MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner klasse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse"

Transkript

1 kristine JEss HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner klasse

2

3 Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Tal, algebra og funktioner klassetrin Samfundslitteratur

4 Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Tal, algebra og funktioner klassetrin 2013, Samfundslitteratur Omslag: Annette Borsbøl, Imperiet Tegninger: Joh n Schou Forlagsredaktion: Ole Jørgensen Projektledelse: Thomas Bestle Sats og tryk: Narayana Press, Gylling Printed in Denmark, 2013 ISBN trykt bog ISBN e-bog Samfundslitteratur Rosenørns Alle Frederiksberg C Tlf Fax Alle rettigheder forbeholdes Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser.

5 INDHOLD Forord 11 DEL I TALSYSTEMER OG REGNEPROCESSER Introduktion 15 1 Børns talbegreber og regneoperationer i de første skoleår 17 Tal og det at tælle 18 Det indledende arbejde med tal en tradition og kritikken af den 22 Indledende addition og subtraktion 32 Additive situationer når addition og subtraktion kan bringes i spil 36 Udviklingen i børns arbejde med additive situationer 39 Opsamling på kapitel Tallenes historiske udvikling 45 Tallenes antropologi 46 Tidlige spor af tal 47 Tal på hieroglyffernes tid 51 Regnebræt og kugleramme 54 Positionssystemet som grundlag for moderne regning 56 Grækernes opdagelse af irrationale tal 60 Grækernes geometriske talforståelse 62 Den langsomme accept af negative tal 64 Opsamling på kapitel Læremidler fra regnebog til CAS 71 Historien i korte træk 72 INDHOLDIndhold 5

6 Hvordan lommeregneren ændrede undervisningen 75 Lommeregnerens tre funktioner i undervisningen 77 Computer algebra systemer (CAS) 82 Vurdering af læremidler 85 Opsamling på kapitel Genoplev kampen med at forstå positionssystemet 91 Alfabetaland 91 Fordelene ved positionssystemer 93 Positionssystem med vilkårligt grundtal 94 Regnealgoritmer i andre talsystemer 98 Opsamling på kapitel Elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal 103 Læseplanernes nye syn på regning 103 Titalssystemet et positionssystem 105 Addition og subtraktion af flercifrede tal 106 Andre materialer: den åbne tallinje og taltavlen 109 Hen imod relativt standardiserede metoder 114 Indledende multiplikation og division 122 Multiplikative situationer 125 Multiplikative situationer - division 126 Udviklingen i børns arbejde med multiplikative situationer 129 Opsamling på kapitel De positive rationale tal 139 Én faglig vej gennem brøkregning 142 Indledende brøkregning 144 Videregående regning med brøker 147 Decimaltal og procent 152 Procentnotationen for decimaltal 156 Periodelængder i brøkers omskrivning til decimaltal 157 Decimaltals omdannelse til brøker 158 Opsamling på kapitel Brøkregning i den fagdidaktiske skole, RME 159 Brøker i Realistisk Matematikundervisning INDHOLD

7 Grundsynet på brøker i Realistisk Matematikundervisning 160 Skitse af et toårigt undervisningsforløb med brøker 162 Den faktiske udførelse af to-årsforløbet 167 Konklusioner på RME s brøkprojekt 170 Opsamling på kapitel Negative tal og repræsentationer 177 Repræsentationer i matematikundervisningen 178 Repræsentationer og kognitive forhindringer 181 På jagt efter gode repræsentationer for de hele tal 182 Forklaring af regneregler ud fra udvalgte repræsentationer 182 Talaksen i form af et termometer 184 Forskning i børns repræsentationer 189 Opsamling på kapitel Talteori og matematisk tankegang 193 Direkte beviser i delelighedslæren 194 Hvordan finder man primtal? 196 Euklids algoritme 199 Aritmetikkens fundamentalsætning 203 Praktiske anvendelser af primfaktoropløsning 207 Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 209 Opsamling på kapitel Hvordan får vi styr på uendeligheden? 215 Peanos aksiomer 217 Mængdetal (kardinaltal) 219 Mængdetallene bryder uendelighedsmuren 223 Induktionsbeviset 226 Et induktionsbevis i grafteori 226 Opsamling på kapitel INDHOLD 8 7

8 DEL II ALGEBRA OG FUNKTIONER Introduktion Algebras stofdidaktik 235 Bogstavernes rolle i algebra 238 Problemer med algebraundervisningen 240 Symbolbehandlingskompetence 244 Variabelbegrebets didaktik 248 At udvikle forståelser af lighedstegn 256 Repræsentationer og oversættelser af ligninger 263 Opsamling på kapitel Talmønstre og figurrækker 267 Udvikling i femkanttallene 269 Induktionsbeviser 276 Elevers og studerendes arbejde med figurmønstre 279 Hanoitårnet, fraktaler og fibonaccital 283 Opsamling på kapitel Tidlig algebra 287 Tidlig algebra hvad er det? 288 Variable og funktioner i tidlig algebra 289 Carraher, Schliemann m.fl.: funktioner og variable som tilgang til addition 290 Flere eksempler på aktiviteter med variable i indskolingen 293 Ligninger og lighedstegnet 298 Andre eksempler på aktiviteter i tidlig algebra 300 Argumenter omkring lighedstegnet 301 Kontekstens betydning 304 Opsamling på kapitel Funktioner og funktionsbegrebet 307 Udvikling af personlig viden om funktioner 307 Begrebsbillede og begrebsdefinition 313 Lidt om funktionsbegrebets historie DEL II INDHOLD

9 Proportionaliteter og den lineære funktion 317 Bestemmelse af konstanterne ved de tre grundlæggende funktioner 318 Opsamling på kapitel Problemløsning og modellering 325 Problemløsning 325 Om problemløsning 325 Diskussion af problemløsningsstrategier 326 Modellering 329 Variable og ligninger i problemløsning og modellering 333 Opsamling på kapitel Referencer 343 Bøger til grundskolen 348 Stikordsregister 349 INDHOLD 15 9

10

11 FORORD Matematik for lærerstuderende har, siden det vandt lærebogsprisen i 2006 været et udbredt system for linjefagene i matematik på læreruddannelserne i Danmark, og de centrale bøger i systemet er oversat til svensk. Udgangspunktet i 2006 var meget ambitiøst på grund af det nye store timetal i matematik. I anledning af den seneste reform LU13 er omfanget reduceret drastisk, men det høje ambitionsniveau er fastholdt, hvad angår de kvalifikationer, der retter sig mod den lærerstuderendes fremtidige profession. I overensstemmelse med LU13 tilbyder vi til undervisningsfaget matematik klasse følgende bøger i systemet: Tal, algebra og funktioner klasse; Geometri klasse; Stokastik klasse; Delta, Fagdidaktik; My, Elever med særlige behov. Til den studerende, der føler behov for at opdatere sin faglighed inden studiestart, har vi udviklet materialet Alfa, Forstudier. Tal, algebra og funktioner klasse præsenterer fagligt og fagdidaktisk materiale samt tilhørende arbejdsopgaver af et omfang, der på de fleste læreruddannelser vil svare til to moduler efter LU13. Bogens første del omhandler Talsystemer og regneprocesser og den anden del Algebra og funktioner. Den såkaldte stofdidaktik, der er knyttet til bogens faglige emner, findes i særlige kapitler her i bogen, mens det fagdidaktiske stof, der er fælles for al matematikundervisning, skal søges i bøgerne Delta og My. I hvert kapitel er de vigtigste mål angivet i starten, og kapitlet rundes af med en opsamling, der muliggør en evaluering af udbyttet. De matematiske kompetencer står centralt både i LU13 og i det aktuelle faghæfte for grundskolen, derfor fremhæver vi i hvert kapitel, hvilke kompetencer der især kan udvikles gennem arbejdet. Den studerende vil gennem arbejdet med de tre matematikfaglige bøger være kommet godt omkring alle otte matematiske kompetencer. Forord 11

12 Programmel, it Vi inddrager i høj grad it, og vi benytter gratis og frit tilgængelige ressourcer, som også i vid udstrækning er platformsuafhængige. Vores valg er faldet på: GeoGebra ( wxmaxima ( Windows-baserede Microsoft Mathematics ( education/ww/products/pages/mathematics.aspx). Desuden inddrager vi regneark, diverse hjemmesider og en række ressourcer, der kun er tilgængelige på nettet. Der findes svarforslag til udvalgte opgaver på bogens hjemmeside ligesom en liste over de trykfejl, vi bliver opmærksomme på, vil være at finde på denne hjemmeside under errata. København, marts 2013 Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott 12 Forord

