Mat 1. 2-timersprøve den 17. maj 2016.

Transkript

1 Mat -timersprøve den 7 maj 6 JE 6 Opgave restart; Givet funktionen f:=x-sqrt(*x-); Spørgsmål f := x/ x K Funktionen er defineret for x K R x R Dvs Dm f er intervallet [ ;N[ Spørgsmål Med udviklingspunktet x = fås P:=unapply(mtaylor(f(x),x=,),x); P := x/x K x K C x K Spørgsmål diff(f(x),x,x,x,x); K x K 7/ Ifølge Taylors formel med x = findes for ethvert x R et ξ mellem x og, så f x = P (x)cr (x), hvor f x KP (x)=r (x) = f ξ x K =K!! ξk 7/ x K =K 8 $ ξk 7/ x K For x = findes da et ξ mellem og, så f = P K 8 $ ξk 7/ K = P Benyttes P i stedet for f, så er fejlen f KP da % ξ % P(/); = R = 8 $ ξk 7/ K 8 $ ξk 7/ % 8$ = 7,

2 restart;with(linearalgebra):with(plots): Givet den symmetriske matrix A:=<<88/,8/ <8/,7/; evalf(p(/)); evalf(/^7); evalf(p(/)-/^7); Tilføjelse til spørgsmål : Da f KP P K 7 % f 6 K 7 % f Altså : 98! f Opgave Spørgsmål = R! P! 6! fås =! 7 A := og dermed g:=(x,y)-evalb(x[]<y[]): ev:=sort(eigenvectors(a,output=list),g); ev := 9,, K, 6,, Heraf aflæses, at A = x har egenværdierne 9 og 6 med E 9 = span E 6 = span Da A er symmetrisk er de to egenvektorrum E 9 og E 6 ortogonale K og

3 v:=ev[,,]; er en basis for E 9 q:=(-)*normalize(v,euclidean); er en ortonormal basis for E 9 v:=ev[,,]; er en basis for E 6 q:=normalize(v,euclidean); hvor q = q,er en ortonormal basis for E 6 v := K q := v := q := Egenvektorerne q, q ) er da en ortonormal basis for = udstyret med det sædvanlige skalarprodukt Sættes Q:=<q q; Q := og Lambda:=DiagonalMatrix([9,6]); Λ := 9 6 så er Q positiv ortogonal og Λ = Q K A Q=Q T A Q Kontrol med Maple: Transpose(Q)Q;Determinant(Q); K K

4 Q^(-)AQ; Transpose(Q)AQ; Spørgsmål En ellipse E er i et sædvanligt retvinklet x, y -koordinatsystem i planen givet ved matrixligningen x x y A = y Af spørgsmål haves nu følgende: (O ; q, q er et nyt sædvanligt retvinklet koordinatsystem i planen fremkommet ved en drejning af det givne koordinatsystem om O Forbindelsen mellem de gamle koordinater x, y og de nye koordinater x, y for et punkt P i planen er givet ved x x = Q y y Ellipsens ligning i det nye koordinatsystem er x y Q T A Q x 6 C y 9 = x y = x y 9 6 x y = 9 x C6 y = Heraf aflæses, at ellipsens halve storakse a = og ellipsens halve lilleakse b = X Kaksen, som er linien gennem O med retningsvektor q, har ligningen y =K x Y Kaksen, som er linien gennem O med retningsvektor q, har ligningen y = x <x ya<x,y; 88 x C 8 y x C 8 x C 7 y y E:=expand(%)=;

5 E := 88 x C 68 x y C 7 y = implicitplot({e,y=-/*x,y=/*x},x=-,y=-,scaling= constrained); y K K x K K Opgave restart;with(linearalgebra):with(plots): For en glat funktion f : = / = med f, = er et vektorfelt V i x, y Kplanen givet ved V x, y = Vf x, y =(f ' x (x,y), f ' y (x,y)) = ( x Ky C,K xy) Spørgsmål Vf x, y =, x = og y =G eller y = og x =K Samtlige stationære punkter for f er da,,,k og K, Spørgsmål Hvis f har egentligt lokalt maksimum eller egentligt lokalt minimum i et punkt, så må punktet være et stationært punkt, da f ikke har undtagelsespunkter diff(x-y^+,x);

6 Hessematricen for f i punktet x, y er H(x,y):=<<,-*y <-*y,-*x; diff(-*x*y,y); diff(x-y^+,y); H x, y := H(,):=subs(x=,y=,H(x,y)); H, := K x K y K y K y K x K K Eigenvalues(H(,),output=list); C 7, K 7 Da de to egenværdier for H, har modsat fortegn, så har f hverken egentligt lokalt maksimum eller egentligt lokalt minimum i det stationære punkt, H(,-):=subs(x=,y=-,H(x,y)); H, K := Eigenvalues(H(,-),output=list); C 7, K 7 Da de to egenværdier for H,K har modsat fortegn, så har f hverken egentligt lokalt maksimum eller egentlig lokalt minimum i det stationære punkt,k H(-,):=subs(x=-,y=,H(x,y)); H K, := Eigenvalues(H(-,),output=list);, Da begge egenværdier for H K, er positive, har f egentligt lokalt minimum i det stationære punkt K, Altså: f har netop ét egentligt lokalt minimum nemlig i punktet K, og ingen egentlige lokale maksima Spørgsmål Trappelinie K:, / x, / x, y Da gradientfeltet Vf =(V x, V y ) er givet, kan vi finde f med f, = ved formlen f x, y = f, CTan Vf, K =Tan Vf, K = x V x (t, )dt + y V y (x, t)dt

7 = x (t C)dt C y K xt dt = x Cx Kxy Spørgsmål f:=(x,y)-/*x^+x-x*y^; f := x, y / x Cx Kx y 'f(-,)'=f(-,); f K, = K contourplot(f(x,y),x=-,y=-,contours=); y K K K x K Opgave K restart;with(linearalgebra):with(plots): prik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector):

8 A={ x, y % x % og K π % y % π } Vi betragter funktionen h:=(x,y)-x*cos(y); for x, y A h := x, y /x cos y Graffladen F ={(x, y, z) % x %, K π % y % π, z = hx, y } plotd(h(x,y),x=,y=-pi/pi/,scaling=constrained,view= ); Spørgsmål Parameterfremstilling for F r:=<u,v,h(u,v);

9 hvor u [; ] og v [K π ; π ] r:=diff~(r,u); r:=diff~(r,v); Fladens normalvektor er N:=kryds(r,r); r := r := r := N := u v u cos v cos v Ku sin v Kcos v u sin v Spørgsmål I dette spørgsmål og i det næste spørgsmål betragtes desuden et vektorfelt V i x, y, z Krummet om hvilket det oplyses, at Div(V) x, y, z = x Cy Cz og Rot(V) x, y, z = z, x, y Med den valgte orientering af den lukkede randkurve vf for F er n F = N u, v (højrekonvention) N u, v Af Stokes' sætning fås da Cirk(V, vf = Flux(Rot(V), F)= n F $Rot V dμ = F π K π N u, v $Rot V (r(u,v))du dv integrand:=prik(n,<*u*cos(v),*u,*v); integrand := K cos v u C u sin v C v Int(Int(integrand,u=),v=-Pi/Pi/)=int(int(integrand,u= ),v=-pi/pi/); π K π K cos v u C u sin v C v du dv = K π

10 Spørgsmål Parameterfremstilling for det massive område Ω i rummet R:=<u,v,w*u*cos(v); R := u v w u cos v hvor u [; ], v [K π ; π ] og w [; ] vω er den lukkede overflade af Ω orienteret med udadrettet enhedsnormalvektor Af Gauss' sætning fås da Flux(V, vω)= Ω Div (V) dμ= π K π Div (V)(R(u,v,w)) JR(u,v,w) du dv dw M:=<diff~(R,u) diff~(r,v) diff~(r,w); M := JR:=Determinant(M); w cos v Kw u sin v u cos v JR := u cos v som er R, da u [; ] og v [K π ; π ] integrand:=expand((w*u*cos(v)+v+u)*jr); integrand := u cos v w Cu cos v v Cu cos v Int(Int(Int(integrand,u=),v=-Pi/Pi/),w=)=int(int (int(integrand,u=),v=-pi/pi/),w=); π K π u cos v w Cu cos v v Cu cos v du dv dw = πc 6