Mikro II, Øvelser 1. a 2bx = c + dx. 2b + d

Transkript

1 Mikro II 2018I Øvelser 1, side 1 Mikro II, Øvelser 1 Det præcise forløb af øvelsestimerne aftales på holdene. Det gælder dog generelt, at der kræves aktiv deltagelse fra de studerende. Bemærk, at sidste opgave i sættet er en afleveringsopgaven til næste uge (afleveringstidspunktet aftales på holdene). Besvarelser afleveres på papir til øvelseslæreren (til timerne). 1. En monopolist har grænseomkostninger af formen MC(x) = c + dx for c, d > 0, hvor x er monopolistens producerede og solgte mængde. Afsætningskurven vurderes at have formen p = a bx hvor a, b > 0 er konstanter. (a) Find monopolistens optimale pris og mægde. Vi har TR(x) = p(x) x = ax bx 2 og MR(x) = a 2bx, som sættes lig MC(x) til ligningen a 2bx = c + dx med løsningen x = a c 2b + d, som er veldefineret for a c. Den optimale pris er så p a(2b + d 1) + c =. 2b + d (b) Find pris og mængde, som de ville have været, hvis monopolisten havde handlet under fuldkommen konkurrence. Her sættes p = MC til ligningen a bx = c + dx med løsning x 0 = a c b + d igen forudsat at a c, pg prisen bliver p 0 a(b + d 1) + c =. b + d (c) Find et udtryk for velfærdstabet ved monopol. Gør rede for de gjorte antagelser. 2. (Reglen om halv overpris ) Betragt en monopolist med en lineær afsætningskurve af formen p = a bx, 0 x a b, hvor p er prisen, x den afsatte mængde, og a, b > 0 er givne konstanter, og konstante grænseomkostninger c 0. Vis, at monopolprisen p kan findes som p = c + 1 (a c). 2

2 Mikro II 2018I Øvelser 1, side 2 Giv en fortolkning. Formlen fås enten direkte ved at indsætte i opgave 2 med d = 0, eller alternativt (og mere intuitivt) ved at betragte ligedannede trekanter i en figur. Den halve overpris er tillægget til grænseomkostningerne, som er halvdelen af det maximalt mulige b c. Den er nyttig i mange modelkonstruktioner, f.eks. ved monopolistisk konkurrence. 3. (Dorfman-Steiner) Antag at monopolistens afsætning x afhænger af prisen p og af omfanget af reklameindsatsen A, så at x = d(p, A) hvor d er differentiabel og voksende i A men faldende i p. Der er konstante grænseomkostninger c. (a) Definér elasticiteten af afsætningen med hensyn til prisen, ε p, Som sædvanlig er det procentvis ændring i afsætning divideret med procentvis ændring i pris, så vi får ε p = d p (med minus hvis man vil have elasticiteten til at være positiv). p d (b) Definér elasticiteten af afsætningen med hensyn til reklame, ε A. Tilsvarende fås ε A = d A (denne elasticitet er allerede positiv). A d (c) Find førsteordensbetingelserne for profitmaximering med hensyn til både q og A. Førsteordensbetingelserne er d(p, A) + d (p c) = 0 p d (p c) = 1. a (d) Brug betingelserne i (3) til at vise, at der i optimum gælder Fra den første ligning ovenfor fås A px = ε A ε p. p c p = 1 ε p og den anden ligning ganges med A d og omskrives til ε A = p p c A px.

3 Mikro II 2018I Øvelser 1, side 3 Kombineres de to, fås det ønskede udtryk (kendt som Dorfman-Steiner-betingelsen). (e) Kommenter på sammenhængen fundet i (d) og hvorledes den kan bruges til at vurdere, om en virksomheds reklameindsats er for stor eller for lille. DSbetingelsen kan bruges som et check af, om man afsætter det rette beløb til reklame, idet reklameudgifternes andel af omsætningen skal svare til forholdet mellem elasticitet af reklame og pris. Hvis priselasticiteten er lille, er det optimalt med en stor reklameindsats, og omvendt hvis priselasticiteten er stor. 4. Betragt en monopolist, hvis afsætningskurve består af to liniære segmenter med et knæk for x = 6, således at 10 1 p = x x x 6 x 13 (a) Find MR hørende til denne afsætningskurve. For 0 x 6 er har vi MR(x) = 10 x, og for 6 < x 13 er MR(x) = 13 2x (så at MR har et spring i x = 6). (b) Monopolisten har konstante stykomkostninger af størrelsen 3. Find monopolistens optimum. For x < 6 er MR(x) > 3, så produktionen skal øges, og for x > 6 er MR(x) < 3, så produktionen skal mindskes. Altså er x = 6 optimal mængde. Prisen findes af afsætningskurven til p = 7. (c) Vis, at der selv ved ret store ændringer i omkostninger ikke sker ændringer i den optimale beslutning. Det er klart fra det foregående, at vi får samme optimum så længe MR(x) ligger i intervallet fra 1 til 4. (d) Giv en fortolkning af den knækkede afsætningskurve, som åbenbart fører til en vis prisstabilitiet. Hvornår kan den tænkes at opstå? Hvis vi opfatter afsætningskurven som monopolistens subjektive vurdering af markedet, kan knækket ses som en pessimistisk holdning hvis prisen sættes ned fra status-quo, kommer der ikke så mange nye kunder, og sættes den op, forsvinder rigtig mange. Alternativt kan det tænkes at der er konkurrenter, der ikke sælger helt det samme, men som alligevel kan trække kunder til, de forventes at følge med, når prisen sættes ned, man ikke når den sættes op. Denne pessimistiske holdning vil åbenbart føre til, at man forbliver i status quo, også når en omkostningsændring tilsiger at man skal tilpasse prisen. 5. En monopolist har en afsætning som afhænger af varens pris p og dens kvalitet q (som her antages at kunne måles på en skala fra 0 og opefter). Vi formulerer det ved monopolistens pris er en funktion P(x, q) af den afsatte mængde og kvaliteten, og tilsvarende er omkostningerne en funktion C(x, q) af produceret mængde og den valgte kvalitet.

4 Mikro II 2018I Øvelser 1, side 4 (a) Find førsteordensbetingelser for monopolistens optimum. Kommentér dem. Førsteordensbetingelserne mht. x og q er xp x(x, q) + P(x, q) C x(x, q) = 0 xp q(x, q) C q(x, q) = 0 Som sædvanligt angiver disse betingelser, at monopolisten skal vælge så at betalingen fra den sidst producerede enhed af såvel vare som kvalitet svarer til omkostningen ved at levere netop denne enhed. Vi ser nu på problemet fra samfundets synsvinkel: Her ønsker vi at finde maximum mht. x og q af x P(z, q) dz C(x, q). 0 Her kan integralet ses som et resultat af at vi summer betalingsviljen for den valgte kvalitet over alle køberne af varen. (b) Find førsteordensbetingelserne for samfundets optimum. Vi får ligningerne x 0 P(x, q) C x(x, q) = 0 P q(x, q) dz C q(x, q) = 0 Den første ligning er den sædvanlige betingelse om pris = grænseomkostninger, den anden fortæller, at gennemsnitlig marginal betalingsvilje (over alle, som faktisk køber) for kvalitet skal svare til grænseomkostninger for kvalitet. (c) Sammenlign de to sæt af betingelser, specielt mht. q: Kan de bruges til at vurdere, om monopolisten leverer for høj eller for lav kvalitet i forhold til samfundets behov? Man kan skrive de to marginalbetingelser for kvalitet (den anden ligning i hvert system som x P q(x, q) = C q(x, q) 0, respektive P q(z, q) dz x x = C q(x, q), x så at højresiderne i begge tilfælde er grænseomkostninger ved kvalitet pr. enhed solgt vare, i monopoltllfældet skal det svare til sidste købers marginale betalingsvilje for kvalitet, men fra samfundets synspunkt er det den gennemsnitlige marginale betalingsvilje pr. enhed vare. Hvis betalingsvilje for kvalitet aftager med solgt mængde, vil monopolistens levere for lav kvalitet, men den modsatte sammenhæng kan også tænkes. AFLEVERINGSOPGAVE En virksomhed har monopol på salget af en dagligvare. Man har traditionelt haft

5 Mikro II 2018I Øvelser 1, side 5 en prispolitik, hvor der sættes tre forskellige priser, nemlig (1) vest for Storebælt, (2) øst for Storebælt, og (3) Bornholm. Man har opsamlet en del viden om afsætningsforholdene, og i virksomhedens kalkuler regnes der med, at afsætningen kan beskrives tilnærmelsesvis lineært: p 1 = x 1, p 2 = x 2, p 3 = x 3. hvor x 1, x 2, x 3 er salg målt i 1000 enheder. Virksomhedens har voksende skalaafkast med grænseomkostninger MC(x) = x, hvor x = x 1+x 2 +x 3 er samlet produktion. (a) Find de optimale priser for monopolisten. Vi finder først de tre MR-kurver MR 1 (x) = x 1, MR 2 (x) = x 2, MR 3 (x) = 6 x 3. som derefter adderes vandret til kurven MR + givet ved x 0 x MR + (x) = 13 1 x 10 x x 49 x (Man laver vandret addition ved at først at løse i hver enkelt for MR og derefter addere de resulterende ligninger, derefter skrives de om så at x er uafhængig variabel). Derefter skæres med MC. Det er let at se at skæringen finder sted for x > 49, og en findes af x = x til x = 57, 75. Den tilhørende MR er 5, 375 og der produceres henholdsvis 46, 25, 10, 87 og 0, 63 i de tre regioner, til priser 7, 7, 7, 2 og 5, 7, Det fremføres i den politiske debat, at det er uacceptabelt, at der opkræves forskellige priser i forskellige landsdele, og der kræves derfor samme pris i alle tre regioner. (b) Find den optimale fælles pris. Her skal vi først addere afsætningskurverne

6 Mikro II 2018I Øvelser 1, side 6 vandret, vi får på samme måde som ovenfor at Herfra findes MR som x 0 x p = x 26 1 x 20 x x 98 x x 0 x MR = x 26 1 x 20 x x 98 x Det ses at MC skærer MR for x = 57, 27, og den fælles pris er 7, 57. Varen sælges ikke længere på Bornholm. Det fremføres nu, at kravet om samme pris faktisk fører til et velfærdstab. (c) Overvej, om det kan være rigtigt (der kræves ikke udregninger). Her bemærkes, at der i vores tilfælde faktisk sælges mindre ved fælles pris end ved prisdiskriminering, fordi et af markederne ikke længere forsynes. Da det fundamentale problem ved monopol er at der sælges mindre end der ville være blevet solgt under fuldkommen konkurrence, tyder det på, at der faktisk sker et velfærdstab.