Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
|
|
|
- Tina Brøgger
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for system Stabilitet Stabilitet for logistisk ligning Stabilitet for Lotka-Voltera system Calculus Uge
2 Ligning og løsning [LA] 18 Generel differentialligning Definition 18.1 Lad I,J være åbne intervaller og F(x,y) : I J R en reel funktion. En løsning til differentialligningen dy dx = F(x,y) er en differentiabel funktion y(x) : I J på et åbent delinterval I I, som indsat giver y (x) = F(x,y(x)), x I Calculus Uge
3 Eksistens og entydighed [LA] 18 Generel differentialligning Sætning 18.2 Antag at F(x,y) er kontinuert og F (x,y) eksisterer og er y kontinuert i I J. For et givet (x 0,y 0 ) I J findes entydigt bestemt et maximalt delinterval I I og en differentiabel funktion y(x) : I J, som er en løsning til differentialligningen og opfylder dy dx = F(x,y) y(x 0 ) = y 0 Calculus Uge
4 Eksistens og entydighed [LA] 18 Generel differentialligning Bemærkning 18.3 Den udvidede ligning dy dx = F(x,y),y(x 0) = y 0 kaldes et begyndelsesværdiproblem. Eksistens- og entydighedssætningen for begyndelsesværdiproblemer har en naturlig og vigtig udvidelse til differentialligningssystemer. Calculus Uge
5 Ingen explicitte løsninger [LA] 18 Generel differentialligning Eksempel 18.4 Differentialligningen dy dx = x3 y + e xy har løsningskurver igennem ethvert (x 0,y 0 ) R R. Løsninger kan ikke umiddelbart udtrykkes ved kendte elementære funktioner. Calculus Uge
6 Exponentialfunktionen [LA] 18 Generel differentialligning Eksempel 18.5 Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet dy dx = y, y(0) = 1 er eksponentialfunktionen y(x) = e x Calculus Uge
7 Elementære funktioner [LA] 18 Generel differentialligning Eksempel 18.8 Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet er de trigonometriske funktioner dy 1 dx = y 2 dy 2 dx = y 1 y 1 (0) = 1, y 2 (0) = 0 y 1 (x) = cos x y 2 (x) = sin x Calculus Uge
8 Eksponential af matrix [LA] 18 Generel differentialligning Eksempel 18.9 Lad A være en n n-matrix og lad Y(x) være en n n-matrix af funktioner. Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet er en n n-matrix af funktioner som kaldes eksponentialet. dy dx = AY Y(0) = I n Y(x) = exp(ax) Calculus Uge
9 Eksponential af matrix [LA] 18 Generel differentialligning Eksempel fortsat Hvis Λ er diagonalmatricen med indgange λ 1,...,λ n, så er exp(λ) diagonalmatricen med indgange e λ 1x,...,e λ nx. Calculus Uge
10 Eksponential af matrix [LA] 18 Generel differentialligning Eksempel fortsat Hvis Λ er diagonalmatricen med indgange λ 1,...,λ n, så er exp(λ) diagonalmatricen med indgange e λ 1x,...,e λ nx. Hvis U diagonaliserer A, A = UΛU 1. Så kan eksponentialet beregnes ved exp(ax) = U exp(λx)u 1 Calculus Uge
11 Eksponential af matrix [LA] 18 Generel differentialligning Eksempel fortsat Hvis Λ er diagonalmatricen med indgange λ 1,...,λ n, så er exp(λ) diagonalmatricen med indgange e λ 1x,...,e λ nx. Hvis U diagonaliserer A, A = UΛU 1. Så kan eksponentialet beregnes ved Der gælder loven exp(ax) = U exp(λx)u 1 exp(ax 1 + Ax 2 ) = exp(ax 1 ) exp(ax 2 ) Calculus Uge
12 Eksponential af matrix [LA] 18 Generel differentialligning Eksempel ( ) 0 1 Lad A =. Så er eksponentialet exp(ax) = 0 0 LØSNING. Differentialligningssystemet er: ( ) ( ) ( ) y 11 y y 11 y 12 = y 21 y y 21 y 22 = ( y 21 y ( ) 1 x 0 1. ) samt betingelsen ( ) y 11 (0) y 12 (0) y 21 (0) y 22 (0) = ( ) Hvilket giver y 21 (x) = 0,y 22 (x) = 1,y 11 (x) = 1,y 12 (x) = x. Calculus Uge
13 Grafisk løsning [S] 7.2 Direction fields... ; [LA] 18 Generel diff... Eksempel 1 - Retningsfelt dy dx = x3 y + e xy y x Calculus Uge
14 Logistisk ligning grafisk [S] 7.5 The logistic equation Eksempel For den logistiske ligning dp dt = 0.08P(1 P 1000 ) prøver vi at tilnærme graferne for løsningerne med små tangentstykker. Calculus Uge
15 Logistisk ligning grafisk [S] 7.5 The logistic equation Eksempel For den logistiske ligning dp dt = 0.08P(1 P 1000 ) prøver vi at tilnærme graferne for løsningerne med små tangentstykker. I et givet punkt (t 1,P 1 ) vil en tangent have ligning P = P P 1 (1 P )(t t 1) Calculus Uge
16 Grafisk løsning [S] 7.5 The logistic equation Retningsfelt P t Calculus Uge
17 Logistisk ligning - Eulers metode [S] 7.5 The logistic equation Eksempel 2 For det logistiske begyndelsesværdiproblem dp dt = 0.08P(1 P ), P(0) = prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet i små intervaller. Calculus Uge
18 Logistisk ligning - Eulers metode [S] 7.5 The logistic equation Eksempel 2 For det logistiske begyndelsesværdiproblem dp dt = 0.08P(1 P ), P(0) = prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet i små intervaller. I et givet punkt (P n,t n ) vil differentialet være og dp = 0.08P n (1 P n 1000 )dt P P n P n (1 P n 1000 )(t t n) Calculus Uge
19 Eulers metode [S] 7.5 The logistic equation Eulers metode Tabellæg løsning til dp dt = 0.08P(1 P ), P(0) = n t n P n n t n P n Calculus Uge
20 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel For Lotka-Volterra systemet dr dt dw dt = kr arw = rw + brw er hastighedsfeltet i RW -planen givet ved vektorerne ( dr dt, dw ) = (kr arw, rw + brw) dt Calculus Uge
21 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 For Lotka-Volterra systemet k = 0.08,a = 0.001,r = 0.02,b = dr dt dw dt = 0.08R 0.001RW = 0.02W RW tegnes hastighedsfeltet i RW -planen. Calculus Uge
22 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 - figur W Hastighedsfeltet R Calculus Uge
23 Eulers metode [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 - Eulers metode For Lotka-Volterra systemet k = 0.08,a = 0.001,r = 0.02,b = dr dt dw dt = 0.08R 0.001RW = 0.02W RW prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet. Calculus Uge
24 Eulers metode [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 - Eulers metode For Lotka-Volterra systemet k = 0.08,a = 0.001,r = 0.02,b = dr dt dw dt = 0.08R 0.001RW = 0.02W RW prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet. I et givet punkt (R n,w n ) vil differentialet være dr = (0.08R n 0.001R n W n )dt dw = ( 0.02W n R n W n )dt Calculus Uge
25 Eulers metode [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 - Eulers metode Tabellæg løsning til R = 1000 og W = 75 månedsvis: n R n W n n R n W n n R n W n Calculus Uge
26 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel Vi viser nu hastighedsfelter for forskellige lineære systemer. figur 1 To positive egenværdier figur 2 En positiv og en negativ egenværdi figur 3 En egenværdi med multiplicitet 2 figur 4 Ingen reelle egenværdier Calculus Uge
27 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Figur 1 To positive egenværdier y 2 y 1 Calculus Uge
28 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Figur 2 En positiv og en negativ egenværdi y 2 y 1 Calculus Uge
29 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Figur 3 En egenværdi med multiplicitet 2 y 2 y 1 Calculus Uge
30 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Figur 4 Ingen reelle egenværdier y 2 y 1 Calculus Uge
31 Autonom ligning [LA] 19 Stabilitet Definition 19.1 En differentialligning kaldes et autonom system. En konstant løsning dy dx = F(y) y(x) = b,f(b) = 0 kaldes en ligevægt. En ligevægt kaldes (lokal) stabil, hvis enhver løsning y(x) som kommer tilstrækkelig tæt på b, vil konvergere mod b for x gående mod uendelig. I modsat fald kaldes ligevægten ustabil. Der er en oplagt udvidelse til differentialligningsystemer. Calculus Uge
32 Ligevægt Eksempel 19.2 Den autonome ligning y = ay + b, a 0 har ligevægtsløsningen y [LA] 19 Stabilitet y = ay + b y(x) = b a Der gælder: a < 0: stabil ligevægt a > 0: ustabil ligevægt FASEDIAGRAM y Calculus Uge
33 Ligevægt og stabilitet [LA] 19 Stabilitet Bemærkning 19.3 For en ligevægt y(x) = b, F(b) = 0 for det autonome system gælder F (b) < 0: Stabil ligevægt. F (b) > 0: Ustabil ligevægt. F (b) = 0: Ingen konklusion. dy dx = F(y) Calculus Uge
34 Ligevægt og stabilitet [LA] 19 Stabilitet Bemærkning figur y y Fasediagram y = F(y) Calculus Uge
35 Ligevægt og stabilitet [LA] 19 Stabilitet Bemærkning 19.4 I en omegn af en ligevægt y(x) = b,f(b) = 0 kan det autonome begyndelsesværdiproblem dy dx = F(y),y(x 0) = b + ǫ tilnærmes med den lineære ligning hvor y(x) b + z(x). dz dx = F (b)z,z(x 0 ) = ǫ Calculus Uge
36 Logistisk stabilitet [LA] 19 Stabilitet Eksempel 19.6 Den logistiske ligning dp dt = kp(1 P K ) har ligevægts løsninger og P(t) = 0, P(t) = K F (P) = 2k K P + k F (0) = k > 0: 0 Ustabil ligevægt. F (K) = k: K Stabil ligevægt. Calculus Uge
37 Logistisk stabilitet [LA] 19 Stabilitet Eksempel figur P P Fasediagram P = kp(1 P K ) Calculus Uge
38 Lotka-Volterra stabilitet [LA] 19 Stabilitet Eksempel 19.7 For Lotka-Volterra systemet, a,b,k,r > 0, dr dt dw dt = kr arw = rw + brw er der to ligevægtsløsninger (R,W) = (0, 0), (R,W) = (r/b,k/a) Calculus Uge
39 Lotka-Volterra stabilitet [LA] 19 Stabilitet Eksempel fortsat I (R, W) = (0, 0) er den lineære approximation som giver en ustabil ligevægt. dr dt = kr dw = rw dt Calculus Uge
40 Lotka-Volterra stabilitet [LA] 19 Stabilitet Eksempel fortsat I (R, W) = (r/b, k/a) er den lineære approximation for ( R, W) = (R r/b,w k/a) d R dt = ar b W d W = bk dt a R som har en ustabil ligevægt. Man kan vise, at løsningskurverne t (R(t),W(t)) for det oprindelig system er deformationer af cirkler omkring ligevægtspunktet. Der er altså en cyklisk udvikling i modellen. Calculus Uge
41 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 - figur W Hastighedsfeltet R Calculus Uge
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
er en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2](/thumbs/82/86922880.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
![Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5](/thumbs/58/42578746.jpg "Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5")
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
![Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.](/thumbs/56/38544107.jpg "Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.")
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17](/thumbs/62/47131431.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/48/24213798.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Calculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/40/21809007.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Matematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Mat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
MM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
MASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Differentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Gamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Funktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Ekstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Oplægget henvender sig primært til specielt interesserede 3g elever med matematik A og kemi A.
OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-KEMI OM OSCILLERENDE REAKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Indledning De fleste kemiske reaktioner forløber uproblematisk inil der opnås kemisk ligevægt, eksempelvis
Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Lotka-Volterra modellen
Lotka-Volterra modellen G4-105 Matematik Aalborg Universitet 20. december 2016 School of Engineering and Science Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst www.ses.aau.dk Titel: Lotka-Volterra modellen Tema:
Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Eksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/55/37584246.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.
Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad
Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
![Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3](/thumbs/91/105982264.jpg "Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3")
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
DesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Differentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9
![Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9](/thumbs/62/47922248.jpg "Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9")
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger
Prøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Mere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Differentialligninger af første orden
Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten
Partielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
DesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
MM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Eksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 17. august Stamfunktionen til t 1 /2. Grænserne er indsat i stamfunktionen. a 2 +9.
Opgave 6 Arealet under grafen udregnes. b) Arealet er givet ved M = 4 0 2x x 2 + 9 dx Arealet udregnes ved at integrere funktionen. M = 25 9 t dt Der er foretaget substitution t = x 2 + 9. [ ] 25 M = Stamfunktionen
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/74/70906933.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Oversigt [LA] 11, 12, 13
![Oversigt [LA] 11, 12, 13](/thumbs/69/60570115.jpg "Oversigt [LA] 11, 12, 13")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1
![Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1](/thumbs/62/47252518.jpg "Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1")
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
![Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1](/thumbs/48/24452097.jpg "Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1")
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Lineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1
Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender
Vektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Differentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Kompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk
Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Eksakte løsninger: fuldstændig løsning og partikulær løsning Mange differentialligninger kan løses eksakt. Fx kan differentialligningen
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/52/30090298.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9
![Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9](/thumbs/63/48531538.jpg "Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9")
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger mod eksponentialfunktionen
12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.