Mikro II, Øvelser 6. Mikro II 2018I Øvelser 6, side 1

Transkript

1 Mikro II 2018I Øvelser 6, side 1 Mikro II, Øvelser 6 1. Virksomhederne A og B roducerer hver 80 enheder af et forurenende affaldsstof. Regeringen ønsker at reducere forureningen, men grænseomkostningerne ved reduktion af forureningen er givet ved x A for virksomhed A og ved x B for virksomhed B, hvor x A og x B er reduktionen i forurening for de to virksomheder. Samfundets grænsenytte af forureningsbekæmelse er givet ved 590 3x T, hvor x T er samlet reduktion i forurening. (a) Hvad er det otimale niveau af forureningsreduktion i hver virksomhed? Da grænseomkostning ved orensning skal være den samme for begge virksomheder i otimum, har vi x A = X B eller x A = x B. Indsættes det i ligningen x B = 590 3(x A + x B ) (1) (grænseomkostning skal være lig grænsenytte) fås x B = 40, og dermed x A = 70. (b) Hvor stor er den samlede forurening i samfundsotimum? Der roduceres 80 enheder forurening i hver virksomhed, og der reduceres med henholdsvis 70 og 40, så samlet forurening er = 50 enheder. (c) Hvorfor er det samfundsmæssigt inefficient at sætte lige store kvoter for forurening for de to virksomheder? Det følger af at virksomhederne har forskellige omkostninger for bekæmelse af forurening, og samfundets nyttetab ved forurening afhænger ikke af, hvor den kommer fra. (d) Hvorledes kan otimum nås hvis virksomhederne får lige store kvoter men får tilladelse til at handle med dem? Hvis der etableres et marked for forureningsrettigheder, skal risen sættes til grænseomkostningen i otimum, dvs = 260. Hvis begge virksomheder får omsættelige forureningsrettigheder svarende til 25 enheder og dermed kun skal reducere med = 55, kan A sælge 15 af disse for mere, end det vil koste at rense disse 15 enheder, og B vil med fordel købe disse 15 til risen 260 fremfor selv at rense o. virksomhed (e) Kan samfundsotimum onås gennem afgifter/subsidier? En afgift fro udsli å 260 vil betyde, at A vil foretrække at rense o selv så længe udsliet ikke overstiger 70, hvorefter de vil stoe reduktionen og betale afgiten, og tilsvarende vil virksomhed B selv bekæme udsliet o til 40. Afgiften understørrer således den otimale forurening. 2. En tøjbutik og en juveler har begge til huse i et mindre butikscenter. Antallet af kunder, som kommer til butikscentret for at handle i en af disse butikker afhænger af butikkens reklameudgifter. Den enkelte butik får også kunder, som egentlig kom for at handle i nabobutikken.

2 Mikro II 2018I Øvelser 6, side 2 Lad x t og x j være henholdsvis tøjbutikkens og juvelerens reklameudgifter. Det antages, at de to virksomheders nettorofit kan skrives som Π t (x t, x j ) = (60 + x j )x t 2x 2 t, Π j (x t, x j ) = (105 + x t )x j 2x 2 j. (a) Hvis hver butik regner med at den anden butiks reklameudgifter er uafhængige af dens egne, hvad er da en ligevægt for de to butikker? For givet x j er førsteordensbetingelsen for maximum i x t 60 + x j 4x t = 0, og tilsvarende er førsteordensbetingelsen for maximum i x j for fastholdt x t x t 4x j = 0. De to ligninger har løsning x t = 23, x j = 32. (b) Hvor stor en ekstra rofit vil en krones ekstra reklame for tøjbutikken give juveleren? Og tilsvarende, hvor stor en ekstra rofit får tøjbutikken r. krones reklame hos juveleren? Her indsættes i de afledede af rofitfunktionerne, og man får i ligevægten at dπ j dx t = x j = 32, dπ t dx j = x t = 23. (c) Antag nu at de to butikker fusionerer således at de har samme ejer. Vil den nye ejer ønske at ændre å de to butikkers reklameindsats og i så fald, hvordan? Den fusionerede virksomhed skal maximere Π(x t, x j ) = Π i (x t, x j )+Π j (x t, x j ) mht. x t og x j, førsteordensbetingelserne er dπ dx t = 60 + x j 4x t + x j = 0 dπ dx j x t 4x j + x t = 0, med løsning x t = 37, 5, x j = 45. Der vil derfor blive ændret ganske meget i reklameindsatsen, som tidligere var hæmmet af at den enes udgifter kom den anden til gode uden modydelse. 3. Betragt en økonomi med en rivat vare x og et offentligt gode q. Der er N individer,

3 Mikro II 2018I Øvelser 6, side 3 og de har alle en initialbeholdning ω i bestående af 10 enheder af det rivate gode. Deres ræferencer er beskrevet ved nyttefunktionen u i (x i, q) = x i + θ i ln q, hvor x i er forbruget af den rivate vare og q mængden af offentligt gode til rådighed. Produktionen af offentligt gode finder sted i en teknologi hvor én enhed af rivat vare bliver til én enhed offentligt gode. (a) Find en Pareto-otimal allokering i denne økonomi. Hvorledes afhænger den af N? I en Pareto-otimal allokering med offentligt gode skal der gælde at N u j2 u j=1 j1 = 1 (summen af MRS i forbruget skal være lige med MRS i roduktionen), og undsættes u j2 u j11 = θ j q får vi at roduktionen af offentligt gode q = 10N N j=1 x i skal være lige med N j=1 θ j. Enhver fordeling af resten mellem individerne giver en Pareto-otimal allokering. Den afhænger indirekte af N, nemlig gennem summen af alle θ j. (b) Antag at hvert individ samtidig donerer en vis del af sin initialbeholdning til roduktion af offentligt gode og beholder resten til forbrug. Find en Nash ligevægt. Afhænger denne af N? Den enkeltes nytte er u i (10 t i, N j=1 t j ), og for givne t j, j i, vil der i maximum mht. t i gælde at u i1 + u i2 = 0, så at MRS bliver 1, hvilket i vort tilfælde betyder at q = θ i. Den kan ikke ofyldes hvis θ i ikke er den samme for alle i, så i vi får en randløsning, hvor t i = 0 medmindre θ i = min j θ j og q = min j θ j. Nash ligevægten er i rinciet uafhængig af N. (c) Vi indfører nu en regering, som beskatter hvert individ med et beløb e og bruger Ne enheder af den rivate vare til at roducere offentligt gode. Individerne beslutter dernæst, hvor meget de yderligere vil bruge til roduktion af offentligt gode. Hvor meget vil offentligt gode vil blive roduceret ialt? Situationen er som før, kun individerne med mindste θ i vil bidrage frivilligt, og endda kun hvis forsyningen fra det offentlige alene Ne er mindre end θ i. (d) Regeringen beslutter at indføre en skattesats τ, som bruges til at forsyne individerne med offentligt gode, mens de ikke længere selv er engageret i denne roduktion. Hvorledes skal τ sættes for at onå efficiens? Vi ved at roduktio-

4 Mikro II 2018I Øvelser 6, side 4 nen af offentligt gode skal være lig med N i=1 θ i, så τ skal fastsættes således at τ N i=1 ω i = N N i=1 θ i i=1 θ i, dvs. τ = N. i=1 ω i AFLEVERINGSOPGAVE En restaurant i byen er kendt for ikke at ville lave særskilte regninger til selskaber, som siser sammen. Efter at en grue har bestilt og sist ved samme bord i restauranten, får de en samlet regning for hele gruen. Det er blevet antydet, at restauranten har valgt denne fremgangsmåde, fordi de fleste gruer vil være tilbøjelige til at dele regningen lige, således at hver erson betaler det samme uafhængigt af, hvem der bestilte mere eller mindre. Og hvis det er tilfældet, vil hver enkelt gæst være tilbøjelig til at bestille mere end hvis gæsten fik sin egen regning. Analysér situationen ved følgende model: Der er n gæster i en grue, hver har en nyttefunktion af tyen u i (x i, m i ) = a i ln x i + m i, hvor x i er mængden af føde bestilt af gæsten (det er en lidt simel restaurant) og m i er gæstens beholdning af kontanter efter besøget. Restauranten okræver beløbet r. enhed føde serveret, og dens overskud vokser med dens salg af føde ved risen. Hver gæst ved, at man betaler for samme andel af den samlede bestilling. (a) Sammenlign resultatet under dette arrangement med resultatet i tilfældet, hvor hver gæst betaler sin egen bestilling. Ved bestilling x i for i = 1,..., n, betales enten (1) i fællesskab 1 n n i=1 x i eller (2) individuelt x i. Den endelige nytte bliver da enten (1)a i ln x i 1 n n i=1 x i eller (2) a i ln x i x i. Den nyttemaximerende gæst vil da vælge således at førsteordensbetingelsen er ofyldt, hvilket i de to tilfælde betyder at (1) a i x i n = 0 eller x i = na i (2) a i = 0 eller x i = a i x i Der vil således blive bestilt væsentlig mere føde i situation (1) end i (2). (b) Hvordan vil restaurantens rofit og gæsternes nytte være i de to tilfælde? Det er olagt at restaurantens rofit vil være væsentlig større i (1) end i (2). For at finde gæstens nytte indsættes den maximerende ( ) bestilling og betaling i n nyttefunktionen, så vi får i tilfælde (1) nytten a i ln 1 n ( ) n nai i=1 = a i (ln n ( ) 1 ln n), og i tilfælde (2) a i ln a i = a i ( ln 1). For n > 1 er nytten større i (2) end i (1). (c) Kan der være alternative arrangementer, som stiller gæsterne bedre end nogle

5 Mikro II 2018I Øvelser 6, side 5 af de to nævnte? Nej, ikke som modellen er secificeret, for der er ikke nogen externaliteter i selve teknologien, det er kun restauranten, der åstår, at det er mere bekvemt med fælles betaling. Dermed er modellen helt standard, og individual betaling, dvs. (2), giver Pareto otimum.