Grundlæggende Matematik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Grundlæggende Matematik"

Transkript

1 Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler. Matematiske symboler er grundlaget for matematik og vi bliver nødt til at kende nogle af dem som er vist i tabellen nedenunder. 1

2 Symbol Betydning {} Mængden af Mindre end eller lig med Forskellig fra Cirka lig med Implikationstegn. A B betyder, at hvis udsagnet A er sand, så er også udsagnet B sand Biimplikationstegn. A B betyder, at hvis udsagnet A er sand, så er også udsagnet B sand og omvendt. Der findes eller der eksisterer For alle Og Eller Tilhører Foreningsmængde. A B betyder mængden af alle elementer, som er i mængden A eller som er i mængden B. Fællesmængden. A B betyder alle de elemnter, som er i begge mængder \ Differensmængde En ægte delmængde af. A B betyder at alle A s elementer også er elemnter i mængden B, men at de to mængder ikke en ens En delmængde af. A B betyder at alle A s elementer også er elementer i mængden B. Uendelig Vinkel Tom mængde / Tilhører ikke = Lig med 2

3 2. Tal Tal begrebet har en lang historie som du kan finde en hel masse ud på nettet. De naturlige tal som vi i dag kalder er tælletallene, dvs alle de positive heltal som betegnes med bogstavet N som en mængde. En mængde er en velafgrænset samling af ting, genstand eller objekt som har fælles egenskaber. Vi kan f. eks. lave en mængde af alle biler i danmark, eller en bestem mærke af biler eller en bestem årgang af biler. På samme måde kan vi også gruppere tallene som har fælles egenskaber som vi kalder en talmængde som består af tal. 1.1 De naturlige tal Mængden af de naturlige tal (N=Natural numbers) N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... } Ved hjælp af disse tal kan man udføre regneoperationerne addition og multiplikation. Lad os addere 6 og 3, det giver jo 9 som er i mængden. Eller kan vi multiplicere to tal 12 med 6 giver 72 som også med i mængden. Vi forsøger at udføre regneoperationen subtraktion. Lad os f. eks udføre 3-6 som giver -3. Men -3 er IKKE i mængden. Derfor udvides denne mængde med en anden som hedder de hele tal som betegnes Z og som også indeholder de negative tal. 1.2 De hele tal Mængden af de hele tal (Z=Zahlen) 3

4 Her kan man lægge to tal sammen, trække fra hinanden og gange to tal og havner i den samme mængde. Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,...} Alle de naturlige tal er altså også med i mængden af hele tal, dvs. de naturlige tal N er en delmængde af de hele tal Z. Det kan matematisk skrives som N Z. Kan man udføre regneoperationen division i denne mængde og forvente at resultat også bliver i denne mængde? Lad os prøve at dividere 10 med 2 som giver 5. Hvad med 5 divideres med 10? Tallet 0,5 er i hver fald ikke i denne mængde! Derfor udvides mængden igen med mængden af rationale tal. 1.3 De rationale tal Mængden af de rationale tal (Q=Quotient) Q = { p p Z q Z q 0} q p kaldes tælleren og q er nævneren og vi må kræve q 0. (hvorfor?) De rationale tal er alle tal, der kan skrives som en brøk. Her kan man addere, subtrahere, gange og dividere, dvs. alle de fire regneoperationer kan udføres. Kan man skrive alle tal som en brøk? 1 6, 6 1, 2 7, 11 7, er alle brøker og tallet 4 kan også skrives som en brøk, 4 1 Eller tallet 23 kan skrives som en brøk 23 1 Tallet 0 kan skrives som en brøk 0 1, og tallet 1 kan skrives som en brøk 1 1. Lad os se på nogle eksempler på de rationale tal eller brøker = 0,2 4

