægelsen vil gå over i en ren rulning efter li tid. Beregn koordinaterne til det punkt B, som svarer til denne situation. Hjælp: Husk at B er skæring mellem den linje, som har hældning 5 2 og som går igennem A, og diagonallinjen karakteriseret ved ren rulning. c) Hvor lang tid går der før ren rulning inræffer? Hjælp: Du kan bruge ligning (12) til at beregne det! Litteratur [1] Jens Højgaard Jensen. Nogle træk af billardspillets mekanik. Fysisk Tidsskrift, 1968, siderne [2] Gunnar hristiansen, Erik Both og Preben Østergaard Sørensen. Mekanik. Danmarks Tekniske Universitet, Links

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 23. januar 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 8. august 2013 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 8. august 2013 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 8. august 2013 kl. 9 00 13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 11. august 2015 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 11. august 2015 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 11. august 2015 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 Skriftlig prøve, torsdag den 8 maj, 009, kl 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Besvarelsen

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Det skrå kast uden luftmodstand

Det skrå kast uden luftmodstand Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale

Læs mere

Tillæg til partikelfysik (foreløbig)

Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00 Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 27. maj 2014 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 27. maj 2014 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 27. maj 2014 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006 Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato

Læs mere

Opgaver i solens indstråling

Opgaver i solens indstråling Opgaver i solens indstråling I nedenstående opgaver skal vi kigge på nogle aspekter af Solens indstråling på Jorden. Solarkonstanten I 0 = 1373 W m angiver effekten af solindstrålingen på en flade med

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Opdrift i vand og luft

Opdrift i vand og luft Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Opdrift i vand og luft Formål I denne øvelse skal vi studere begrebet opdrift, som har en version i både en væske og i en gas. Vi skal lave et lille forsøg,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 8 sider Skriftlig prøve, den 24. maj 2005 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr.: 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt. "Vægtning": Besvarelsen vægtes

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

INTRODUKTION TIL VEKTORER

INTRODUKTION TIL VEKTORER INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Skråplan. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen. 8. januar Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 50-51

Skråplan. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen. 8. januar Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 50-51 Skråplan Dan Elkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachi Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 50-51 8. januar 2008 Figurer Sider ialt: 5 Indhold 1 Forål 3 2 Teori 3 3 Fregangsåde 4 4 Resultatbehandling

Læs mere

Nogle opgaver om fart og kraft

Nogle opgaver om fart og kraft &HQWHUIRU1DWXUIDJHQHV'LGDNWLN 'HWQDWXUYLGHQVNDEHOLJH)DNXOWHW $DUKXV8QLYHUVLWHW &HQWUHIRU6WXGLHVLQ6FLHQFH(GXFDWLRQ)DFXOW\RI6FLHQFH8QLYHUVLW\RI$DUKXV Nogle opgaver om fart og kraft Opgavesættet er oversat

Læs mere

FYSIK RAPPORT. Fysiske Kræfter. Tim, Emil, Lasse & Kim

FYSIK RAPPORT. Fysiske Kræfter. Tim, Emil, Lasse & Kim FYSIK RAPPORT Fysiske Kræfter Tim, Emil, Lasse & Kim Indhold Indledning... 2 Newtons love... 3 1. Lov: Inertiloven... 3 2. Lov: Kraftloven... 3 3. Lov: Loven om aktion/reaktion... 3 Kræfter... 4 Formler:...

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal

Læs mere

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 7. august 2014 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 7. august 2014 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 7. august 2014 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 13 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 9. juni 2011 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 9. juni 2011 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 9. juni 2011 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Deformation af stålbjælker

Deformation af stålbjælker Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker

Læs mere

Lorentz kraften og dens betydning

Lorentz kraften og dens betydning Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 2. juni 2015 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 2. juni 2015 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 2. juni 2015 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Interferens og gitterformlen

Interferens og gitterformlen Interferens og gitterformlen Vi skal studere fænomenet interferens og senere bruge denne viden til at sige noget om hvad der sker, når man sender monokromatisk lys, altså lys med én bestemt bølgelængde,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Stern og Gerlachs Eksperiment

Stern og Gerlachs Eksperiment Stern og Gerlachs Eksperiment Spin, rumkvantisering og Københavnerfortolkning Jacob Nielsen 1 Eksperimentelle resultater, der viser energiens kvantisering forelå, da Bohr opstillede sin Planetmodel. Her

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 31. maj 2016 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere