STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016"

Transkript

1 STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016

2 2

3 Indhold 1 Regulære flader i rummet Det sædvanlige koordinatsystem i rummet Graf-flader for funktioner af to variable Parametriserede flader To fundamentale matricer Krumningsfunktionerne Omparametrisering Krumningerne er bevaret ved omparametrisering Skift af koordinatsystem Krumningerne er bevaret ved skift af koordinatsystem Lokal krumnings-analyse Tolkning af H og K via normal-snit-kurver Tolkning af H og K via de principale krumninger og omvendt

4 4 INDHOLD

5 Kapitel 1 Regulære flader i rummet 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet For effektivt at kunne beskrive hvad der foregår i rummet, og for præcist at kunne analysere hvordan en flade krummer, har vi brug for et 3D koordinatsystem. Et koordinatsystem i rummet er givet ved et fast valg af sædvanlige postivt orienterede retvinklede koordinatakser ud fra et givet fast Origo, samt de tilhørende basisvektorer i akse-retningerne: {O,x,y,z}, {i,j,k}. Se figur 1.1. Figur 1.1: Det sædvanlige koordinatsystem {O,x,y,z} i rummet med basisvektorer {i,j,k}.

6 6 KAPITEL 1. REGULÆRE FLADER I RUMMET 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable Givet en funktion f (x,y) af to variable. Så kan vi konstruere grafen for funktionen over (x,y)- planen i R 3, nemlig som den flade i rummet, der består af de punkter (x,y,z) i rummet, der tilfredsstiller ligningen z = f (x, y). OPGAVE 1.1 Lad a, b, og c betegne 3 reelle tal og sæt f (x,y) = 1 2 ax2 + bxy cy2, hvor (x,y) U = R R = R Tegn eller skitsér graf-fladen for f omkring (0,0,0) ved forskellige valg af a, b, og c. 2. Bestem de partielle afledede af f til og med 2. orden i et vilkårligt givet punkt (x 0,y 0 ), dvs. f x(x 0,y 0 ), f y(x 0,y 0 ), f xx(x 0,y 0 ), f xy(x 0,y 0 ), og f yy(x 0,y 0 ). 3. Beskriv tangentplanen til graf-fladen for f i punktet (x, y, z) = (0, 0, 0). 4. Antag, at c = 0. For hvilke værdier af a og b ligger graf-fladen for f over, under, eller i skæring med, tangentplanen til graf-fladen for f i punktet (x,y,z) = (0,0,0) pånær lige i punktet selv, hvor graf-fladen og tangentplanen altid rører hinanden.? 5. Kan overspringes i første omgang (tages op igen i opgave 3.1) : Antag igen at c ikke nødvendigvis er 0. For hvilke værdier af a, b, og c ligger graf-fladen for f nu over, under, eller i skæring med, tangentplanen til graf-fladen for f i punktet (x, y, z) = (0, 0, 0)? 1.3 Parametriserede flader En helt generel parametriseret flade er givet ved en vektorfunktion r(u, v), som afbilder et parameter-område U i R 2 ind i rummet via tre koordinatfunktioner, h, g, og f, som alle tre er funktioner af de to variable u og v: r(u,v) = (h(u,v),g(u,v), f (u,v)), (u,v) U. (1.1) Eksempel 1.2 Graf-flader er parametriserede flader. For eksempel fås samme flade som i opgave 1.1 ved parameterfremstillingen: r(u,v) = (u,v, f (u,v)), dvs. ved blot at bruge de to simple funktioner h(u,v) = u, og g(u,v) = v og så iøvrigt lade f betegne den samme funktion som i opgaven.

7 1.3. PARAMETRISEREDE FLADER 7 Eksempel 1.3 Her er nogle klassiske eksempler på parametriserede flader: 1. : r(u,v) = (u,v,u 2 + v 2 ), (u,v) R 2 2. : r(u,v) = (u,v,u v), (u,v) R 2 3. : r(u,v) = (u + v,u v,u), (u,v) R 2 4. : r(u,v) = (u + v,u v,u v), (u,v) R 2 5. : r(u,v) = (cos(v),sin(v),u), u R, v π,π[ 6. : r(u,v) = (cos(u)cos(v),cos(u)sin(v),sin(u)), u π/2,π/2[, v π,π[ 7. : r(u,v) = (vcos(u),vsin(u),u), u R, v R 8. : r(u,v) = (ucos(v),usin(v),u), u R, v π,π[. (1.2) Figur 1.2: Et par af fladerne fra listen i eksempel 1.3 OPGAVE 1.4 Tegn selv eller skitsér (passende dele af) de givne flader i eksempel 1.3. Der er et par af de angivne 8 flader, som har konstant krumning; det kan ses allerede før vi præcis ved hvad krumning er eller betyder. Hvilke flader er der mon tale om? OPGAVE 1.5 Hvilke parametriseringer svarer til hvilke flader i figur 1.2? Hver enkelt af de tre funktioner h, g, og f i den generelle parameterfremstilling (1.1) antages at være pæne funktioner som i de ovenstående eksempler. Så kan de og dermed r(u,v) differentieres partielt med hensyn til u og v. For eksempel er: r u(u,v) = (h u(u,v),g u(u,v), f u(u,v)), r vu(u,v) = (h uv(u,v),g uv(u,v), f uv(u, v)) etc. (1.3)

8 8 KAPITEL 1. REGULÆRE FLADER I RUMMET Specielt har vi brug for følgende ekstra betingelse, som sikrer, at fladerne har veldefinerede tangent-planer: Definition 1.6 Parameterfremstillingen r(u,v) siges at være en regulær parameterfremstilling hvis følgende krydsprodukt ikke er nul-vektoren: r u(u,v) r v(u,v) = 0 for alle (u,v) U. (1.4) OPGAVE 1.7 Vis, at alle graf-flade-parametriseringer er regulære. Vink: Krydsproduktet af (1,0,α) med (0,1,β) er ( α, β,1). OPGAVE 1.8 Hvilke af parameterfremstillingerne i eksempel 1.3 er regulære? OPGAVE 1.9 Hvorfor sikrer regularitetsbetingelsen, at den parametriserede flade har en veldefineret tangent-planer i ethver punkt? Regularitet giver i punktet r(u,v) en tangentplan, som har enheds-normalvektoren: N(u,v) = r u r v r u r v (1.5) OPGAVE 1.10 Bestem enhedsnormalvektoren N(0,0) i punktet r(0,0) for enhver af de regulære flader i eksempel 1.3. Hvad er så en tilsvarende ligning for tangentplanen i det punkt på de enkelte flader?

9 Kapitel 2 To fundamentale matricer Vi kan nu rent formelt definere to (2 2)-matricer som viser sig at være altafgørende for krumningsberegningerne: Definition 2.1 Lad r(u,v), (u,v) U, være en regulær parameterfremstilling. Så definerer vi to (2 2)-matricer i ethvert punkt r(u,v) på fladen, dvs. for ethvert par af parameter-værdier (u,v): og F II (u,v) = [ r F I (u,v) = u r u r u r v r v r u r v r v = [ r uu N(u,v) r uv N(u,v) r vu N(u,v) r vv N(u,v) [ E(u,v) F(u,v) F(u, v) G(u, v) = [ L(u,v) M(u,v) M(u, v) N(u, v), (2.1), (2.2) hvor vi samtidig dermed har defineret 6 nye funktioner af to variable E(u,v), F(u,v), G(u,v), L(u,v), M(u,v), og N(u,v). Matrix-funktionen F I (u,v) kaldes første fundamentalform-matricen for r(u,v), og matrix-funktionen F II (u,v) kaldes anden fundamentalform-matricen for r(u,v). Bemærk, at F I (u,v) og F II (u,v) begge er symmetriske matricer det er de fordi der gælder: r u r v = r v r u og r uv = r vu. Den sidste ligning gælder altid når blot r(u,v) er passende mange gange differentiabel; det er en god ide at checke dette i de konkrete tilfælde i næste opgave: OPGAVE 2.2 Find de to fundamentale matrix-funktioner F I (u,v) og F II (u,v) for hver enkelt af de regulære flader i eksempel 1.3, og beregn i hvert enkelt tilfælde de to funktioner: K(u,v) = Det ( (F I (u,v)) 1 F II (u,v) ) H(u,v) = 1 2 Spor( (F I (u,v)) 1 F II (u,v) ) (2.3) og

10 10 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRICER 2.1 Krumningsfunktionerne Definition 2.3 De to funktioner, som er defineret helt generelt i ligning (2.3), kaldes henholdsvis Gauss-krumningen K(u,v) af fladen med parameterfremstillingen r(u,v) og middel-krumningen H(u,v) af fladen. De to krumningsfunktioner kan beregnes direkte ud fra de 6 funktioner E(u,v),...,N(u,v): K(u,v) = L(u,v)N(u,v) M2 (u,v) E(u,v)G(u,v) F 2 (u,v) H(u,v) = L(u,v)G(u,v) 2M(u,v)F(u,v) + N(u,v)E(u,v) 2(E(u,v)G(u,v) F 2 (u,v)),. (2.4) OPGAVE 2.4 Benyt definitionerne i ligning (2.3) og udtrykkene for F I (u,v) og F II (u,v) til at vise de to udtryk i ligning (2.4). Resten af denne note går nu ud på at indse og illustrere to ting dels at de to funktioner K(u,v) og H(u,v) virkelig indeholder informationer om fladen (via parameterfremstillingen r(u,v)) som med rimelighed kan siges at beskrive fladens krumning og dels at de to funktioner er uafhængige af den valgte parametrisering og uafhængige af det valgte koordinatsystem. Dermed er de ægte geometriske størrelser, der kun afhænger af fladens geometri. Den sidste påstand er helt afgørende, for den betyder, at vi selv kan vælge hvilken parametrisering og hvilket koordinatsystem vi vil bruge til at beregne krumningerne for fladen og dermed også til at motivere (via krumningen af kurver på fladen) at de to funktioner virkelig har noget med krumning at gøre! 2.2 Omparametrisering For at indse, at de to krumningsfunktioner er uafhængige af parametriseringen af den givne flade vil vi nu se på to forskellige parametriseringer af én og samme flade: r(u,v), hvor (u,v) U, og r(ũ,ṽ), hvor (ũ,ṽ) Ũ. Da vi antager, at r(u,v) og r(ũ,ṽ) rammer de samme punkter på fladen i rummet, så må der være en sammenhæng mellem parametrene, dvs. en afbildning fra Ũ ind i U som fortæller hvordan u afhænger af (ũ,ṽ) og hvordan v afhænger af (ũ,ṽ). Vi antager, at vi har givet eller fundet den afhængighed (ved at løse de tilsvarende ligninger) og kan derefter udtrykke sammenhængen således: r(ũ, ṽ) = r(u(ũ, ṽ), v(ũ, ṽ)).

11 2.2. OMPARAMETRISERING 11 Vi kan nu beregne og sammenligne F I (ũ,ṽ) med F I (u,v), og tilsvarende F II (ũ,ṽ) med F II (u,v). For eksempel får vi ved at differentiere igennem med kædereglen: som giver: Ẽ = rũ rũ = E u rũ = r u ũ + r v v ũ u rṽ = r u ṽ + r v v ṽ ( ) u 2 + 2F ũ ( ) u ũ, ( ) v + G ũ (2.5) ( ) v 2. (2.6) ũ Tilsvarende udtryk findes for F, G, L, M, og Ñ. Ved at omskrive de fundne sammenhænge mellem udtrykkene til matrixform fås følgende (prøv det!): [ [ Ẽ F = J F G E F J, (2.7) F G hvor betyder transponering, og hvor J står for (Jacobi-)matricen med de partielle afledede af u og v som funktioner af ũ og ṽ: J = [ u ũ v ũ u ṽ v ũ. (2.8) Præcis den samme sammenhæng (transformationsformel) gælder for den anden fundamentalformmatrix: [ [ L M = J M L M J. (2.9) Ñ M N Men det betyder, at vi har: F I = J F I J, F II = J F II J, (2.10) og dermed: F I 1 F II = J 1 ( F 1 I F II )J. (2.11) OPGAVE 2.5 Hvordan indser vi (2.11) ud fra (2.10)?

12 12 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRICER Eksempel 2.6 En regulær parametrisering af en flade er givet på formen: r(ũ, ṽ) = (ũ + ṽ,ũ ṽ, ũ ṽ), (ũ, ṽ) R 2. (2.12) En omparametrisering af fladen er dernæst givet ved: u = u(ũ, ṽ) = ũ + ṽ v = v(ũ, ṽ) = ũ ṽ, (2.13) således at: og dermed ũ ṽ = 1 4 ( u 2 v 2), (2.14) r(u,v) = (u, v, 1 4 ( u 2 v 2) ), (u,v) R 2. (2.15) De to forskellige parametriseringer af den samme flade i rummet er vist i figur 2.1. Jacobi-matricen for omparametriseringen er i dette eksempel J = [ u ũ v ũ u ṽ v ũ = [ (2.16) Ved udregning af de fundamentalmatricerne får vi henholdsvis: [ 2 + ṽ 2 ũṽ F I (ũ,ṽ) = ũṽ 2 + ũ 2 [ F I (u,v) = 4 u2 1 4 uv 1 4 uv v2. (2.17) Ved dernæst at bruge (2.13) fås netop at ligningen fra (2.10) er opfyldt: F I = J F I J. (2.18) Tilsvarende kan den anden ligning i (2.10) checkes i dette konkrete tilfælde: F II = J F II J. (2.19) OPGAVE 2.7 Hvilken parametrisering er brugt i delfigur 2 fra venstre i figur 2.1? Er det r(u,v) eller r(ũ, ṽ)?

13 2.3. SKIFT AF KOORDINATSYSTEM 13 Figur 2.1: Samme flade parametriseret på to forskellige måder, se eksempel Krumningerne er bevaret ved omparametrisering OPGAVE 2.8 Tag determinanten på begge sider af (2.11) og vis dermed, at Gauss-krumningen er uafhængig af parametriseringen, K(ũ,ṽ) = K(u,v). Og det var noget af det vi gerne ville vise! OPGAVE 2.9 Vis på tilsvarende måde, at H(ũ,ṽ) = H(u,v). Vink: Vis først, eller benyt, at Spor ( J 1 BJ ) = Spor(B) for alle matricer B. Dermed har vi vist det ønskede, nemlig at de to funktioner K(u,v) og H(u,v) er invariante ved omparametrisering. 2.3 Skift af koordinatsystem Funktionerne K(u, v) og H(u, v) er også uafhængige af det koordinatsystem, som vi udtrykker parameterfremstillingen i. Det er noget lettere at se end uafhængigheden af parametriseringen: Vi vælger et nyt positivt orienteret koordinatsystem i rummet med nye retvinklede koordinatakser ud fra et nyt Origo, Ô, samt tilhørende nye basisvektorer i akse-retningerne: {Q, x,ŷ,ẑ}, {î,ĵ, k} så vil en vektor v med koordinaterne (v 1,v 2,v 3 ) {i,j,k} med hensyn til det oprindelige koordinatsystem have de nye koordinater ( v 1, v 2, v 3 ) { med hensyn til det nye koordinatsystem, og î,ĵ, k} sammenhængen kan igen udtrykkes ved en matrix R: v 1 v 2 v 3 = R v 1 v 2 v 3 og dermed v 1 v 2 v 3 = R 1 v 1 v 2 v 3. (2.20)

14 14 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRICER Søjle-elementerne i matricen R er de nye basisvektorers koordinater med hensyn til den oprindelige basis {i,j,k}. Da de nye basisvektorer er ortogonale på hinanden og alle har længden 1, så er R R = E og derfor er R 1 = R og determinanten er Det(R) = 1 (på grund af den positive orientering af koordinatsystemet). OPGAVE 2.10 Brug matrix-multiplikation til at indse den påstand. Altså: hvis en matrix har positivt orienterede parvis ortogonale enhedssøjler, så er den inverse matrix lig med den transponerede matrix. Definition 2.11 en rotationsmatrix. En (3 3)-matrix R med positivt orienterede ortogonale enhedssøjler kaldes Påstand 2.12 En rotationsmatrix bevarer prikproduktet mellem vektorer a og b. Vi vil vise, at skalarprodukterne a b og â b har samme værdi: a b = â b. (2.21) Ligningen (2.20) kan skrives ud på følgende måde (vi bruger, at R 1 = R : â 1 â 2 â 3 b1 b2 b3 = R = R a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3. (2.22) Hvis vi transponerer på begge sider af lighedstegnene får vi: [ â1 â 2 â 3 = [ a1 a 2 a 3 R [ b1 b2 b3 = [ (2.23) b 1 b 2 b 3 R,

15 2.3. SKIFT AF KOORDINATSYSTEM 15 Vis nu først, at skalarprodukterne a b og â b kan skrives som matrix-produkter: â b = [ b1 â 1 â 2 â 3 b2 b3 a b = [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3, (2.24) Af disse ligninger fås det ønskede ved at bruge RR = E: â b = a b. (2.25) Krumningerne er bevaret ved skift af koordinatsystem Hvis vi har givet en parametrisering r(u,v) for en given flade med hensyn til det oprindelige koordinatsystem, så er parametriseringen af den samme flade udtrykt i den nye basis givet ved r(u,v) som fremkommer ved translation med vektoren k fra O til Ô og rotation: Heraf fås de partielle afledede, f.eks. den u-afledede r (u,v) = R (r (u,v) k ). (2.26) r u (u,v) = R (r u (u,v)) etc.. (2.27) Da rotationer bevarer prikprodukter og da F I (u,v) og F II (u,v) består af lutter prikprodukter følger endelig, at en parametrisering der udtrykkes i to forskellige koordinatsystemer har helt ens første og anden fundamentalform-matricer: F I (u,v) = F I (u,v) og F II (u,v) = F II (u,v). Vi er nu klar til at beregne og inspicere de to krumningsfunktioner i det simplest mulige koordinatsystem med den simplest mulige parametrisering, nemlig i den situtation, hvor fladen lokalt repræsenteres som graf-flade for en funktion af to variable.

16 16 KAPITEL 2. TO FUNDAMENTALE MATRICER

17 Kapitel 3 Lokal krumnings-analyse For en graf-flade parametrisering er beregningerne af K(u, v) og H(u, v) særligt simple, men som vi har set fuldt ud repræsentative. Lad os derfor betragte en vilkårlig flade og antage, at den i en omegn om et punkt p er repræsenteret ved graf-flade parametrisering efter en eventuel omparametrisering og skift af koordinatsystem: r(u,v) = (u,v, f (u,v)), (3.1) hvor f er en given funktion og således at tangentplanen i punktet p netop er (x,y)-planen og sådan at p = (0,0,0) = r(0,0). Så er r u(u,v) = (1,0, f u(u,v)) r v(u,v) = (0,1, f v(u,v)) r uu(u,v) = (0,0, f uu(u,v)) r uv(u,v) = (0,0, f uv(u,v)) r vv(u,v) = (0,0, f vv(u,v)) r u(0,0) r v(0,0) = ( f u(0,0), f v(0,0),1) = (0,0,1) N(0,0) = (0,0,1) F I (0,0) = [ 1 + ( f u (0,0)) 2 f u(0,0) f v(0,0) f u(0,0) f v(0,0) 1 + ( f v(0,0)) 2 = [ (3.2) [ f F II (0,0) = uu(0,0) f uv(0, 0) f uv(0,0) f vv(0, 0) [ FI 1 f (0,0)F II (0,0) = uu(0,0) f uv(0, 0) f uv(0,0) f vv(0, 0) Hvis vi introducerer r, s and t som r = f uu(0,0), s = f uv(0,0), og t = f vv(0,0), så får vi direkte.

18 18 KAPITEL 3. LOKAL KRUMNINGS-ANALYSE Gauss- og middelkrumningen i punktet p: K(0,0) = r t s 2 H(0,0) = 1 2 (r + t). (3.3) OPGAVE 3.1 I opgave 1.1 spørgsmål 5 optræder konstanterne a, b, og c. Hvad er relationen mellem dem og r, t, og s som indført ovenfor? Vis, at K(0,0) > 0 svarer til, at graf-fladen i den opgave ikke har skæring med sin tangentplan i punktet (0,0,0) udenfor dette punkt selv. 3.1 Tolkning af H og K via normal-snit-kurver I ovenstående situation betragter vi den familie γ θ af kurver på fladen, som fremkommer ved at projicere de rette linjer gennem (x,y) = (0,0) op på fladen ved hjælp af f : γ θ (t) = (t cos(θ),t sin(θ), f (t cos(θ), f (t sin(θ))), t R, θ [ π,π. (3.4) For enhver fastholdt retning θ har vi en kurve γ θ på den parametriserede graf-flade. Tangentvektoren i p svarende til t = 0 er følgende enhedsvektor: Accelerationsvektoren i p er tilsvarende: γ θ (0) = (cos(θ),sin(θ),0) (3.5) γ θ (0) = (0,0,cos2 (θ) f uu(0,0) + 2cos(θ)sin(θ) f ( u,v)(0,0) + sin2 (θ) f vv(0,0)) = (0,0,r cos 2 (θ) + 2scos(θ)sin(θ) + t sin 2 (θ)), (3.6) Det betyder, at krumningen af kurven γ θ (t) på graf-fladen har følgende værdi i punktet p (regnet med fortegn i normalens retning (0,0,1)): κ n (θ) = r cos 2 (θ) + 2scos(θ)sin(θ) + t sin 2 (θ). (3.7) Dette er Euler s formel for normal-snit-krumningen af den parametriserede flade i retningen givet ved θ. Den udtrykker præcis det ønskede, nemlig en sammenhæng mellem fladens krumningsfunktioner K og H og krumningerne af kurver (i dette tilfælde normal-snitkurver) på fladen. Funktionen κ n (θ) har et maksimum κ 1 og et minimum κ 2, og de optræder for θ = θ 1 og θ = θ 2 hvor henholdsvis: tan(2θ 1 ) = 2s r t og tan(2θ 2 + π) = 2s r t således at der er præcis vinklen π/2 mellem de to θ-værdier., (3.8)

19 3.2. TOLKNING AF H OG K VIA DE PRINCIPALE KRUMNINGER OG OMVENDT 19 OPGAVE 3.2 Vis, at der er maksimum, henholdsvis minimum, for κ n (θ) i de to angivne θ-værdier via (3.8). 3.2 Tolkning af H og K via de principale krumninger og omvendt De to værdier, maksimumværdien og minimumværdien for κ n (θ) betegnes med κ 1 og κ 2 henholdsvis, og de kaldes de principale krumninger for fladen i punktet p. Ved at benytte θ 1 som ny origo på θ-aksen, dvs. ved at substituere θ med φ = θ θ 1 fås: OPGAVE 3.3 κ n (φ) = κ 1 cos 2 (φ) + κ 2 sin 2 (φ). (3.9) Vis, at κ 1 κ 2 = r t s 2 = K(0,0) κ 1 + κ 2 = r + t = 2H(0,0). (3.10) Krumningsfunktionerne K og H kan altså bestemmes direkte ud fra kendskab til de principale krumninger. Omvendt kan hver af de to principale krumning bestemmes ud fra H og K. De er nemlig rødderne i andengradsligningen: κ 2 2Hκ + K = 0. (3.11) OPGAVE 3.4 Vis den påstand, altså at κ 1 og κ 2 netop er rødderne i (3.11). OPGAVE 3.5 Find de principale krumninger i punktet r(0,0) for hver af de regulære flader i eksempel 1.3 ved at bruge de fundne værdier af K(0,0) og H(0,0) fra opgave 2.2.

20 20 KAPITEL 3. LOKAL KRUMNINGS-ANALYSE

21 Litteratur [doc M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, [G A. Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Matematica, 2. ed., CRC Press, [GFLB [MG [Mac [Maple B. Grøn, B. Felsager, B. Bruun, O. Lyndrup, Hvad er matematik? A, Lindhardt og Ringhof, Video og projekt-materialer om skumstrukturer og minimalflader v./ B. Grøn et al.: MacTutor History of Mathematics, history/ Maple s hjemmeside [P A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer, 2010.

22 Indeks ægte geometriske størrelser, 10 anden fundamentalform-matricen, 9 basisvektorer i akse-retningerne, 5, 13 enheds-normalvektoren, 8 Et koordinatsystem i rummet, 5 Euler s formel for normal-snit-krumningen, 18 første fundamentalform-matricen, 9 Gauss-krumningen, 10 grafen for funktionen, 6 koordinatakser, 5, 13 ligning for tangentplanen, 8 middel-krumningen, 10 principale krumninger, 19 regulær parameterfremstilling, 8 rotationsmatrix, 14 tre koordinatfunktioner, 6 uafhængige af den valgte parametrisering, 10 uafhængige af det valgte koordinatsystem, 10 vektorfunktion, 6 22

23 DTU COMPUTE BYGNING 303B, 2800 KGS. LYNGBY. adresse:

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017 STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Minimalflader og flader med konstant middelkrumning

Minimalflader og flader med konstant middelkrumning PROJEKTMATERIALE TIL FILMEN steen markvorsen Minimalflader og flader med konstant middelkrumning MATEMATISK FORSKNING 10 10 DANSKE MATEMATIKERE MATEMATISKE FORTÆLLINGER Film og tilhørende projektmateriale

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Kurve- og plan-integraler

Kurve- og plan-integraler enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet

Læs mere

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

Danske besvarelser af udvalgte opgaver.

Danske besvarelser af udvalgte opgaver. IMFUFA, INM Carsten Lunde Petersen Danske besvarelser af udvalgte opgaver. Introduction Forslag til besvarelse af udvalgte opgaver. Opgave 7.9: Vis, at en ikke plan glat kurve α : I R 3 i rummet forløber

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-Jun. 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-dec. 2009 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1 Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2011 Htx Sukkertoppen,

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Uddannelsescenter

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere