Grundlæggende Matematik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Grundlæggende Matematik"

Transkript

1 Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler. Matematiske symboler er grundlaget for matematik og vi bliver nødt til at kende nogle af dem som er vist i tabellen nedenunder. 1

2 Symbol Betydning {} Mængden af Mindre end eller lig med Forskellig fra Cirka lig med Implikationstegn. A B betyder, at hvis udsagnet A er sand, så er også udsagnet B sand Biimplikationstegn. A B betyder, at hvis udsagnet A er sand, så er også udsagnet B sand og omvendt. Der findes eller der eksisterer For alle Og Eller Tilhører Foreningsmængde. A B betyder mængden af alle elementer, som er i mængden A eller som er i mængden B. Fællesmængden. A B betyder alle de elemnter, som er i begge mængder \ Differensmængde En ægte delmængde af. A B betyder at alle A s elementer også er elemnter i mængden B, men at de to mængder ikke en ens En delmængde af. A B betyder at alle A s elementer også er elementer i mængden B. Uendelig Vinkel Tom mængde / Tilhører ikke = Lig med 2

3 2. Tal Tal begrebet har en lang historie som du kan finde en hel masse ud på nettet. De naturlige tal som vi i dag kalder er tælletallene, dvs alle de positive heltal som betegnes med bogstavet N som en mængde. En mængde er en velafgrænset samling af ting, genstand eller objekt som har fælles egenskaber. Vi kan f. eks. lave en mængde af alle biler i danmark, eller en bestem mærke af biler eller en bestem årgang af biler. På samme måde kan vi også gruppere tallene som har fælles egenskaber som vi kalder en talmængde som består af tal. 1.1 De naturlige tal Mængden af de naturlige tal (N=Natural numbers) N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... } Ved hjælp af disse tal kan man udføre regneoperationerne addition og multiplikation. Lad os addere 6 og 3, det giver jo 9 som er i mængden. Eller kan vi multiplicere to tal 12 med 6 giver 72 som også med i mængden. Vi forsøger at udføre regneoperationen subtraktion. Lad os f. eks udføre 3-6 som giver -3. Men -3 er IKKE i mængden. Derfor udvides denne mængde med en anden som hedder de hele tal som betegnes Z og som også indeholder de negative tal. 1.2 De hele tal Mængden af de hele tal (Z=Zahlen) 3

4 Her kan man lægge to tal sammen, trække fra hinanden og gange to tal og havner i den samme mængde. Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,...} Alle de naturlige tal er altså også med i mængden af hele tal, dvs. de naturlige tal N er en delmængde af de hele tal Z. Det kan matematisk skrives som N Z. Kan man udføre regneoperationen division i denne mængde og forvente at resultat også bliver i denne mængde? Lad os prøve at dividere 10 med 2 som giver 5. Hvad med 5 divideres med 10? Tallet 0,5 er i hver fald ikke i denne mængde! Derfor udvides mængden igen med mængden af rationale tal. 1.3 De rationale tal Mængden af de rationale tal (Q=Quotient) Q = { p p Z q Z q 0} q p kaldes tælleren og q er nævneren og vi må kræve q 0. (hvorfor?) De rationale tal er alle tal, der kan skrives som en brøk. Her kan man addere, subtrahere, gange og dividere, dvs. alle de fire regneoperationer kan udføres. Kan man skrive alle tal som en brøk? 1 6, 6 1, 2 7, 11 7, er alle brøker og tallet 4 kan også skrives som en brøk, 4 1 Eller tallet 23 kan skrives som en brøk 23 1 Tallet 0 kan skrives som en brøk 0 1, og tallet 1 kan skrives som en brøk 1 1. Lad os se på nogle eksempler på de rationale tal eller brøker = 0,2 4

5 2 3 = 0, = 0, Hvis vi kun kendte tallet 0, som fortsætter ud i det uendelige, så kunne vi beregne brøken på følgende måde b = 0, b = , Trækkes disse to fra hinanden b = b = = = 6 7 Kan du nu bruge denne metode til at finde brøken af tallet π eller tallet 2? Man kan desværre ikke finde en brøk af tallet π eller 2 da disse IKKE er rational - brøk, tal. Vi bliver nødt til at udvide vores talmængde igen med de reelle tals mængde som også indeholder de ikke ratinonale tal som hedder de irrationale tal. Med de rationale tal i hånden kan man udføre alle fire regneoperationer. dvs. addition, subtraktion,multiplikation og division. 1.4 De reelle tal Mængden af de reelle tal (R = Real numbers) R = Q Mængden af irrationale tal Bemærk nu at 5

6 N Z Q R Mængden af reelle tal R vil her på adgangskursus være den overordnede mængde dvs. mængden bestående af alle tal. Der er faktisk endnu enu en udvidelse af talmængden; de komplekse tal. Vi forsøger e.eks. at løse ligningen som er en andengradsligning x = 0 Vi prøver GeoGebra s solve og csolve kommandoerne. Da vi endu ikke har lært noget om andengradsligninger prøver vi os frem på følgende måde: Solve[x 2 + 1] som giver {} Csolve[x 2 + 1] som giver {x = i,x = i} Som I kan gætte vil kommandoen Csolve ( complex solve) returnere nogle mystiske tegn i som I vil lære noget om først på første semester. Altså ifølge kommandoen Solve findes der ingen reelle løsninger til ligningen. Der må være endu en talmængde som indeholder alle de ovennævnte talmænger. 1.5 De komplekse tal Mængden af alle tal (C = Complex number) C = {a + i b a,b R i = 1} Altså har vi nu følgende N Z Q R C 6

7 Eksempler på mængder Mængden af positive hele tal kan skrives som Z + = {x Z x > 0} Tallet nul er hverken positivt eller negativt og ligger derfor ikke i nogen af mængderne R +,R,Q +,Q,Z +, og Z. Mængden af positive rationale tal Q + = { p q Q p Z q N p q > 0} Mængden af alle hele tal større end 3 A = {x Z x > 3} Mængden af alle positive brøker A = { p q Q p Z q N p q > 0} Mængden af alle tal mindre end 4 A = {x R x < 4} Mængden af alle tal mellem -2 og 4 (-2 er med og 4 er ikke med i mængden) A = {x R 2 x < 4} Mængden af alle tal mellem -8 og -3 (begge er med) A = {x R 8 x 3} 7

8 3. Intervaller Ved et interval forstås en sammenhængende talmængde indenfor de reelle tal. Et eksempel er f.eks. mængden af alle reelle tal mellem 3 og 4 hvor begge tal er inkluderet. {x R 3 x 4} = [3;4] her er der flere eksempler på intervaller. ] 7;8] = {x R 7 < x 8} [0; [= {x R x 0} ] ;12[= {x R x < 12} Som ses af ovenstående, bruges kantede paranteser til at beskrive intervaller. Bemærk at notationen (3, 4) indikerer et punkt i koordinatsystemet. Intervaller kan også vises vha. talakser. Mængden A = {x R 3 < x 6} =] 3;6] kan f.eks. vises på en talakse på følgende måde; 8

9 Den fyldte cirkel indikerer, at tallet 6 A er med i mængden, mens den tomme cirkel indikerer, at tallet 3 ikke er med i mængden, 3 / A. Mængden B = {x R x < 4} =] ;4[ kan skitseres på følgende måde; Når der ikke er nogen cirkel-markering (tom eller udfyldt) til venstre eller højre, betyder det at mængden fortsætter mod uendelig. Øvelse 3.1 Vis følgende mængder som et interval på en talakse ligesom i ovenstående eksempler. 1. A = {x R x 11} 2. B = {x R x > 5} 3. C = {x R 3 x 6} 4. D = {x R 3 < x < 6} 9

10 Øvelse 3.2 Brug definitionen af begrebet grundmængde på side 17 i Bog 1 for at finde grundmængden og løsningsmøngden af følgende ligninger Eksempel: Ligningen 2x + 1 = 11 har grundmængden alle reelle tal dvs. G = R Løsningsmængden bliver 5 fordi ligningen bliver sand når man indsætter tallet 5i x-ens plads. Dvs. L = {5} a) 21 3 y = 15 b) 4 r 2 = 18 c) y = 18 d) 7 s 4 = 25 e) y = 34 f) 5 t + 7 = 42 g) 8 2y = 0 4. Regneregler Man har axiomer (axiomes) som er evig gyldige sætninger i matematik. Et udsagn er en sætning med en veldefineret sandhedsværdi. Aksiomerne er logikkens grundregler som matematikken bygger på. Aksiomerne kan eller skal ikke bevises. De er altid sande. Der er nogle definitioner (definitions) som heller ikke skal bevises. Men sætninger med sandhedsværdi (statements) skal altid bevises inden de bruges. Korollar (corollary) eller Lemma er et tidligere bevis som bruges til at bevise an anden sætning. Forskellen er illustreret nedenunder. I reelle-tals aritmetik bruges følgende regneregler som kaldes axiomer 10

11 a + b = b + a a b = b a a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) a (b + c) = a b c a b c = a (b c) = (a b) c a(b + c) = ab + ac 0 + a = a a + 0 = a 1 a = a a 1 = a Og følgende kaldes definitioner. a + ( a) = 0 a + a = 0 a 1 a = 1 1 a a = 1 Hvis a = b b = c a = c Hvis a < b b < c a < c Hvis a > b b > c a < c Lad os se hvordan man beviser en sætning vha. axiomer og definitioner Sætning 1: Hvis a + c = b + c a = b 11

12 Bevis: a + c = b + c c er et reelt tal som kan lægges til på begge sider af lighedstegnet (a + c) + ( c) = (b + c) + ( c) Vi bruger en af ovenstående axiomer a + [c + ( c)] = b + [c + ( c)] a + 0 = b + 0 a = b Korollar: En sætning som følger direkte fra en anden sætning kaldes korollar eller corollary på engelsk. Hvis c + a = c + b a = b Sætning 2: Hvis a c = b c c 0 a = b Bevis: a c = b c [a c] ( 1 c ) = [b c] (1 c ) 12

13 a [c ( 1 c )] = b [c (1 c )] a 1 = b 1 a = b Korollar: Hvis c a = c b c 0 a = b Lemma: Hvis d + d = d d = 0 Bevis: d + d = d d = 0 + d d + d = 0 + d d = 0 Sætning 3: a 0 =0 0 a = 0 Bevis: = 0 a (0 + 0) = a 0 13

14 a 0 + a 0 = a 0 a 0 = = 0 Nok om beviser! Nu skal vi bruge alle de sætninger og definitioner til at regne opgaver. Øvelse 4.1 Beregn/reducér følgende og kontrollerer vha. CAS (GeoGebra) 1. ( 6) ( 7) ( 2) ( 5) facit: ( 3) ( 2) ( 6) facit: (2xy) ( 6z) ( 2) facit: 72xyz 4. (0,7x) (1,3y) ( 3z) facit:-2,73xyz ( 3) (+6) (+2) ( 5) + ( 7) ( 4) facit: (7p + 3q 9s) ( 5z) facit: z(-35p-15q+45s) 7. (a + 3) (b 3) facit: a(b-3)+3b-9 8. (2c + 4d) (3c + 7d) facit: 6c cd + 28d 2 9. (3a b) (3g 2h) facit: a(9g 6h) + b( 3g + 2h) 10.(a+3c+4x) (x+y) 11.(a b) (a + 3b) (a 3) (a 3b) facit: 4x 2 +x(4y+a+3c)+y(a+3c) facit: a(5b + 3) 3b 2 9b 12. a (a 2 (a 2 (2 a)(3 a) + 3)) facit: a 2 + 6a 3 14

15 4.1 Brøkregneregler a b m = m a b = a m b = m a b a a a b : m = b m = bm1 = a b m m : a m b = 1ab = m b a a b c d = a c b d a b = a c b c m + a b = mb b + a b = mb + a b a c + b c = a + b c a b + c d = ad bd + cb bd ab ac = b c = ad + cb bd Tal multipliceret med en brøk Brøk divideret med et tal Tal divideret med brøk Brøk multipliceret med brøk Tæller og nævner i en brøk ganges med samme tal Tal adderet med brøk Brøk adderet med brøk (nævnerne er ens) Brøk adderet med brøk (nævnerene er forskellige) Forkorte og forlænge brøk PS: 1. Hvis nævneren er nul, så er brøken udefineret. Man må ikke dividere med nul! Hvis d 0 0 d = 0 15

16 Eksempel 1: = = = Eksempel 2: = = 5 12 Eksempel 3: Eksempel 4: = = 25 5 = 125 Eksempel 5: Eksempel 6: 3x + 2 x (3x + 12)(x 1) 1 (x + 1) = x 1 (x + 1)(x 1) (x 1)(x + 1) = (3x + 2)(x 1) (x + 1) (x + 1)(x 1) = 3x2 2x 3 (x + 1)(x 1) 1 x (x + 2) + 3(x + 3) = x + 2 (x + 3)(x + 2 x x + 9 (x + 3)(x + 2) = 4x + 11 (x + 3)(x + 2) x x + a + a x(x a) + a(x + a) = a x (x + a)(a x) = xa x2 + xa + a 2 (a x)(x + a) = a2 + 2ax x 2 (a x)(x + a) = a2 + 2ax x 2 a 2 x 2 16

17 Eksempel 7: ax + 3 2a + 1 a2 x 2 + 3ax (ax + 3) 4a 2 = a (2a + 1) (4a 2 1) (a 2 x 2 + 3ax) = (ax + 3)(2a 1)(2a + 1) (2a + 1)ax(ax + 3) = 2a 1 ax Eksempel 8: x a (a x) = a x (a x) = 1 1 = 1 Eksempel 9: = Eksempel 10: = Eksempel 11: = Eksempel 12: = Eksempel 13: x + 3 x 2 2 x + 2 = Eksempel 14: 1 a + 1 b = 17

18 Eksempel 15: 2x + 3 x (x 3) = Eksempel 16: 1 + 1/2 2 1/2 = Eksempel 17: 1 1/x 1 + 1/x = Eksempel 18: /3 = Eksempel 19: y 2 = Eksempel 20: Eksempel 21: a 2 b 2 ab 2 a + a2 b = 5x + 3 x x x x = Eksempel 22: x + 2 x 2 = 18

19 Eksempel 23: 25yx + 5 3x 1 5xy + 1 9x 2 1 = Eksempel 24: 3x 2 + y 2 3x + y x 2 + y 2 = Vi bruger nu ovenstående regneregler til at regne følgende øvelse. Øvelse 4.2 Beregn/reducér følgende udtryk og kontrollere vha CAS 5a + 5b 1. 10a + 10b 3a + 3b 6. (a + b)(a b) 2. 32a 48b 2a2 7. 2a 6x xc 8. 5x2 y 2 25z 2 y 2 4. c2 bd 2 cbd 9. 3a2 b a x2 + 5x 2x 2 + x 10. a2 + b 2 + 2ab a 2 b 2 Løsning: Vi regner dem i hånden og kontrollerer vha. CAS (5a + 5b) 5(a + b) = (10a + 10b) 10(a + b) = 5 10 = a 48b = 16a 8a 24b 12b = 4a 6b = 2a 3b 19

20 6x 2 30xc = x 5c 4. c 2 bd 2 cbd = cd 5. 10x 2 + 5x 2x 2 + x = 5x(2x + 1) x(2x + 1) = a + 3b 3(a + b) = (a + b)(a b) (a + b)(a b) = 3 (a b) 7. 2a 2 2a = a 8. 5x 2 y 2 25z 2 y 2 = x2 5z a 2 b a 3 = 3b a 10. a 2 + b 2 + 2ab a 2 b 2 20

21 4.2 Potensbegrebet og potensregneregler Ved potensen x n, hvor x R ogn N forstås tallet x gangent med sig selv n gange. Dvs. x n = x x x... x } {{ } Tallet x er grundtallet mens tallet n er eksponenten. Potensregnereglerne m, n N 0 0 = 0 a 1 = a a 0 = 1 for a 0 a m a n = a m+n a m a n = am n a n = 1 a n ( a b )n = an b n (a m ) n = a m n Øvelser i potenser Reducér følgende udtryk ved hjælp af ovenstående regler mest muligt i hånden og kontroller ved hjælp af CAS bagefter 1. x2 (xy) 4 y 3 = x 6 y 2. x3 x 2 x 5 = 1 3 x 3. = 1 x 3 4. x 1 4 y 2 = 1 x 2 y 1 2 2xy 3 21

22 x 3 y 2 x 2 5. xy 2 (x y) 3 x y 7. (7 2 ) = 7 = (x y) 1 x = y 3 y 2 8. (x 9 y 3 ) 2 1 (x 2 ) 3 = y3 x x2 (xy) 4 y 3 = x 6 y 10. x3 x 2 x 5 = 1 7 x 5 x 11. = 14 x x x 4 1 y 2 (x 2 y 1 2 ) 2 = x 15 y x3 y 2 (x y) 2 x 2 xy 2 = x y (x y) x x x 14. 9y 11 y 4 = 3 y 9 (7 2 ) = y xy 3 (x 2 ) 3 3 = x Rod og regneregler for n te rod Regneregler for den n te rod Hvis den n te rod er defineret, så gælder følgende regneregler: n x y = n x n y n x n x y = n y n x = n x 22

23 n x n lige n ulige x > 0 x = = = = = 2 x < 0 1 ikke defineret 3 27 = Det udvidede potensbegreb (vigtigt!) m Z og n N, x > 0 x m n = n x m x 1 n = n x x 1 2 = x Kvadratrod og regneregler for kvadratrod Ved tallet x, hvor x 0 forstås det ikke-negative tal, som ganget med sig selv giver x. Dvs. x x = ( x) 2 = x Dette kan også betyde følgende: y = x y = x 1 2 y 2 = x 23

24 Regneregler for kvadratrod x y = x y x x y = y x 2 = x x n = x x x x x } {{ } x 1 = 1 x x 2 = 1 x 2 x 0 = 1 Eksempel 1: 3 5 = Eksempel 2: 4 1 = 1 4 Eksempel 3: (x + 5) 2 = (x + 5)(x + 5) Eksempel 4: (x + 2) 1 = 1 (x + 2) Eksempel 5: 24

25 x 3 = x x x Eksempel 6: (a + b) 2 = 1 (a + b) 2 = 1 (a + b)(a + b) Eksempel 7: x 2 x 3 = x x x x x = x 2+3 = x 5 Eksempel 8: (x 2 y 3 ) 4 = (x 2 ) 4 (y 3 ) 4 = x 8 y 12 Eksempel 9: x 6 x 6 = x 6+( 5) = x 6 5 = x 1 = x Eksempel 10: x 3 y 2 x 2 y 4 = x3 2 y 2 4 = x y 2 = x y 2 Eksempel 11: 3 x 3 x = 3 x+x = 3 2x Eksempel 12: x 2 + x x = x(x + 1) x = x + 1 Eksempel 13: 26 75x 4 3x2 52y y2 = x2 y 2 x 4 y = 1 2 x2 4 y 2 1 = y 2x 2 25

26 Eksempel 14: (x + y) 3 (x y) x 2 y 2 = (x + y)3 (x y) (x y)(x + y) = (x + y)3 1 (x y) 1 1 = (x + y) 2 Eksempel 15: (x + 1) 2 (x + 1) 10 = (x + 1) 12 Eksempel 16: (a 2 ) 3 (a 3 ) 2 = a 6 a 6 = 0 Eksempel 17: (x + 2)(x + 2) 2 (x + 2) 3 = (x + 2) = (x + 2) 6 Eksempel 18: [(x + a)(x + a) 3 ] 2 = [(x + a) 4 ] 2 = (x + a) 8 Eksemple 19: Eksempel 20: Eksempel 21: Eksempel 22: x 5 x 7 = x5 7 = x 2 = 1 x 2 x 7 x 5 = x7 5 = x 2 (x 2 + 1) 3 (x 2 + 1) 5 = (x2 + 1) 3 5 = (x 2 + 1) 2 1 = (x 2 + 1) 2 26

27 ((2 2 ) 2 ) 2 = (2 4 ) 2 = 2 8 Eksempel 23: (5x 4 ) 2 = 5 2 x 8 = 25x 8 Eksempel 24: ( x3 y 9 x 5 y 15 )2 = x6 y 18 x 10 y 30 = x3 5 y = x 2 y 12 = 1 x 2 1 y 12 Eksempel 25: Eksempel 26: ( x3 y 2 z 1 x 4 y ) 2 = x 6 y 4 z 2 x 8 y 2 = x 6+8 y 4+2 z 2 = x2 y 6 z 2 (( 1 5 ) 1 + ( 1 5 ) 3 ) 1 = 1 1 ( 1 + ( 5 ) ( 1 ) 1 = = = )3 Eksempel 27: Eksempel 28: Eksempel 29: x 5 x 2 x2 y 3 = x5 ( 1 a + 1 b ) 1 = x 2 y 3 x 2 = x5 4 y 3 = x y 3 (( x2 + 2x 4xy )o ) 5 = 1 5 = 1 x 2 y 2x + y2 x 2y = xy 2 + xy 2 = xy 1 ( 1 a + 1 b ) = 1 a + b ab = ab a + b 27

28 4.3.4 Tre vigtige udtryk (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab (a + b)(a b) = a 2 b 2 Øvelse Beregn ved hjælp af ovenstående udtryk følgende og kontroller resultaterne med CAS 1. (a + 2) 2 6. (a 4) 2 2. (3 + b) 2 7. (3 b) 2 3. (2a + 1) 2 8. (3 2x) 2 4. (3x + y) 2 9. (x 2y) 2 5. (4x + 3y) (5x 6y) x 2 12x x x + 9 Eksempler på n te rødder Beregn følgende = 16 3 = 16 3 = = = = = = = 9 7 = 9 7 = = 25 2 = 25 2 = = = =

29 = = = = = = = = = = = ( 3 + 5) = ( 2 5) = ( 2 + 5)( 3 + 7) = ( 5 2 3)( 5 3) = = = = = = = = ( ) 2 = = = = = = = = = = 3 3 = = 3 (3) 3 = = 2 4 = IKKE defineret for reelle tal. Se evt reglerne fra forrige sider! = 2 5 = = 3 (4) 3 = = 4 (2) 4 IKKE defineret for reelle tal = 5 (2) 5 = ( 10) 3 = 10 4 ( 8) 4 = 8 29

30 = = = = = = = = 4 = = 3 8 = ( 64) = ( 64) 1 3 = = = = ( 36) = 1 3 (6 2 ) = 1 3 (6 3 ) = = (x 2 + 1) 3 2 (x 2 + 1) 3 4 = (x 2 + 1) = (x 2 + 1) (x + 1) 5 4 (x + 1) 1 3 x 5 y 3 4 z 8 = (x + 1) = (x + 1) = (x + 1) = ( x 1 2 y 1 5 z 8 4 ) 1 3 = x y z 41. ( 2) 3 = 1 ( 2) 3 = 1 8 = ( 2 7 ) 3 = 1 ( 2 7 )3 = = = (7 2 )3 = x 1 6 y 1 15 z (64 a 12 ) 5 6 = a = a 10 = 6 (2 6 ) 5 a 10 = 6 (2 5 ) 6 a 10 = 2 5 a (3m) 2 ( 2m) 3 = 3 2 m 2 ( 2) 3 m 3 = 72 m (2y 1 4 z)(3y 4 3 z 4 1 ) =6 y z = 6y z 2 3 = 6y 3 z 2 (3x n ) (x 2 ) n 1 = 33 x 3n 27 x3n x 2n = x 2 x 2n x 2 = 27 xn x = 27 x n (n + 1) 1 2 (1 + n) 4 3 = (n + 1) = (n + 1) 4 5 = 4 (n + 1) 5 x 3 + y x 2 y 2 x + y x 2 xy + y 2 = (x + y)(x2 xy + y 2 ) (x y)(x + y) = x + y x y (x + y) (x 2 xy + y 2 ) 30

31 4.4 Numerisk værdi - absolut værdi Vi forestiller os at vi har følgende fortegnslinje. Afstanden mellem tallet nul og tallet 2 er enheder til højre for nullet og igen 2 enheder lang til venstre for tallet nul. Dvs. om man går mod højre eller venstre for tallet nul vil afstanden altid være positiv. Positive og negative reelle tal, placeres i fortegnslinjen og relationerne < og > bruges til at afgøre deres placering på fortegnslinjen i forhold til hinanden. x er et positivt reelt tal hvis x > 0 xer et negativt reelt tal hvis x < 0 Tallet nul er hverken positivt eller negativt! F.eks. 2 = 2, 5 = 5 og 1 5 = 1. Den numeriske værdi af talllet nul er nul. 5 Vi har altså følgende tre tilfælde: 1. x = 2 er ensbetydende med: x = 2 x = 2 31

32 2. x < 2 er ensbetydende med: 2 < x < 2 3. x > 2 er ensbetydende med: 32

33 Eksempel 1: 7 = 7 Eksempel 2: 3 = 3 Eksempel 3: = 11 Eksempel 4: = = 11 Eksempel 5: 2 1 = 2 1 = 2 Eksempel 6: 6 = 6 Eksempel 7: 0 = 0 Eksempel 8: 7 5 = 2 Eksempel 9: 33

34 7 3 = 7 3 = 4 Eksempel 10: 3 4 = 3 4 = 12 Eksempel 11: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Eksempel 12: x = 5 x = 5 x = 5 Eksempel 13: x + 1 = 3 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x = 2 x = 2 Eksempel 14: x 1 = 5 x 1 = 5 x 1 = 5 x = 6 x = 4 Eksempel 15: a < 4 4 < a < 4 Eksempel 16: a 4 4 a 4 Eksempel 17: a 4 a 4 a 4 34

35 Eksempel 18: y > 3 2 y < 3 2 y > 3 2 Eksempel 19: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Eksempel 20: x = 5 6 x = 5 6 x = 5 6 Eksempel 21: 2 t 2 t 2 Eksempel 22: z = 7 z = 7 z = 7 Eksempel 23: x = 1 x = 1 x = 1 x = 1 Eksempel 24: x = 9 x = 9 x = 9 Eksempel 25: k = 3 k = 3 /o Eksempel 26: 35

36 x = 4 x = 4 x = 4 x = 4 Eksempel 27: x + 3 = 4 x = 1 x = 1 x = 1 Eksempel 28: x 2 = 5 x = 7 x = 7 x = 7 Eksempel 29: x + 3 = 3 x + 3 = 3 x + 3 = 3 x = 6 x = 0 Eksempel 30: k + 2 = 6 k + 2 = 6 k + 2 = 6 k = 8 k = 4 Eksempel 31: x + 8 = 6 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 Eksempel 32: 4 p = 0 p = 4 p = 4 p = 4 Helt generelt kan man beskrive den numeriske værdi på følgende måde: x hvis x 0 x = x hvis x < 0 36

37 5. Lineære ligninger 37

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point: Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Matematik på 9. og 10. klassetrin

Matematik på 9. og 10. klassetrin Matematik på 9. og 10. klassetrin Hayati Balo, AAMS, Forår 2013 Baseret på 9. klasse og 10. klasse udvidet kursus (Sigma), 1. udg. 8. oplæg 1986 og 1. udg. 6. oplæg 1986, af Henry Schultz, Johan Jacobsen,

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere