Mat 1. 2-timersprøve den 17. maj 2016.

Transkript

1 Opgave restart; Givet funktionen f:=x-sqrt(*x-); Spørgsmål Mat -timersprøve den 7 maj 6 JE 6 f := x/ x K Funktionen er defineret for x K R x R Dvs Dm f er intervallet [ ;N[ diff(f(x),x,x,x,x); K x K 7/ Ifølge Taylors formel med x = findes for ethvert x R f x = P (x)cr (x), hvor for every f x KP (x)=r (x) where = f ξ! et ξ mellem x og, så x K =K! ξk 7/ x K =K 8 $ ξk 7/ x K For x = findes da et ξ mellem f = P Benyttes P f KP da % ξ % P(/); Math Two hours test May 7, 6 Problem JKL April 8, 7 Given the function The function is devined for Ie is the interval Spørgsmål With the Med udviklingspunktet x = fås develop P:=unapply(mtaylor(f(x),x=,),x); ment poin P := x/x K x K C x K Spørgsmål Aaccording to Taylor's formula If we use since there exists a og, så between K 8 $ ξk 7/ K = P i stedet for f, så er fejlen instead of = R so = 8 $ ξk 7/ between x, so K 8 $ ξk 7/ then the error is % 8$ = 7,

2 Since Therefore evalf(p(/)); evalf(/^7); evalf(p(/)-/^7); Tilføjelse til spørgsmål : Da f KP P K 7 % f 6 K 7 % f Altså : 98! f Opgave = R! P! 6 Problem =! Addition to :! fås we get og dermed restart;with(linearalgebra):with(plots): Givet den symmetriske matrix A:=<<88/,8/ <8/,7/; A := then Given the symmetric matrix Spørgsmål g:=(x,y)-evalb(x[]<y[]): ev:=sort(eigenvectors(a,output=list),g); From this we read that ev := 9,, K, 6,, Since Heraf aflæses, at A = x har egenværdierne 9 og 6 med E 9 =span E 6 =span has the eigenvalues 9 6 with Da A er symmetrisk er de to egenvektorrum E 9 og E 6 ortogonale is symmetric with two eigenvector spaces K are othogonal og

3 v:=ev[,,]; is a basis for er en basis for E 9 q:=(-)*normalize(v,euclidean); is an orthonormal basis for er en ortonormal basis for E 9 v:=ev[,,]; er en basis for E 6 q:=normalize(v,euclidean); where is a basis for The eigenvectors If we put hvor q = q,er en ortonormal basis for E 6 v := K q := v := q := Egenvektorerne q, q ) er da en ortonormal basis for = udstyret med det sædvanlige skalarprodukt are then an orthonormal Sættes basis for Q:=<q q; then is an orthonormal basis for Q := og Lambda:=DiagonalMatrix([9,6]); is positive orthogonal så er Q positiv ortogonal og Λ = Q K A Q=Q T A Q Kontrol med Maple: Transpose(Q)Q;Determinant(Q); Check using Maple: K K Λ := 9 6 equipped with the ordinary dot product

4 Q^(-)AQ; Transpose(Q)AQ; From Q we now get: From this we read that the major semi-axis is Spørgsmål En ellipse E er i et sædvanligt retvinklet x, y -koordinatsystem i planen givet ved matrixligningen x x y A = y matrix equation Af spørgsmål haves nu følgende: (O ; q, q er et nyt sædvanligt retvinklet koordinatsystem i planen fremkommet ved en drejning af det givne koordinatsystem om O the old coordinate system about Forbindelsen mellem de gamle koordinater x, y og de nye koordinater x, y for et punkt P i planen er givet ved x y = Q x y Ellipsens ligning i det nye koordinatsystem er x y Q T A Q x 6 C y 9 = x y = x y 9 6 x y = 9 x C6 y = Heraf aflæses, at ellipsens halve storakse a = og ellipsens halve lilleakse b = X Kaksen, som er linien gennem O med retningsvektor q, har ligningen y =K x Y Kaksen, som er linien gennem O med retningsvektor q, har ligningen y = x <x ya<x,y; E:=exp(%)=; An ellipse in an ordinary orthogonal (x,y)- coordinate system in the plane is given by the is a new ordinary orthogonal coordinate system in the plane appearing by rotation of The relation between old coordinates (x,y) new coordinates (x,y) for a point P in the plane is given by The equation for the ellipse in the new coordinate system is 88 x C 8 y x C 8 x C 7 y y the minor semi-axis is X-axis that is the line through O with the direction vector q has the equation: Y- axis that is the line through O with the direction vector q that has the equation:

5 E := 88 x C 68 x y C 7 y = implicitplot({e,y=-/*x,y=/*x},x=-,y=-,scaling= constrained); y K K x K K For a smooth function Problem Opgave restart;with(linearalgebra):with(plots): For en glat funktion f : = / = med f, = er et vektorfelt V i x, y Kplanen givet ved V x, y = Vf x, y =(f ' x (x,y), f ' y (x,y)) = ( x Ky C,K xy) in the Spørgsmål with is a vector field Vf x, y =, x = og y =G eller y = og x =K Samtlige stationære punkter for f er da,,,k og K, Spørgsmål Hvis f har egentligt lokalt maksimum eller egentligt lokalt minimum i et punkt, så må punktet være et stationært punkt, da f ikke har undtagelsespunkter diff(x-y^+,x); or given by If f has a proper local maximum or a proper local minimum in a point, then the point must be a stationary point, since f has no exception points

6 Hessematricen for f i punktet x, y er H(x,y):=<<,-*y <-*y,-*x; Da de to egenværdier for H, har modsat fortegn, så har f hverken egentligt lokalt maksimum eller egentligt lokalt minimum i det stationære punkt, H(,-):=subs(x=,y=-,H(x,y)); Da de to egenværdier for H,K har modsat fortegn, så har f hverken egentligt lokalt maksimum eller egentlig lokalt minimum i det stationære punkt,k H(-,):=subs(x=-,y=,H(x,y)); diff(-*x*y,y); diff(x-y^+,y); The Hessian matrix for f in the point (x,y) is H x, y := H(,):=subs(x=,y=,H(x,y)); H, := K x K y K y K y K x K K Eigenvalues(H(,),output=list); C 7, K Since the two eigenvalues for H, K := Eigenvalues(H(,-),output=list); C 7, K Since the two eigenvalues for H K, := Eigenvalues(H(-,),output=list);, Since both eigenvalues for Therefore: Da begge egenværdier for H K, er positive, har f egentligt lokalt minimum i det stationære punkt K, Altså: f har netop ét egentligt lokalt minimum nemlig i punktet K, og ingen egentlige lokale maksima f has exactly one proper local minimum viz in the point Spørgsmål Trappelinie K:, / x, / x, y Line of integration Since the gradient field Da gradientfeltet Vf = (V x, V y ) er givet, kan vi finde f med f, = ved formlen f x, y = f, CTan Vf, K =Tan Vf, K = 7 7 is given, we can x find f with y f(,) = by the formula V x (t, )dt + V y (x, t)dt have opposite signs, f has neither a proper local maximum nor a proper local minimum in the stationary point have opposite signs, f has neither a proper local maximum nor a proper local minimum in the stationary point are positive, f has a proper local minimum in the stationary point (-,) no proper local maximum

7 x y = (t C)dt C K xt dt = x Cx Kxy Spørgsmål f:=(x,y)-/*x^+x-x*y^; f := x, y / x Cx Kx y 'f(-,)'=f(-,); f K, = K contourplot(f(x,y),x=-,y=-,contours=); y K K K x K Problem Opgave K restart;with(linearalgebra):with(plots): prik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector):

8 The graph surface A={ x, y % x % og K π % y % π } We consider the function Vi betragter funktionen h:=(x,y)-x*cos(y); for x, y A h := x, y /x cos y Graffladen F = {(x, y, z) % x %, K π % y % π, z = hx, y } plotd(h(x,y),x=,y=-pi/pi/,scaling=constrained,view= ); Spørgsmål Parameterfremstilling for F r:=<u,v,h(u,v); The parametric representation

9 where hvor u [; ] og v [K π ; π ] r:=diff~(r,u); Fladens normalvektor er N:=kryds(r,r); r:=diff~(r,v); The normal vector of the surface is right-h rule Spørgsmål r := r := r := N := u v u cos v cos v Ku sin v Kcos v u sin v I dette spørgsmål og i det næste spørgsmål betragtes desuden et vektorfelt V i x, y, z Krummet om hvilket det oplyses, at which has the properties Div(V) x, y, z = x Cy Cz og Rot(V) x, y, z = z, x, y we get Med den valgte orientering af den lukkede rkurve vf for F er n F = N u, v With the chosen direction for the (højrekonvention) N u, v boundary curve Af Stokes' sætning fås da From Stokes' theorem we then get Cirk(V, vf =Flux(Rot(V), F)= n F $Rot V dμ = F In this question in the next question we furthermore consider a vector field π K π N u, v $Rot V (r(u,v))du dv integr:=prik(n,<*u*cos(v),*u,*v); integr := K cos v u C u sin v C v Int(Int(integr,u=),v=-Pi/Pi/)=int(int(integr,u= ),v=-pi/pi/); π K π K cos v u C u sin v C v du dv = K π in (x,y,z)-space

10 Spørgsmål The parametric representation for the solid region Parameterfremstilling for det massive område Ω i rummet R:=<u,v,w*u*cos(v); where R := u v w u cos v hvor u [; ], v [K π ; π ] og w [; ] is the closed surface of vω er den lukkede overflade af Ω orienteret med udadrettet enhedsnormalvektor Af Gauss' sætning fås da Flux(V, vω)= Ω Div (V) dμ= π K π in space oriented with an outward pointing unit normal vecto From Gauss' theorem we then get Div (V)(R(u,v,w)) JR(u,v,w) du dv dw that is M:=<diff~(R,u) diff~(r,v) diff~(r,w); M := JR:=Determinant(M); w cos v Kw u sin v u cos v JR := u cos v som er R, da u [; ] og v [K π ; π ] integr:=exp((w*u*cos(v)+v+u)*jr); integr := u cos v w Cu cos v v Cu cos v Int(Int(Int(integr,u=),v=-Pi/Pi/),w=)=int(int (int(integr,u=),v=-pi/pi/),w=); since π K π u cos v w Cu cos v v Cu cos v du dv dw = πc 6