13 DEL I TALSYSTEMER OG REGNEPROCESSER

14

15 INTRODUKTION Scenen sættes med et kapitel, hvor børns arbejde med matematik direkte kommer på banen med tegninger og dialoger om deres talopfattelse og første regneforsøg, som efterfølgende sættes i perspektiv af internationale matematikdidaktikeres forskningsresultater. Vi præsenterer tallenes historie fra oldtiden til renæssancen i et særskilt kapitel, fordi man i den historiske udvikling af tallene kan hente stor inspiration til arbejdet med at udvikle børns talbegreber, selv om det ikke altid er sandt, at de tidlige historiske erkendelser modsvarer tidlige stadier i børns udvikling. Historien føres dernæst op til vores tid i kapitlet Læremidler fra regnebog til CAS, der via overvejelser om den moderne teknologis rolle som værktøj såvel som læremiddel munder ud i overvejelser om valg af læremidler. Man kan lægge hovedvægten på et af flere perspektiver i kapitlet, der også indeholder fantasifulde øvelser med et noget specielt læremiddel, den defekte lommeregner. Læseren er på vej til at uddanne sig til matematiklærer for mindre børn og skal kunne sætte sig ind i børnenes problemer. Derfor er der nok ingen vej uden om at genopleve den intellektuelle kamp, barnet skal igennem i de tidlige skoleår. Det kan godt være, at læseren bliver frustreret i kapitlet Genoplev kampen med at forstå positionssystemet, hvor vi har konstrueret den mærkelige verden Alfabetaland og andre afvigende positionssystemer, men det tjener et pædagogisk formål. I det efterfølgende kapitel Elevers opfattelse af regning med flercifrede tal præsenterer vi egne observationer og international forskning om børns addition, subtraktion, multiplikation og division med flercifrede tal. Læseren får også en kort introduktion til den hollandske didaktiske skole Realistisk Matematikundervisning (RME). Eleverne på mellemtrinet skal lære at regne med brøker og negative tal. Derfor indeholder kapitlerne De positive rationale tal, Brøkregning i den fagdidaktiske skole RME og Negative tal og repræsentationer aktuelt stof for den lærerstuderende. Det drejer sig først og fremmest om at få kendskab til forklaringer på, hvorfor man regner med brøker og negative tal, som man Introduktion 15

16 gør. Via et forskningsresultat fra RME får læseren uddybet den centrale rolle, som repræsentationer har i matematikken og i matematikundervisningen. Bogens første del afsluttes med to kapitler, hvor selve matematikken bliver mere udfordrende for læseren. I Talteori skal vi bl.a. se på primtalsopløsning og forskellige bevisteknikker. I det sidste kapitel ser vi på problemet Hvordan får vi styr på uendelighed, der bl.a. klæder læreren på til at besvare det uskyldige spørgsmål: Hvad hedder det største tal?, og introducerer til den stærke bevisteknik, induktionsbeviset. 16 DEL I Talsystemer og regneprocesser

17 1 BØRNS TALBEGREBER OG REGNEOPERATIONER I DE FØRSTE SKOLEÅR Når børnene begynder i skole, kan de tælle. Det kan de i den forstand, at de kan tælleremsen et stykke ad vejen; de kan finde, hvor mange enheder der er i en bunke på fx 9 centicubes. Og ved at tælle kan de finde resultatet i simple additionssituationer, hvis de har konkrete materialer til rådighed (hvis Albert har fundet 6 kastanjer, og Usman har 7, hvor mange har de så tilsammen?). Og der er nogle elever, der kan meget mere end det. I de første skoleår handler matematikaktiviteterne i høj grad om tal og om indledende regneoperationer. Det gør de, fordi eleverne i denne periode skal udbygge deres forståelse af de naturlige tal, og af hvad man kan benytte tal til. De skal således udvikle forståelser af tal og færdigheder i talbehandling, der er kvalitativt forskellige fra dem, de møder med, når de kommer i skole. Det er arbejdet med at facilitere elevernes faglige læring på disse områder, der er omdrejningspunkt i dette kapitel. Der er over de sidste årtier gennemført en meget stor mængde undersøgelser af små skolebørns talforståelser og -færdigheder. De handler fx om, hvordan børnene opfatter tal, og hvordan de forstår de forskellige typer af situationer, hvor addition og subtraktion kan komme i spil. Desuden drejer de sig om, hvordan man kan understøtte børns udvikling af både talforståelse og færdigheder i talbehandling. Det er en hovedpointe i en stor del af disse undersøgelser, at de to sider af talarbejdet, færdighederne og forståelsen, må udvikles i tæt indbyrdes sammenhæng. Den overordnede hensigt med dette kapitel er, at læseren på baggrund af forskningsresultater udvikler en forståelse af, hvordan man som lærer kan bidrage til det i skolens yngste klasser. Mere specifikt er det hensigten, at læseren efter endt læsning: 1 Børns talbegreber og regneoperationer 17

18 Har dannet sig et indtryk af, hvilke forståelser af tal og af at tælle, børn typisk har med, når de kommer i skole. Har udviklet en forståelse af og idéer til, hvordan der kan bygges på elevernes tællestrategier i arbejdet med tal i indskolingen, herunder at læseren kan forholde sig til den kritik, der har været rettet mod en dominerende tradition i dette arbejde. Kan beskrive forskellige situationer, hvor additiv tænkning kan bringes i anvendelse, og kender til de måder, elever typisk går til sådanne situationer på. Skønt kapitlet har en ren fagdidaktisk karakter, vil læseren dog kunne udvikle sin matematiske kommunikationskompetence gennem tilegnelsen og diskussioner af indholdet. TAL OG DET AT TÆLLE Tal bruges på mange forskellige måder, og det gør det at tælle også. Vi skal i det følgende se på de måder at benytte tal på, som børn gerne skal komme til at beherske, og vi skal se på udviklingen i deres tællestrategier. Vi starter med at se på et eksempel med en tilhørende øvelse. Eksempel 1 Figur 1. Eritrea, et lille land på Afrikas horn, havde deltagere med ved en olympiade for blot anden gang i Athen i Der var 15 eritreere med, blandt dem den 22 årige mellem- og langdistanceløber Zersenay Tadesse. Med nummer 1553 på brystet gennemførte han finalen i meter i tiden og kom ind på en tredjeplads blandt de 24 løbere. Tadesse vandt dermed Eritreas første olympiske medalje nogensinde. 18 DEL I Talsystemer og regneprocesser

19 Øvelse 1 Læs omtalen af Zersenay Tedesse i eksemplet ovenfor. Undersøg, hvilke måder tal og talord benyttes på, og beskriv forskellene på og sammenhængene mellem de forskellige måder. Vi kan benytte tal til at beskrive størrelsen på en mængde. Det gør vi, når vi fx siger, at der er 26 elever i 1.a, eller at der er 7 bøger i serien om Harry Potter. Her bruges hhv. 26 og 7 til at angive størrelsen på en mængde af diskrete elementer eller antallet af elementer i mængden. Tal bruges da som kardinaltal. Det er en anden brug af tal, hvis vi ser på 1 tallet i 1.a eller på talordet syvende i formuleringen den syvende og sidste bog i serien om den berømte troldmand hedder Harry Potter og dødsregalierne. Her er der stadig tale om at behandle en diskret 1 mængde af objekter, hhv. klasser og bøger, men tallet benyttes ikke til at angive størrelsen på hele mængden, men derimod til at angive et elements relative placering i den. Der angives således en vis ordning af mængden, og man taler om ordenstal eller om ordinaltal. Der er tale om en tredje anvendelse af talord, når man siger, at eleverne i 1.a løber i gennemsnit 60 meter på 12,9 sekunder og Harry Potter og dødsregalierne koster 329,00 kr. Her angiver tallene 60, 12,9 og 329,00 ikke et antal af diskrete elementer i en mængde. De er i stedet knyttet til kontinuerte størrelser, nemlig længde, tid og værdi (målt i penge). Det, der tælles, er således ikke på forhånd iagttagelige elementer som elever eller bøger selv om man naturligvis kan forestille sig en mængde af 329 enkroner som betaling for bogen. Derimod er det enheder, og tallet er et måltal, der angiver det antal gange, en valgt enhed må benyttes for at kunne fylde den kontinuerte mængde ud. Enhederne er meter, sekunder og kroner. I modsætning til det kardinale og det ordinale tilfælde behøver der her ikke være tale om hele tal. Der er således tre numeriske måder at bruge tal på, nemlig som kardinaltal, som ordinaltal og som måltal. Imidlertid kan der også være et ordinalt aspekt 1 Diskrete betyder i denne forbindelse adskilte. De naturlige tal er en mængde af diskrete tal, hvor et tal er adskilt fra det foregående og det næste tal. Den radikale modsætning er de reelle tal, der er en helt sammenhængende talmængde, hvor det slet ikke giver mening at tale om det næste tal. 1 Børns talbegreber og regneoperationer 19

20 involveret, hvis hensigten er kardinal. Hvis man tæller for at finde svar på spørgsmålet: Hvor mange er der? indfører man på sin vis en ordning i mængden, idet man introducerer en tællerækkefølge. Hvis man fx tæller 8 børn, mens man peger på dem en efter en, så betyder otte, at det pågældende barn er det ottende i den rækkefølge, man har lavet ved at tælle. Men her var vi ikke interesseret i rækkefølgen, dvs. i at fx Camilla blev nr. 8. Derimod var vi interesseret i, hvor mange børn der var, dvs. i at bruge otte kardinalt. Det kræver, at man foretager det, Fuson kalder en kardinal integration, dvs. at man knytter otte til ikke bare Camilla, men til mængdens mangehed (the manyness). Tilsvarende er der en måleintegration involveret, når man i en målesituation forbinder den sidst talte måleenhed med det samlede antal enheder, der bruges (Fuson, 1988). Tal bruges dog også ikke-numerisk, dvs. på måder hvor der ikke eller i hvert fald ikke primært er tale om en kvantificering. For det første siger små børn tælleremsen uden at knytte indhold til ordene. Tælleremsen er da netop blot en remse, og ordene betyder da hverken mere eller mindre end okker-gokker-gummiklokker. Ja, faktisk kan børn ofte allerede fra 2 årsalderen sige dele af tælleremsen korrekt, uden at de af den grund kan tillægge remsen mening (ibid., kapitel 2). For det andet benytter også voksne talord i situationer, hvor det væsentligste ikke er tallenes kvantitative aspekt. Det er tilfældet, når man bruger tal som identifikation, snarere end som en størrelsesangivelse. Nummerplader og telefonnumre er relevante eksempler. Og i nogle lande har fx skoler ikke navne, men numre, så man som elev fx går på skole nr. 7. Der kan godt være et element af ordinalitet i den måde, disse navne tildeles på. Det gælder i den indlysende forstand, at man ofte begynder med de mindste af de tal, der kan benyttes til et givet formål. Fx er skole nr. 1 vel typisk den første, der blev oprettet. Selv i sådanne tilfælde er ordinaliteten dog ikke altid fuldkommen, og den er kun sjældent interessant. Det er således ikke hverken givet eller interessant, om busrute 112 blev etableret før rute 83, 20 DEL I Talsystemer og regneprocesser

21 eller om Zersenay Tadesse med nummer 1153 blev meldt til Olympiaden før eller efter deltageren med nummer 1152 (jf. eksempel 1). Og under alle omstændigheder giver det næppe mening at regne på tal, der benyttes til identifikation. I alle vores eksempler ovenfor har vi brugt tal i konkrete sammenhænge. Det er også afgørende, at man gør det i undervisningen, ikke mindst i de første skoleår. Imidlertid er det hensigten, at børn efterhånden kommer til at operere på tal som matematiske størrelser, dvs. så tallenes mening også kommer fra deres relationer til andre tal uden reference til konkrete situationer. Så forbindes 6 ikke bare med 6 perler, der skal tælles, 6 forbindes også med, at August er den 6. ældste i klassen, eller med at klassen er 6 elever bred, hvis det er liggende elever i 1. klasse, man måler med. 6 får i stedet (også) sin mening fra sine relationer til andre tal, fx at 6 = 4 + 2, at = 12, at = 10, at 6 er det dobbelte af 3, og at 6 = , og meget senere at 6 er produktet af de to mindste primtal, at det er kvadratroden af 36, og at hvis man ganger 6 med radius i en cirkel, så får man med tilnærmelse cirklens omkreds. I et sådant netværk af relationer bliver 6 ikke bare noget, man kan bruge til at beskrive sin omverden med. Tallet får nærmest genstandskarakter, det bliver noget, man kan gøre noget med. Det er et gennemgående argument i dette kapitel, at udviklingen af talforståelse bedst understøttes ved, at eleverne i de første skoleår i høj grad benytter konkrete genstande i deres talarbejde, så de fortolker symbolske talangivelser ved konkrete materialer eller tegninger, og at de omvendt anvender symboler som beskrivelser af konkrete situationer. Der er belæg for at sige, at det er i en sådan dobbeltbevægelse fra relativt konkrete størrelser til symboler og fra symboler til konkrete størrelser, at talforståelser og talfærdigheder kan udvikles. Når man som voksen har benyttet tal utallige (!) gange, synes forskellene i brugen af tal ubetydelige, ja måske endda svære at få øje på. Det skyldes, at tal netop har fået deres eget liv, så det er tallene, man opererer på, når man regner, snarere end de konkrete sammenhænge. Men for børn, der først er ved at udvikle en talforståelse, er det ikke indlysende, at tal kan bringes i anvendelse på så forskellige måder. 1 Børns talbegreber og regneoperationer 21

22 Øvelse 2 Undersøg nogle matematiklærebøger for 1. klasse med henblik på at finde ud af, hvordan tallenes univers introduceres og hvordan man præsenterer de forskellige måder, som tal benyttes på. Forslag: Gregersen, R. m.fl. (2010). Multi 1A. Gyldendal. Se s Madsen, J. m.fl. (2006). Format 1. klasse. Elevbog. Alinea. Se s Petersen, S.B.; Mogensen, A. (2001). Faktor i først. Elevbog A. Malling Beck. Se s Salomonsen, L.; Toft, K. (2004). Flexmat tal omkring dig. Elevbog. Malling Beck. Se s Det indledende arbejde med tal en tradition og kritikken af den Ved skolestarten var der i en del år stor opmærksomhed rettet mod talforberedende aktiviteter. Det er aktiviteter som fx at Sortere geometriske figurer eller andet i grupper (mængder), fx efter form, farve, størrelse eller andet. Forsøge at forbinde to mængder med streger, så hvert element i den ene mængde knyttes til netop et element i den anden mængde, dvs. at lave en en-til-en-korrespondence mellem elementerne, og hvis det lykkes at konkludere, at de to mængder er lige store. Ordne mængder efter størrelse uden nødvendigvis at tælle elementer, fx i forbindelse med længde, areal og rumfang. Disse aktiviteter har deres baggrund i to inspirationskilder med tæt forbindelse til hinanden. For det første kan de siges at trække på traditionen i den ny matematik 2. Den ny matematik var en reform af skolematematikken, der fra begyndelsen af 1960 erne og de følgende 15 år fik stor indflydelse på undervisningen. Den byggede på et syn på matematik, der gjorde mængdebegrebet til det centrale punkt. Det blev derfor afgørende, at eleverne kom til at arbejde med mængder, fx at opdele dem ved at sortere elementer. 2 Se evt. δ-bogen, s. 476 ff. for en kort introduktion til den ny matematik. 22 DEL I Talsystemer og regneprocesser

23 Desuden er ordning (fx efter størrelse) et centralt begreb i den ny matematik. Og med formuleringer fra mængdelæren er mængder lige store, hvis der kan etableres en-til-en-korrespondence mellem deres elementer, dvs. at der med funktionslærens sprogbrug er tale om en bijektion; derfor blev en-til-en-korrespondence et centralt begreb, jf. s. 220 f. For det andet gennemførte den schweiziske biolog og psykolog Jean Piaget en række undersøgelser af børns taludvikling. De blev en væsentlig del af den psykologiske baggrund for den ny matematik. Piaget adskilte talbegrebet skarpt fra det at tælle. Talgrebet baserede han i stedet på formelle egenskaber ved mængder, fx en-til-en-korrespondence og på det, han kaldte konservation. Piaget dokumenterede i en række undersøgelser, at børn på 5 6 år har svært ved at se, at en mængde bevarede (konserverede) sin størrelse, når der blev flyttet rundt på elementerne i den. De lader sig således vildlede af umiddelbare sanseindtryk. I et eksperiment med 5 og 6 årige børn ligger der en række røde brikker på bordet foran dem. Børnene bliver bedt om at tage lige så mange blå brikker op af en kasse, som der er røde på bordet. De 5 årige lægger typisk en række, der er lige så lang som rækken af blå brikker uden at tænke på antal. De 6 årige løser typisk opgaven ved en-til-en-korrespondance, idet de lægger en blå brik over for hver af de røde. Men hvis de røde brikker nu rykkes længere fra hinanden, vil også 6 årige typisk tro, at der er flest brikker i den lange række (Piaget, 1953). Sådanne resultater fik Piaget til at konkludere, at der findes et logisk og mængdeteoretisk grundlag for talbegrebet, som må etableres, før der arbejdes med tal og med at tælle. Dels kan de fleste børn på 5 6 år tælle, men altså uden at de nødvendigvis har forståelse af en-til-en korrespondence og konservation. Dels, siger Piaget, er der børn på 7 år, der ikke er gode til tal i sædvanlig forstand og til at tælle, men som alligevel har udviklet fundamentale forståelser af tal. Det viser sig fx ved, at de kan afgøre, om der er lige mange blå og røde perler på bordet foran dem ved at parre perlerne i de to grupper med hinanden, og ved at de ikke er i tvivl om, at antallet af perler er uforandret, hvis man flytter rundt på dem. Disse børn benytter sig altså af entil-en-korrespondence og af konservation. De har så med Piagets sprogbrug udviklet et talbegreb på trods af deres svage færdigheder (Piaget, 1953). Det er nærliggende at konkludere, at en 6 årig dreng ikke har et veludviklet talbegreb, hvis han korrekt tæller 8 småkager i en kagedåse, men ikke ved: 1 Børns talbegreber og regneoperationer 23

24 om der også er 8 kager, når han bagefter lægger alle kagerne ud på bordet, eller om der er kager nok til de 8 mennesker, der sidder ved bordet, og som han også har talt. De aktiviteter (se s. 22), vi nævnte som indledning til dette afsnit, har til hensigt at udvikle sådanne forståelser, og de skal tjene som grundlag for elevernes senere arbejde med tal. Imidlertid har undervisning, der lægger hovedvægt på tallenes logiske grundlag, været udsat for kritik, siden Piaget foretog sine undersøgelser. Det skyldes, at den udelukkende tager udgangspunkt i formelle forståelser af tal, som børn tilsyneladende mangler, og ikke hæfter sig ved de forståelser, børn har. Og det skyldes, at selve undersøgelserne sætter børn i ganske kunstige kliniske situationer, i stedet for at tage udgangspunkt i, hvordan de håndterer udfordringer med tal og med at tælle i hverdagssituationer. Der er derfor udviklet tilgange til det indledende arbejde med tal, der i højere grad tager udgangspunkt i det, børn kan, når de kommer i skole. Eksempel 2 Gustav er 7 år og 2 måneder gammel. Han går i 0 te klasse og skal i 1. klasse om tre måneder. I et interview bliver Gustav bedt om at tælle og om at svare på forskellige spørgsmål om tal. (1) Gustav får først fire små bamser, og siden tre bamser mere lagt i samme bunke. Interviewer: Hvor mange er der her? [viser de første fire bamser] Gustav: Fire. Interviewer: Hvad så hvis du får dem her? Hvor mange har du så? [lægger 3 mere i samme bunke] Gustav: Seks. Interviewer: Hvordan fandt du ud af det? Gustav: Jeg talte dem inde i hovedet. Interviewer: Prøv igen du må godt bruge fingeren. Gustav: [Tæller med en finger på hver] En, to, tre, fire, fem, seks, syv. Syv! [Råber det sidste Syv] 24 DEL I Talsystemer og regneprocesser

25 (2) Gustav bliver bedt om at tælle videre fra forskellige tal. Interviewer: Nu skal vi se, om du kan tælle. Jeg siger 28. Kan du så tælle videre. Gustav: 29 og så 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40. Interviewer: Hvis jeg nu siger 77, kan du så tælle videre? Gustav: 78, 79 uhm. Int.: Og hvad så? Gustav (efter betænkningstid): Deroppe ved jeg ikke rigtig Halvfems? Interviewer: Det er firs, men det var alligevel meget flot. (3) Gustav bliver spurgt om, hvad der kommer før forskellige tal: Interviewer: Hvad kommer lige før 8? Gustav: 1, nej 7. Interviewer: Hvad med 18? Gustav: 17. Interviewer: Hvordan ved du det? Gustav: Det vidste jeg bare. Interviewer: Så prøver vi med 20. Gustav: Jeg tænker lige [der går 10 sekunder] 19. Interviewer: Hvordan gjorde du det? Gustav: Jeg talte bare. Interviewer: Talte du fra 10 eller fra 1? Gustav: 1, 2, 3, Interviewer: Hvad tror du så, der kommer lige før 103? Gustav: [tænker] 102. Interviewer: Hvordan fandt du det? Gustav: Jeg tænkte bare 3, så to, så hundrede, og så er det hundrede og to. 1 Børns talbegreber og regneoperationer 25

26 (4) Gustav får vist tre tierstænger af centicubes (hver af dem sat sammen af to femmere i forskellige farver) og to løse centicubes. Interviewer: [tager en tier op] Hvor mange er der i sådan en? Gustav: [mumler] syv, otte, ni, ti. Interviewer: [tager en anden tier] Hvad er der så i den? Gustav: [måler dem mod hinanden] Ti. Interviewer: Hvor mange er der i den her? Gustav: [han måler igen] Ti. Interviewer: Hvor mange er der i alt. Du må godt tælle højt. Gustav: [sidder lidt uden at sige noget] 30. Interviewer: Hvordan gjorde du det? Gustav: [vrider sig lidt] Ti, tyve, tredive. Interviewer: Men hvor mange i alt med dem der [peger på de to enkelte centicubes]. Gustav: Der var lige tredive, så var der to. Så der var 32. Overvej/diskuter 1 Hvis man skal bygge sin undervisning på det, eleverne kan og ved i forvejen, må man jo vurdere det på baggrund af deres udtalelser eller opgaveløsninger. Undersøg Gustavs svar i eksemplet ovenfor. Vurder på baggrund af hans reaktion på de fire situationer, hvad han kan og ved om tal og om det at tælle. Udvikling i tællestrategier og i forståelse af meningen med at tælle før skolestart Fuson (1988, 2003) er en af dem, der har lagt vægt på det, børn kan, ikke kun på det, de ikke kan. Hun har undersøgt børns dagligdags problemløsning, når den involverer tal. Hun foreslår, at eleverne skal udvikle deres kunnen på talområdet i tæt sammenhæng med, at de udvikler en forståelse af de måder, man kan arbejde med tal på. Det kan ske med udgangspunkt i deres tællestrategier. 26 DEL I Talsystemer og regneprocesser

27 Fuson (1988) beskriver nogle udviklingstrin i barnets måder at tælle på. Tre af trinene i hendes beskrivelse handler (også) om udviklingen i førskolealderen: 1) Talremsen som en streng: Barnet lærer talremsen ved bare at efterligne lydene uden at differentiere mellem de forskellige ord: entotrefirefem Hvis der kobles til genstande, der tælles, har de ingen fornemmelse af en-til-enkorrespondence mellem lydene og genstandene. 2) Talremsen som en ubrydelig liste: Barnet differentierer nu mellem de forskellige ord i talremsen. Ordene tænkes adskilt: en, to, tre, Listen er ubrydelig, idet barnet bliver nødt til at begynde forfra hver gang eller i hvert fald at få hjælp til at komme ind i remsen. Mens barnet således ikke kan tælle videre fra seks, så kan det muligvis, hvis det bliver bedt om at fortsætte fra fire, fem, seks, Senere i denne fase kan det stoppe, når det kommer til et tal, som det bliver bedt om at tælle til. I denne periode begynder det at kunne koordinere talordene med en pegebevægelse og med de genstande, det peger på. Desuden kan det muligvis tælle kardinalt (for at finde hvor mange?), ordinalt (for at finde hvilken placering?) og for at måle (for at finde hvor mange enheder?). Desuden kan det finde simple summer, hvis det kan tælle sig til resultatet. Eksempel 3 Kari på 5 år og 3 måneder spiller bold med sin morfar og sine brødre mod et andet hold. Hun laver et mål og skal finde ud af, hvor mange point hendes hold nu har. Morfar: Hvor mange har vi nu? [Kari stopper og tænker i nogle sekunder] Hvor mange havde vi før? Kari: Tolv. Morfar: Hvor mange har vi så nu? Kari: En, to, tre, fire, fem, seks, syv, otte, ni, ti, elleve, tolv, tretten, fjor// Morfar: //hov!! Kari: tolv, tretten. Tretten! 3) Talremsen som en kæde, der kan brydes: Her kan børn tælle videre fra tal i den del af remsen, de behersker, og de kan uden videre angive det ef- 1 Børns talbegreber og regneoperationer 27

28 terfølgende og det foregående tal. Ethvert tal hænger således sammen med det foregående og det efterfølgende, hvilket er grunden til, at Fuson taler om kæde snarere end om en liste. På dette niveau begynder børn også at kunne tælle baglæns. Eksemplet med Gustav ovenfor viser, at Gustav har en ganske veludviklet talforståelse. I forbindelse med det første spørgsmål viser han, at han behersker kardinal integration. Det gør han ganske eksplicit ved at sige: en, to, tre, fire, fem, seks, syv. Syv! Mens den første af de to gange, han siger syv, refererer til den syvende bamse, så angiver den sidste mængdens størrelse, dvs. kardinalitet. Desuden illustrerer eksemplet med Gustav, at et barn, der har udviklet en tællestrategi til et vist niveau, godt kan benytte en strategi, der hører et tidligere niveau til. Gustav kan godt tælle videre i den del af tælleremsen, som han behersker (jf. hans svar på (2)). Imidlertid tæller han ikke af sig selv videre i sit svar på (1), hvor han har 4 bamser og får 3 mere. I den situation tæller han alle bamserne forfra. Man kan ikke af situationen se, om han gør det af hensyn til intervieweren, og om han faktisk talte videre fra 4 første gang, han gav et svar. Men for et barn på hans alder ville det være ganske almindeligt at tælle forfra. At det muligvis også er tilfældet for Gustav, kan man få indtryk af ved at se på hans svar på (3). Her viser han, at han tit ved, hvilket tal der går forud for et, han præsenteres for. Han kan dog ikke umiddelbart angive forgængeren til 20. For at finde det begynder han at tælle fra 1, mens han måske kunne have begyndt fra 10 eller fra et andet tal. Penny Munn har også undersøgt, hvad børn kan med tal, snarere end hvad de ikke kan (fx Munn, 1997). Hun spørger dog først, hvad rationalet var bag det hidtidige fokus på de logiske mangler ved små børns talforståelse. Hun henviser bl.a. til Piagets resultat om manglende konservation og siger desuden, at undersøgelser syntes at have vist, at: Små børn, der ser ud til at kunne tælle, ikke kan gøre det, hvis det, de tæller, ikke ligger på række. Hvis genstandene fx ligger i rundkreds, tæller børn typisk ikke hver genstand netop én gang. Det tages som udtryk 28 DEL I Talsystemer og regneprocesser

29 for manglende forståelse af en-til-en-korrespondance mellem talord og genstande. Hvis 3 4 årige børn bliver bedt om at finde ud af, hvilken af to mængder der indeholder flest elementer, så tæller de ofte slet ikke, medmindre de bliver direkte bedt om det. Disse resultater peger altså på tilsyneladende mangler ved børns talbegreb, og de udgør en del af baggrunden for den talforberedende undervisning. Men til trods for resultaterne, siger Munn, har børn faktisk en talforståelse. Når tidligere forskning ikke var opmærksom på det, skyldes det, at den ikke i tilstrækkelig grad så tal og tællesituationer fra børnenes side. Hvis man gør det, siger hun, kan man med rette sige, at børn helt ned til 3 og 4 års-alderen kan benytte grundlæggende aspekter af at tælle, hvis de tal, de skal arbejde med, er små nok. Andre undersøgelser har, siger hun, påpeget, at førskolebørn har grundlæggende forståelser af addition og subtraktion. Munn undersøgte tal- og tælleforståelsen hos 56 skotske børn i 4 5 årsalderen. Hun besøgte børnene fire gange, fra de gennemsnitligt var 4 år og 3 måneder gamle, til de var 5 år og 4 måneder, og fulgte dem dermed fra deres sidste år i børnehaven til de netop var begyndt i skolen. Børnene blev stillet fem spørgsmål. De tre første skulle undersøge, hvad børnene kunne med hensyn til at tælle. De blev bedt om: 1) At tælle så langt de kunne; idéen var at finde ud af, hvor meget af tælleremsen de kunne. 2) At tælle klodser; idéen var at se, hvor langt de kunne koordinere talord med bevægelse og klods. 3) At give intervieweren et antal klodser; idéen var at afgøre, hvor langt de havde udviklet kardinal integration. Det var et generelt resultat af undersøgelsen, at børnene kunne tælleremsen længere, end de kunne tælle klodser, og at de kunne tælle flere klodser, end de kunne give til intervieweren. Desuden bemærkede Munn, at børnene kun udviklede sig lidt i forhold til 3), der skulle teste deres forståelse af kardinalitet. Hun fandt, som vi ser i det følgende, en forklaring på dét i svarene på 1 Børns talbegreber og regneoperationer 29

30 de to sidste af de fem spørgsmål, hun stillede, spørgsmål om, hvad børnene tæller, og hvorfor de tæller. De to sidste spørgsmål skulle ikke teste, hvor dygtige børnene var til at tælle, men undersøge deres forestillinger om tal og om at tælle. Det generelle resultat var, at små børn sjældent forstår voksnes formål med at tælle. Der var således kun ét barn, der før hun kom i skole sagde, at hun talte for at finde ud af hvor mange. Så selv om alle børnene i en vis grad kunne tælle (i betydningerne at kunne tælleremsen, at koordinere talord med bevægelse og genstand og at give et antal klodser), talte de ikke af samme grunde som voksne. Ved det sidste besøg, da børnene var begyndt i skole, fandt Munn fire kategorier af svar på hvorfor-spørgsmålet (Munn, 1997, vores oversættelse). Børnene sagde, at de talte: For sjov, fx fordi jeg har lyst ; bare fordi jeg gør (kategori 1). For at leve op til andres forventninger, fx min fætter siger, jeg skal ; fordi min far og mor gerne vil have, jeg gør det (kategori 2). For at lære, fx fordi så kan jeg lære at kende tallene ; for at lære alle mine tal (kategori 3). For at finde ud af, hvor mange der er, fx for at vide, hvor meget legetøj der er (kategori 4). Der var fem børn i kategori 4, syv i kategori 3 og to i kategori 2. Resten, dvs. 42 af de 56 børn, gav enten svar i kategori 1 eller gav svar, der ikke gav mening i relation til spørgsmålet. Det ser således ud til, at børn omkring skolestart nok kan tælle, men at de sjældent deler voksnes opfattelse af meningen med at tælle. Det skyldes, foreslår Munn, at tælleaktiviteter for små børn typisk har legekarakter og ikke anvendes til at bestemme hvor mange. Derfor er børn ikke opmærksomme på at tælle hver genstand netop én gang, på om antallet er det samme, når man flytter rundt på genstandene, og på overhovedet at begynde at tælle, når de får stillet spørgsmål om hvor mange? Tælleaktivitet er for de børn 30 DEL I Talsystemer og regneprocesser

31 ikke et spørgsmål om at fastlægge noget kvantitativt. Det er et spørgsmål om at være med i en social proces, der grundlæggende har karakter af en leg. 3 Undersøgelse 1 Kontakt den lokale skole eller få på anden måde kontakt til nogle børn i alderen 6 8 år. I kan evt. planlægge det, så forskellige grupper på holdet arbejder med børn i forskellige aldre inden for aldersgruppen. Planlæg og gennemfør et interview med en gruppe på 2 3 børn om tal, om at tælle og/eller om regnearterne. Afhængig af børnenes alder kan I fx undersøge: Hvor langt de kan tælle. Hvilke fortællinger om at tælle og evt. om at regne, de kan fortælle. Hvilke tællestrategier, de benytter. Hvilke additionsstrategier, de benytter. Hvilke. Tællestrategier som udgangspunkt i undervisning I forlængelse af de refererede resultater giver Munn nogle forslag til arbejdet med tal i skolestarten. Det er en grundlæggende idé, at børns sociale og legeorienterede tællen skal tages alvorligt som udgangspunkt for, at de gradvist inddrages i at tælle for at kvantificere, bl.a. i situationer hvor de selv ønsker at antalsbestemme. De skal altså udvikle deres kunnen i og forståelse af at tælle ved at engagere sig i situationer, hvor de har behov for at kvantificere. Munns forslag til undervisning bygger på, at meningsfuldt arbejde med tal ikke forudsætter en forståelse af grundlæggende principper om fx konservation og en-til-en-korrespondance, men at forståelsen af disse principper kan være resultat af deltagelse i de tællesituationer, der handler om at kvantificere. Dette står i modsætning til Piagets forslag om, at man ikke skal arbejde med 3 Denne forklaring er i høj grad forenelig med Sfards forklaring på, at børn på 4 5 år ikke begynder at tælle, når de skal sammenligne antal. Vi diskuterede Sfards eksempel i forbindelse med δ-bogens behandling af læring som deltagelse (s. 94 ff.). Med Sfards terminologi kan man sige, at børnene i Munns undersøgelse endnu ikke har individualiseret den rutine, det er at underbygge matematiske fortællinger om antal med et tælleritual. 1 Børns talbegreber og regneoperationer 31

32 tal i skolen, før eleverne har udviklet forståelse af en-til-en-korrespondance og konservation. Der er ikke fuld enighed om, hvordan vægtningen skal være mellem de grundlæggende principper og deltagelse i tællesituationer i den indledende undervisning i tal og regning. På baggrund af resultater som fx Fusons og Munns synes det dog rimeligt ikke at lægge entydig vægt på de talforberedende principper som fx en-til-en-korrespondance og konservation. Elevernes forståelse af disse principper kan udvikles samtidig med eller i forlængelse af, at de videreudvikler deres tællestrategier. Samtidig kan tællestrategierne danne udgangspunkt for, at eleverne udvikler mere generelle metoder til antalsbestemmelse i forbindelse med fx addition og subtraktion. INDLEDENDE ADDITION OG SUBTRAKTION Der er grundlæggende to typer af udfordringer for eleverne i indskolingen i relation til addition og subtraktion. Den ene er at genkende og opstille situationer, der er additive i den forstand, at addition eller subtraktion bringes i anvendelse. Der er flere forskellige af den slags situationer, og for små børn er det ikke umiddelbart indlysende, at man kan bruge den samme procedure i dem alle. En af udfordringerne for børn i de første skoleår er altså at lære additive situationer at kende. Den anden udfordring for eleverne er at udvikle deres mere tekniske formåen i forbindelse med at finde summer og differenser og at udvikle deres faglige forståelser i forbindelse hermed. Især skal de udvikle deres forståelse af 10 talssystemet samtidigt med, at de bygger videre på deres kunnen og forståelse af talbehandling. Der er udviklet en del forslag til, hvordan børn kan arbejde med forståelsen af additive situationer og med deres tekniske kunnen og forståelse samtidig. Vi skal lige straks se på et sådant forslag. Men først skal vi se på eksempler på elevers arbejde med addition og subtraktion. 32 DEL I Talsystemer og regneprocesser

33 Eksempel 4 Elever i 1. klasse har forsøgt at vise, hvordan de adderer Figur 2. Elever i 1. klasse har lavet subtraktionsopgaver. Figur 3. 1 Børns talbegreber og regneoperationer 33

34 En elev i 1. klasse må købe for 70 kr. Figur 4. Overvej/diskuter 2 Se på elevernes besvarelser i eksemplerne ovenfor. Overvej, hvordan de kan have tænkt, og hvad der er styrker og svagheder i det, de har gjort. Overvej og diskuter, hvordan man som lærer for disse elever kan forholde sig til disse besvarelser. Eksempel 5 I Standards 2000 er der et eksempel på en opgave, der er stillet til en 2. klasse (NCTM, 2000, s ). Opgaven lyder (i vores oversættelse): På vores skole er der 153 elever. På den skole, der ligger længere nede ad gaden, er der 273 elever. Hvor mange elever er der på begge skoler til sammen? Nogle elever skriver de to addender under hinanden, og lægger enere, tiere og hundreder sammen efter hinanden. Nogle af disse elever får 426 som resultat, mens andre får En elev, Randy, henter konkrete materialer i form af bønner og bean sticks, små pinde som eleverne selv har lavet tidligere (10 15 cm lange ispinde, med 10 bønner limet på hver) for at finde sin løsning. Han er ikke sikker på, hvordan han skal skrive sit arbejde op, så han tegner det (se figur 5). 34 DEL I Talsystemer og regneprocesser

35 Figur 5. Ana skriver som vist i figur 6 og finder svaret 426. Figur 6. Overvej/diskuter 3 Læs beskrivelsen af elevernes besvarelser i eksemplet ovenfor. Overvej, hvordan børnene kan have tænkt, og hvad der er styrker og svagheder i det, de har gjort. Overvej og diskuter, hvordan man som lærer i den 2. klasse kan reagere på den mangfoldighed af måder at arbejde med oplægget på. Eksemplerne ovenfor viser, at børn kan gå til addition og subtraktion på en række forskellige måder. Det ser således ud, som om eleverne har udviklet ganske forskellige procedurer til løsning af de pågældende oplæg. Imidlertid er kompleksiteten 1 Børns talbegreber og regneoperationer 35

36 for eleverne ikke bare knyttet til teknisk at kunne finde summen af nogle tal. De skal også kunne se eller finde frem til, at det overhovedet er det, der er opgaven. De skal altså kunne genkende situationen som en, hvor de indgående tal skal lægges sammen. Det er ikke helt så enkelt, som det lyder, hvilket skyldes, at addition og subtraktion bringes i spil i en række forskellige situationer. Additive situationer når addition og subtraktion kan bringes i spil I eksempel 5 ovenfor er der tale om en additionssituation, hvor børnene skal finde det samlede antal elever på to skoler. Der er således to mængder, nemlig børnene på hver af de to skoler, hvis elementer betragtes under et. Svaret på spørgsmålet, 426 elever, kunne være svar på, hvor mange elever, der skal købes is til ved skolernes fælles idrætsdag. Der er imidlertid andre end den slags situationer, der giver anledning til addition. Fx kan Caroline har 273 kr. Tesfai har 153 kr. mere end Caroline. Hvor mange penge har Tesfai? give anledning til samme addition som ovenfor. Situationen er dog ikke umiddelbart af samme slags, og små børn vil typisk løse den anderledes, end de løser den første. Der er derfor grund til at kategorisere additive situationer, dvs. situationer der kan behandles med addition eller subtraktion. Det har de gjort i et udviklingsprogram, der hedder Cognitively Guided Instruction. Vi skal begynde med at se på et eksempel om Rachel, en elev i 1. klasse (Carpenter m.fl., 1996): Overvej/diskuter 4 Lærer: TJ havde 13 chokoladesmåkager. Han spiste 5 af dem til frokost. Hvor mange småkager har han tilbage? Rachel: [Lægger 13 tællebrikker på bordet, fjerner 5 af dem og tæller resten] Der er 8. Lærer: Fint. Nu skal du se, her er en anden en. Jenelle har 7 trolde i sin samling. Hvor mange flere trolde skal hun købe for at få 11? Rachel: [Lægger 7 tællebrikker på bordet; så lægger hun flere, indtil hun har 11; så tæller hun dem, hun lagde til.] Fire. 36 DEL I Talsystemer og regneprocesser

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse kristine JEss HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner 1. 6. klasse Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott Matematik

Læs mere

Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin

Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin 72497_epsilon_2k.indd 1 17-07-2008 15:20:40 72497_epsilon_2k.indd 2 17-07-2008 15:20:40 Kristine Jess, Jeppe Skott, Hans Christian Hansen og John

Læs mere

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou kristine JEss JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe Geometri 1. 6. klasse Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

MAteMAtik For LærerStUDerenDe

MAteMAtik For LærerStUDerenDe JOhN schou kristine JEss hans christian hansen JEppE skott MAteMAtik For LærerStUDerenDe stokastik 1. 10. klasse Joh n Schou, Kristine Jess, Hans Christian Hansen og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende

Læs mere

Årsplan for 2.kl i Matematik

Årsplan for 2.kl i Matematik Årsplan for 2.kl i Matematik Vi følger matematiksystemet "Matematrix". Her skal vi i år arbejde med bøgerne 2A og 2B. Eleverne i 2. klasse skal i 2. klasse gennemgå de fire regningsarter. Specielt skal

Læs mere

HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE 4. 10. KLASSE

HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE 4. 10. KLASSE HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE GEOMETRI 4. 10. KLASSE Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende

Læs mere

Årsplan for 2. årgang. Kapitel 1: Jubii. Kapitel 2: Mere om positionssystemet

Årsplan for 2. årgang. Kapitel 1: Jubii. Kapitel 2: Mere om positionssystemet Årsplan for. årgang Trix A Kapitel : Jubii Det første kapitel i. klasse samler op på det matematiske stof, som eleverne har lært i. klasse. Jubii giver dermed læreren mulighed for at screene, hvor klassen

Læs mere

tal, algebra og funktioner

tal, algebra og funktioner JOhN schou kristine JEss hans christian hansen JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner 4. 10. klasse Joh n Schou, Kristine Jess, Hans Christian Hansen og Jeppe Skott Matematik

Læs mere

Årsplan for 2. årgang Kapitel 1: Jubii. Kapitel 2: Mere om positionssystemet

Årsplan for 2. årgang Kapitel 1: Jubii. Kapitel 2: Mere om positionssystemet Årsplan for. årgang 08-9 Materialer: Trix A, Trix B samt tilhørende kopiark. Trix træningshæfte. Øvehæfte og 4. Andet relevant materiale. Trix A Kapitel : Jubii Det første kapitel i. klasse samler op på

Læs mere

Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11

Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Vanløse den 6. juli 2010 af Musa Kronholt Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden

Læs mere

Matematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole

Matematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole efter 3.klasse. e efter 6.klasse. e Skole efter 9.klasse. e indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence formulere sig skriftligt og mundtligt

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

tjek.me Forårskatalog 2018 Matematik By Knowmio

tjek.me Forårskatalog 2018 Matematik By Knowmio tjek.me Forårskatalog 2018 Matematik Velkommen til tjek.me forårskatalog for matematik 1. til 9. klasse tjek.me er et online, spilbaseret evalueringsværktøj, som giver indsigt i elevernes progression.

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Folkeskolereformen nye muligheder Hotel Nyborg Strand 23.04.2014

Folkeskolereformen nye muligheder Hotel Nyborg Strand 23.04.2014 Folkeskolereformen nye muligheder Hotel Nyborg Strand 23.04.2014 Nationale mål, resultatmål og Fælles Mål Tre nationale mål 1. Folkeskolen skal udfordre alle elever, så de bliver så dygtige, de kan 2.

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering MULTI 3B Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Andre tal Eleven kan anvende konkrete, visuelle og enkle symbolske repræsentationer (fase

Læs mere

Årsplan for 1.klasse 2018/19 Matematik

Årsplan for 1.klasse 2018/19 Matematik Fagformål Stk. 1. Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Strategier i matematik for mellemtrinnet. 29. Oktober 2018 Birgitte Henriksen, lektor i LU og VU Kirsten Søs Spahn, pædagogisk konsulent, CFU

Strategier i matematik for mellemtrinnet. 29. Oktober 2018 Birgitte Henriksen, lektor i LU og VU Kirsten Søs Spahn, pædagogisk konsulent, CFU Strategier i matematik for mellemtrinnet 29. Oktober 2018 Birgitte Henriksen, lektor i LU og VU Kirsten Søs Spahn, pædagogisk konsulent, CFU Hvad har I læst i kursusopslaget? 2 Hvorfor bliver nogle elever

Læs mere

Reformen. Forenklede Fælles Mål

Reformen. Forenklede Fælles Mål Reformen Forenklede Fælles Mål Læringskonsulenter klar med bistand 17-03-2014 Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? 2014 Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt ikke

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Årsplan Matematrix 3. kl. Kapitel 1: Jubii

Årsplan Matematrix 3. kl. Kapitel 1: Jubii Årsplan Matematrix. kl. A Første halvår Kapitel : Jubii I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i. klasse. Dette er samtidig et redskab for

Læs mere

EN SKOLE FOR LIVET. Uge Emne Mål Materialer/aktiviteter

EN SKOLE FOR LIVET. Uge Emne Mål Materialer/aktiviteter FAG: Matematik KLASSETRIN: 2. Klasse I 2. klasse arbejder vi i grundbogen Kontext+, der er delt i to bøger. Hvert kapitel er beregnet til ca. 4-5 uger. Der vil til hvert kapitel blive brugt supplerende

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Årsplan 2018/19 Matematik 3. årgang. Kapitel 1: Jubii

Årsplan 2018/19 Matematik 3. årgang. Kapitel 1: Jubii Årsplan 08/9 Matematik. årgang TriX A Kapitel : Jubii I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i. klasse. Kapitlet har især fokus på kerneområderne

Læs mere

Matematik 3. klasse v. JEM

Matematik 3. klasse v. JEM Matematik 3. klasse 2017-2018 v. JEM Læringsmål er fortrinsvis taget fra: Undervisningsministeriets Fælles Mål Matematik 2014. Trinmål for faget matematik efter 3. klassetrin. Undervisningen vil indeholde

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering MULTI 3A Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Decimaltal og store tal Eleven kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Aalborg 30. april 2014

Forenklede Fælles Mål. Aalborg 30. april 2014 Forenklede Fælles Mål Aalborg 30. april 2014 Hvorfor nye Fælles Mål? Formål med nye mål Målene bruges ikke tilstrækkeligt i dag Fælles Mål skal understøtte fokus på elevernes læringsudbytte ikke aktiviteter

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Trinmål Matematik. Børnehaveklasse Efter 3. klasse Fagligt bånd. Matematiske kompetencer. Problemløsning. Regnesymboler. Talforståelse Mængder

Trinmål Matematik. Børnehaveklasse Efter 3. klasse Fagligt bånd. Matematiske kompetencer. Problemløsning. Regnesymboler. Talforståelse Mængder Trinmål Matematik Børnehaveklasse Efter 3. klasse Fagligt bånd Evaluering Matematiske kompetencer Talforståelse Mængder Regnesymboler Problemløsning have kendskab til tal og tælleremser opbygge talforståelse

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009

Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler matematiske r og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Årsplan for Matematik 3. klasse Skoleåret 2018/2019

Årsplan for Matematik 3. klasse Skoleåret 2018/2019 Uger Emne Materialer Evaluering 33 Kom godt i gang Hæfter fra matematikfessor.dk Repetition fra 2. klasse Eleverne arbejder med genopfriskning af matematik fra 2. klasse gennem blandede opgaver. 34 TAL

Læs mere

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Matematiske kompetencer. Matematiske emner (tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed). Matematik i anvendelse. Matematiske arbejdsmåder. Tankegangskompetence

Læs mere

MaxiMat og de forenklede Fælles mål

MaxiMat og de forenklede Fælles mål MaxiMat og de forenklede Fælles mål Dette er en oversigt over hvilke læringsmål de enkelte forløb indeholder. Ikke alle forløb er udarbejdet endnu, men i skemaet kan man se alle læringsmålene også de,

Læs mere

Årsplan matematik 5. klasse. Kapitel 1: Godt i gang

Årsplan matematik 5. klasse. Kapitel 1: Godt i gang Årsplan matematik 5. klasse Kapitel : Godt i gang I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i 4. klasse. Kapitlet er udformet som en storyline

Læs mere

Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14:

Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14: Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14: Udgangspunktet bliver en blød screening, der skal synliggøre summen af elevernes standpunkt. Det betyder i realiteten, at der uddeles 4 klasses

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Ringsted Lilleskole, Uffe Skak Årsplan for 5. klasse, matematik Som det fremgår af nedenstående uddrag af undervisningsministeriets publikation om fælles trinmål til matematik efter 6. klasse, bliver faget

Læs mere

Årsplan matematik 8. klasse

Årsplan matematik 8. klasse Årsplan matematik 8. klasse 2019-2020 Eleverne arbejder med grundbogen Matematrix 8. I undervisningen inddrages digitale undervisningsredskaber såsom Geogebra, Wordmat, MatematikFessor, emat, excel og

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Årsplan for skoleåret

Årsplan for skoleåret Årsplan for skoleåret 2018-2019 Matematik i 1. klasse Lærer: Peter Møller Denne årsplan er sidst revideret d. 27.8.18 Generelt Matematik på 1. klassetrin består af fire ugentlige lektioner á 45 minutter;

Læs mere

Årsplan matematik 1.klasse - skoleår 12/13- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 1.klasse - skoleår 12/13- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer BASIS: Klassen består af 26 elever og der er afsat 5 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 1A og 1B, de tilhørende kopisider + CD-rom, Rema samt evt. ekstraopgaver. Derudover vil

Læs mere

Årsplan for matematik 3.klasse 2019/20

Årsplan for matematik 3.klasse 2019/20 Fagformål Stk. 1. Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Positionssystemet, 2 3 uger (7 lektioner), 2. klasse.

Positionssystemet, 2 3 uger (7 lektioner), 2. klasse. Positionssystemet, 2 3 uger (7 lektioner), 2. klasse. FRA FORENKLEDE FÆLLES MÅL Kommunikation vedrører det at udtrykke sig med og om matematik og at sætte sig ind i og fortolke andres udtryk med og om

Læs mere

Fælles Mål Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

ÅRSPLAN M A T E M A T I K

ÅRSPLAN M A T E M A T I K ÅRSPLAN M A T E M A T I K 2013/2014 Klasse: 3.u Lærer: Bjørn Bech 3.u får 5 matematiktimer om ugen: MANDAG TIRSDAG ONSDAG TORSDAG FREDAG Lektion 1 Lektion 2 Lektion 3 Matematik Matematik Lektion 4 Matematik

Læs mere

Årsplan for 3.klasse 2018/19 Matematik

Årsplan for 3.klasse 2018/19 Matematik Fagformål Stk. 1. Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle

Læs mere

Uge Komptencemål Færdigheds- og vidensmål Læringsmål Aktiviteter

Uge Komptencemål Færdigheds- og vidensmål Læringsmål Aktiviteter FAG: Matematik KLASSETRIN: 5. klasse Hvert kapitel i Kontext er beregnet til ca. 5 uger. I kapitlerne regnes henholdsvis i hånden, på lommeregner samt i IT-programmer som GeoGebra og Excel/numbers. Der

Læs mere

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring: BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som

Læs mere

Årsplan i matematik for 1. klasse

Årsplan i matematik for 1. klasse Årsplan i matematik for 1. klasse Der arbejdes med bogsystemet Multi 1A og 1B Periode Emne/ Målet for forløbet er, at eleverne: Handleplan Evaluering fokuspunkt Uge 33-36 Tal bliver fortrolige med matematikbogens

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09

Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09 Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09 Uge Emne Formål Opgaver samt arbejdsområder 33-35 Kendskab og skriftligt arbejde At finde elevernes individuelle niveau samt tilegne mig kendskab til deres

Læs mere

M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE:

M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE: M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE: Udgangspunktet for Hareskovens Lilleskoles matematikundervisning er vores menneskesyn: det hele menneske. Der lægges

Læs mere

Årsplan for matematik i 1. klasse 2011-12

Årsplan for matematik i 1. klasse 2011-12 Årsplan for matematik i 1. klasse 2011-12 Klasse: 1. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 5 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer

Læs mere

At tælle og at regne

At tælle og at regne At tælle og at regne Ditte Thommesen Matematikkonsulent i Vejle Kommune, dimth@vejle.dk Matematisk opmærksomhed At tælle og at regne Hvad er tælle- og regnestrategier? Hvorfor skal vi arbejde med strategier?

Læs mere

ræsonnere og argumentere intuitivt om konkrete matematiske aktiviteter og følge andres mundtlige argumenter (ræsonnementskompetence)

ræsonnere og argumentere intuitivt om konkrete matematiske aktiviteter og følge andres mundtlige argumenter (ræsonnementskompetence) Matematiske kompetencer indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence) løse matematiske problemer knyttet til en kontekst, der giver mulighed

Læs mere

Årsplan for 2. kl. matematik

Årsplan for 2. kl. matematik Undervisningen i 2. kl. tager primært udgangspunkt i matematikbøgerne Kolorit 2A og 2B. Årets emner med delmål Gange (kopiark) ræsonnerer sig frem til multiplikationsalgoritmen i teams, ved hjælp af additionsalgoritmer.

Læs mere

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Ypsilon er alfa og omega

Ypsilon er alfa og omega 92 Ypsilon er alfa og omega Mikael Skånstrøm, VIAUC, læreruddannelsen i Nørre Nissum Per Nygaard Thomsen, VIAUC, læreruddannelsen i Nørre Nissum Anmeldelse: John Schou, Jeppe Skott, Kristine Jess og Hans

Læs mere

Årsplan for 2.klasse 2017/18 Matematik

Årsplan for 2.klasse 2017/18 Matematik Fagformål Stk. 1. Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle

Læs mere

Faglig årsplan for 2. klasse. Matematik

Faglig årsplan for 2. klasse. Matematik 1 Faglig årsplan for 2. klasse Formål for faget matematik: At eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører deres dagligliv... Undervisningen tilrettelægges, så

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

EN SKOLE FOR LIVET ÅRSPLAN 18/19

EN SKOLE FOR LIVET ÅRSPLAN 18/19 ÅRSPLAN 18/19 Lærer: Mia Fag: Matematik 1. klasse I 1. klasse arbejder vi i grundbogen Kontext+, der er delt i to bøger. Hvert kapitel er beregnet til ca. 4-5 uger. Der vil til hvert kapitel blive brugt

Læs mere

Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet

Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet Matematiske kompetencer Trinmål efter 3. klassetrin Trinmål efter 6. klassetrin Trinmål efter 9. klassetrin indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske

Læs mere

MATEMATIK 1. KLASSE. Lærer: Sussi Sønnichsen. Forord til matematik i 1.kl.

MATEMATIK 1. KLASSE. Lærer: Sussi Sønnichsen. Forord til matematik i 1.kl. 2017-18 Lærer: Sussi Sønnichsen Forord til matematik i 1.kl. Vi vil arbejde med bogsystemet Matematrix 1A & 1b, Alinea, samt kopiark til systemet. Jeg vil differentiere undervisningen og vil foruden de

Læs mere

Lærervejledning til Læs selv matematik

Lærervejledning til Læs selv matematik Lærervejledning til Læs selv matematik Målgruppe 4-7. klasse Formål Formålet med "Læs selv matematik" er at føje en ekstra dimension til matematikundervisningen. Med "Læs selv matematik" vil eleverne opleve,

Læs mere

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK) Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog

Læs mere

Hvorfor gør man det man gør?

Hvorfor gør man det man gør? Hvorfor gør man det man gør? Ulla Kofoed, lektor ved Professionshøjskolen UCC Inddragelse af forældrenes ressourcer - en almendidaktisk udfordring Med projektet Forældre som Ressource har vi ønsket at

Læs mere

2. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK!

2. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK! 2014-15 2. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: Sussi Sønnichsen Forord til matematik i 2. Klasse. Vi vil arbejde med bogsystemet Matematrix 2A & 2B, Alinea, samt kopiark til systemet. Jeg vil differentiere

Læs mere

Hvorfor lære matematik? Hvad er matematik?

Hvorfor lære matematik? Hvad er matematik? Hvad er matematik? Matematik er det fag der beskæftiger sig med følgende tre spørgsmål: Hvorfor lære matematik? Fire begrundelsesargumenter: Nytte Dannelse Hvor mange? Hvor stor? Hvilken form? Individ

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

ÅRSPLAN 1. KLASSE MATEMATIK 2016/2017 Eva Bak Nyhuus

ÅRSPLAN 1. KLASSE MATEMATIK 2016/2017 Eva Bak Nyhuus ÅRSPLAN 1. KLASSE MATEMATIK 2016/2017 Eva Bak Nyhuus Formål for faget matematik: At eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører deres dagligliv. Undervisningen

Læs mere

Årsplan for matematik i 3. klasse

Årsplan for matematik i 3. klasse www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk Årsplan for matematik i 3. klasse Mål Eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

8:30-14:30 Sproglig udvikling Kort aktivitet Planlægning af undervisningsforløb Fremlæggelse af undervisningsforløb

8:30-14:30 Sproglig udvikling Kort aktivitet Planlægning af undervisningsforløb Fremlæggelse af undervisningsforløb 8:30-14:30 Sproglig udvikling Kort aktivitet Planlægning af undervisningsforløb Fremlæggelse af undervisningsforløb Kaffepause 10:00-10:15 Frokost 12:15-13:00 Kaffepause 13:45-14:00 SPROGLIG UDVIKLING

Læs mere