1 Kapitel 5: Forbrugervalg

Transkript

1 1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. Budgetbegrænsninger. 2. Præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens valg. 1

2 2 Optimalt forbrug - gra sk fremstilling 1. Antag: Forbruger har komplette, transitive og monotone præferencer. 2. Da maximeres nytte på budgetlinjen. 3. Optimum ndes ved at bevæge sig langs budgetlinjen, og nde det punkt hvor den højest opnåelige indi erenskurve tangerer. I optimum: 4. Hældning på indi erenskurve = MRS = hældning på budgetlinje = -p 1 =p 2. (a) Undtagelse I: Knækket indi erenskurve - kinky tastes. 2

3 (b) Undtagelse II: Maximum ligger på randen. 5. Konvekse præferencer: Hvis MRS = -p 1 =p 2 da maximum. 6. Advarsel: Hvis præferencer ikke er konvekse da kan MRS = -p 1 =p 2 være i \lokalt minimum. 7. Efterspørgslen er det optimale forbrug ved givne priser og indkomst. 8. Når vi varierer priser og indkomst får vi efterspørgselsfunktionen. 3

4 4 LPØ, ØkIntro 06/07

5 5 LPØ, ØkIntro 06/07

6 6 LPØ, ØkIntro 06/07

7 7 LPØ, ØkIntro 06/07

8 3 Perfekte substitutter / komplementer 1. To nemme specialtilfælde: 2. Perfekte substitutter 1:1. x 1 = m=p 1 hvis p 1 p 2 ; 0 ellers. (x 2 =?) 3. Perfekte komplementer 1:1. x 1 = m=(p 1 + p 2 ). (x 2 =?) 4. Hvordan ndes efterspørgslen i mere generelle tilfælde? 8

9 9 LPØ, ØkIntro 06/07

10 10 LPØ, ØkIntro 06/07

11 4 Formulering af forbrugerens problem 1. Lad priser og indkomst være givne. Forbrugeren vælger forbrug der maksimerer nytte givet budgetbegrænsning: 2. Maximér u(x 1 ; x 2 ) under bibetingelsen p 1 x 1 + p 2 x 2 m: 3. Hvis præferencer er monotone kan vi skrive: Maximer u(x 1 ; x 2 ) under bibetingelsen p 1 x 1 + p 2 x 2 = m: 11

12 5 Løsning af forbrugerens problem 1. Tre løsningsmetoder: (a) Løs to ligninger med to ubekendte: 0 i. MRS(x 1 ; x 2 ii. p 1 x 1 + p 2 x 2 = 1 ;x 2 1 ;x A = p 1 p 2. (b) Substitution af budgetbetingelse ind i nyttefunktion: i. p 1 x 1 + p 2 x 2 = m, x 2 = 1 p 2 (m p 1 x 1 ) : ii. u(x 1 ; x 2 ) = u(x 1 ; 1 p 2 (m p 1 x 1 )) = bu(x 1 ): iii. Maximér bu(x 1 ) mht. x 1. 12

13 (c) Lagrange metoden: i. Den generelle metode til maximering af funktion af ere variable under en eller ere bibetingelser: ii. max u(x 1 ; :::; x n ), hvor iii. f 1 (x 1 ; :::; x n ) = b 1 ; iv. ::::; v. f n (x 1 ; :::; x n ) = b m : 13

14 6 Maximering under bibetingelser: 2 variable, 1 bibetingelse 1. Problem: Maximér f(x; y) u.b. g(x; y) = c: 2. I optimum: Hældingen på tangenten til kurven g(x; y) = c lig med hældningen på tangenten til niveaukurven for f. 3. Hvorfor: Se gur! 4. Husk fra Kap. 4: For nyttefunktion u(x 1 ; x 2 ) da hældningen på indi erenskurve = MRS 1 ;x 2 1 ;x Tilsvarende: 14

15 (a) Hældingen på tangenten til kurven g(x; y) = c (b) Hældingen på tangenten til niveaukurven for f @y. 7. Fortegn @y : 8. Dvs., der @y = : 15

16 7 Lagrange metoden 1. Opskriv funktionen: L(x; y) = f(x; y) (g(x; y) c); hvor er en (ukendt) konstant. 2. Di erentier L mht x og y og sæt a edede lig @y = 0 3. Med disse to betingelser har vi @y (c) g(x; y) = 0 16

17 4. Løs tre ligninger med tre ubekendte x; y;. 5. Tekniske antagelser: (a) Hvis (x 0 ; y 0 ) er lokalt extremum da gælder Lagrangebetingelser hvis: (b) f og g har kontinuerte partielle a edede i omegn af (x 0 ; y 0 @y ikke begge er nul. 6. NB: Betingelserne er nødvendige men ikke tilstrækkelige for maximum (kunne også være et minimum!). 7. Vigtigt i forbrugerteori: Hvis præferencer er strengt konvekse (og budgetlinje lineær som sædvanligt), da er betingelserne tilstrækkelige. 17

18 8 Eksempel 1 1. Maximer u(x 1 ; x 2 ) = x 1 x 2 u.b. 2x 1 + x 2 = Opskriv Lagrangefunktion: L(x 1 ; x 1 ) = f(x 1 ; x 2 ) (g(x 1 ; x 2 ) c); = x 1 x 2 (2x 1 + x 2 1) hvor er en (ukendt) konstant. 3. Di erentier L mht x 1 og x 2 og sæt a edede lig nul: (a) 1 ; x 2 1 = x 2 2 = 0 1 ; x 2 2 = x 1 = 0: 18

19 4. Med disse to betingelser har vi nu: (a) x 2 = 2 (b) x 1 = (c) 2x 1 + x 2 = 1 5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x 1 ; x 2 ; : x 2 = 2 og x 1 = ) x 2 = 2x Indsæt i betingelse: 2x 1 + 2x 1 = 1 ) x 1 = 1 4. ) x 2 = 1 2 : ) = 1 4 : 19

20 9 Eksempel 2 1. Maximer u(x 1 ; x 2 ) = p x p x 2 u.b. x 1 + x 2 = Opskriv Lagrangefunktion: L(x 1 ; x 2 ) = p x p x 2 (x 1 + x 2 1); hvor er en (ukendt) konstant. 3. Di erentier L mht x 1 og x 2 og sæt a edede lig nul: 1 ; x 2 ) p x 1 = 1 ; x 2 ) = p 2 x2 = 0: 4. Med disse to betingelser har vi nu: 20

21 (a) (b) 1 2 p x 1 = 1 p x2 = (c) x 1 + x 2 = 1 5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x; y; : 1 2 p x = p 1 1 x2 ) 2 p x 1 = p x 2 ) (2 p x 1 ) 2 = ( p x 2 ) 2 ) 4x 1 = x Indsæt i betingelse: x 1 + 4x 1 = 1 ) 5x 1 = 1 ) x 1 = 1 5. ) x 2 = 4 5 : ) = q 1 = p 5: 21

22 10 Økonomisk tolkning af Lagrangemultiplikatoren 1. Antag at x og y løser: max f(x; y) u.b. g(x; y) = c: 2. Lad f = f(x ; y ) være maximum-værdi. 3. Betragt x = x (c) og y = y (c) som funktioner af c. 4. Betragt da også f som funktion af c: f (c) = f(x (c); y (c)): 5. f (c) kaldes værdifunktionen for problemet. 22

23 6. Man kan vise, at: df (c) dc = (c): 7. Med ord: (c) = viser væksthastigheden for værdifunktionen med hensyn til begrænsningen c. 8. I Økonomi: (a) f er nyttefunktion (eller pro t). (b) c er ressourcebegrænsning, f.eks. budgetbegrænsning. (c) Da er (c)dc en tilnærmelse til stigning i nytte (eller pro t) som opnås ved at få dc > 0 mere af ressource. (d) Specielt: Hvis f er pro t, da angiver (c) den marginale betalingsvillighed for en ekstra enhed af begrænset ressource c. 23

24 11 Cobb-Douglas præferencer: Det generelle tilfælde 1. Vi ønsker at nde efterspørgsel ved Cobb-Douglas nytter. 2. Forbrugers problem: max u(x 1 ; x 2 ) = x c 1 xd 2 ; u.b. x 1 p 1 + x 2 p 2 = m: Logaritmisk transformation: log x c 1 xd 2 = c log x 1 + d log x 2 : 3. Opskriv Lagrangefunktion: L(x 1 ; x 2 ) = c log x 1 +d log x 2 (x 1 p 1 +x 2 p 2 m) hvor er en (ukendt) konstant. 4. Di erentier L mht x 1 og x 2 og sæt a edede lig nul: 24

25 (a) c 1 x 1 p 1 = 0 d 1 x 2 p 2 = 0 5. Med disse to betingelser har vi nu: (a) c = p 1 x 1 (b) d = p 2 x 2 (c) p 1 x 1 + p 2 x 2 = m 6. Løs tre lineære ligninger med tre ubekendte x 1 ; x 2 ; : c = p 1 x 1 og d = p 2 x 2 ) c + d = p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. 7. Dette giver: = c + d m : 25

26 8. Indsæt: c = c+d m p1 x 1 ) x 1 = c c+d m p Indsæt: d = c+d m p2 x 2 ) x 2 = d c+d m p NB: Hvis Cobb-Douglas præferencer, da er budgetandele konstante ved budgetændringer. 26

27 12 Økonomisk tolkning af Lagrangemultiplikator: Cobb-Douglas eksemplet 1. Vi har: (a) x 1 (m) = (b) x 2 (m) = c c+d m p 1 : d c+d m p 2 : (c) (m) = c+d m : (d) f (m) = c log( c c+d m p 1 ) + d log( d c+d m p 2 ): (e) Tjek: df (m) dm = c m + d m =??? (f) Ja! Da = c+d m. 27

28 13 Anvendelse: Hvilken form for beskatning er mest hensigtsmæssig? 1. Vi sammenligner to former for beskatning: (a) Indkomstskat (lump sum). (b) Volumenafgift på en vare. 2. Initial budgetbegrænsning: p 1 x 1 + p 2 x 2 = m Budgetbegræsning med volumenafgift t på gode 1: (p 1 + t)x 1 + p 2 x 2 = m; 3. Optimalt forbrug med volumenafgift: (p 1 + t)x 1 + p 2x 2 = m: 28

29 29 LPØ, ØkIntro 06/07

30 4. Skatterevenue: tx 1 : 5. Indkomstskat der giver samme revenue er derfor på tx Giver budgetbegrænsning: p 1 x 1 + p 2 x 2 = m tx Ny budgetlinje har samme hældning som initial budgetlinje. 8. Passerer igennem (x 1 ; x 2 ) da (p 1 + t)x 1 + p 2x 2 = m medfører p 1 x 1 + p 2x 2 = m tx 1 : 30

31 9. ALTSÅ: (x 1 ; x 2 ) også opnåelig under budgetlinje ved indkomstskat. Forbrug ved indkomstskat er derfor mindst lige så godt som (x 1 ; x 2 ): 10. POINTE: Det er altid bedst for forbrugeren at et givet beløb er opkrævet via indkomstskat. 11. Implicitte antagelser: (a) Argumentet ser på en enkelt forbruger i isolation. (b) Indkomst eksogen. Mere kompliceret hvis indkomstskatteniveau påvirker arbejdsudbud? (c) Ser ikke på udbudssiden af marked. 31