5 2 3 = 0, = 0, Hvis vi kun kendte tallet 0, som fortsætter ud i det uendelige, så kunne vi beregne brøken på følgende måde b = 0, b = , Trækkes disse to fra hinanden b = b = = = 6 7 Kan du nu bruge denne metode til at finde brøken af tallet π eller tallet 2? Man kan desværre ikke finde en brøk af tallet π eller 2 da disse IKKE er rational - brøk, tal. Vi bliver nødt til at udvide vores talmængde igen med de reelle tals mængde som også indeholder de ikke ratinonale tal som hedder de irrationale tal. Med de rationale tal i hånden kan man udføre alle fire regneoperationer. dvs. addition, subtraktion,multiplikation og division. 1.4 De reelle tal Mængden af de reelle tal (R = Real numbers) R = Q Mængden af irrationale tal Bemærk nu at 5

6 N Z Q R Mængden af reelle tal R vil her på adgangskursus være den overordnede mængde dvs. mængden bestående af alle tal. Der er faktisk endnu enu en udvidelse af talmængden; de komplekse tal. Vi forsøger e.eks. at løse ligningen som er en andengradsligning x = 0 Vi prøver GeoGebra s solve og csolve kommandoerne. Da vi endu ikke har lært noget om andengradsligninger prøver vi os frem på følgende måde: Solve[x 2 + 1] som giver {} Csolve[x 2 + 1] som giver {x = i,x = i} Som I kan gætte vil kommandoen Csolve ( complex solve) returnere nogle mystiske tegn i som I vil lære noget om først på første semester. Altså ifølge kommandoen Solve findes der ingen reelle løsninger til ligningen. Der må være endu en talmængde som indeholder alle de ovennævnte talmænger. 1.5 De komplekse tal Mængden af alle tal (C = Complex number) C = {a + i b a,b R i = 1} Altså har vi nu følgende N Z Q R C 6

7 Eksempler på mængder Mængden af positive hele tal kan skrives som Z + = {x Z x > 0} Tallet nul er hverken positivt eller negativt og ligger derfor ikke i nogen af mængderne R +,R,Q +,Q,Z +, og Z. Mængden af positive rationale tal Q + = { p q Q p Z q N p q > 0} Mængden af alle hele tal større end 3 A = {x Z x > 3} Mængden af alle positive brøker A = { p q Q p Z q N p q > 0} Mængden af alle tal mindre end 4 A = {x R x < 4} Mængden af alle tal mellem -2 og 4 (-2 er med og 4 er ikke med i mængden) A = {x R 2 x < 4} Mængden af alle tal mellem -8 og -3 (begge er med) A = {x R 8 x 3} 7

8 3. Intervaller Ved et interval forstås en sammenhængende talmængde indenfor de reelle tal. Et eksempel er f.eks. mængden af alle reelle tal mellem 3 og 4 hvor begge tal er inkluderet. {x R 3 x 4} = [3;4] her er der flere eksempler på intervaller. ] 7;8] = {x R 7 < x 8} [0; [= {x R x 0} ] ;12[= {x R x < 12} Som ses af ovenstående, bruges kantede paranteser til at beskrive intervaller. Bemærk at notationen (3, 4) indikerer et punkt i koordinatsystemet. Intervaller kan også vises vha. talakser. Mængden A = {x R 3 < x 6} =] 3;6] kan f.eks. vises på en talakse på følgende måde; 8

9 Den fyldte cirkel indikerer, at tallet 6 A er med i mængden, mens den tomme cirkel indikerer, at tallet 3 ikke er med i mængden, 3 / A. Mængden B = {x R x < 4} =] ;4[ kan skitseres på følgende måde; Når der ikke er nogen cirkel-markering (tom eller udfyldt) til venstre eller højre, betyder det at mængden fortsætter mod uendelig. Øvelse 3.1 Vis følgende mængder som et interval på en talakse ligesom i ovenstående eksempler. 1. A = {x R x 11} 2. B = {x R x > 5} 3. C = {x R 3 x 6} 4. D = {x R 3 < x < 6} 9

10 Øvelse 3.2 Brug definitionen af begrebet grundmængde på side 17 i Bog 1 for at finde grundmængden og løsningsmøngden af følgende ligninger Eksempel: Ligningen 2x + 1 = 11 har grundmængden alle reelle tal dvs. G = R Løsningsmængden bliver 5 fordi ligningen bliver sand når man indsætter tallet 5i x-ens plads. Dvs. L = {5} a) 21 3 y = 15 b) 4 r 2 = 18 c) y = 18 d) 7 s 4 = 25 e) y = 34 f) 5 t + 7 = 42 g) 8 2y = 0 4. Regneregler Man har axiomer (axiomes) som er evig gyldige sætninger i matematik. Et udsagn er en sætning med en veldefineret sandhedsværdi. Aksiomerne er logikkens grundregler som matematikken bygger på. Aksiomerne kan eller skal ikke bevises. De er altid sande. Der er nogle definitioner (definitions) som heller ikke skal bevises. Men sætninger med sandhedsværdi (statements) skal altid bevises inden de bruges. Korollar (corollary) eller Lemma er et tidligere bevis som bruges til at bevise an anden sætning. Forskellen er illustreret nedenunder. I reelle-tals aritmetik bruges følgende regneregler som kaldes axiomer 10

11 a + b = b + a a b = b a a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) a (b + c) = a b c a b c = a (b c) = (a b) c a(b + c) = ab + ac 0 + a = a a + 0 = a 1 a = a a 1 = a Og følgende kaldes definitioner. a + ( a) = 0 a + a = 0 a 1 a = 1 1 a a = 1 Hvis a = b b = c a = c Hvis a < b b < c a < c Hvis a > b b > c a < c Lad os se hvordan man beviser en sætning vha. axiomer og definitioner Sætning 1: Hvis a + c = b + c a = b 11

12 Bevis: a + c = b + c c er et reelt tal som kan lægges til på begge sider af lighedstegnet (a + c) + ( c) = (b + c) + ( c) Vi bruger en af ovenstående axiomer a + [c + ( c)] = b + [c + ( c)] a + 0 = b + 0 a = b Korollar: En sætning som følger direkte fra en anden sætning kaldes korollar eller corollary på engelsk. Hvis c + a = c + b a = b Sætning 2: Hvis a c = b c c 0 a = b Bevis: a c = b c [a c] ( 1 c ) = [b c] (1 c ) 12

13 a [c ( 1 c )] = b [c (1 c )] a 1 = b 1 a = b Korollar: Hvis c a = c b c 0 a = b Lemma: Hvis d + d = d d = 0 Bevis: d + d = d d = 0 + d d + d = 0 + d d = 0 Sætning 3: a 0 =0 0 a = 0 Bevis: = 0 a (0 + 0) = a 0 13

14 a 0 + a 0 = a 0 a 0 = = 0 Nok om beviser! Nu skal vi bruge alle de sætninger og definitioner til at regne opgaver. Øvelse 4.1 Beregn/reducér følgende og kontrollerer vha. CAS (GeoGebra) 1. ( 6) ( 7) ( 2) ( 5) facit: ( 3) ( 2) ( 6) facit: (2xy) ( 6z) ( 2) facit: 72xyz 4. (0,7x) (1,3y) ( 3z) facit:-2,73xyz ( 3) (+6) (+2) ( 5) + ( 7) ( 4) facit: (7p + 3q 9s) ( 5z) facit: z(-35p-15q+45s) 7. (a + 3) (b 3) facit: a(b-3)+3b-9 8. (2c + 4d) (3c + 7d) facit: 6c cd + 28d 2 9. (3a b) (3g 2h) facit: a(9g 6h) + b( 3g + 2h) 10.(a+3c+4x) (x+y) 11.(a b) (a + 3b) (a 3) (a 3b) facit: 4x 2 +x(4y+a+3c)+y(a+3c) facit: a(5b + 3) 3b 2 9b 12. a (a 2 (a 2 (2 a)(3 a) + 3)) facit: a 2 + 6a 3 14

15 4.1 Brøkregneregler a b m = m a b = a m b = m a b a a a b : m = b m = bm1 = a b m m : a m b = 1ab = m b a a b c d = a c b d a b = a c b c m + a b = mb b + a b = mb + a b a c + b c = a + b c a b + c d = ad bd + cb bd ab ac = b c = ad + cb bd Tal multipliceret med en brøk Brøk divideret med et tal Tal divideret med brøk Brøk multipliceret med brøk Tæller og nævner i en brøk ganges med samme tal Tal adderet med brøk Brøk adderet med brøk (nævnerne er ens) Brøk adderet med brøk (nævnerene er forskellige) Forkorte og forlænge brøk PS: 1. Hvis nævneren er nul, så er brøken udefineret. Man må ikke dividere med nul! Hvis d 0 0 d = 0 15

16 Eksempel 1: = = = Eksempel 2: = = 5 12 Eksempel 3: Eksempel 4: = = 25 5 = 125 Eksempel 5: Eksempel 6: 3x + 2 x (3x + 12)(x 1) 1 (x + 1) = x 1 (x + 1)(x 1) (x 1)(x + 1) = (3x + 2)(x 1) (x + 1) (x + 1)(x 1) = 3x2 2x 3 (x + 1)(x 1) 1 x (x + 2) + 3(x + 3) = x + 2 (x + 3)(x + 2 x x + 9 (x + 3)(x + 2) = 4x + 11 (x + 3)(x + 2) x x + a + a x(x a) + a(x + a) = a x (x + a)(a x) = xa x2 + xa + a 2 (a x)(x + a) = a2 + 2ax x 2 (a x)(x + a) = a2 + 2ax x 2 a 2 x 2 16

17 Eksempel 7: ax + 3 2a + 1 a2 x 2 + 3ax (ax + 3) 4a 2 = a (2a + 1) (4a 2 1) (a 2 x 2 + 3ax) = (ax + 3)(2a 1)(2a + 1) (2a + 1)ax(ax + 3) = 2a 1 ax Eksempel 8: x a (a x) = a x (a x) = 1 1 = 1 Eksempel 9: = Eksempel 10: = Eksempel 11: = Eksempel 12: = Eksempel 13: x + 3 x 2 2 x + 2 = Eksempel 14: 1 a + 1 b = 17

18 Eksempel 15: 2x + 3 x (x 3) = Eksempel 16: 1 + 1/2 2 1/2 = Eksempel 17: 1 1/x 1 + 1/x = Eksempel 18: /3 = Eksempel 19: y 2 = Eksempel 20: Eksempel 21: a 2 b 2 ab 2 a + a2 b = 5x + 3 x x x x = Eksempel 22: x + 2 x 2 = 18

19 Eksempel 23: 25yx + 5 3x 1 5xy + 1 9x 2 1 = Eksempel 24: 3x 2 + y 2 3x + y x 2 + y 2 = Vi bruger nu ovenstående regneregler til at regne følgende øvelse. Øvelse 4.2 Beregn/reducér følgende udtryk og kontrollere vha CAS 5a + 5b 1. 10a + 10b 3a + 3b 6. (a + b)(a b) 2. 32a 48b 2a2 7. 2a 6x xc 8. 5x2 y 2 25z 2 y 2 4. c2 bd 2 cbd 9. 3a2 b a x2 + 5x 2x 2 + x 10. a2 + b 2 + 2ab a 2 b 2 Løsning: Vi regner dem i hånden og kontrollerer vha. CAS (5a + 5b) 5(a + b) = (10a + 10b) 10(a + b) = 5 10 = a 48b = 16a 8a 24b 12b = 4a 6b = 2a 3b 19

20 6x 2 30xc = x 5c 4. c 2 bd 2 cbd = cd 5. 10x 2 + 5x 2x 2 + x = 5x(2x + 1) x(2x + 1) = a + 3b 3(a + b) = (a + b)(a b) (a + b)(a b) = 3 (a b) 7. 2a 2 2a = a 8. 5x 2 y 2 25z 2 y 2 = x2 5z a 2 b a 3 = 3b a 10. a 2 + b 2 + 2ab a 2 b 2 20

21 4.2 Potensbegrebet og potensregneregler Ved potensen x n, hvor x R ogn N forstås tallet x gangent med sig selv n gange. Dvs. x n = x x x... x } {{ } Tallet x er grundtallet mens tallet n er eksponenten. Potensregnereglerne m, n N 0 0 = 0 a 1 = a a 0 = 1 for a 0 a m a n = a m+n a m a n = am n a n = 1 a n ( a b )n = an b n (a m ) n = a m n Øvelser i potenser Reducér følgende udtryk ved hjælp af ovenstående regler mest muligt i hånden og kontroller ved hjælp af CAS bagefter 1. x2 (xy) 4 y 3 = x 6 y 2. x3 x 2 x 5 = 1 3 x 3. = 1 x 3 4. x 1 4 y 2 = 1 x 2 y 1 2 2xy 3 21

22 x 3 y 2 x 2 5. xy 2 (x y) 3 x y 7. (7 2 ) = 7 = (x y) 1 x = y 3 y 2 8. (x 9 y 3 ) 2 1 (x 2 ) 3 = y3 x x2 (xy) 4 y 3 = x 6 y 10. x3 x 2 x 5 = 1 7 x 5 x 11. = 14 x x x 4 1 y 2 (x 2 y 1 2 ) 2 = x 15 y x3 y 2 (x y) 2 x 2 xy 2 = x y (x y) x x x 14. 9y 11 y 4 = 3 y 9 (7 2 ) = y xy 3 (x 2 ) 3 3 = x Rod og regneregler for n te rod Regneregler for den n te rod Hvis den n te rod er defineret, så gælder følgende regneregler: n x y = n x n y n x n x y = n y n x = n x 22

23 n x n lige n ulige x > 0 x = = = = = 2 x < 0 1 ikke defineret 3 27 = Det udvidede potensbegreb (vigtigt!) m Z og n N, x > 0 x m n = n x m x 1 n = n x x 1 2 = x Kvadratrod og regneregler for kvadratrod Ved tallet x, hvor x 0 forstås det ikke-negative tal, som ganget med sig selv giver x. Dvs. x x = ( x) 2 = x Dette kan også betyde følgende: y = x y = x 1 2 y 2 = x 23

24 Regneregler for kvadratrod x y = x y x x y = y x 2 = x x n = x x x x x } {{ } x 1 = 1 x x 2 = 1 x 2 x 0 = 1 Eksempel 1: 3 5 = Eksempel 2: 4 1 = 1 4 Eksempel 3: (x + 5) 2 = (x + 5)(x + 5) Eksempel 4: (x + 2) 1 = 1 (x + 2) Eksempel 5: 24

25 x 3 = x x x Eksempel 6: (a + b) 2 = 1 (a + b) 2 = 1 (a + b)(a + b) Eksempel 7: x 2 x 3 = x x x x x = x 2+3 = x 5 Eksempel 8: (x 2 y 3 ) 4 = (x 2 ) 4 (y 3 ) 4 = x 8 y 12 Eksempel 9: x 6 x 6 = x 6+( 5) = x 6 5 = x 1 = x Eksempel 10: x 3 y 2 x 2 y 4 = x3 2 y 2 4 = x y 2 = x y 2 Eksempel 11: 3 x 3 x = 3 x+x = 3 2x Eksempel 12: x 2 + x x = x(x + 1) x = x + 1 Eksempel 13: 26 75x 4 3x2 52y y2 = x2 y 2 x 4 y = 1 2 x2 4 y 2 1 = y 2x 2 25

26 Eksempel 14: (x + y) 3 (x y) x 2 y 2 = (x + y)3 (x y) (x y)(x + y) = (x + y)3 1 (x y) 1 1 = (x + y) 2 Eksempel 15: (x + 1) 2 (x + 1) 10 = (x + 1) 12 Eksempel 16: (a 2 ) 3 (a 3 ) 2 = a 6 a 6 = 0 Eksempel 17: (x + 2)(x + 2) 2 (x + 2) 3 = (x + 2) = (x + 2) 6 Eksempel 18: [(x + a)(x + a) 3 ] 2 = [(x + a) 4 ] 2 = (x + a) 8 Eksemple 19: Eksempel 20: Eksempel 21: Eksempel 22: x 5 x 7 = x5 7 = x 2 = 1 x 2 x 7 x 5 = x7 5 = x 2 (x 2 + 1) 3 (x 2 + 1) 5 = (x2 + 1) 3 5 = (x 2 + 1) 2 1 = (x 2 + 1) 2 26

27 ((2 2 ) 2 ) 2 = (2 4 ) 2 = 2 8 Eksempel 23: (5x 4 ) 2 = 5 2 x 8 = 25x 8 Eksempel 24: ( x3 y 9 x 5 y 15 )2 = x6 y 18 x 10 y 30 = x3 5 y = x 2 y 12 = 1 x 2 1 y 12 Eksempel 25: Eksempel 26: ( x3 y 2 z 1 x 4 y ) 2 = x 6 y 4 z 2 x 8 y 2 = x 6+8 y 4+2 z 2 = x2 y 6 z 2 (( 1 5 ) 1 + ( 1 5 ) 3 ) 1 = 1 1 ( 1 + ( 5 ) ( 1 ) 1 = = = )3 Eksempel 27: Eksempel 28: Eksempel 29: x 5 x 2 x2 y 3 = x5 ( 1 a + 1 b ) 1 = x 2 y 3 x 2 = x5 4 y 3 = x y 3 (( x2 + 2x 4xy )o ) 5 = 1 5 = 1 x 2 y 2x + y2 x 2y = xy 2 + xy 2 = xy 1 ( 1 a + 1 b ) = 1 a + b ab = ab a + b 27

28 4.3.4 Tre vigtige udtryk (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab (a + b)(a b) = a 2 b 2 Øvelse Beregn ved hjælp af ovenstående udtryk følgende og kontroller resultaterne med CAS 1. (a + 2) 2 6. (a 4) 2 2. (3 + b) 2 7. (3 b) 2 3. (2a + 1) 2 8. (3 2x) 2 4. (3x + y) 2 9. (x 2y) 2 5. (4x + 3y) (5x 6y) x 2 12x x x + 9 Eksempler på n te rødder Beregn følgende = 16 3 = 16 3 = = = = = = = 9 7 = 9 7 = = 25 2 = 25 2 = = = =

29 = = = = = = = = = = = ( 3 + 5) = ( 2 5) = ( 2 + 5)( 3 + 7) = ( 5 2 3)( 5 3) = = = = = = = = ( ) 2 = = = = = = = = = = 3 3 = = 3 (3) 3 = = 2 4 = IKKE defineret for reelle tal. Se evt reglerne fra forrige sider! = 2 5 = = 3 (4) 3 = = 4 (2) 4 IKKE defineret for reelle tal = 5 (2) 5 = ( 10) 3 = 10 4 ( 8) 4 = 8 29

30 = = = = = = = = 4 = = 3 8 = ( 64) = ( 64) 1 3 = = = = ( 36) = 1 3 (6 2 ) = 1 3 (6 3 ) = = (x 2 + 1) 3 2 (x 2 + 1) 3 4 = (x 2 + 1) = (x 2 + 1) (x + 1) 5 4 (x + 1) 1 3 x 5 y 3 4 z 8 = (x + 1) = (x + 1) = (x + 1) = ( x 1 2 y 1 5 z 8 4 ) 1 3 = x y z 41. ( 2) 3 = 1 ( 2) 3 = 1 8 = ( 2 7 ) 3 = 1 ( 2 7 )3 = = = (7 2 )3 = x 1 6 y 1 15 z (64 a 12 ) 5 6 = a = a 10 = 6 (2 6 ) 5 a 10 = 6 (2 5 ) 6 a 10 = 2 5 a (3m) 2 ( 2m) 3 = 3 2 m 2 ( 2) 3 m 3 = 72 m (2y 1 4 z)(3y 4 3 z 4 1 ) =6 y z = 6y z 2 3 = 6y 3 z 2 (3x n ) (x 2 ) n 1 = 33 x 3n 27 x3n x 2n = x 2 x 2n x 2 = 27 xn x = 27 x n (n + 1) 1 2 (1 + n) 4 3 = (n + 1) = (n + 1) 4 5 = 4 (n + 1) 5 x 3 + y x 2 y 2 x + y x 2 xy + y 2 = (x + y)(x2 xy + y 2 ) (x y)(x + y) = x + y x y (x + y) (x 2 xy + y 2 ) 30

31 4.4 Numerisk værdi - absolut værdi Vi forestiller os at vi har følgende fortegnslinje. Afstanden mellem tallet nul og tallet 2 er enheder til højre for nullet og igen 2 enheder lang til venstre for tallet nul. Dvs. om man går mod højre eller venstre for tallet nul vil afstanden altid være positiv. Positive og negative reelle tal, placeres i fortegnslinjen og relationerne < og > bruges til at afgøre deres placering på fortegnslinjen i forhold til hinanden. x er et positivt reelt tal hvis x > 0 xer et negativt reelt tal hvis x < 0 Tallet nul er hverken positivt eller negativt! F.eks. 2 = 2, 5 = 5 og 1 5 = 1. Den numeriske værdi af talllet nul er nul. 5 Vi har altså følgende tre tilfælde: 1. x = 2 er ensbetydende med: x = 2 x = 2 31

32 2. x < 2 er ensbetydende med: 2 < x < 2 3. x > 2 er ensbetydende med: 32

33 Eksempel 1: 7 = 7 Eksempel 2: 3 = 3 Eksempel 3: = 11 Eksempel 4: = = 11 Eksempel 5: 2 1 = 2 1 = 2 Eksempel 6: 6 = 6 Eksempel 7: 0 = 0 Eksempel 8: 7 5 = 2 Eksempel 9: 33

34 7 3 = 7 3 = 4 Eksempel 10: 3 4 = 3 4 = 12 Eksempel 11: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Eksempel 12: x = 5 x = 5 x = 5 Eksempel 13: x + 1 = 3 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x = 2 x = 2 Eksempel 14: x 1 = 5 x 1 = 5 x 1 = 5 x = 6 x = 4 Eksempel 15: a < 4 4 < a < 4 Eksempel 16: a 4 4 a 4 Eksempel 17: a 4 a 4 a 4 34

35 Eksempel 18: y > 3 2 y < 3 2 y > 3 2 Eksempel 19: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Eksempel 20: x = 5 6 x = 5 6 x = 5 6 Eksempel 21: 2 t 2 t 2 Eksempel 22: z = 7 z = 7 z = 7 Eksempel 23: x = 1 x = 1 x = 1 x = 1 Eksempel 24: x = 9 x = 9 x = 9 Eksempel 25: k = 3 k = 3 /o Eksempel 26: 35

36 x = 4 x = 4 x = 4 x = 4 Eksempel 27: x + 3 = 4 x = 1 x = 1 x = 1 Eksempel 28: x 2 = 5 x = 7 x = 7 x = 7 Eksempel 29: x + 3 = 3 x + 3 = 3 x + 3 = 3 x = 6 x = 0 Eksempel 30: k + 2 = 6 k + 2 = 6 k + 2 = 6 k = 8 k = 4 Eksempel 31: x + 8 = 6 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 Eksempel 32: 4 p = 0 p = 4 p = 4 p = 4 Helt generelt kan man beskrive den numeriske værdi på følgende måde: x hvis x 0 x = x hvis x < 0 36

37 5. Lineære ligninger 37

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen

Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen Hvad er tal?... 5 Indledning... 5 Emner - 1g... 6 Regning - tal og repræsentationer af tal... 6 Litteratur... 6 Potenstal - definitioner og beviste sandheder... 6 Oversigt

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Snyd af Anders Bodelsen 1967

Snyd af Anders Bodelsen 1967 18-12-2014 SRP-Matematik i litteraturen Snyd af Anders Bodelsen 1967 Indholdsfortegnelse Abstract... 2 Indledning... 3 Anders Bodelsens forfatterskab... 4-5 Analyse af Snyd... 5 Referat... 5-6 Indhold...

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere