Mikro II, Øvelser 4. 0, 002x 1 + 0, 0034x 2 = 100

Transkript

1 Mikro II 018I Øvelser 4, side 1 Mikro II, Øvelser 4 1. To virksomheder konkurrerer på et marked, hvor forbrugernes efterspørgsel er tilnærmelsesvis lineær, og hvor der maximalt kan sælges enheder, mens efterspørgslen falder bort når prisen overstiger 100. De to virksomheder har faste omkostninger af størrelsen 10 og 8, og de variable omkostninger er kvadratiske i output. Det vides at omkostningerne ved produktion af 100 enheder er 0 i virksomhed 1 og i virksomhed. (a) Find Cournot-Nash ligevægten, når virksomhederne vælger mængder. Den inverse efterspørgselsfunktion har form p = 100 0, 001 x og de variable omkostninger har form TVCx = ax, så vi finder fra 0 = 10 + a og = 8 + a at a 1 = 0, 001 og a = 0, Profitten i virksomhederne er henholdsvis 100 0, 001x 1 0, 001x 10 0, 001x 1 og 100 0, 001x 1 0, 001x 8 0, 0014x, og førsteordensbetingelserne giver 0, 003x 1 + 0, 001x = 100 0, 001x 1 + 0, 0034x = 100 som har (afrundet) løsning x 1 = og x = til prisen 5,. (b) Find Bertrand-Nash-ligevægten, hvor virksomhederne konkurrerer på priser. Virksomhederne vil konkurrere hinanden ned til en pris som er lig med grænseomkostningerne for begge, dvs. 0, 001x 1 = 0, 0014x = 100 0, 001(x 1 + x ) med løsning (tilnærmet) x 1 = og x = Prisen bliver 36, 8. Virksomhederne er overvejer et samarbejde, idet de forventer at kunne opnå en større profit ved koordineret valg af mængder. (c) Hvorledes skal de vælge output, hvis den fælles gevinst skal være størst mulig? Virksomhederne skal vælge produktion x 1 og x så at den fælles profit (x 1 + x )(100 0, 001(x 1 + x )) 10 0, 001x 1 8 0, 0014x skal maximeres. Førsteordensbetingelserne er 0, 003x 1 + 0, 00x = 100 0, 00x 1 + 0, 0034x = 100 med løsning x 1 =.600 og x = til pris 61, 3.. Vi betragter et marked med lineær efterspørgsel, hvor vi har valgt enheder

2 Mikro II 018I Øvelser 4, side således at den inverse efterspørgsel har formen p = 1 q, hvor p er prisen og q den solgte mængde. Varen skal indkøbes fra grossister om morgenen og sælges i dagens løb. Indkøbsprisen er c pr. enhed af varen, og virksomhederne konkurrerer på deres pris. (a) Forklar, at i denne situation vil virksomhed i vælge indkøbet q i således, at den resulterende profit er størst mulig givet den andens indkøb q j, i, j = 1,, i j, og find ligevægten. Virksomhed vil underbyde den anden hvis prisen er højere end c og virksomheden kan sælge mere, så det er indkøbene q i, der er de afgørende variable. Ved valget q j hos modparten ved virksomhed i, at j vil gå med ned i pris og sælge q j, derefter vil de ikke kunne sælge mere. Så virksomhed i vil vælge q i = 1 c q j, så længe q j 1 c og 0 ellers. (b) Find ligevægten på markedet. I den symmetriske ligevægt sættes q i = q j = q og man får q = 1 c 3. Der indføres nu en ordning, hvor virksomhed 1 indkøber først hos grossisten, hvorefter den anden virksomhed foretager sit indkøb med kendskab til, hvad virksomhed 1 har valgt. (c) Find en ligevægt under disse betingelser. Sammenlign med ligevægten i (b). Virksomhed s svar på indkøbet q 1 er q = 1 c q 1, og afsætningskurven får formen ( p = 1 q c 1 ) 1 = 1 + c q 1. Den optimale mængde findes som halvdelen af den værdi af q 1 for hvilken højresiden er = c, dvs. q 1 = 1 c, og vi får q = 1 c To issælgere skal forsyne alle badegæster på en badestrand af længden 1 med is. Vi antager, at kunderne er placeret helt jævnt på stranden (dvs. fra 0 til 1 på en linie), og at alle skal have netop 1 is. Der er en transportomkostning på tx for kunden placeret i afstand x fra iskiosken. Issalget har været varetaget af kommunen, som har bestemt både prisen og placeringen af iskiosken. (a) Hvordan har kommunen placeret iskiosken, når den har ønsket at holde kundernes transportomkostninger så lave som muligt? Da transportomkostningerne stiger med kvadratet på afstanden, skal man holde største afstand så lille som muligt, dvs. kioskerne placeres i 1 4 og 3 4. Efter en privatiseringsrunde er issalget blevet overtaget af to multinationale virksomheder, der har fået hver sin iskiosk. I første sæson har de forpligtet sig til

3 Mikro II 018I Øvelser 4, side 3 at holde samme pris som tidligere, men de har frie hænder til at placere deres iskiosk. (b) Hvor vil de blive placeret? Da man ønsker så mange kunder som muligt, vil ligevægten være at begge ligger i 1 og deler kunderne. Hvis der var afstand imellem dem, ville hver kiosk kunne øge sit salg ved at rykke nærmere til den anden. Året efter er de to virksomheder ikke længere forpligtet på prisen, så de kan vælge både pris og placering. Begge virksomheder har stykomkostninger c. (c) Find efterspørgslen for virksomhed 1 placeret i a 1 [0, 1], givet at virksomhed har valgt placeringen a [0, 1] med a > a 1 og sælger til prisen p.vi finder placeringen x af en kunde, som er indifferent mellem de to virksomheder, af p 1 + t(x a 1 ) = p + t(x a ) med løsning x = p p 1 t(a a ) + a + a 1, som er samlet efterspørgsel for virksomhed 1. (d) Find også efterspørgslen for virksomhed (nemmest at bruge, at det er resten af den faste samlede efterspørgsel). Efterspørgslen er 1 x = 1 + p 1 p t(a a 1 ) a + a 1 (e) Find ligevægtspriserne. Vi begynder med virksomhed 1: Givet p findes p 1 ved halv-overpris-reglen: Efterspørgslen er 0 ved prisen t(a a 1 ) + p, så den profitmaximerende pris er p 1 = c + t (a a 1 ) + p. På tilsvarende måde finder den profitmaximerende pris for virksomhed givet p 1 som p = c + t(a a 1 ) t (a a 1 ) + p 1, som indsættes i udtrykket for p 1, hvorved der fås ( ) + a + a 1 p 1 = c + (a a 1 ). 3 På samme måde findes ligevægtsprisen p. AFLEVERINGSOPGAVE To nabolande lande A og B har begge en produktion af en bestemt vare, som udelukkende sælges på hjemmemarkedet. I land A vides det, at efterspørgselselasticiteten (regnet numerisk) er 1 (uanset den solgte mængde), og at der ved en pris på 16 sælges 5 enheder. (a) Find efterspørgselsfunktionen. (Vink: Opstil formlen for elasticiteten, og brug at d ln(x) = 1 dx dp x dp og 1 p = d ln(p) ) dp. Fra udtrykket dx p dp x = 1 får

4 Mikro II 018I Øvelser 4, side 4 vi at d ln x dp = 1 p = 1 d ln p, hvoraf vi får en løsning af formen dp ln x = 1 ln p + C for C en konstant, eller x = a p for a = ln C. Konstanten findes af 5 = a 4 til a = 100, så at efterspørgslen har formen x = 100 p. I begge lande bruges samme teknologi, hvor de samlede variable omkostninger består af en materialepris på 1 pr. enhed plus en omkostning til forarbejdning, som er kvadratisk i antal producerede enheder og udgør 0,1 ved en produktion på 10 enheder. (b) I land A er der 10 producenter med, som alle tager markedet priser for givne og vælger produktion så at profitten bliver maximal. Find udbudskurven og markedsprisen i land A. Ved produktion x er omkostningerne TC(x) = 1 x + 0, 1x, så vi har MC(x) = 1 + 0, x. Ved en pris p findes udbuddet for hver virksomhed p 1 dermed fra p = 1+0, x til x = 5(p 1). Det samlede udbud er dermed x = 50(p 1). Markedsprisen skal opfylde 50(p 1) = 100 p, som har løsningen p =, 31. (c) I land B er efterspørgslen tilnærmelsesvis lineær, ved prisen 16 sælges 48 enheder, og sænkes prisen med 1, øges efterspørgslen med 3 enheder. Der er kun én producent i landet, og grænseomkostningerne er 1, 5 uanset produktionens omfang. Find pris og mængde i land B. Invers efterspørgsel er p = x, så MR = 3 1 x, og betingelsen MR = MC bliver til 6 ved prisen 3, 8. 1, 5 = 3 1 x eller x = 84, 55 6 Som et resultat af økonomisk integration vil de to landes producenter nu kunne sælge i begge lande (der ses bort fra transportomkostninger, og det antages, at forbrugernes efterspørgselsfunktioner er uændrede). For simpeltheds skyld ser vi bort fra omkostninger, dvs. vi sætter MC til 0. (d) Giv et begrundet forslag til, hvorledes markedsforholdene vil være, og find pris og mængde i den resulterende ligevægt. Da producenterne i A var pristagere, forventer vi at de vedbliver med at tage prisen for givet, og derfor vil producenten i B maximere profit på samlet afsætning med fradrag for udbuddet pristagerne (Stackelberg-ligevægt). Vi finder afsætningen som

5 Mikro II 018I Øvelser 4, side 5 summen af de to landes efterspørgsel minus A s udbud x = 100 p p 50(p 1) = 100 p p, og TR bliver så px = 100 p + 146p 53p. Da vi har sat MC til 0 skal vi bare løse i førsteordensbetingelserne for 50 maximum af TR, p = 0, hvad der giver p = 1, 735. p