Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet. Workshop. Opgave 1. = = 3x 2

Transkript

1 Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet Workshop Opgave 1 Antag at en forbrugers nyttefunktion er givet ved u(, x ) x 3 1 x. Forbrugeren har derudover følgende budgetbetingelse: + x m, hvor m er indkomsten, er prisen på vare og prisen på vare x. 1. For hvilke værdier af og x opfylder nyttefunktionen u(, x ) x 3 1 x monotonicitet? Solution. u opfylder monotonicitet hvis MU i U x i > 0, i {1, }. Det følger at MU 1 3x 1 x > 0 og MU x 3 1 > 0 for alle, x > 0.. Er præferencerne for og x strengt konvekse? Solution. Analyser om indifferencekurven er strengt konveks ved at undersøge om MRS er (strengt) aftagende (i absolut værdi) over. MRS MU 1 3x 1 x x 3 1 MU 3x. Det ses at MRS falder når stiger. Dermed er præferencerne strengt konvekse og nyttefunktion quasi-konkav. 3. Er u(, x ) kontinuert differentiabel Solution. u er kontinuert differentiable for alle, x R. 4. Hvad kan vi konkludere når en forbrugers præferencer er monotone, strengt konvekse og nyttefunktionen kontinuert differentiabel? Solution. Når vi har monotone og (strengt) konvekse præferencer, da ved vi at der eksisterer en entydig indre løsning til forbrugerens maksimeringsproblem. 5. Anvend Lagrange multiplikatormetoden til at finde det optimale forbrug (x 1, x ), når m 1000, 5 og 5. Vis alle udregninger. Solution. Fordi forbrugeren har monotone præferencer kan forbrugerens problem 1

2 løses ved Lagrangemetoden istedet for et potentielt Kuhn-Tucker problem med ulighed i budgetbetingelsen. Lagrangeproblemet formuleres som, L(, x, λ) x 3 1x λ( + x m) First Order Conditions: Divider (1) med (): (1) L 3x 1x λ 0 () L x x 3 1 λ 0 (3) L λ + x m 0 3x 1 x x 3 1 3x 1x x 3 1 x 3 Indsæt udtrykket for x i (3): ( ) p1 + m + p ( m + p ) 1 3 Indsæt x 1 i udtrykket for x Den optimale efterspørgsel er dermed: x 3 3m 4 m 4 (x 1, x ) ( 3m, m ) 4 4 Indsæt herefter de angivne parameterværdier og vi har (x 1, x ) (30, 50) 6. Hvad er nytteværdien under det optimale forbrug? Solution. u(x 1, x ) (30)3 (50) m x 1 3m 4 7. Illustrer budgetlinjen og nyttefunktionen grafisk. Indiker og x s skæringer med akserne samt det optimale forbrug (x 1, x ). Solution. Se figur Vis at det marginale subsitutionsforhold (MRS) i det optimale forbrug (x 1, x ) og hældningen på budgetlinjen er identiske. Solution. MRS MU 1 3x MU 30 Budgetlinje hældning: 5 + 5x 1000 x 00 5 Hældning på MRS og budgetlinjen er identisk på 5.

3 Figure 0.1: Budgetlinje 3

4 9. Hvad er u(, x ) på budgetlinjen når 10? Sammenlign nytteværdien med resultatet fra opgave 1.6. Solution. Når 10 og forbrugeren efterspørger på hele sit budget, så er x følgende: x 1000 x 150. Nytten for efterspørgsel (10, 150) er: u 10 3 (150) Nytten er dermed lavere en den optimale på Hvad er MRS når den tangerer budgetlinjen givet 10? Sammenlign denne MRS med værdien af MRS i opgave 1.8. Brug værdierne af de to MRS til at forklare hvordan forbrugeren vil afvige fra 10 til et punkt på budgetlinjen. Solution. MRS 3x Mens budgetlinjen stadig er 5. Intuitivt: Indifferencekurven vil ikke tangere budgetlinjen. Med en M RS på 45, da er forbrugeren villig til at opgive 45 enheder af vare x for at få 1 vare. Forbrugeren kan forøge sin nytte ved at substituere x varer for indtil han opnår optimum substitutionsforhold på 5. Opgave I denne opgave analyserer vi Cobb-Douglas nyttefunktionen som er givet ved u(, x ) x α 1 x1 α. Det antages at forbrugeren har samme budgetbetingelse som opgave 1, således + x m. 1. Under hvilke betingelser opfylder u(, x ) monotonicitet? Solution. u opfylder monotonicitet hvis MU i u x i > 0, i {1, }. Det følger at MU 1 αx α 1 1 α > 0 og MU (1 α)x α 1 x α > 0 for alle, x > 0 og α < 1.. Er præferencerne for of x strengt konvekse? Solution. Analyser om indifferencekurven er (strengt) konveks ved at undersøge om MRS er (strengt) aftagende (i absolut værdi) over. MRS MU 1 αx α 1 1 α αx α 1 1 α α x 1 α MU. Det ses at MRS falder når stiger. Dermed er præferencerne konvekse og nyttefunktion quasi-konkav. 3. Er u(, x ) kontinuert differentiabel? Solution. u er kontinuert differentiable for alle, x R. 4. Anvend Lagrange multiplikatormetoden til at finde det optimale efterspørgsel (x 1, x ). Vis alle udregninger. Solution. Fordi forbrugeren har monotone præferencer kan forbrugerens problem løses ved Lagrangemetoden istedet for et potentielt Kuhn-Tucker problem med ulighed i budgetbetingelsen. Lagrange problemet formuleres som, L(, x, λ) x α 1 α λ( + x m) 4

5 First Order Conditions: Løs for λ: (1) L αx α 1 1 α λ α ( x () L x (1 α)x α 1 x α λ (1 α) (3) L λ + x m 0 ) 1 α λ 0 ( x1 x ) α λ 0 Indsæt udtrykket i (3): λ α ( ) 1 α x 1 α ( x1 x ) α x 1 α α + 1 α α m 1 α m x 1 αm Indsæt x 1 i udtrykket for x x 1 α αm α Den optimale efterspørgsel er dermed: (x 1, x ) ( αm, ) 5. Vi foretager følgende monotone transformation af Cobb-Douglas funktionen: ln ( x α ) 1 x1 α α ln x1 + (1 α) ln x. Vis at det optimale forbrug (x 1, x ) er det samme som hvad vi fandt i opgave.4. Solution. Lagrange problemet formuleres som, First Order Conditions: Løs for λ: L(, x, λ) α ln + (1 α) ln x + λ(m x ) λ (1) L α λ 0 () L x 1 α x λ 0 (3) L λ + x m 0 α 1 α x 1 α x α 5

6 Indsæt udtrykket i (3): + 1 α α m 1 α m x 1 αm Indsæt x 1 i udtrykket for x x 1 α αm α Den optimale efterspørgsel er dermed: (x 1, x ) ( αm, ) Vi ser dermed at den optimale efterspørgsel er identisk ift. forrige opgave. Opgave 3 Regeringen vil gennemføre et nyt uddannelsesprojekt som de vil finansiere gennem ekstra beskatning af borgerne. Som finansiel rådgiver for regeringen er du blevet bedt om at analysere hvorvidt det er bedst at beskatte borgerne på en specifikt vare eller på deres indkomst. For at simplificere analysen, antag at alle borgere kun forbruger to varer givet ved og x og at deres nyttefunktion er givet ved Cobb-Douglas funktionen u(, x ) x α 1 x1 α. Det antages at forbrugeren har samme budgetbetingelse som opgave 1, således + x m. 1. Indsæt α 0, 5 i den optimale efterspørgsel (x 1, x ) fundet i opgave.4. ( ) Solution. (x 1, x ) m, m. Lad u(x 1, x ) (x 1 )α (x )1 α betegne den indirekte nyttefunktion. For 1, 4, m 8 og α 0, 5, indsæt (x 1, x ) i den indirekte nyttefunktion og beregn nytteværdien for de angivne parametre samt den optimale efterspørgsel. Solution. u(x 1, x ) ( m ) α ( m ) 1 α m p 0,5 1 p0,5 3. Hvis en skat på 1 kr. var indført på vare (dvs. p 1 + 1), beregn den indirekte nytteværdi, den nye efterspørgselværdi af (, x ) og beregn skatteindtægten R (p 1 )x 1 for forbrugeren. Solution. Den indirekte nyttefunktion er med skatten givet ved u(x 1, x ) m. Indsæt parametreværdier: u(x 1, x ) 1, 41. Skatteindtægt R. ( +1) 0,5 p 0,5 6

7 4. Forstil dig at du i stedet opkræver samme skatteindtægt R ved at trække denne direkte fra forbrugerens indkomst, dvs. nettoindkomsten er m m R. Beregn den indirekte nytteværdi i dette tilfælde samt den nye efterspørgselværdi. Solution. Den indirekte nyttefunktion er med skatten givet ved u(x 1, x ) m R. Indsæt parametreværdier: u(x 1, x ) 1, 5. p 0,5 1 p0,5 5. Sammenlign nytteværdien for delopgave, 3 og 4 og vis den grafiske forskel på budgetlinjer, indifferencekurver og efterspørgselsværdier. Solution. Ingen skat ; skat på specifik vare 1,41; lump-sum indkomstskat 1,5. Vi ser at skat på en specifik vare medfører størst nyttetab. Se figur 0. Figure 0.: Budgetlinje 6. Forklar den underliggende intuition for hvorfor vi ser forskellen i nytteværdi. Solution. Skatten på en specifikt vare reducerer nytten af to årsager den reducerer både forbrugerens købekraft og forvrider hendes marginale priser for varerne. Indkomstskatten medføred kun den førstnævnte effekt og er derfor mere efficient. 7